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浙教版（2024）七年级上册期末复习培优试题训练
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B D C C D B B A D B
题号 12 13 14 15 16 17 18
答案 C C C B C B B
一．选择题（共18小题）
1．餐桌对于我们中国人有着非同一般的意义，它承载着家庭团圆的欢声笑语，如图为一张圆形木质餐桌，则其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据从上边看得到的图形是俯视图，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【解答】解：上边看，可得选项D的图形．
故选：D．
2．某市有近3万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取600名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．这600名考生是总体的一个样本
B．每位考生的数学成绩是个体
C．近3万名考生是总体
D．600名学生是样本容量
【思路点拔】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A、这600名考生的数学成绩是总体的一个样本，原题说法错误，故本选项不合题意；
B、每位考生的数学成绩是个体，原题说法正确，故本选项符合题意；
C、近3万名考生的数学成绩是总体，原题说法错误，故本选项不合题意；
D、600是样本容量，原题说法错误，故本选项不合题意．
故选：B．
3．某商品原先的利润率为20%，为了促销，现降价20元销售，此时利润率下降为10%．那么这种商品的进价是（ ）元．
A．20 B．100 C．150 D．200
【思路点拔】设这种商品的进价是x元，根据降价20元后的利润率下降为10%，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这种商品的进价是x元，
根据题意得：20%x﹣20＝10%x，
解得：x＝200，
∴这种商品的进价是200元．
故选：D．
4．如图，点M、点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，AC＝2BC，若MC＝2，则AB的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【思路点拔】先设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，AB＝3x，MB＝MC+BC＝2+x，然后根据线段中点的定义得AM＝MCAB，据此可得2+x3x，由此解出x即可得线段AB的长．
【解答】解：设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，
∴AB＝AC+BC＝2x+x＝3x，MB＝MC+BC＝2+x，
∵点M为AB的中点，
∴AM＝MCAB，
∴2+x3x，
解得：x＝4，
∴AB＝3x＝12．
故选：C．
5．一列火车正在匀速行驶，它先用30s的时间通过了一条长280m的桥（即从车头进入桥头到车尾离开桥尾），又用20s的时间通过了一条长为120m的桥，这列火车的长度是（ ）
A．160m B．180m C．200m D．220m
【思路点拔】先设这列火车的长度是x m，然后根据一列火车匀速行驶，可以列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设这列火车的长度是x m，
由题意可得：，
解得x＝200，
答：这列火车的长度是200m，
故选：C．
6．如图，将一副三角尺（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝160°，则下列说法错误的是（ ）
A．∠A＝∠B＝45° B．∠AOC＝∠BOD＝70°
C．∠BOC+∠AOD＝180° D．∠BOC+∠D＝60°
【思路点拔】根据△AOB和△COD是一副三角尺，结合图形可得∠A＝∠B＝45°，由此可对选项A进行判断；由∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝160°，得∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝20°，进而得∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝70°，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝70°，由此可对选项B进行判断；由∠BOC＝20°，∠AOD＝160°，得∠BOC+∠AOD＝180°，由此可对选项C进行判断；根据∠D＝30°，∠BOC＝20°，得∠BOC+∠D＝50°，由此可对选项D进行判断；综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵△AOB和△COD是一副三角尺，
∴∠A＝∠B＝45°，
故选项A正确，不符合题意；
∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝160°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝90°+90°﹣160°＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣20°＝70°，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣20°＝70°，
∴∠AOC＝∠BOD＝70°，
故选项B正确，不符合题意；
∵∠BOC＝20°，∠AOD＝160°，
∴∠BOC+∠AOD＝20°+160°＝180°，
故选项C正确，不符合题意；
∵∠D＝30°，∠BOC＝20°，
∴∠BOC+∠D＝30°+20°＝50°，
故选项D不正确，符合题意．
故选：D．
7．如图，三角形纸片ABC中，点D、E、F分别在边BC，AB，AC上，连接DE，DF，将△BDE、△CDF分别沿DE、DF对折，使点B、C落在点B'、C'处，若B'D恰好平分∠EDC'，且∠EDF＝99.5°，则∠EDC'的度数为（ ）
