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九年级上册第21章《一元二次方程》专练一
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
2．（3分）对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述：
①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根；
②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根；
③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根；
④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；
其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③
4．（3分）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+102＝（x+1）2 B．（x+1）2+102＝x2
C．x2+102＝（x﹣4）2 D．（x﹣4）2+102＝x2
5．（3分）欧几里得的《几何原本》中记载了形如x2﹣2px+4q2＝0（p＞2q＞0）的方程根的图形解法：如图，画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，AC＝2q，AB＝p，以B为圆心BC为半径画圆，交射线AB于点D、E．则该方程较大的根是（ ）
A．CE的长度 B．CD的长度 C．AE的长度 D．DE的长度
6．（3分）若关于x的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
7．（3分）某服装店营业员在卖T恤衫时发现，当T恤以每件80元销售时，每天销售量是20件，若单价每降低1元，每天就可以多售出4件，已知该体恤衫进价是每件40元，设每件T恤降价x元，如果服装店一天能赢利1000元，可列方程为（ ）
A．（40﹣x）（20+x）＝1000 B．（80﹣x）（20+x）＝1000
C．（40﹣x）（20+4x）＝1000 D．（80﹣x）（20+4x）＝1000
8．（3分）如图，点M是三边均不等的△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D、E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程2ax2+bx+c＝0（ ）
A．一定有两个相等实数根
B．一定有两个不相等实数根
C．有两个实数根，但无法确定是否相等
D．没有实数根
第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分
二．填空题（共16小题，满分48分，每小题3分）
9．（3分）关于x的一元二次方程a（x+m）2＝n两根是﹣3，2，则方程a（x2+x+m）2﹣n＝0的根是 ．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0没有实数根．甲由于看错了某一项的符号，误求得两根为﹣1和4，则2b+3c的值为 ．
11．（3分）已知x1、x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，则 ．
12．（3分）已知a、b、c是△ABC的三边，关于x的方程c（x2+m）+b（x2﹣m）＝2ax＝0，当m＞0时有两个相等的实数根，则△ABC的形状是 三角形．
13．（3分）关于x的方程（x+3）（x﹣a）＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
14．（3分）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2＝0的两个根记作an，bn（n≥2），则 ．
15．（3分）若关于x的一元二次方程a（x﹣m）2﹣2a（x﹣m）＝0有实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，则m的取值范围是 ．
16．（3分）已知m+n＝4，mn﹣p2+8p≥20，则mnp的值为 ．
17．（3分）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 ．
18．（3分）为了喜迎元旦，某区筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块正方形的广场空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为6米，中间空白的面积为216平方米，若设正方形空地的边长为x米，则可列方程 ．
19．（3分）对于实数a，b，定义运算“*”：a*b．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根，则x1*x2＝ ．
20．（3分）对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 ．
21．（3分）如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为208平方米，设道路的宽为x米，则列方程为 ．
22．（3分）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是 ．
23．（3分）如图，直线MN经过Rt△ABC的直角顶点C，动点D以1cm/s的速度从A出发，沿AC﹣CB移动到点B，动点E以2cm/s的速度从B出发，沿BC﹣CA移动到A，两动点中有一点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作MN的垂线，垂足分别为P、Q，若AC＝3cm，BC＝4cm，设运动时间为t s，则当t的值为 时，以D、P、C为顶点的三角形与以E、Q、C为顶点的三角形全等．
24．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有下列说法：
①若a﹣b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根为1；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实数根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则；
其中正确的是 ．（填序号）
评卷人 得 分
三．解答题（共19小题，满分285分，每小题15分）
25．（15分）已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
（3）如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且（x1﹣3）（x2﹣3）＝5m，求m的值．
26．（15分）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12.所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式 ；
（2）若x2﹣4x+3可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），则mn＝ ；
探究问题：
（3）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，则x+y＝ ；
（4）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展结论：
（5）已知实数x、y满足﹣x2x+y﹣2＝0，求5x﹣3y的最值．
27．（15分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒．
（1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度；
（2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；
（3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．
28．（15分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
29．（15分）阅读材料：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式Δ＝b2﹣4ac一定为完全平方数．现规定F（a，b，c）为该“快乐方程”的“快乐数“．例如“快乐方程”x2﹣3x﹣4＝0，的两根均为整数，其“快乐数”F（1，﹣3，﹣4），若有另一个“快乐方程”px2+qx+r＝0（p≠0）的“快乐数”F（p，q，r），且满足|r F（a，b，c）﹣c F（p，q，r）|＝0，则称F（a，b，c）与F（p，q，r）互为“开心数”．
（1）“快乐方程”x2﹣2x﹣3＝0的“快乐数”为 ；
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0（m为整数，且1＜m＜6）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+m+1＝0与x2﹣（n+2）x+2n＝0（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值．
