河南模式2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷一（含解析）

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河南模式2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷（一）
考试时间：100分钟 满分：120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办的第33届夏季奥林匹克运动会上，中国代表团以40金27银24铜共91枚奖牌，创造了新的境外参加奥运会最佳成绩．中国队跳水项目包揽8金，射击、乒乓球和举重各夺5金，多个项目实现历史性突破．如图所示的体育项目图案中，是轴对称图形的是 （ ）
A．B． C．D．
2．油菜是我国栽培面积最大的油料作物，栽培范围几乎遍布全国各地，花期多集中在2～4月，可持续约20~30天，从花粉产量来看几乎占全年花粉总产量的一半．油菜花粉是蜜蜂从油菜花中采集回来的花粉团，花粉团直径约0.00315米．将数据0.00315用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，为估计湖岸边、两点之间的距离，小洛在湖的一侧选取一点．测得米，米，则、间的距离可能是( )
A．50米 B．70米 C．200米 D．250米
4．已知，下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
5．若点的坐标是，点的坐标是，则与满足( )
A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．轴 D．轴
6．已知分式有意义，则满足的条件是( )
A． B． C． D．任何实数
7．位于高新区的火炬大桥是洛阳市区目前最靠西的一座跨洛河桥，也是洛阳市宽度最宽、承重能力最强、单孔跨度最大、配建立交规模最大的桥梁，其侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，不能判定的是( )
A． B． C． D．
8．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分拼成一个长方形，比较这两个阴影部分面积的结果，可以验证的乘法公式是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．图2中，的大小是( )
A． B． C． D．
10．某工厂要加工个零件，甲队单独完成需小时，乙队单独完成比甲队少用3小时，则两队一起加工这批零件需要( )小时．
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．计算：
12．分解因式：x2（x﹣3）﹣x+3＝ ．
13．回顾尺规作图法中作一个角等于已知角的过程不难发现，实质上是我们首先作一个三角形与另一个三角形全等，再根据全等三角形对应角相等完成的．那么两个三角形全等的理论依据是 ．

14．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点，若，，则的值为 ．
15．如图，在锐角三角形中，，．的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ．
三、解答题
16．（1）计算：；（2）解方程：.
17．先化简，再求值：，其中，．
18．已知，在中，，．
请根据要求完成以下任务：
(1)利用直尺和圆规，作的角平分线交于点，作的垂直平分线，垂足为，与交于点；
(2)求的度数．
19．如图，点，，，在同一条直线，，．有下列三个条件：①，②，③．
(1)请在上述三个条件中只选取其中一个，使得，写出你选的条件并证明；
(2)求证：．
20．在四边形中，．，点、分别在边、上，且平分．