A．37° B．38° C．39° D．40°
【思路点拔】设∠BDE＝x，∠CDF＝y，则∠B′DE＝∠BDE＝2x，∠FDC′＝∠CDF＝y，根据B'D恰好平分∠EDC'可知∠B′DE＝∠B′DC′＝x，根据∠EDF＝99.5°及平角的定义得出关于x，y的方程组，求出x的值，进而可得出结论．
【解答】解：设∠BDE＝x，∠CDF＝y，
∵△B′DE由△BDE翻折而成，△C′DF由△CDF翻折而成，
∴∠B′DE＝∠BDE＝2x，∠FDC′＝∠CDF＝y，
∵B'D恰好平分∠EDC'，
∴∠B′DE＝∠B′DC′＝x，
∵∠EDF＝99.5°，∠BDE+∠B′DE+∠B′DC′+∠C′DF+∠CDF＝180°，
∴，
解得x＝19°，
∴∠EDC'＝2x＝38°．
故选：B．
8．将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，CE、CF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B'、D'，若∠ECF＝22°，则∠B'CD'的度数为（ ）
A．48° B．46° C．44° D．42°
【思路点拔】由折叠的性质可得，∠BCF＝∠B′CF∠BCB′，∠DCE＝D′CE∠DCD′；可设∠D′CF＝α，∠B′CE＝β，则∠D′CE＝∠ECF+∠D′CF＝22°+α，∠B′CF＝∠ECF+∠B′CE＝22°+β，∠BCB′＝2∠B′CF＝2（22°+β），∠DCD′＝2∠D′CE＝2（22°+α）；∠BCD′＝90°﹣∠DCD′＝90°﹣2（22°+α），∠DCB′＝90°﹣∠BCB′＝90°﹣2（22°+β），∠B′CD′＝∠D′CF+∠ECF+∠B′CE＝α+22°+β；令∠B′CD′＝α+22°+β＝θ，根据∠B′CD′＝90°﹣（∠BCD′+∠DCB′），可列式：α+22°+β＝90°﹣[90°﹣2（22°+α）]﹣[90°﹣2（22°+β）]，整理可得：α+22°+β＝2（α+22°+β）﹣46°，即θ＝2θ﹣46°，解得：θ＝46°，进而可得∠B'CD'＝46°．
【解答】解：由折叠的性质可得，∠BCF＝∠B′CF∠BCB′，∠DCE＝D′CE∠DCD′，
∵纸片ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
设∠D′CF＝α，∠B′CE＝β，则：
∠D′CE＝∠ECF+∠D′CF＝22°+α，
∠B′CF＝∠ECF+∠B′CE＝22°+β，
∠BCB′＝2∠B′CF＝2（22°+β），
∠DCD′＝2∠D′CE＝2（22°+α）；
∠BCD′＝90°﹣∠DCD′＝90°﹣2（22°+α），
∠DCB′＝90°﹣∠BCB′＝90°﹣2（22°+β），
∠B′CD′＝∠D′CF+∠ECF+∠B′CE＝α+22°+β；
令∠B′CD′＝α+22°+β＝θ，
∵∠B′CD′＝90°﹣（∠BCD′+∠DCB′），
∴α+22°+β＝90°﹣[90°﹣2（22°+α）]﹣[90°﹣2（22°+β）]，整理可得：α+22°+β＝2（α+22°+β）﹣46°，即θ＝2θ﹣46°，解得：θ＝46°，
∴∠B′CD′＝θ＝46°．
故选：B．
9．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则∠1、∠2、∠3三个角的数量关系为（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90°
C．∠1﹣∠2+∠3＝90° D．∠1+2∠2﹣∠3＝90°
【思路点拔】先根据同角的余角相等得到∠2＝∠4，即可得到结论．
【解答】解：∵将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，
∴∠BOC+∠2＝90°，
∠BOC+∠4＝90°，
∴∠2＝∠4，
又∵∠1+∠4+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3＝90°，
故选：A．
10．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则a﹣b的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【思路点拔】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”列方程求解．
【解答】解：由题意得：a+0＝4﹣3，且a﹣3＝4+b，
解得a＝1，b＝﹣6，
∴a﹣b＝1﹣（﹣6）＝7，
故选：D．
11．根据图中数字的排列规律，在第⑨个图中，a﹣b﹣c的值是（ ）
A．62 B．254 C．﹣258 D．256
【思路点拔】先找到三角形每个位置上的数字规律，确定第⑨个图中的数字，再进行计算即可．
【解答】解：设三角形左上位置的数字为：an，
右上位置上的数字为：bn，
下方位置上的数字为：cn，
由图可知：，
，
，
，
，
∴，
∴；
，
，
，
，
，
∴，
∴；
，
，
，
，
，
∴，
∴；
∴a﹣b﹣c＝﹣512+510+256＝254；
故选：B．
12．已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法：
①a+b﹣c＞0；②ab+ac＞0；③；④|a﹣b|﹣|c+b|+|a﹣c|＝﹣2b．
其中正确结论序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④
【思路点拔】该题根据a，b，c三点在数轴上的位置分析比较代数式的大小．
【解答】解：由题意得：b＜0＜a＜c，a＜|b|＜c．
①项：∵c＞0．
∴a+b＞c．
∵b＜0且a＜|b|．
∴a+b＜0．
此选项错误，排除AD．
④项：∵b＜0，﹣b＞0，a﹣b＞0．
∴|a﹣b|＝a﹣b．
∵|b|＜c，b＜0．
∴c+b＞0，|c+b|＝c+b．
∵a＜c，a＞0，c＞0．
∴|a﹣c|＜0，|a﹣c|＝c﹣a．
∴；|a﹣b|﹣|c+b|+|a﹣c|＝a﹣b﹣（c+b）+c﹣a＝﹣2b．
此选项正确．
故选：C．
13．如图所示：C是线段AB上一点，且AB＝3AC，P、Q从C点同时出发，分别朝着点A运动、点B运动，且点P的运动速度是点Q的一半，当AP＝6cm时，BQ的长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
【思路点拔】设点P的运动速度是x，点Q的运动速度是2x，运动的时间为t，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝3AC，