30．（15分）【阅读材料】若a2+b2﹣2a+1＝0，求a、b的值．
解：因为a2+b2﹣2a+1＝0，
所以（a2﹣2a+1）+b2＝0，
即（a﹣1）2+b2＝0，
因为（a﹣1）2和b2都是非负的，
所以（a﹣1）2＝0且b2＝0，
所以a＝1，b＝0．
【读后思考】若a2+2b2﹣2ab+2b+1＝0，则a＝ ，b＝ ；
【深入探索】若a2+3b2﹣2ab+8b+8＝0，求a+b的值；
【知识迁移】若a、b都是正整数，且满足a2+b2+4a﹣6b+3＝0，求a+b的值．
31．（15分）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点
也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发．
①经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2；
②△PBQ的面积能否等于5cm2，并说明理由．
32．（15分）我们已经学习了乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值．解答如下：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，
（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题．
（1）知识再现：当x＝ 时，代数式x2﹣4x+15的最小值是 ；
（2）知识运用：若y＝﹣x2+6x﹣15，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3）知识拓展：若﹣x2+5x+y+10＝0，求y+x的最小值．
33．（15分）仔细阅读下列解题过程：
若a2+2ab+2b2﹣6b+9＝0，求a、b的值．
解：∵a2+2ab+2b2﹣6b+9＝0
∴a2+2ab+b2+b2﹣6b+9＝0
∴（a+b）2+（b﹣3）2＝0
∴a+b＝0，b﹣3＝0
∴a＝﹣3，b＝3
根据以上解题过程，试探究下列问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0，求x+2y的值；
（2）已知a2+5b2﹣4ab﹣2b+1＝0，求a、b的值；
（3）若m＝n+4，mn+t2﹣8t+20＝0，求n2m﹣t的值．
34．（15分）如果方程x2+px+q＝0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知a、b是方程x2+15x+5＝0的二根，则
（2）已知a、b、c满足a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y22？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由．
35．（15分）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝x cm（x≠0），则AP＝2x cm，CM＝3x cm，DN＝x2cm．
（1）当x为何值时，点P、N重合；
（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
36．（15分）阅读下面的材料：
解方程x4﹣7x2+12＝0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为：y2﹣7y+12＝0，解得y1＝3，y2＝4，当y＝3时，x2＝3，x＝±，当y＝4时，x2＝4，x＝±2．∴原方程有四个根是：x1，x2，x3＝2，x4＝﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0；
（2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10＝0，试求a2+b2的值．
37．（15分）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3是x2﹣2x+4的一种形式的配方，（x﹣2）2+2x是x2﹣2x+4的另一种形式的配方…
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+1的两种不同形式的配方；
（2）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求2x﹣y的值；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求a+b+c的值．
38．（15分）某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡镇全体贫困初、高中学生进行资助，初中学生每月资助200元，高中学生每月资助300元．已知该乡受资助的初中学生人数是受资助的高中学生人数的2倍，且该企业在2018年下半年7﹣12月这6个月资助学生共支出10.5万元．
（1）问该乡镇分别有多少名初中学生和高中学生获得了资助？
（2）2018年7﹣12月期间，受资助的初、高中学生中，分别有30%和40%的学生被评为优秀学生，从而获得了该乡镇政府的公开表扬．同时，提供资助的企业为了激发更多受资助学生的进取心和学习热情，决定对2019年上半年1﹣6月被评为优秀学生的初中学生每人每月增加a%的资助，对被评为优秀学生的高中学生每人每月增加2a%的资助．在此奖励政策的鼓励下，2019年1﹣6月被评为优秀学生的初、高中学生分别比2018年7﹣12月的人数增加了3a%、a%．这样，2019年上半年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元，求a的值．
39．（15分）阅读以下材料：
我们给出如下定义：对于关于x的多项式，若当x+m取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于x＝﹣m对称，称x＝﹣m是它的对称轴．例如，x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．观察可以发现，当x﹣2取任意一对互为相反数的值时，多项式x2﹣4x+3的值是相等的，则称x2﹣4x+3关于x＝2对称，x＝2是它的对称轴．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）将多项式x2+6x+4变形为（x+m）2+n的形式，并求出它的对称轴；
（2）若关于x的多项式x2﹣kx+4关于x＝3对称，则k＝ ；
（3）代数式（x2+2x+1）（x2﹣16x+64）的对称轴是直线x＝ ．
40．（15分）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
41．（15分）请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x所以x．
把x代入已知方程，得（）21＝0
化简，得y2+2y﹣4＝0
故所求方程为y2+2y﹣4＝0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
42．（15分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0
解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
∴x2﹣4＞0可化为
（x+2）（x﹣2）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
，
解不等式组①，得x＞2，
解不等式组②，得x＜﹣2，
∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，
即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．
（1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为 ；
（2）分式不等式的解集为 ；
（3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0．
43．（15分）书籍是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好．
问题1：现有精装词典长、宽、厚尺寸如图（1）所示（单位：cm），若按图（2）的包书方式，将封面和封底各折进去3cm．试用含a、b、c的代数式分别表示词典封皮（包书纸）的长是 cm，宽是 cm；
问题2：在如图（4）的矩形包书纸皮示意图中，虚线为折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长即为折叠进去的宽度．
（1）若有一数学课本长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm，小海宝用一张面积为1260cm2的矩形纸包好了这本数学书，封皮展开后如图（4）所示．若设正方形的边长（即折叠的宽度）为x cm，则包书纸长为 cm，宽为 cm（用含x的代数式表示）．
（2）请帮小海宝列好方程，求出第（1）题中小正方形的边长x cm．中小学教育资源及组卷应用平台
九年级上册第21章《一元二次方程》专练一
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B D C B C D
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
