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正多边形和圆 选择题专练
1．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则的长为（ ）
A． B． C． D．π
2．为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是（ ）
A．90° B．99° C．108° D．135°
3．如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是（ ）
A．a＜b B．a＝b
C．a＞b D．a，b大小无法比较
4．如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO＝8，S△CDO＝2，则S正六边形ABCDEF的值是（ ）
A．20 B．30
C．40 D．随点O位置而变化
5．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
6．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图所示的正六边形ABCDEF中，点M是边EF的中点，连接AE，CM，相交于点N．若正六边形ABCDEF的面积为12，阴影部分①的面积为a，阴影部分②的面积为b，则b﹣a的值是（ ）
A． B．1 C． D．2
8．如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．如图，正五边形ABCDE的外接圆为⊙O，点P是劣弧DE上一点，连接AC、AP、CP，则∠ACP+∠CAP的度数是（ ）
A．72° B．108° C．128° D．144°
10．如图，正五边形ABCDE中，AB＝6，连接AC，点O在线段AC上，连接OB，OD，OE将五边形分成面积为S1，S2，S3，S4，S5的五部分，则下列式子不能确定大小的是（ ）
A．S1+S2 B．S3+S5 C．S1+S2+S4 D．S2+S3
11．一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）．图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．S变化，l不变 B．S不变，l变化
C．S变化，l变化 D．S与l均不变
12．如图，点O是正六边形ABCDEF对角线DF上的一点，若S正六边形ABCDEF＝30，则阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．15
C．20 D．随点O位置而变化
13．如图，画出了⊙O的内接正四边形和内接正五边形，且点A在B，C之间，则∠ABC＝（ ）
A．6° B．9° C．12° D．18°
14．如图，一个正多边形纸片被一块矩形挡板遮住一部分，则这个正多边形纸片的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
15．如图，将5个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形图案，设小正五边形边长为1，则大正五边形边长为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD、CE为边作正方形，则两个阴影部分的面积差a﹣b的值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．
17．如图，BD，DF是正六边形ABCDEF的两条对角线，已知四边形ABDF的面积为8，则阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．4 C． D．
18．如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
19．如图，将边长为6的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S2），则S1与S2的关系为（ ）
A．S1S2 B．S1S2 C．S1＝S2 D．S1S2中小学教育资源及组卷应用平台
正多边形和圆 选择题专练
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B A B C C D C B D D
题号 12 13 14 15 16 17 18 19
答案 B B C D C B D B
1．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则的长为（ ）
A． B． C． D．π
【思路点拔】连接OC、OB，求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可．
【解答】解：连接OB，OC，OD，
∵多边形ABCDEF为正六边形，
∴∠COB＝∠COD＝360°60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝1，
∴弧BC的长为π．
故选：C．
2．为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则∠FME的度数是（ ）
A．90° B．99° C．108° D．135°
【思路点拔】根据正五边形的内角的计算方法求出∠CDE、∠E，根据正方形的性质分别求出∠CDF、∠CFD，根据四边形内角和等于360°计算即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠CDE＝∠E108°，
∵四边形CDFG为正方形，
∴∠CDF＝90°，∠CFD＝45°，
∴∠FDE＝108°﹣90°＝18°，∠DFM＝180°﹣45°＝135°，
∴∠FME＝360°﹣18°﹣135°﹣108°＝99°，
故选：B．
3．如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是（ ）
A．a＜b B．a＝b
C．a＞b D．a，b大小无法比较
【思路点拔】利用三角形的三边关系，正多边形的性质证明即可．
【解答】解：连接P4P5，P5P6．
∵点P1～P8是⊙O的八等分点，
∴P3P4＝P4P5＝P5P6＝P6P7，P1P7＝P1P3＝P4P6，
∴b﹣a＝P3P4+P7P6﹣P1P3，
∵P5P4+P5P6＞P4P6，
∴P3P4+P7P6＞P1P3，
∴b﹣a＞0，
∴a＜b，
故选：A．
4．如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO＝8，S△CDO＝2，则S正六边形ABCDEF的值是（ ）
A．20 B．30
C．40 D．随点O位置而变化