∴BC＝2AC，
设点P的运动速度是x，点Q的运动速度是2x，运动的时间为t，
∵AP＝6cm，
∴AC＝（6+xt）cm，
∴BC＝2（6+xt）cm，
∴BQ＝BC﹣CQ＝2（6+xt）﹣2xt＝12（cm），
故选：C．
14．有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝6，CE＝10，则线段BC的长是（ ）
A．8 B．8或16 C．8或32 D．16或32
【思路点拔】根据“折中点”的定义分情况求出BC的长度即可．
【解答】解：根据题意分以下两种情况：
①
此时BC＝CD+BD＝CD+（AC+CD）＝CD+（2CE+CD）＝32；
②
此时BC＝（BC+CD）﹣CD＝AD﹣CD＝CE+CE﹣CD﹣CD＝8；
故选：C．
15．电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形ABC，AB＝7，AC＝8，BC＝9，如果电子跳蚤开始时在BC边的P0点，BP0＝3，第一步跳蚤从P0跳到AC边上P1点，且CP1＝CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2＝AP1；第三步跳蚤从P2跳回到BC边上P3点，且BP3＝BP2；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为Pn，则P5与P2024之间的距离为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．5
【思路点拔】根据题意可以前几个点所在的位置以及到三角形顶点的距离，从而发现其中的规律，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
BP0＝3，
AP1＝8﹣（9﹣3）＝2，
BP2＝7﹣2＝5，
BP3＝5，
AP4＝8﹣（9﹣5）＝4，
BP5＝7﹣4＝3，
BP6＝3，
AP7＝8﹣（9﹣3）＝2，
BP8＝7﹣2＝5，
……，
∴点P5在AB上，且BP5＝3，
∵（2024+1）÷6＝337…3，
∴点P2024在AB上，且BP2024＝7﹣2＝5，
∵5﹣3＝2，
∴P5与P2024之间的距离为2，
故选：B．
16．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又把x﹣[x]称为x的小数部分，记作{x}，则有x＝[x]+{x}．如：[1.3]＝1，{1.3}＝0.3，1.3＝[1.3]+{1.3}，下列说法中正确的有（ ）个．
①[2.8]＝2；
②[﹣5.3]＝﹣5；
③若1＜|x|＜2，且{x}＝0.4，则x＝1.4或x＝﹣1.6；
④方程3[x]+1＝{x}+3x的解为x＝0.25．
A．4 B．3 C．2 D．1
【思路点拔】根据新定义可以判断出①②，求出x＝1.4或x＝﹣1.6的{x}判断③，根据新定义得到4[x]+1＝4x，得出x＝0.25以判断④．
【解答】解：由题意得，[2.8]＝2，故①正确；
[﹣5.3]＝﹣6，故②错误；
当x＝1.4时，[1.4]＝1，{1.4}＝1.4﹣1＝0.4，
当x＝﹣1.6时，[﹣1.6]＝﹣2，{﹣1.6}＝﹣1.6﹣（﹣2）＝0.4，故③正确；
∵x＝[x]+{x}，3[x]+1＝{x}+3x，
∴3[x]+1＝{x}+3（[x]+{x}），
∴4{x}＝1，
∵0≤{x}＜1，
∴x＝0.25或x＝1.25或x＝2.25等，故④错误．
故选：C．
17．如图是某展馆的平面图，3个展区均为正方形，分别记为①、②、③．④是展区②和③的公共区域．已知展区①、②、③的边长分别为10米，20米和30米，入口区域和出口区域的面积分别记为S1和S2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．S1＝S2﹣20 B． C．S1＝S2﹣10 D．
【思路点拔】先根据①③两个区域求出大矩形的宽GH，设CD＝a，分别表示出S1，S2的长和宽，再表示出S1，S2即可求解．
【解答】解：由①③可得GH＝30+10＝40m，
∴GF＝40﹣20＝20m，DE＝20+30﹣40＝10m，
设CD＝a，则IH＝30+20﹣a＝50﹣a，
∴AB＝50﹣a﹣30＝20﹣a，EF＝50﹣a﹣30＝20﹣a，
∴S1＝10×（20﹣a），S2＝20×（20﹣a），
∴S1S2，
故选：B．
18．如图，把一个周长为定值的长方形分割为五个四边形，其中A是正方形，B，C，D，E都是长方形，这五个四边形的周长分别用lA，lB，lC，lD，lE表示，则下列各式的值为定值的是（ ）
A．lA B．lB+lD C．lA+lB+lD D．lA+lC+lE
【思路点拔】设大长方形的长为x，宽为y，正方形A的边长为a，长方形B的长为b，宽为c，分别表示出长方形C、D、E的周长，再进一步判断即可．
【解答】解：设大长方形的长为x，宽为y，正方形A的边长为a，长方形B的长为b，宽为c，
则2x+2y为定值，
长方形C的宽为b﹣a，长为x﹣c，
长方形E的宽为y﹣c，长为a+c，
长方形D的长y﹣（b﹣a）＝y﹣b+a，宽为x﹣c﹣a，
∴lA＝4a不是定值，
故A不符合题意；
lB+lD＝2b+2c+2（y﹣b+a）+2（x﹣c﹣a）＝2x+2y是定值，
故B符合题意；
lA+lB+lD＝4a+2x+2y不是定值，
故C不符合题意；
lA+lC+lE＝4a+2（b﹣a）+2（x﹣c）+2（y﹣c）+2（a+c）＝2x+2y+4a+2b﹣2c，不是定值，
故D不符合题意，
故选：B．
二．填空题（共15小题）
19．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形的边数为 2025 ．
【思路点拔】从n边形的一个顶点出发作它的对角线，将n边形分成（n﹣2）个三角形，由此即可解决问题．
【解答】解：∵从n边形的一个顶点出发作它的对角线，将n边形分成（n﹣2）个三角形，
∴n﹣2＝2023，
∴n＝2025，
故答案为：2025．
20．一商店在某一时间以每件a元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，若卖出这两件衣服商店共亏损10元，则a的值为 75 ．
【思路点拔】先把第一件衣服的成本价看成单位“1”，售价是成本价的（1+25%），它对应的数量是a元，由此用除法求出成本价，进而求出赚了多少钱；再把第二件衣服的成本价看成单位“1”，售价是成本价的（1﹣25%），它对应的数量是x元，由此用除法求出成本价，进而求出赔了多少钱；再把赚的钱数和赔的钱数作差，列方程解答即可．