【思路点拔】因式分解法可求x1＝m+2，x2＝m﹣2，再根据x1＝2x2+3，可得关于m的方程，解方程可求m的值．
【解答】解：∵x2﹣2mx+m2﹣4＝0，
∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，
∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，
∵x1＞x2，
∴x1＝m+2，x2＝m﹣2，
∵x1＝2x2+3，
∴m+2＝2（m﹣2）+3，
解得m＝3．
故选：C．
2．（3分）对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述：
①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根；
②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根；
③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根；
④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【思路点拔】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式为Δ＝b2﹣4ac，若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程无实数根，据此逐一判断即可．
【解答】解：①当a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2时，满足a＜0，b+c＞0，a+c＜0，
此时Δ＝32﹣4×（﹣1）×（﹣2）＝1＞0，即方程有两个不相等的实数根，
故①错误；
②∵b+c＞0，b﹣c＜0，
∴c＞0，
∵a＜0，
∴﹣4ac＞0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即方程有两个不相等的实数根，
故②正确；
③当a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1时，满足a＞0，a+b+c＜0，
此时Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
故③错误；
④∵a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0，
∴b＝﹣4a，c＝4a，
∴Δ＝（﹣4a）2﹣4×a×4a＝0，即方程有两个相等的实数根，
故④错误；
综上，正确的是②，
故选：B．
3．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；
其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③
【思路点拔】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0或x0
∴2ax0+b或2ax0+b
∴
故④正确．
⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c成立；
∵由am2+bm+c＝an2+bn+c，
∴a（m2﹣n2）+b（m﹣n）＝0，
∴a（m﹣n）（m+n）+b（m﹣n）＝0，
即（m﹣n）[a（m+n）+b]＝0，
∵m≠n，
∴a（m+n）+b＝0，
∴当a≠0时，存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c成立；
故⑤正确．
故选：B．
4．（3分）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+102＝（x+1）2 B．（x+1）2+102＝x2
C．x2+102＝（x﹣4）2 D．（x﹣4）2+102＝x2
【思路点拔】设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可得 AB＝（ x﹣4）尺，利用勾股定理可得x2＝102+（ x﹣4）2．
【解答】解：设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可列方程为：x2＝102+（ x﹣4）2．
故选：D．
5．（3分）欧几里得的《几何原本》中记载了形如x2﹣2px+4q2＝0（p＞2q＞0）的方程根的图形解法：如图，画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，AC＝2q，AB＝p，以B为圆心BC为半径画圆，交射线AB于点D、E．则该方程较大的根是（ ）
A．CE的长度 B．CD的长度 C．AE的长度 D．DE的长度
【思路点拔】先根据公式法求出方程的较大根，再结合所给图形，发现此根所对应的线段即可．
【解答】解：由x2﹣2px+4q2＝0（p＞2q＞0）得，
2，
∵AC＝2q，AB＝p，
∴2．
在Rt△ABC中，
AB2﹣AC2＝BC2，
∴2．
∴x，
则较大的根为AB+BC，
∵BC＝BE，
∴AB+BC＝AB+BE＝AE，
即该方程较大的根是AE的长度．
故选：C．
6．（3分）若关于x的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【思路点拔】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣2k）2﹣4（﹣4k+1）＝0，则k2+2k，然后利用整体代入的方法计算代数式的值即可．
【解答】解：根据题意得，Δ＝（﹣2k）2﹣4（﹣4k+1）＝0，
∴k2+2k，k2＝﹣2k，
∴
＝k k2k+2024
＝k（﹣2k）k+2024
＝﹣2k2﹣4k+2024
＝﹣2（k2+2k）+2024
＝﹣1+2024
＝2023．
故选：B．
7．（3分）某服装店营业员在卖T恤衫时发现，当T恤以每件80元销售时，每天销售量是20件，若单价每降低1元，每天就可以多售出4件，已知该体恤衫进价是每件40元，设每件T恤降价x元，如果服装店一天能赢利1000元，可列方程为（ ）
A．（40﹣x）（20+x）＝1000 B．（80﹣x）（20+x）＝1000
C．（40﹣x）（20+4x）＝1000 D．（80﹣x）（20+4x）＝1000
【思路点拔】设每件应降价x元，每天可以多销售的数量为4x件，每件的利润为（40﹣x），由总利润＝每件的利润×数量建立方程求出其解即可；
【解答】解：由题意，得（40﹣x）（20+4x）＝1000，
故选：C．
8．（3分）如图，点M是三边均不等的△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D、E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程2ax2+bx+c＝0（ ）
A．一定有两个相等实数根
B．一定有两个不相等实数根
C．有两个实数根，但无法确定是否相等
D．没有实数根
【思路点拔】先证△AMD和△AME全等得MD＝MEb，AD＝AE，再证∠BMC＝∠BDM，进而可证△MBC和△DBM相似，则CM：MD＝BM：BD，同理可证△MBC和△EMC相似，则CM：CE＝BM：ME，由此即可得出MD：BD＝CE：ME，进而得b2＝4ac，然后在对方程2ax2+bx+c＝0的根的判别式的符号进行判断即可得出结论．
【解答】解：∵AM是∠BAC的平分线，
∴∠DAM＝∠EAM，
∵DE⊥AM，
∴∠AMD＝∠AME＝90°，
在△AMD和△AME中，
，
∴△AMD≌△AME（ASA），
∴MD＝ME，AD＝AE，
∵DE＝b，
∴MD＝MEDEb，
设∠BAC＝α，
则∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，
∵BM，CM分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠MBC＝∠DBM∠ABC，∠MCB∠ACB，
∴∠MBC+∠MCB（∠ABC+∠ACB）＝90°α，
∴∠BMC＝180°﹣（∠MBC+∠MCB）＝180°﹣（90°α）＝90°α，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠BAC＝180°，
∴∠ADE（180°﹣∠BAC）＝90°α，
∴∠BDM＝180°﹣∠ADE＝180°﹣（90°α）＝90°α，
∴∠BMC＝∠BDM，
又∵∠MBC＝∠DBM，
∴△MBC∽△DBM，
∴CM：MD＝BM：BD，
即CM：BM＝MD：BD，
同理可证：△MBC∽△EMC，
∴CM：CE＝BM：ME，
即CM：BM＝CE：ME，
∴MD：BD＝CE：ME，
即MD ME＝BD CE，
∵MD＝MEb＞0，BD＝a＞0，CE＝c＞0，
∴b b＝ac，
∴b2＝4ac，
∵关于x的方程2ax2+bx+c＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4×2ac＝b2﹣8ac，
∴Δ＝4ac﹣8ac＝﹣4ac＜0，
∴关于x的方程2ax2+bx+c＝0没有实数根．
故选：D．
二．填空题（共16小题，满分48分，每小题3分）
9．（3分）关于x的一元二次方程a（x+m）2＝n两根是﹣3，2，则方程a（x2+x+m）2﹣n＝0的根是 x1＝﹣2，x2＝1 ．
【思路点拔】由题意得x2+x＝﹣3或x2+x＝2，再进一步求解即可．
【解答】解：由题意知，x2+x＝﹣3或x2+x＝2，
当x2+x＝﹣3，即x2+x+3＝0时，Δ＝12﹣4×1×3＝﹣11＜0，无实数根；