【思路点拔】正六边形ABCDEF的面积＝S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC，由正六边形每个边相等，每个角相等可得FDAF，过E作FD垂线，垂足为M，利用解直角三角形可得△FED的高，即可求出正六边形的面积．
【解答】解：设正六边形ABCDEF的边长为x，
过E作FD的垂线，垂足为M，连接AC，
∵∠FED＝120°，FE＝ED，
∴∠EFD＝∠FDE，
∴∠EDF（180°﹣∠FED）
＝30°，
∵正六边形ABCDEF的每个角为120°．
∴∠CDF＝120°﹣∠EDF＝90°．
同理∠AFD＝∠FAC＝∠ACD＝90°，
∴四边形AFDC为矩形，
∵S△AFOFO×AF，
S△CDOOD×CD，
在正六边形ABCDEF中，AF＝CD，
∴S△AFO+S△CDOFO×AFOD×CD
（FO+OD）×AF
FD×AF
＝10，
∴FD×AF＝20，
DM＝cos30°DEx，
DF＝2DMx，
EM＝sin30°DE，
∴S正六边形ABCDEF＝S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC
＝AF×FD+2S△EFD
＝x x+2x x
x2x2
x2
（AF×FD）
＝30，
故选：B．
5．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
【思路点拔】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2小于等于1，由此即可判断．
【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2小于等于1，
故选：C．
6．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拔】先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可．
【解答】解：如图，
∵三角形的斜边长为a，
∴两条直角边长为a，a，
∴S空白a aa2，
∵AB＝a，
∴OCa，
∴S正六边形＝6a aa2，
∴S阴影＝S正六边形﹣S空白a2a2a2，
∴5，
法二：因为是正六边形，所以△OAB是边长为a的等边三角形，即两个空白三角形面积为S△OAB，即5
故选：C．
7．如图所示的正六边形ABCDEF中，点M是边EF的中点，连接AE，CM，相交于点N．若正六边形ABCDEF的面积为12，阴影部分①的面积为a，阴影部分②的面积为b，则b﹣a的值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【思路点拔】根据题意得到b﹣a＝（b+S△NME）﹣（a+S△NME）＝S四边形CDEM﹣S△AEF，根据正六边形的性质分别求出 S四边形CDEM，S△AEF即可．
【解答】解：连接AD，BE，CF，CE，如图所示：
设BE与CF相交于点O，
∴O为正六边形ABCDEF的外心，
∴CF是圆O的直径，2∠CEF＝90°，O是CF的中点，
由正六边形的对称性可知：S△ABO＝S△BCO＝S△CDO＝S△DEO＝S△EFO＝S△AFO＝2，
∠AOF＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝360°÷6＝60°，
∴△AOF，△AOB，△BOC，△COD，△DOE，△EOF是全等的等边三角形，
∴四边形AOEF，四边形OCDE是菱形，
∴△AEF的面积菱形AOEF的面积（S△AFO+S△EFO）＝2，
同理，S△CDE菱形OCDE的面积（S△CDO+S△DEO）＝2，
∵S四边形CDEF＝S△CDO+S△DEO+S△EFO＝S△CDE+S△CEF＝6，
∴S△CEF＝4，
∵点M是边EF的中点，
∴S△CFM＝S△CEF＝2，
∵S四边形CDEF＝S△CFM+S四边形CDEM，
∴S四边形CDEM＝6﹣2＝4，
b﹣a＝（b+S△NME）﹣（a+S△NME）＝S四边形CDEM﹣S△AEF＝4﹣2＝2，
故选：D．
8．如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【思路点拔】由完全拼成一个圆环需要的正五边形为n个，则围成的多边形为正n边形，利用正五边形的内角与夹角计算出正n边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可．
【解答】解：∵正五边形的每个内角为180°×（5﹣2）÷5＝108°，
∴组成的正多边形的每个内角为360°﹣2×108°﹣24°＝120°，
∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，
∴形成的正多边形为正n边形，则，
解得：n＝6．
故选：C．
9．如图，正五边形ABCDE的外接圆为⊙O，点P是劣弧DE上一点，连接AC、AP、CP，则∠ACP+∠CAP的度数是（ ）
A．72° B．108° C．128° D．144°
【思路点拔】求出正五边形的内角度数，由圆的内接四边形对角互补，求出∠P，再利用三角形内角和求出答案即可．
【解答】解：∵正五边形ABCDE的内角和为180°（5﹣2）＝540°，
∴∠B＝540°÷5＝108°，
∵四边形ABCP是圆的内接四边形，
∴∠P＝180°﹣108°＝72°，
在三角形ACP中，
∠ACP+∠CAP＝180°﹣72°＝108°，
故选：B．
10．如图，正五边形ABCDE中，AB＝6，连接AC，点O在线段AC上，连接OB，OD，OE将五边形分成面积为S1，S2，S3，S4，S5的五部分，则下列式子不能确定大小的是（ ）
A．S1+S2 B．S3+S5 C．S1+S2+S4 D．S2+S3
【思路点拔】当三角形ABC面积一定时，判断A不符合题意；利用等高性质判断三角形ODE面积一定，判断出B不符合题意；综合A和B即可判断C的正确性；分析动点O的变化可判断出D符合题意．
【解答】解：由图得，S1+S2为△ABC的面积，
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB＝BC＝6，∠ABC＝108°，
∴△ABC的面积是能确定的，故A不符合题意；
由图得，AC∥DE，即AC与DE之间的距离一定，
∵DE＝AB＝6，
∴S4可以确定，
∵梯形ACDE面积一定，
∴S3+S5可以确定，故B不符合题意；
当S1+S2和S4可以确定时，S1+S2+S4即可以确定，故C不符合题意；
由图得，当点P靠近点C时S2+S3面积变小，
当点P靠近点A时S2+S3面积变大，
∴S2+S3的面积不能确定大小，故D符合题意．
故选：D．
11．一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）．图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．S变化，l不变 B．S不变，l变化