【解答】解：第一件衣服赚了：a﹣a÷（1+25%）＝0.2a（元）
第二件衣服赔了：a÷（1﹣25%）﹣aa（元）
根据题意，可得：a﹣0.2a＝10，
解得：a＝75，
答：a的值为75．
故答案为：75．
21．如图，一副三角板中，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，如果∠1＝27°，那么∠2的大小是 57 度．
【思路点拔】先利用∠1求出∠EAC的度数，再利用90°减去∠EAC即可解答．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝27°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠1＝60°﹣27°＝33，
∵∠EAD＝90°，
∴∠2＝∠EAD﹣∠EAC＝90°﹣33°＝57，
故答案为：57．
22．定义运算“*”对于任意有理数a与b，满足，例如：．若有理数x满足x*4＝3，则x的值为 11或3.5 ．
【思路点拔】根据题意分为两种情况，①当x≥4时，x﹣2×4＝3，②当x＜4时，2x﹣4＝3，再解一元一次方程，符合题意x的值即为所求．
【解答】解：若x*4＝3，
①当x≥4时，x﹣2×4＝3，
解得：x＝11，
②当x＜4时，2x﹣4＝3，
解得：x＝3.5．
故答案为：11或3.5．
23．已知a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断：①a＜c＜b；②﹣a＜b；③a+b＞0；④c﹣a＜0中，错误的是 ②③④ （写序号）
【思路点拔】先根据在数轴上，右边的数总比左边的数大，得出a＜c＜b，再由相反数、绝对值的定义以及有理数的加减法法则得出结果．
【解答】解：由数轴上右边表示的数总大于左边表示的数，可知a＜c＜b．
①正确；
②a＜﹣2，则﹣a一定大于2，而b＜1，所以﹣a＞b，错误；
③∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，③错误；
④∵a＜c，∴c﹣a＞0，错误．
故答案为②③④．
24．将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝16°，则∠EAF的度数为 37° ．
【思路点拔】可求2∠B′AE+2∠D′AF＝∠DAB+∠B′AD′＝106°，由∠EAF＝∠B′AE+∠D′AF﹣∠B′AD′即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
由折叠可知∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，
∴2∠B′AE+2∠D′AF＝∠DAB+∠B′AD′，
＝90°+16°
＝106°，
∴∠B′AE+∠D′AF＝53°，
∴∠EAF＝∠B′AE+∠D′AF﹣∠B′AD′
＝53°﹣16°
＝37°，
故答案为：37°．
25．点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+4|+（b﹣2）2＝0．如图，若点P是点B右侧一点，点M为PA的中点，点N为PB上靠近B点的三等分点，当点P在点B的右侧运动时，的值为 ．
【思路点拔】本题考查线段的和差计算和非负数的性质，先根据绝对值和偶次方的非负性得a＝﹣4，b＝﹣2，再表示PM和BN，代入计算即可．
【解答】∵|a+4|+（b﹣2）2＝0
∴a+4＝0，b﹣2＝0
解得：a＝﹣4，b＝2
∴OA＝4，OB＝2
∴AP＝AO+OB+BP＝6+BP
∵点M为PA的中点，
∴PM（6+BP）＝3BP
∵点N为PB上靠近B点的三等分点，
∴BNBP，
PMBN
26．如图，把∠APB放在量角器上，读得射线PA、PB分别经过刻度117和153，把∠APB绕点P逆时针方向旋转到∠A′PB′，当时，射线PA′经过刻度 45 ．
【思路点拔】根据量角器可知，∠APB＝36°，再根据旋转的性质可知，∠A′PB′＝36°，然后结合已知条件求出∠APA′＝72°，即可得到射线PA′经过刻度．
【解答】解：∵射线PA、PB分别经过刻度117和153，
∴∠APB＝153°﹣117°＝36°，
∵∠A′PB′由∠APB绕点P逆时针方向旋转得到，
∴∠A′PB′＝∠APB＝36°，
∵∠APA′＝∠APB′+∠A′PB′，且，
∴，
∴∠APA′＝72°，
∴射线PA′经过刻度117﹣72＝45，
故答案为：45．
27．如表所示每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定x的值为 98 ．
﹣1 3 2 4 ﹣3 5 4 6 a 10
0 ﹣1 3 14 ﹣2 ﹣13 5 34 …… b x ……
第1个 第2个 第3个 第4个 ……
【思路点拔】观察表格中四个数，发现它们之间的关系即可解决问题．
【解答】解：观察表格中的数可知，
右上角的数依次为：3，4，5，6，…，
所以第n个方格中右上角的数为：n+2．
左上角的数的绝对值依次增加1，且第奇数个格子中左上角数为负数，第偶数个格子中左上角的数为正数，
又因为n+2＝10时，
则n＝8，
所以第8个格子中右上角的数为10，
则第8个格子中左上角的数为8，即a＝8．
又因为﹣1+1＝0，2+1＝3，﹣3+1＝﹣2，4+1＝5，…，
所以b＝a+1＝9．
观察表格可知，左下角与右上角的数字之积加上左上角的数字等于右下角的数字，
所以x＝10b+a＝10×9+8＝98．
故答案为：98．
28．乐乐用一张长为26cm的长方形纸片折纸飞机，折叠过程如图1所示，最后折成的纸飞机如图5﹣2所示，AB为4cm，则图2中a的值为 15 ．
【思路点拔】由轴对称的性质，即可得到答案．
【解答】解：由折叠的性质得：a＝（26﹣4）÷2+4＝15（cm）．
故答案为：15．
29．我们知道分数写为小数即0.，反之，无限循环小数0.写成分数即，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以0.为例进行讨论：设0.x，由0.0.4444…，得：x＝0.4444…，10x＝4.444…，于是10x﹣x＝（4.44…）﹣（0.444…）＝4，即：10x﹣x＝4，解方程得：，于是得0.，则无限循环小数0.化成分数为 ．
【思路点拔】设x＝0.，则100x＝12.，将它们作差后解方程即可．