当x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0时，（x+2）（x﹣1）＝0，
则x+2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1；
故答案为：x1＝﹣2，x2＝1．
10．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0没有实数根．甲由于看错了某一项的符号，误求得两根为﹣1和4，则2b+3c的值为 6 ．
【思路点拔】对甲看错的符号进行分类讨论，再结合误求的两根，利用根与系数的关系得出b，c的值，进一步根据此方程没有实数根对b，c的值进行取舍，最后代入2b+3c即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0没有实数根，
所以b2﹣4c＜0．
因为因为甲看错了某一项的符号，误求得两根为﹣1和4，
则当甲看错b的符号时，
﹣1+4＝b，﹣1×4＝c，
解得b＝3，c＝﹣4，
此时b2﹣4c＞0，
故不符合题意，舍去．
当甲看错c的符号时，
﹣1+4＝﹣b，﹣1×4＝﹣c，
解得b＝﹣3，c＝4，
此时b2﹣4c＜0，
故符合题意，
所以2b+3c＝2×（﹣3）+3×4＝6．
故答案为：6．
11．（3分）已知x1、x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，则 7 ．
【思路点拔】根据x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则有，．利用根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣3，再利用完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2+x﹣3＝0的两根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣3，
＝1﹣2×（﹣3）
＝1+6
＝7，
故答案为：7．
12．（3分）已知a、b、c是△ABC的三边，关于x的方程c（x2+m）+b（x2﹣m）＝2ax＝0，当m＞0时有两个相等的实数根，则△ABC的形状是 直角 三角形．
【思路点拔】先把方程化为一般式为（b+c）x2﹣2ax﹣bm+cm＝0，再利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2a）2﹣4（b+c）（﹣bm+cm）＝0，整理得到a2+c2＝b2，然后根据勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形．
【解答】解：方程化为一般式为（b+c）x2﹣2ax﹣bm+cm＝0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（b+c）（﹣bm+cm）＝0，
∴4ma2﹣4m（b+c）（b﹣c）＝0，
∴a2﹣（b2﹣c2）＝0，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC为直角三角形．
故答案为：直角．
13．（3分）关于x的方程（x+3）（x﹣a）＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a≠﹣3的实数 ．
【思路点拔】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可以得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：原方程变形为：x2+（3﹣a）x﹣3a＝0，
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（3﹣a）2+12a＞0，即（a+3）2＞0，
∴a≠﹣3的实数．
故答案为：a≠﹣3的实数．
14．（3分）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2＝0的两个根记作an，bn（n≥2），则 ．
【思路点拔】由根与系数的关系得an+bn＝n+2，an bn＝﹣2n2，所以（an﹣2）（bn﹣2）＝anbn﹣2（an+bn）+4＝﹣2n2﹣2（n+2）+4＝﹣2n（n+1），则，然后代入即可求解．
【解答】解：由根与系数的关系得an+bn＝n+2，an bn＝﹣2n2，
所以（an﹣2）（bn﹣2）＝anbn﹣2（an+bn）+4＝﹣2n2﹣2（n+2）+4＝﹣2n（n+1），
则，
∴[（）+（）+…+（）]（）．
故答案为：．
15．（3分）若关于x的一元二次方程a（x﹣m）2﹣2a（x﹣m）＝0有实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，则m的取值范围是 ﹣1＜m＜1 ．
【思路点拔】先解一元二方程，再代入x1＜1＜x2列不等式组求解．
【解答】解：解方程得：x1＝m，x2＝m+2，
∵x1＜1＜x2，
∴m＜1，且m+2＞1，
解得：﹣1＜m＜1，
故答案为：﹣1＜m＜1．
16．（3分）已知m+n＝4，mn﹣p2+8p≥20，则mnp的值为 16 ．
【思路点拔】先由m+n＝4得m＝4﹣n，将其代入mn﹣p2+8p≥20后，将不等式整理并配方得（n﹣2）2+（p﹣4）2≤0，根据非负数的性质可得n＝2，p＝4，进而可得m＝2，再将m、n、p的值代入mnp即可得答案．
【解答】解：∵m+n＝4，
∴m＝4﹣n，
将m＝4﹣n代入mn﹣p2+8p≥20得：（4﹣n）n﹣p2+8p≥20，
整理后配方可得：（n﹣2）2+（p﹣4）2≤0，
∴n﹣2＝0，p﹣4＝0，
∴n＝2，p＝4，
∴m＝4﹣2＝2，
∴mnp＝2×2×4＝16，
故答案为：16．
17．（3分）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 1m ．
【思路点拔】由题意：剩余绿地的面积为224m2，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：根据题意得：（18﹣2x）（15﹣x）＝224，
整理得：x2﹣24x+23＝0，
解得：x1＝1，x2＝23（不符合题意，舍去），
即图中x的值为1m，
故答案为：1m．
18．（3分）为了喜迎元旦，某区筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块正方形的广场空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为6米，中间空白的面积为216平方米，若设正方形空地的边长为x米，则可列方程 （x﹣6）（x﹣6﹣6）＝216 ．
【思路点拔】若设正方形空地的边长为x米，则中间空白的长为（x﹣6）米，宽为（x﹣6﹣6）米，根据长方形面积公式即可列出方程．
【解答】解：根据题意，得（x﹣6）（x﹣6﹣6）＝216，
故答案为：（x﹣6）（x﹣6﹣6）＝216．
19．（3分）对于实数a，b，定义运算“*”：a*b．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根，则x1*x2＝ 30或﹣6 ．
【思路点拔】因式分解法解方程得出x的值，再依据公式分类求解可得．
【解答】解：∵（x+1））（x﹣5）＝0，
∴x+1＝0或x﹣5＝0，
解得：x＝﹣1或x＝5，
若x1＝﹣1，x2＝5时，x1*x2＝（﹣1）×5﹣（﹣1）2＝﹣6；
若x1＝5，x2＝﹣1时，x1*x2＝52﹣（﹣1）×5＝30，
故答案为：30或﹣6．
20．（3分）对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 3 ．
【思路点拔】分两种情况：当x≥﹣2时，当x＜﹣2时，然后按照定义新运算，进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当x≥﹣2时，
∵x （﹣2）＝10，
∴x2+x﹣2＝10，
x2+x﹣12＝0，
（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
x1＝﹣4（舍去），x2＝3，
当x＜﹣2时，
∵x （﹣2）＝10，
∴（﹣2）2+x﹣2＝10，
x＝8（舍去），
综上所述：x＝3，
故答案为：3．
21．（3分）如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为208平方米，设道路的宽为x米，则列方程为 （20﹣2x）（15﹣x）＝208 ．
【思路点拔】把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可．
【解答】解：设道路的宽为x米，由题意有
（20﹣2x）（15﹣x）＝208，
故答案为：（20﹣2x）（15﹣x）＝208．
22．（3分）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是 x1＝﹣2，x2＝﹣6 ．
【思路点拔】根据题意，将x+3看作一个整体，结合换元思想即可解决问题．
【解答】解：由题知，
将x+3看作一个整体．
因为方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，
所以x+3＝1或﹣3，
则x1＝﹣2，x2＝﹣6，
所以方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是x1＝﹣2，x2＝﹣6．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝﹣6．