C．S变化，l变化 D．S与l均不变
【思路点拔】如图，连接OA，OC．证明△HOC≌△GOA（ASA），可得结论．
【解答】解：如图，连接OA，OC．
∵∠HOG＝∠AOC＝120°，∠OCH＝∠OAG＝60°，
∴∠HOC＝∠GOA，
在△OHC和△OGA中，
，
∴△HOC≌△GOA（ASA），
∴AG＝CH，
∴S阴＝S四边形OABC＝定值，l＝GB+BC+CH＝AG+BG+BC＝2BC＝定值，
故选：D．
12．如图，点O是正六边形ABCDEF对角线DF上的一点，若S正六边形ABCDEF＝30，则阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．15
C．20 D．随点O位置而变化
【思路点拔】根据三角形的面积公式确定出三角形ACO的面积和三角形ACF的面积相等，再根据正六边形的性质得到△ABC≌△FED，从而推出阴影部分的面积S正六边形ABCDEF＝15．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝FE，BC＝ED，∠ABC＝∠FED，
∴△ABC≌△FED，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠B＝∠BAF＝∠AFE＝120°，
∵BC＝ED，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴∠CAF＝90°，
同理∠AFD＝∠FDC＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
连接CF，
∵四边形ACDF是矩形，
∴S△ACF＝S△DCF
根据三角形面积公式可得：
S△ACO＝S△ACF，
∴S△ABC+S△ACO＝S△FED+S△FCD，
即：阴影部分的面积S正六边形ABCDEF＝15．
故选：B．
13．如图，画出了⊙O的内接正四边形和内接正五边形，且点A在B，C之间，则∠ABC＝（ ）
A．6° B．9° C．12° D．18°
【思路点拔】连接OB，OA，OC，根据正多边形的性质可得∠BOA＝72°，∠BOC＝90°，进而得到∠AOC＝18°，最后根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：如图，连接OB，OA，OC，
则，°，
∴∠AOC＝90°﹣72°＝18°，
则．
故选：B．
14．如图，一个正多边形纸片被一块矩形挡板遮住一部分，则这个正多边形纸片的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【思路点拔】先根据正多边形的定义把图形补充完整，再求解．
【解答】解：根据正多边形的定义把多边形补充完整如图；
有图形得：这个正多边形纸片是六边形，
故选：C．
15．如图，将5个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形图案，设小正五边形边长为1，则大正五边形边长为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据多边形的内角和定理得到∠ABE108°，等量代换得到∠CBE+∠ABC＝∠BAC+∠ABC＝108°，如图，作∠ACB的平分线CD交AB于D，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：在正五边形ABEFG中，∠ABE108°，
∵将5个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形图案，
∴∠CBE+∠ABC＝∠BAC+∠ABC＝108°，
如图，作∠ACB的平分线CD交AB于D，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB+∠BAC+∠ABC＝108°+∠ACB＝180°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠BAC＝36°，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠BAC＝36°，
∴∠BCD＝∠BAC，AD＝CD＝BC，
∴△ABC∽△CBD，
∴，
∵AB＝BC+1，
∴BD＝AB﹣AD＝AB﹣BC＝1，
∴，
∴BC，
∴AB＝BC+1，
故选：D．
16．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD、CE为边作正方形，则两个阴影部分的面积差a﹣b的值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．
【思路点拔】求出两个正方形的面积，可得结论．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为1，
∴AD＝2，EC，
∴AD为边的正方形的面积为4，EC为边的正方形的面积为3，
∵a+空白＝4，b+空白＝3，
∴两个阴影部分的面积差a﹣b＝4﹣3＝1，
故选：C．
17．如图，BD，DF是正六边形ABCDEF的两条对角线，已知四边形ABDF的面积为8，则阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【思路点拔】根据正六边形以及平行线的性质得出S△BCD＝S△BOD＝S△AOBS四边形AFDB＝2即可．
【解答】解：如图，连接AD，则AD过正六边形ABCDEF的外接圆的圆心O，连接OB，
由对称性可知，S△ABD＝S△FADS四边形AFDB＝4，S△BCD＝S△DEF，
∵正六边形ABCDEF，
∴∠AOB60°，BC∥AD，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝BC，
∴S△BCD＝S△BOD＝S△AOB，
∴S阴影部分＝S△ABD＝4，
故选：B．
18．如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【思路点拔】由题意得出拼成的四边形的面积是正六边形面积的六分之一，求出正六边形的面积，即可得出结果．
【解答】解：根据题意得：正六边形的面积＝6×2＝12，
故纸片的剩余部分拼成的五边形的面积＝12﹣2＝10；
故选：D．
19．如图，将边长为6的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S2），则S1与S2的关系为（ ）
A．S1S2 B．S1S2 C．S1＝S2 D．S1S2
【思路点拔】由正六边形的性质的长的长，根据扇形面积公式弧长×半径，可得结果．
【解答】解：由题意：的长度＝24，
∴S224×6＝72，
∵S16×36＝54，
∴，
∴S1S2．
故选：B．