【解答】解：设x＝0.，
则100x＝12.，
那么100x﹣x＝12.0.，
解得：x，
故答案为：．
30．在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示，已知OA＝OB，则|a+b| 1 ．
【思路点拔】由图可知a＜0＜1＜b，由OA＝OB，可得a+b＝0.和零的大小关系由a，b的符号决定．
【解答】解：由数轴可知：b＞1＞0＞a，
∵OA＝OB，
∴a+b＝0，，
∴|a+b|0+1＝1，
故答案为：1．
31．已知：如图所示，A、B是数轴上的两个点，点A所表示的数为﹣5，动点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q、M从点A向右运动，且点M的速度是点Q速度的，当运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度，则当点P运动到点A时，动点Q所表示的数为 22 ．
【思路点拔】根据运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度，可知相遇前相距6个单位和相遇后相距6个单位，可利用方程求出点M、Q的运动速度，进而求出AB的距离，再计算出当点P运动到点A所用的时间，再计算出点Q运动的距离，进而求出所表示的数．
【解答】解：设点Q运动的速度为每秒a个单位长度，则点M运动的速度为每秒a个单位长度，
由运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度，可列方程，
2a+6+4×2＝4a+4×4﹣6，
解得，a＝6，
a＝2，
即：点Q运动的速度为每秒6个单位长度，点M运动的速度为每秒2个单位长度，
此时，AB＝2×2+6+4×2＝18，
∴点Q所表示的数为﹣56＝22，
故答案为：22．
32．已知直线l上线段AB＝6，线段CD＝2（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），若线段CD的端点C从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，则线段CD运动 2或18 秒时，MN＝2DN．
【思路点拔】设点A表示的数为0，则点B表示的数为6，当运动时间为t秒时，由MN＝|7t|，DN＝1t，结合MN＝2DN，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设点A表示的数为0，则点B表示的数为6，当运动时间为t秒时，点C表示的数为6+t，点D表示的数为6+2+t，点M表示的数为2t，
∵点N是线段BD的中点，
∴点N表示的数为7t，
∴MN＝|7t﹣2t|＝|7t|，DN＝6+2+t﹣（7t）＝1t．
根据题意得：|7t|＝2（1t），
即7t＝2+t或t﹣7＝2+t，
解得：t＝2或t＝18，
∴线段CD运动2或18秒时，MN＝2DN．
故答案为：2或18．
33．如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、校验码”．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为：
步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即a＝9+1+3+5+7+9＝34；
步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即b＝6+0+2+4+6+8＝26；
步骤3：计算3a与b的和c，即c＝3×34+26＝128；
步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d＝130；
步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即X＝130﹣128＝2．
如图，若条形码中被污染的两个数字的和是5，则被污染的两个数字中右边的数字是 4 ．
【思路点拔】按照题目已知中给出的5个步骤进行计算即可．
【解答】解：设被污染的两个数字从左到右分别是p，q，
则p+q＝5，
由题意得：
a＝9+9+2+q+3+5＝28+q，
b＝6+1+p+1+2+4＝14+p，
c＝3a+b＝98+3q+p＝98+2q+（q+p）＝98+2q+5＝103+2q，
∵X＝9，
∴d﹣c＝9，
∴d＝9+c＝9+103+2q＝112+2q，
∵d为10的整数倍，
∴d＝120，
∴112+2q＝120，
∴q＝4，
故答案为：4．
三．解答题（共27小题）
34．已知：|a+2|+（b﹣4）2＝0，c比b大2．
（1）a＝ ﹣2 ，b＝ 4 ，c＝ 6 ．
（2）在数轴上，点A，B，C分别对应实数a，b，c．
①数轴上点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数．
②动点M从点A出发以4个单位速度向右运动，动点N从点B出发以1个单位速度向右运动，点D在数轴上对应的数是10，动点M与动点N同时出发，当M运动到D后立即以原来的速度向左运动，当点M到达出发点A时，两个动点同时停止运动，设运动时间是t，当t＝ 或或 时，M、N两点到点C的距离相等（直接写出t的值）．
【思路点拔】（1）由题意得出a，b，c的值，再由P的条件列出方程，解出即可；
（2）①根据点P表示的数为x，得|x+2|＝2|x﹣4|，解x的值即可；②先根据M，N在的两侧列出方程，然后同侧时列出方程，最后M返回时列出方程，三种情况求出t即可．
【解答】解：（1）由题意可得a+2＝0，b﹣4＝0，c＝b+2，
a＝﹣2，b＝4，c＝6，
故答案为：﹣2，4，6；
（2）①设点P表示的数为x，
则：|x+2|＝2|x﹣4|，
解得：x＝2或x＝10，
∴点P对应的数为2或10；
②设t秒时相等，
∵A，D对应的数分别是﹣2，10，
∴AD＝10﹣（﹣2）＝12，
∴0≤t≤6，
由题意得点N对应的数是4+t，
当0≤t≤3 时，点M对应的数是﹣2+4t，
∵M、N两点到点C的距离相等，
∴|﹣2+4t﹣6|＝|4+t﹣6|，
解得t＝2；
当3＜t≤6时，点M对应的数是﹣2+24﹣4t＝2，
∵M、N两点到点C的距离相等，
∴|22﹣4t﹣6|＝|4+t﹣6|，
解得t或；
综上，t的值为2或或．
35．【定义】点M，N，Q是一条直线上从左到右的三个点，若直线上点P满足PM+PN＝PQ，则称点P是点M，N，Q的“和谐点”．
【理解】