23．（3分）如图，直线MN经过Rt△ABC的直角顶点C，动点D以1cm/s的速度从A出发，沿AC﹣CB移动到点B，动点E以2cm/s的速度从B出发，沿BC﹣CA移动到A，两动点中有一点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作MN的垂线，垂足分别为P、Q，若AC＝3cm，BC＝4cm，设运动时间为t s，则当t的值为 1或或6 时，以D、P、C为顶点的三角形与以E、Q、C为顶点的三角形全等．
【思路点拔】分三种情况讨论，当E在线段BC上时，此时D在线段AC上，当E在线段AC上，且D在线段AC上时，当E到达A时，且D在线段BC上，即可求解．
【解答】解：∵QE⊥MN，PD⊥MN，
∴△CEQ，△CDP分别以CE，CD为斜边的直角三角形，
∴当D、P、C为顶点的三角形与以E、Q、C为顶点的三角形全等时，DC＝CE，
当E在线段BC上，D在线段AC上时，此时0＜t≤2，则
CE＝（4﹣2t）cm，CD＝（3﹣t）cm，
∴4﹣2t＝3﹣t，
解得：t＝1；
当E在线段AC上，且D在线段AC上时，此时2＜t≤3，则
CE＝（2t﹣4）cm，CD＝（3﹣t）cm，
∴2t﹣4＝3﹣t，
解得：；
当E到达A时，且D在线段BC上，此时，则
CE＝3cm，CD＝（t﹣3）cm，
∴3＝t﹣3，
解得：t＝6，
综上所述：当t的值为1或或6时，以D、P、C为顶点的三角形与以E、Q、C为顶点的三角形全等．
故答案为：1或或6．
24．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有下列说法：
①若a﹣b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根为1；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实数根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则；
其中正确的是 ②④ ．（填序号）
【思路点拔】在ax2+bx+c＝0令x＝﹣1，可判断①错误；若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，可得b2﹣4ac＞0，判断②正确；若c是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，得ac2+bc+c＝0，如果c≠0，那么ac+b+1＝0，判断③错误；若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，可得（2ax0+b）2＝b2﹣4ac，判断④正确．
【解答】解：若a﹣b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根为﹣1，故①错误；
若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则ac＜0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，故②正确；
若c是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，则ac2+bc+c＝0，
如果c≠0，那么ac+b+1＝0，故③错误；
若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则bx0+c＝0，
∵a≠0，
∴4a24abx0+4ac＝0，
∴4a24abx0＝﹣4ac，
∴4a24abx0+b2＝b2﹣4ac，
∴（2ax0+b）2＝b2﹣4ac，故④正确；
∴正确的有②④；
故答案为：②④．
三．解答题（共19小题，满分285分，每小题15分）
25．（15分）已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
（3）如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且（x1﹣3）（x2﹣3）＝5m，求m的值．
【思路点拔】（1）当AB＝AD时，四边形ABCD是菱形，即方程 x2﹣mx0的两个实数根相等，根据根的判别式为0可得关于m的方程，解之可得m的值，再还原方程，求解可得；
（2）根据根与系数的关系可得，解之可得AD的长，继而得出周长；
（3）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1x2，代入到（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1x2﹣3（x1+x2）+9＝5m，解之可得．
【解答】解：（1）当AB＝AD时，四边形ABCD是菱形，即方程x2﹣mx0的两个实数根相等，
∴m2﹣4（）＝0，
解得：m＝1，
此时方程为x2﹣x0，
解得：x，
∴这时菱形的边长为；
（2）根据题意知，，
解得：AD，
∴平行四边形ABCD的周长是2×（2）＝5；
（3）∵方程的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝m，x1x2，
代入到（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1x2﹣3（x1+x2）+9＝5m，可得3m+9＝5m，
解得：m．
26．（15分）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12.所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式 10＝12+32 ；
（2）若x2﹣4x+3可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），则mn＝ ﹣2 ；
探究问题：
（3）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，则x+y＝ ﹣2 ；
（4）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展结论：
（5）已知实数x、y满足﹣x2x+y﹣2＝0，求5x﹣3y的最值．
【思路点拔】解决问题：
（1）把10拆成两个两个整数的平方即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，确定出m与n的值，即可求出mn的值；
探究问题：
（3）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出x+y的值；
（4）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可；
拓展结论：
（5）等式表示出y，代入x﹣2y中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．
【解答】解：解决问题：
（1）根据题意得：10＝12+32；
故答案为：10＝12+32；
（2）根据题意得：x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1
m＝2，n＝﹣1；
mn＝﹣2；
探究问题：
（3）已知等式变形得：（x2﹣2x+1）+（y2+6y+9）＝0，
即（x﹣1）2+（y+3）2＝0，
∵（x﹣1）2≥0，（y+3）2≥0，
∴x﹣1＝0，y+3＝0，
得：x＝1，y＝﹣3
则x+y＝1﹣3＝﹣2
故答案为：﹣2；
（4）当k＝8，S为“完美数”，理由如下：
S＝x2+9y2+4x﹣12y+8，
＝（x2+4x+4）+（9y2﹣12y+4），
＝（x+2）2+（3y﹣2）2，
∵x，y是整数，
∴x+2，3y﹣2也是整数，
∴S是一个“完美数”；
拓展结论：
（5）∵﹣x2x+y﹣2＝0，
∴﹣y＝﹣x2x﹣2，即﹣3y＝﹣3x2+7x﹣6，
5x﹣3y＝5x﹣3x2+7x﹣6，
＝﹣3（x﹣2）2+6，
当x＝2时，5x﹣3y最大，最大值为：6．
27．（15分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒．
（1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度；
（2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；
（3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）首先运用勾股定理求出AB边的长度，然后根据路程＝速度×时间，分别表示出BQ、PB的长度；
（2）由于∠B＝90°，如果△PBQ为等腰三角形，那么只有一种情况，即BP＝BQ，由（1）的结果，可列出方程，从而求出x的值；
（3）根据四边形APQC的面积＝△ABC的面积﹣△PBQ的面积，列出方程，根据解的情况即可判断．
【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AC＝10，BC＝6，
∴AB＝8．
∴BQ＝x，PB＝8﹣2x；
（2）由题意，得
8﹣2x＝x，
∴x．
∴当x时，△PBQ为等腰三角形；
（3）假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2，
则，
解得x1＝x2＝2．
假设成立，所以当x＝2时，四边形APQC面积的面积等于20cm2．
28．（15分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【思路点拔】（1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为4×8＝16，△PCQ的面积为t（8﹣2t），由题意列出方程解答即可；