(1)求证：平分；
(2)若，求的度数．
21．为落实“全民健身国家战略，推动健康中国建设”，我市体育局组织了系列的体育赛事，其中半程马拉松（公里），他们约好一起去公园长跑训练，跑完后，发现小林用分钟跑的路程和小李用分钟跑的路程一样多，而小林的平均配速比小李的平均配速小分钟/公里，问这次训练小林和小李的平均配速各是多少分钟/公里．（说明：“配速”是速度的一种，指每公里所花的时间，它是长跑者关注的一项重要指标）
22．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，求的值．
解：，
，即．
又，
，
得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，则______；
(2)为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地、，（）它们面积和为，边长和为，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积．
23．（1）问题发现：如图1，和都是等边三角形，连接、，延长交于点，求证：，；
（2）类比探究：如图2，和都是等腰直角三角形，即，，，则与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由；
（3）问题解决：若和都是等腰三角形，且，，，请直接写出线段和的数量关系及它们所在直线的夹角．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D A D A B C B
1．D
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此分析即可．
【详解】解：A、B、C均不能找到一条直线折叠，使得直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意，D选项能找到一条直线折叠，使得直线两旁的部分能够互相重合，故符合题意，
故选：D．
2．D
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选：D．
3．C
【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围
【分析】本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．已知两边确定第三边的范围时，第三边的长大于已知两边的差，且小于已知两边的和．根据三角形的三边关系确定的范围，据此即可判断．
【详解】解：∵，
则，即．
则符合条件的只有C．
故选C．
4．D
【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、合并同类项、幂的乘方运算
【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘除法，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．根据同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项法则求解即可．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选D．
5．A
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，是解题的关键．根据两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，可知两点关于轴对称即可．
【详解】解：∵点的坐标是，点的坐标是，
∴点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴这两个点关于轴对称，
故选：A．
6．D
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分母不为0是解本题的关键．
【详解】解：∵分式有意义，而，
∴满足的条件是：为全体实数；
故选D
7．A
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，并能结合已知条件选取合适的方法是解题关键．根据已知条件可得，，结合全等三角形的判定方法依次对各个选项判断．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴若添加，无法证明，A选项符合题意；
若添加，可利用证明，B选项不符合题意；
若添加，可借助证明，C选项不符合题意；
若添加，可借助证明，D选项不符合题意；
故选：A．
8．B
【知识点】平方差公式与几何图形
【分析】本题考查完全平方式的几何运用，根据阴影部分面积关系可得结论．
【详解】图1中阴影部分面积
图2中阴影部分面积
∴可以验证的乘法公式是
故选：B．
9．C
【知识点】等边对等角、正多边形的内角问题
【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形内角和及等腰三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键． 根据正多边形的性质可求出，根据等腰三角形的性质求出的度数，再利用角的和差可得答案．
【详解】解：∵是正五边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
10．B
【知识点】分式除法
【分析】本题考查了列代数式（分式），分式的除法运算的应用，解题的关键是熟悉工作总量、工作时间和工作效率之间的关系．由工作总量“1”除以工作效率即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：
，
故选B．
11．
【知识点】零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握零指数幂与负整数指数幂的法则是解题关键．根据零指数幂与负整数指数幂法则计算即可得．
【详解】解：，
故答案为：．
12．．
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】先提公因式，再根据平方差公式即可解答本题．
【详解】解：
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分解因式，当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．分解的式子的结果一般要分解到不能再分解为止．
13．/边边边
【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、尺规作一个角等于已知角
【分析】根据作图过程可知，两个三角形的三条边对应相等，即可得出结果．
【详解】解：如图，由作图可知：
，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定方法．熟练掌握证明两个三角形全等．是解题的关键．
14．
【知识点】两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、对顶角相等、平行公理推论的应用
【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，如图，过点作，得，根据平行公理的推论得，得出，最后根据对项角相等得出．掌握平行公理的推论及平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
故答案为：．
15．5
【知识点】含30度角的直角三角形、线段问题(轴对称综合题)、垂线段最短
【分析】此题考查轴对称的性质，的直角三角形的性质， 过作于，作关于的对称点，连接，证明在上，当，，共线，且垂直时，最短，即，在上，即的长，进一步可得答案．
【详解】解：过作于，作关于的对称点，连接，
∵平分，
∴在上，
∴，
当，，共线，且垂直时，最短，
即，在上，即的长，
，，
，
∴的最小值是5．
故答案为： 5
16．（1）；（2）
【知识点】整式的混合运算、解分式方程
【分析】本题考查的是整式的混合运算，分式方程的解法，掌握多项式的乘法的运算法则与解分式方程的步骤是解本题的关键；
（1）利用乘法公式与多项式的乘法运算法则先计算乘法运算，再合并同类项即可；
（2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
去分母得：，
去括号得：，
∴，
解得：；
经检验：是原方程的根，
∴原方程的根为．
17．，．
【知识点】分式加减乘除混合运算、整式的加减中的化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的运算法则先化简原式，然后将，代入化简后的式子求值即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
18．(1)画图见解析
(2)
【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的判定
【分析】本题考查的是作已知角的角平分线，作线段的垂直平分线，三角形的内角和定理的应用，熟练的作图是解本题的关键；
（1）根据作已知角平分线的方法作的平分线即可，再结合，作的垂直平分线即可；
（2）由等腰三角形的性质先求解，再求解，，再利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，射线，直线即为所求；
．
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴．
19．(1)选③，证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；
（1）由，，再选择两边所夹的角相等，再证明全等即可；
（2）由全等三角形的性质可得，再证明两直线平行即可．
【详解】（1）解：选择③，
在与中，
，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
20．(1)证明见解析
(2)
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理
【分析】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解本题的关键；
（1）过点A作于点G，根据角平分线性质结合题意得，再根据全等三角形的性质证明即可；
（2）先证出，结合，再根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图，过作于，
平分，，
．
，
，
又∵，
；
∴平分；
（2）在和中，
，
，
，
由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．这次训练小林的平均配速为分钟/公里，小李的平均配速为分钟/公里．
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题考查分式方程解决应用问题，设这次训练小林的平均配速为x分钟/公里，根据路程一样多列式求解即可得到答案；
【详解】解：设这次训练小林的平均配速为x分钟/公里，则这次训练小李的平均配速为分钟/公里，由题意可得，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：这次训练小林的平均配速为分钟/公里，小李的平均配速为分钟/公里．
22．(1)
(2)
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查的是完全平方公式变形的应用，掌握、、、、之间的关系是解题的关键．
（1）由可得，再代入可得答案；
（2）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由已知条件得，，同理可求，由，可求得，从而可求得，由，即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）设大正方形的边长为，正方形的边长为，面积和为，边长和为，
，，
，
，
解得：，
，
，
②，
由①②解得：，
．
23．（1）证明见解析，（2），；（3），它们所在直线的夹角为
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、等腰三角形的定义
【分析】（1）由等边三角形的性质证明，可得，，再利用三角形的内角和定理可得结论；
（2）由等腰直角三角形的性质证明，可得，，再利用三角形的内角和定理可得结论；
（3）由等腰三角形的性质证明，可得，，再利用三角形的内角和定理可得结论；
【详解】证明：（1）和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
记，的交点为，则，
∴．
（2）和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
记，的交点为，则，
∴，
∴．
（3）如图，
∵，，，
∴∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
延长，相交于，
∵，
∴，
即和所在直线的夹角为；
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用类比的方法进行证明是解本题的关键．
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