（1）在数轴上（图1），点A，B，C，P表示的数分别为﹣2，0，5，1，点P是否为点A，B，C的“和谐点”？请通过计算作出判断．
（2）点A，B，C是一条直线上从左到右的三个点，且AB＝2，BC＝3，若点P是点A、B、C的“和谐点”，则AP的长是 3或 ．
【拓展】
（3）在数轴上（图2），点A，B，C表示的数分别为a，a+2，a+5（a是整数），点P在点A的左侧，且点P是点A、B、C的“和谐点”，点A、B、C、P表示的数之和是否能被4整除？请通过计算作出判断．
【思路点拔】（1）根据PM+PN＝PQ，则称点P是点M，N，Q的“和谐点”，在﹣2，0，5，1选择合适的数据，确定出P的位置．
（2）由AB＝2，BC＝3，若点P是点A、B、C的“和谐点”，设P表示的教为x，分情况讨论．
（3）P在A左侧时，设AP＝m，则PB＝m+2，PC＝m+5，化简即可．
【解答】解：（1）∵PA＝3，PB＝1，PC＝4，
∴PA+PB＝PC
∴点P是A，B，C的“和谐点”，
（2）以A为原点建立数轴，则A表示0，B表示2，C表示5，
设P表示的数为x，
①P在A左边时，令PA+PB＝PC，
即 （0﹣x）+（2﹣x）＝（5﹣x），
x＝﹣3，
此时AP＝3．
②P在AB之间时，令PA+PB＝PC，
即（x﹣0）+（2﹣x）＝（5﹣x），
x＝3（舍去）．
③P在BC之间时，令PA+PB＝PC，
即（x﹣0）+（x﹣2）＝（5﹣x），
解得：x．
此时AP．
③P在C点右侧时，不可能PA+PB＝PC．
综上所述：AP的长为3或．
（3）P在A左侧时，
设AP＝m，则PB＝m+2，PC＝m+5，
且满足PA+PB＝PC，即m+m+2＝m+5，
解得：m＝3，
∴p表示的数为 a﹣3．
A、B、C、P来示的数之和为：a﹣3+a+a+2+a+5＝4a+4＝4（a+1）（a为整数），
∴能被4整除．
故答案是：（1）是；（2）3或；（3）能被4整除．
36．（1）【概念感悟】
若A、B两点在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点间的距离等于|a﹣b|，已知a，b满足|a﹣1|+（b+2）2＝0，则线段AB的长 3
（2）【知识应用】
在（1）的条件下，点C在数轴上对应的数为2，在数轴上是否存在点P，使PA+PB＝PC，若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；
（3）【综合应用】
在（1）和（2）的条件下，三只蚂蚁分别在数轴上从点A，B，C同时出发爬行，若点A处的蚂蚁以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C处的两只蚂蚁分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探究：随着时间t的变化，点B处出发的蚂蚁始终保持与其他两只蚂蚁的距离怎么样的数量关系，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据绝对值和偶次方的非负性质作答即可；
（2）设点P对应的数为未知数，根据它们之间的距离关系列绝对值方程，分情况讨论未知的取值范围去绝对值求解即可；
（3）分别用含t的代数式表示三只蚂蚁在数轴上对应的数，从而表示出点B处出发的蚂蚁与其他两只蚂蚁之间的距离，进而求解即可．
【解答】解：（1）∵|a﹣1|+（b+2）2＝0，
∴a﹣1＝0，b+2＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
∴线段AB的长为|a﹣b|＝|1﹣（﹣2）|＝3，
故答案为：3．
（2）存在．
设点P对应的数为x，根据题意，得|x+2|+|x﹣1|＝|x﹣2|．
当x＜﹣2时，﹣（x+2）﹣（x﹣1）＝﹣（x﹣2），解得x＝﹣3；
当﹣2≤x＜1时，x+2﹣（x﹣1）＝﹣（x﹣2），解得x＝﹣1；
当1≤x＜2时，x+2+x﹣1＝﹣（x﹣2），解得x（不符合题意，舍去）；
当x≥2时，x+2+x﹣1＝x﹣2，解得x＝﹣3（不符合题意，舍去）；
∴点P对应的数为﹣3或﹣1．
（3）根据题意，
从点A处出发的蚂蚁在数轴上的点为A′，对应的数为1﹣t；
从点B处出发的蚂蚁在数轴上的点为B′，对应的数为﹣2+4t；
从点C处出发的蚂蚁在数轴上的点为C′，对应的数为2+9t．
∴点B处出发的蚂蚁与点A处出发的蚂蚁距离为A′B′＝|﹣2+4t﹣（1﹣t）|＝|5t﹣3|；
点B处出发的蚂蚁与点C处出发的蚂蚁距离为B′C′＝|2+9t﹣（﹣2+4t）|＝|5t+4|＝5t+4．
当0≤t时，A′B′＝3﹣5t，A′B′+B′C′＝7；
当t时，A′B′＝5t﹣3，B′C′﹣A′B′＝7．
∴当0≤t时，点B处出发的蚂蚁与其他两只蚂蚁的距离之和为7；当t时，点B处出发的蚂蚁分别与点C和点A处出发的蚂蚁之间的距离之差为7．
37．【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律；
例如：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，A，B两点之间的距离记为AB，则AB＝|a﹣b|；
若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，数轴上一点C到点A，B的距离相等，则点C表示的数为．
【问题情境】
如图，数轴上点A表示的数为﹣2．点B表示的数为8，点P从点A出发．以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t（t＞1）秒．
【综合运用】
（1）①t秒后，点P表示的数为 ﹣2+3t ，点Q表示的数为 8﹣2t ．（用含t的式子表示）
②求P，Q两点之间的距离．
③当P，Q两点重合时，t的值为 2 ．
（2）若数轴上点M到点A，P的距离相等，点N到点B，P的距离相等，则在点P的运动过程中，M，N两点之间的距离是否发生变化？若变化．请说明理由；若不变，请求出M，N两点之间的距离．
【思路点拔】（1）①由题意可知点P、点Q表示的数分别为﹣2+3t、8﹣2t，于是得到问题的答案；
②由PQ＝|﹣2+3t﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，求得P、Q两点之间的距离为|5t﹣10|；
③当P，Q两点重合时，则﹣2+3t＝8﹣2t，求得t＝2，于是得到问题的答案；
（2）可求得点M表示的数为，点N表示的数为，则MN5，可知M，N两点之间的距离不发生变化，M，N两点之间的距离是5．