（2）由等量关系S△PCQS△ABC列方程求出t的值，但方程无解．
【解答】解：（1）∵S△PCQt（8﹣2t），S△ABC4×8＝16，
∴t（8﹣2t）＝16，
整理得t2﹣4t+4＝0，
解得t＝2．
答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的；
（2）当S△PCQS△ABC时，
t（8﹣2t）＝16，
整理得t2﹣4t+8＝0，
Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，
∴此方程没有实数根，
∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．
29．（15分）阅读材料：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式Δ＝b2﹣4ac一定为完全平方数．现规定F（a，b，c）为该“快乐方程”的“快乐数“．例如“快乐方程”x2﹣3x﹣4＝0，的两根均为整数，其“快乐数”F（1，﹣3，﹣4），若有另一个“快乐方程”px2+qx+r＝0（p≠0）的“快乐数”F（p，q，r），且满足|r F（a，b，c）﹣c F（p，q，r）|＝0，则称F（a，b，c）与F（p，q，r）互为“开心数”．
（1）“快乐方程”x2﹣2x﹣3＝0的“快乐数”为 ﹣4 ；
（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0（m为整数，且1＜m＜6）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+m+1＝0与x2﹣（n+2）x+2n＝0（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值．
【思路点拔】（1）按照快乐数公式即可求解；
（2）按照快乐数公式即可求解；
（2）由x2﹣mxx+m+1＝0，求出m的值，再由x2﹣（n+2）x+2n＝0，求出F[1，﹣（n+2），2n]，分m＝5、m＝﹣1两种情况分别求出n的值．
【解答】解：（1）方程：x2﹣2x﹣3＝0的“快乐数F（1，﹣2，﹣3）；
故答案为：﹣4；
（2）程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0，Δ＝b2﹣4ac＝4m+13，
∵1＜m＜6，即：17＜4m+13＜37，
4m+13＝25或36，
∴m＝3，m（舍去），
方程变为：x2﹣5x＝0，
则F（1，﹣5，0），
故其“快乐数”数是；
（3）x2﹣mx+m+1＝0，
Δ＝（﹣m）2﹣4（m+1）＝（m﹣2）2﹣8，
设Δ＝a2，
则（m﹣2+a）（m﹣2﹣a）＝8，
（m﹣2+a）＝4或2或﹣4或﹣2，
（m﹣2﹣a）＝2或4或﹣2或﹣4，
解得m＝5或﹣1，
方程变为：x2﹣5x+6＝0或x2+x＝0；
x2﹣（n+2）x+2n＝0，
Δ＝（n﹣2）2，
F[1，﹣（n+2），2n]，
当m＝5时，2n×（）﹣6×[]＝0，
解得：n＝3或n（不合题意），
当m＝﹣1时，2n×（﹣1）﹣0＝0，
解得n＝0，
故：n＝0或3．
30．（15分）【阅读材料】若a2+b2﹣2a+1＝0，求a、b的值．
解：因为a2+b2﹣2a+1＝0，
所以（a2﹣2a+1）+b2＝0，
即（a﹣1）2+b2＝0，
因为（a﹣1）2和b2都是非负的，
所以（a﹣1）2＝0且b2＝0，
所以a＝1，b＝0．
【读后思考】若a2+2b2﹣2ab+2b+1＝0，则a＝ ﹣1 ，b＝ ﹣1 ；
【深入探索】若a2+3b2﹣2ab+8b+8＝0，求a+b的值；
【知识迁移】若a、b都是正整数，且满足a2+b2+4a﹣6b+3＝0，求a+b的值．
【思路点拔】读后思考：先利用配方法对原式进行变形，再根据偶次方的非负数求出a，b的值；
深入探索：先利用配方法对原式进行变形，再根据偶次方的非负数求出a，b的值，最后计算a+b即可；
知识迁移：先利用配方法对原式进行变形，再根据a、b都是正整数，求出a，b的值，最后计算a+b即可．
【解答】解：读后思考：∵a2+2b2﹣2ab+2b+1＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2+2b+1）＝0，
∴（a﹣b）2+（b+1）2＝0，
∵（a﹣b）2和（b+1）2都是非负的，
∴（a﹣b）2＝0且（b+1）2＝0，
∴a＝b＝﹣1，
故答案为：﹣1，﹣1．
深入探索：∵a2+3b2﹣2ab+8b+8＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+2（b2+4b+4）＝0，
∴（a﹣b）2+2（b+2）2＝0，
∵（a﹣b）2和（b+2）2都是非负的，
∴（a﹣b）2＝0且（b+2）2＝0，
∴a＝b＝﹣2，
∴a+b＝﹣4．
知识迁移：∵a2+b2+4a﹣6b+3＝0，
∴（a2+4a+4）+（b2﹣6b+9）﹣10＝0，
∴（a+2）2+（b﹣3）2＝10，
∵a、b都是正整数，
∴（a+2）2＝9，（b﹣3）2＝1或（a+2）2＝1，（b﹣3）2＝9，
当（a+2）2＝9，（b﹣3）2＝1时，
解得a＝1，b＝2，或a＝1，b＝4，
此时a+b＝3或5，
当（a+2）2＝1，（b﹣3）2＝9，
解得：a＝﹣1，b＝0（不符合题意，舍去），
综上，a+b的值为3或5．
31．（15分）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点
也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发．
①经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2；
②△PBQ的面积能否等于5cm2，并说明理由．
【思路点拔】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出△PQB的面积为，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．
【解答】解：如图，
①过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．
∵∠ABC＝30°，
∴2QE＝QB．
∴S△PQB PB QE．
设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，
则PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）．
根据题意， （6﹣t） t＝4．
t2﹣6t+8＝0．
t1＝2，t2＝4．
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2；
②当面积等于5时， （6﹣t） t＝5．
t2﹣6t+10＝0．
∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×10＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根，
所以△PBQ的面积不能等于5cm2，
32．（15分）我们已经学习了乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值．解答如下：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，
（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题．
（1）知识再现：当x＝ 2 时，代数式x2﹣4x+15的最小值是 11 ；
（2）知识运用：若y＝﹣x2+6x﹣15，当x＝ 3 时，y有最 大 值（填“大”或“小”），这个值是 ﹣6 ；
（3）知识拓展：若﹣x2+5x+y+10＝0，求y+x的最小值．
【思路点拔】（1）配方后即可确定最小值；
（2）将函数解析式配方后即可确定当x取何值时能取到最小值；
（3）首先得到有关x+y的函数关系式，然后配方确定最小值即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x+15＝（x﹣2）2+11，
∴当x＝2时，有最小值11；
故答案为：2，11；
（2）∵y＝﹣x2+6x﹣15＝﹣（x﹣3）2﹣6，
∴当x＝3时有最大值﹣6；
故答案为：3，大，﹣6；
（3）∵﹣x2+5x+y+10＝0，
∴x+y＝x2﹣4x﹣10＝（x﹣2）2﹣14，
∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2﹣14≥﹣14，
∴当x＝2时，y+x的最小值为﹣14．
33．（15分）仔细阅读下列解题过程：
若a2+2ab+2b2﹣6b+9＝0，求a、b的值．
解：∵a2+2ab+2b2﹣6b+9＝0
∴a2+2ab+b2+b2﹣6b+9＝0
∴（a+b）2+（b﹣3）2＝0
∴a+b＝0，b﹣3＝0
∴a＝﹣3，b＝3
根据以上解题过程，试探究下列问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0，求x+2y的值；
（2）已知a2+5b2﹣4ab﹣2b+1＝0，求a、b的值；
（3）若m＝n+4，mn+t2﹣8t+20＝0，求n2m﹣t的值．
【思路点拔】（1）首先把x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0利用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得x、y代入求得数值；