【解答】解：（1）①∵点P向右运动，点Q向左运动，且AP＝3t，BQ＝2t，
∴点P、点Q表示的数分别为﹣2+3t、8﹣2t，
故答案为：﹣2+3t，8﹣2t．
②∵点P、点Q表示的数分别为﹣2+3t、8﹣2t，
∴PQ＝|﹣2+3t﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，
∴P、Q两点之间的距离为|5t﹣10|．
③当P，Q两点重合时，则点P与点Q表示的数相等，
∴﹣2+3t＝8﹣2t，
解得t＝2，
故答案为：2．
（2）M，N两点之间的距离不发生变化，
∵点M表示的数为，点N表示的数为，
∴MN5，
∴M，N两点之间的距离不发生变化，M，N两点之间的距离是5．
38．如图，点A，B在数轴上，O为原点．动点P，Q分别从点B沿数轴向点A运动，两点到达点A均停止运动．点P运动速度是1.5单位长度/秒，点Q运动速度是2单位长度/秒．
（1）点P运动3秒时所对应的数是 0.5 ，运动t秒时所对应的数是 ﹣4+1.5t ．
（2）若点P和点Q同时出发，请问什么时候两点相距1单位长度？此时P，Q表示的数分别是多少？
（3）若点P先出发a秒，点Q再出发，a在什么范围时，两点相距0.5个单位长度的次数最多？请直接写出a的范围．
【思路点拔】（1）根据数轴的性质即可得；
（2）设运动m秒，两点相距1单位长度，先求出0＜m≤4，再分两种情况：①0＜m＜3和②3＜m≤4，利用数轴的性质建立方程，解方程即可得；
（3）先得出点P．Q相距0.5个单位长度的次数最多是3次，即第一次是点Q追上点P前、第二次是点Q追上点P，且点Q未停止运动、第三次是点P在运动，点Q到达点A停止运动，再求出两个临界位置：当点Q出发时，两点恰好相距0.5个单位长度，此时a取得最小值（含）；当点Q刚刚到达点A停止运动时，两点恰好相距0.5个单位长度，此时a取最大值（不含），建立方程，解方程求出a的值即可得．
【解答】解：（1）点P运动3秒时所对应的数是﹣4+3×1.5＝0.5，运动r秒时所对应的数是﹣4+1.5t，
故答案为：0.5，﹣4+1.5t；
（2）点P到达点A所需时间为4秒，点Q到达点4所需时间为3秒，
设运动m秒，两点相距1单位长度，则0＜m≤4，
①当0＜m＜3时，此时点P表示的数是﹣4+1.5m，点Q表示的数是﹣4+2m，则﹣4+2m﹣（﹣4+1.5m ）＝1，
解得m＝2，符合题设，
此时点p表示的数是﹣4+1.5×2＝﹣1，点Q表示的数是﹣4+2×2＝0；
②当3≤m≤4时，此时点pP表示的数是﹣4+1.5m，点Q表示的数是2，则2﹣（﹣4+1.5m）＝1，
解得m，符合题设，
此时点p表示的数是﹣4+1.51，点Q表示的数是2，
综上，当运动2秒时，两点相距1单位长度，此时点P表示的数是﹣1，点Q表示的数是0；当运动秒时，两点相距1单位长度，此时点p表示的数是1，点Q表示的数是2；
（3）点p先出发a秒后，对应的数是﹣4+1.5a，
由题意可知，点P，Q相距0.5个单位长度的次数最多是3次，即第一次是点Q追上点P前、第二次是点Q追上点P，且点Q未停止运动、第三次是点P在运动，点Q到达点A停止运动，
所以有两个临界位置：
①当点Q出发时，两点恰好相距0.5个单位长度，此时α取得最小值（含），
则﹣4+1.5a﹣（﹣4）＝0.5，
解得a；
②当点Q刚刚到达点A停止运动时，两点恰好相距0.5个单位长度，此时a取最大值（不含），则2﹣[﹣4+1.5（a+3）]＝0.5，
解得a；
所以a．
39．（1）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，如图1，他发现将火车在数轴上水平移动，则当A点移动到B点时，B点所对应的数为24；当B点移动到A点时，A点所对应的数为6（单位：单位长度）．由此可得点A处的数字是 12 ，玩具火车的长为 6 个单位长度．（直接写答案）
（2）如果火车AB正前方8个单位处有一个“隧道”MN，火车AB从（1）的起始位置出发到完全驶离“隧道”恰好用了t秒，已知火车AB过“隧道”的速度为0.2个单位/秒，则可知“隧道”MN的长为 （0.2t﹣14） 个单位．（自己在稿纸上画图分析，用含t的代数式表示即可）
（3）他惊喜的发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：如图2，（1）条件下的数轴上放置与AB大小相同的玩具火车CD，使原点O与点C重合，两列玩具火车分别从点O和点A同时在数轴上同时移动，已知CD火车速度5个单位/秒，AB火车速度为2个单位/秒（两火车均向右运动），几秒后两火车的A处与C处相距2个单位？
【思路点拔】（1）根据题意，画出图形，求出三个玩具火车的长为24﹣6＝18，即可解答；
（2）根据题意可得：BM＝8，AB＝6，设MN的长为m，根据题意得出6+8+m＝0.2t，即可解答；
（3）根据题意得出点C移动后对应的点为5t，点A所对应的点为12+2t，然后进行分类讨论，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）根据题意画出图形，由数轴观察知三个玩具火车的长为24﹣6＝18，
则一个玩具火车长为18÷3＝6．
故答案为：6；
故答案为：12，6；
（2）根据题意可得：BM＝8，AB＝6，
设MN的长为m，
∴6+8+m＝0.2t，
整理得：m＝0.2t﹣14．
故答案为：（0.2t﹣14）；
（3）∵原点O与点C重合，点A表示的数为12，
∴点C移动后对应的点为5t，点A所对应的点为12+2t，
由题意可知，5t﹣（12+2t）＝2或（12+2t）﹣5t＝2，
解得：或，
∴或秒后两火车的A处与C处相距2个单位．
40．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角、如图①所示，若，则∠COD是∠AOB的内半角．
（1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 20° ；
（2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？
（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据内半角的定义，即可求解；
（2）根据旋转的性质可得：∠AOC＝∠BOD＝α，∠AOB＝∠COD＝63°，再根据内半角的定义，即可求解；
（3）分四种情况讨论，利用内半角的含义，建立一元一次方程，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠COD是∠AOB的内半角，∠AOB＝70°，