（2）、（3）仿照例题和（1）的解法，利用配方法计算即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0
∴x2﹣2xy+y2+y2﹣2y+1＝0
∴（x﹣y）2+（y﹣1）2＝0
∴x﹣y＝0，y﹣1＝0，
∴x＝1，y＝1，
∴x+2y＝3；
（2）∵a2+5b2﹣4ab﹣2b+1＝0
∴a2+4b2﹣4ab+b2﹣2b+1＝0
∴（a﹣2b）2+（b﹣1）2＝0
∴a﹣2b＝0，b﹣1＝0
∴a＝2，b＝1；
（3））∵m＝n+4，
∴n（n+4）+t2﹣8t+20＝0
∴n2+4n+4+t2﹣8t+16＝0
∴（n+2）2+（t﹣4）2＝0
∴n+2＝0，t﹣4＝0
∴n＝﹣2，t＝4
∴m＝n+4＝2
∴n2m﹣t＝（﹣2）0＝1．
34．（15分）如果方程x2+px+q＝0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知a、b是方程x2+15x+5＝0的二根，则 43
（2）已知a、b、c满足a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y22？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据a，b是x2+15x+5＝0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值．
（2）根据a+b+c＝0，abc＝16，得出a+b＝﹣c，ab，a、b是方程x2+cx0的解，再根据c2﹣4 0，即可求出c的最小值．
（3）运用根与系数的关系求出x1+x2＝1，x1 x2＝k+1，再解y1y22，即可求出k的值．
【解答】解：（1）∵a、b是方程x2+15x+5＝0的二根，
∴a+b＝﹣15，ab＝5，
∴43，
故答案为：43；
（2）∵a+b+c＝0，abc＝16，
∴a+b＝﹣c，ab，
∴a、b是方程x2+cx0的解，
∴c2﹣4 0，c20，
∵c是正数，
∴c3﹣43≥0，c3≥43，c≥4，
∴正数c的最小值是4．
（3）存在，当k＝﹣2时，．
由x2﹣y+k＝0变形得：y＝x2+k，
由x﹣y＝1变形得：y＝x﹣1，把y＝x﹣1代入y＝x2+k，并整理得：x2﹣x+k+1＝0，
由题意思可知，x1，x2是方程x2﹣x+k+1＝0的两个不相等的实数根，故有：
即：
解得：k＝﹣2．
35．（15分）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝x cm（x≠0），则AP＝2x cm，CM＝3x cm，DN＝x2cm．
（1）当x为何值时，点P、N重合；
（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
【思路点拔】（1）由于若BQ＝x cm（x≠0），则AP＝2x cm，CM＝3x cm，DN＝x2cm，而点P、N重合，那么2x+x2＝20，解这个方程即可求出x的值；
（2）由于当N点到达A点时，x＝2，此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧．
以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时分两种情况：
①当点P在点N的左侧时，由此即可得到关于x的方程，解方程即可；
②当点P在点N的右侧时，由此也可以列出关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵P，N重合，
∴2x+x2＝20，
∴，（舍去），
∴当时，P，N重合；
（2）因为当N点到达A点时，x＝2，此时M点和Q点还未相遇，
所以点Q只能在点M的左侧，
①当点P在点N的左侧时，依题意得
20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x2），
解得x1＝0（舍去），x2＝2，
当x＝2时四边形PQMN是平行四边形；
②当点P在点N的右侧时，依题意得
20﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣20，
解得x1＝﹣10（舍去），x2＝4，
当x＝4时四边形NQMP是平行四边形，
所以当x＝2或x＝4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
36．（15分）阅读下面的材料：
解方程x4﹣7x2+12＝0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为：y2﹣7y+12＝0，解得y1＝3，y2＝4，当y＝3时，x2＝3，x＝±，当y＝4时，x2＝4，x＝±2．∴原方程有四个根是：x1，x2，x3＝2，x4＝﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0；
（2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10＝0，试求a2+b2的值．
【思路点拔】（1）设y＝x2+x，则由已知方程得到：y2﹣5y+4＝0，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于x的一元二次方程；
（2）设x＝a2+b2，则由已知方程得到：x2﹣3x﹣10＝0，利用因式分解法求得该方程的解即可．
【解答】解：（1）设y＝x2+x，则y2﹣5y+4＝0，
整理，得
（y﹣1）（y﹣4）＝0，
解得y1＝1，y2＝4，
当x2+x＝1即x2+x﹣1＝0时，解得：x；
当当x2+x＝4即x2+x﹣4＝0时，解得：x；
综上所述，原方程的解为x1，2，x3，4；
（2）设x＝a2+b2，则x2﹣3x﹣10＝0，
整理，得
（x﹣5）（x+2）＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣2（舍去），
故a2+b2＝5．
37．（15分）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3是x2﹣2x+4的一种形式的配方，（x﹣2）2+2x是x2﹣2x+4的另一种形式的配方…
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+1的两种不同形式的配方；
（2）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求2x﹣y的值；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求a+b+c的值．
【思路点拔】（1）由题中所给的已知材料可得x2﹣4x+1可拆分常数项、一次项两种不同形式；
（2）通过配方后，求得x，y的值，再代入代数式求值．
（3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．
【解答】解：（1）x2﹣4x+1的两种配方分别为：
x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
x2﹣4x+1＝（x﹣1）2﹣2x；
（2）由x2+y2﹣4x+6y+13＝0得：x2﹣4x+4+y2+6y+9＝0，
∴（x﹣2）2+（y+3）2＝0
解得：x＝2，y＝﹣3
∴2x﹣y＝4+3＝7；
（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4
＝（a2﹣abb2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1）
＝（a2﹣abb2）（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1）
＝（ab）2（b﹣2）2+（c﹣1）2＝0，
从而有ab＝0，b﹣2＝0，c﹣1＝0，
即a＝1，b＝2，c＝1，
故a+b+c＝4．
38．（15分）某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡镇全体贫困初、高中学生进行资助，初中学生每月资助200元，高中学生每月资助300元．已知该乡受资助的初中学生人数是受资助的高中学生人数的2倍，且该企业在2018年下半年7﹣12月这6个月资助学生共支出10.5万元．
（1）问该乡镇分别有多少名初中学生和高中学生获得了资助？
（2）2018年7﹣12月期间，受资助的初、高中学生中，分别有30%和40%的学生被评为优秀学生，从而获得了该乡镇政府的公开表扬．同时，提供资助的企业为了激发更多受资助学生的进取心和学习热情，决定对2019年上半年1﹣6月被评为优秀学生的初中学生每人每月增加a%的资助，对被评为优秀学生的高中学生每人每月增加2a%的资助．在此奖励政策的鼓励下，2019年1﹣6月被评为优秀学生的初、高中学生分别比2018年7﹣12月的人数增加了3a%、a%．这样，2019年上半年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元，求a的值．
【思路点拔】（1）先将10.5万元化为105000元，设该乡镇有x名高中学生获得了资助，则该乡镇有2x名初中学生受到资助，由题意得一元一次方程，求解即可；
（2）以“2019年上半年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元”为等量关系，列出方程，然后设a%＝t，化为关于t的一元二次方程，求解出t，再根据a%＝t，求得a即可．
【解答】解：（1）10.5万元＝105000元
设该乡镇有x名高中学生获得了资助，则该乡镇有2x名初中学生受到资助，由题意得：
（200×2x+300x）×6＝105000
解得：x＝25
∴2x＝50
∴该乡镇分别有50名初中学生和25名高中学生获得了资助．
（2）由题意得：
50×30%×（1+3a%）×200（1+a%）+25×40%×（1+a%）×300（1+2a%）＝10800
∴10×（1+3a%）×（1+a%）+10×（1+a%）×（1+2a%）＝36
设a%＝t，则方程化为：10（1+4t+3t2）+10（1+3t+2t2）＝36
∴25t2+35t﹣8＝0
解得t＝﹣1.6（舍）或t＝20%
∴a＝20．
39．（15分）阅读以下材料：
我们给出如下定义：对于关于x的多项式，若当x+m取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于x＝﹣m对称，称x＝﹣m是它的对称轴．例如，x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．观察可以发现，当x﹣2取任意一对互为相反数的值时，多项式x2﹣4x+3的值是相等的，则称x2﹣4x+3关于x＝2对称，x＝2是它的对称轴．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）将多项式x2+6x+4变形为（x+m）2+n的形式，并求出它的对称轴；
（2）若关于x的多项式x2﹣kx+4关于x＝3对称，则k＝ 6 ；
（3）代数式（x2+2x+1）（x2﹣16x+64）的对称轴是直线x＝ ．
【思路点拔】（1）先将多项式进行变形，再根据题目中的对称轴的定义求解即可；
（2）先将多项式进行变形，即x2﹣kx+4＝（x）2+4，且关于x＝3对称，再根据题目中的对称轴的定义求解即可；
（3）先将代数式进行变形，即代数式（x2+2x+1）（x2﹣16x+64）＝[（x）2]2，再根据题目中的对称轴的定义求解即可．
【解答】解：（1）x2+6x+4
＝x2+6x+9﹣9+4
＝（x+3）2﹣5；
∴对称轴为直线x＝﹣3．
（2）∵x2﹣kx+4＝（x）2+4，且关于x＝3对称，
∴x3，
∴k＝6，
故答案为：6．
（3）∵代数式（x2+2x+1）（x2﹣16x+64）
＝（x+1）2（x﹣8）2
＝[（x+1）（x﹣8）]2
＝（x2﹣7x﹣8）2
＝[（x）2]2，
∴原式的对称轴是直线x，
故答案为：．
40．（15分）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
【思路点拔】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，SQC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．
【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t，
∴St（10﹣t）（10t﹣t2），
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10，
∴St（t﹣10）（t2﹣10t）．
（2）∵S△ABC，
∴当t＜10秒时，S△PCQ，
整理得t2﹣10t+100＝0，此方程无解，
当t＞10秒时，S△PCQ，
整理得t2﹣10t﹣100＝0，解得t＝5±5（舍去负值），
∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC．
（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，
易证△APE≌△QCM，
∴AE＝PE＝CM＝QMt，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．
又∵EM＝AC＝10∴DE＝5
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
同理，当点P在点B右侧时，DE＝5
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
41．（15分）请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x所以x．
把x代入已知方程，得（）21＝0
化简，得y2+2y﹣4＝0
故所求方程为y2+2y﹣4＝0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为： y2﹣y﹣2＝0 ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【思路点拔】根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程．
【解答】解：（1）设所求方程的根为y，则y＝﹣x所以x＝﹣y．
把x＝﹣y代入已知方程，得y2﹣y﹣2＝0，
故所求方程为y2﹣y﹣2＝0；
（2）设所求方程的根为y，则y（x≠0），于是x（y≠0）
把x代入方程ax2+bx+c＝0，（a≠0），得a（）2+b c＝0
去分母，得a+by+cy2＝0．
若c＝0，有ax2+bx＝0，即x（ax+b）＝0，
可得有一个解为x＝0，不符合题意，因为题意要求方程ax2+bx+c＝0有两个不为0的根．
故c≠0，
故所求方程为cy2+by+a＝0（c≠0），（a≠0）．
42．（15分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0
解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
∴x2﹣4＞0可化为
（x+2）（x﹣2）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
，
解不等式组①，得x＞2，
解不等式组②，得x＜﹣2，
∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，
即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．
（1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为 x＞4或x＜﹣4 ；
（2）分式不等式的解集为 x＞3或x＜1 ；
（3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0．
【思路点拔】（1）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可；
（2）据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；
（3）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可；
【解答】解：（1）∵x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）
∴x2﹣16＞0可化为
（x+4）（x﹣4）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
解不等式组①，得x＞4，
解不等式组②，得x＜﹣4，
∴（x+4）（x﹣4）＞0的解集为x＞4或x＜﹣4，
即一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为x＞4或x＜﹣4．
（2）∵
∴或
解得：x＞3或x＜1
（3）∵2x2﹣3x＝x（2x﹣3）
∴2x2﹣3x＜0可化为
x（2x﹣3）＜0
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得
或
解不等式组①，得0＜x，
解不等式组②，无解，
∴不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x．
43．（15分）书籍是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好．
问题1：现有精装词典长、宽、厚尺寸如图（1）所示（单位：cm），若按图（2）的包书方式，将封面和封底各折进去3cm．试用含a、b、c的代数式分别表示词典封皮（包书纸）的长是 2b+c+6 cm，宽是 a cm；
问题2：在如图（4）的矩形包书纸皮示意图中，虚线为折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长即为折叠进去的宽度．
（1）若有一数学课本长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm，小海宝用一张面积为1260cm2的矩形纸包好了这本数学书，封皮展开后如图（4）所示．若设正方形的边长（即折叠的宽度）为x cm，则包书纸长为 2x+38 cm，宽为 2x+26 cm（用含x的代数式表示）．
（2）请帮小海宝列好方程，求出第（1）题中小正方形的边长x cm．
【思路点拔】问题1：结合图形，列出代数式即可；
问题2：（1）设折叠进去的宽度为xcm．列出代数式即可；
（2）由图（1）给出的条件，用折叠进去的宽度表示出矩形的长和宽，然后根据矩形的面积为1260cm2列出方程，求解即可；
【解答】解：问题1：（2b+c+6）；a，
问题2：（1）26+2x，18.5×2+1+2x＝38+2x；
（2）设折进去的宽度为xcm，列方程得：
（38+2x）（26+2x）＝1260，
988+128x+4x2＝1260，
x2+32x﹣68＝0，
x1＝2 x2＝﹣34（舍去），
折进去的宽度为2cm．
∴x＝2．
答：小正方形的边长为2cm．