∴，
∵∠AOC＝15°，
∴∠BOD＝70°﹣35°﹣15°＝20°，
故答案为：20°；
（2）旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角；理由如下：
∵∠AOC＝∠BOD＝α，
∠AOB＝63°，
∴∠AOD＝63°+α，∠BOC＝63°﹣α，
∵∠COB是∠AOD的内半角，
∴2（63°+α）＝63°﹣α，
∴α＝21°，
∴旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角；
（3）在旋转一周的过程中，射线OA，OB，OC，OD能构成内半角，理由如下；
设按顺时针方向旋转一个角度α，旋转的时间为t，
如图1，∵∠BOC是∠AOD的内半角，∠AOC＝∠BOD＝α，
∴∠AOD＝30°+α，
∴，
解得：α＝10°，
∴；
如图2，∵∠BOC是∠AOD的内半角，∠AOC＝∠BOD＝α，
∴∠AOD＝30°+α，
∴，
∴α＝90°，
∴；
如图3，∵∠AOD是∠BOC的内半角，∠AOC＝∠BOD＝360﹣α，
∴∠BOC＝360°+30°﹣α，
∴，
∴α＝270°，
∴t＝90（s），
如图4，∵∠AOD是∠BOC的内半角，∠AOC＝∠BOD＝360﹣α，
∴∠BOC＝360°+30°﹣α，
∴，
解得：α＝350°，
∴，
综上所述，当旋转的时间为或30s或90s或时，射线OA，OB，OC，OD能构成内半角．
41．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处，并使两条直角边落在直线PQ、MN上，将△AOB绕着点O顺时针旋转α（0°＜α＜180°）．
（1）如图2，若α＝26°，则∠BOP＝ 64° ，∠AOM+∠BOQ＝ 180° ；
（2）若射线OC是∠BOM的角平分线，且∠POC＝β．
①若△AOB旋转到图3的位置，∠BON的度数为多少？（用含β的代数式表示）
②△AOB在旋转过程中，若∠AOC＝2∠AOM，求此时β的值．
【思路点拔】（1）由垂线的定义可得∠POM＝∠QOM＝90°，利用角的和差可求解；
（2）①根据余角的定义可求∠COM的度数，结合角平分线的定义可求得∠BOM＝180°﹣2β，再利用平角的定义可求解；
②可分两种情况：当OA位于∠QOM内部时，当OA位于∠POM内部时，结合角平分线的定义，利用角的和差倍分变换可求解角的度数．
【解答】解：（1）如图2，∵MN⊥PQ，
∴∠POM＝∠QOM＝90°，
∵∠BOM＝∠AOQ＝26°，
∴∠BOP＝90°﹣26°＝64°；
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOM+∠BOQ＝∠AOM+∠AOQ+∠AOB＝∠QOM+∠AOB＝90°+90°＝180°，
故答案为：64°；180°；
（2）①∵∠POM＝90°，∠POC＝β，
∴∠COM＝90°﹣β，
∵射线OC是∠BOM的角平分线，
∴∠BOM＝2∠COM＝180°﹣2β，
∴∠BON＝180°﹣（180°﹣2β）＝2β；
②当OA位于∠QOM内部时，如图3，
∵OC平分∠BOM，
∴∠BOC＝∠COM，
∵∠AOC＝2∠AOM，
∴∠AOM＝∠COM，
∴∠AOM＝∠COM＝∠BOC∠AOB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠COM＝30°，
∴β＝90°﹣30°＝60°；
当OA位于∠POM内部时，如图，
∵∠POM＝90°，∠POC＝β°，
∴∠COM＝90°﹣β，
∵OC平分∠BOM，
∴∠BOM＝2∠COM＝180°﹣2β，∠BOC＝∠COM＝90°﹣β，
∴∠AOM＝180°﹣2β﹣90°＝90°﹣2β，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣（90°﹣β）＝β，
∵∠AOC＝2∠AOM，
∴β＝2（90°﹣2β），
解得β＝36°，
综上所述，若∠AOC＝2∠AOM，β的值为60°或36°．
42．将两个直角三角形如图1摆放，已知∠CDE＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠B＝30°，射线CM平分∠BCE．
（1）如图1，当D、A、C三点共线时，∠ACM的度数为 67.5 °．
（2）如图2，将△DCE绕点C从图1的位置开始顺时针旋转，旋转速度为每秒6°，设时间为t s，作射线CN平分∠ACD．
①若0＜t，∠MCN的度数是否改变？若改变，请用含t的代数式表示；若不变，请说明理由并求出值．
②若t＜30，当t为何值时，∠BCN＝2∠DCM？请直接写出t的值．
【思路点拔】（1）利用角平分线的定义和角的和差的意义解答即可；
（2）①利用含t的代数式表示出∠ACD，∠ECB的度数，利用角平分线的定义求得∠NCD∠ACD＝3t°，∠ECM∠ECB＝22.5°﹣3t°，计算∠MCN即可；
②画出符合题意的图形，利用含t的代数式表示出∠BCN，∠DCM的度数，依据∠BCN＝2∠DCM列出关于t的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠CDE＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，
∴∠BCE＝90°﹣∠DCE＝45°．
∵射线CM平分∠BCE，
∴∠ECM∠BCE＝22.5°．
∴∠ACM＝∠DCE+∠ECM＝45°+22.5°＝67.5°．
故答案为：67.5°；
（2）①若0＜t，∠MCN的度数不改变，∠MCN的度数为67.5°．理由：
若0＜t，由题意得：∠ACD＝6t°，
∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠ECB＝45°﹣6t°，
∵射线CN平分∠ACD，射线CM平分∠BCE，
∴∠NCD∠ACD＝3t°，∠ECM∠ECB＝22.5°﹣3t°，
∴∠MCN＝∠NCD+∠DCE+∠ECM＝3t°+45°+22.5°﹣3t°＝67.5°．
②当t为15s或25s时，∠BCN＝2∠DCM．理由：
若t＜30，如图，
Ⅰ．由题意得：∠ACD＝6t°，
∵射线CN平分∠ACD，
∴∠NCA∠ACD＝3t°．
∴∠BCN＝90°﹣∠NCA＝（90﹣3t）°．
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝（90﹣6t）°，
∴∠BCE＝∠DCE﹣∠BCD＝45°﹣（90°﹣6t°）＝（6t﹣45）°．
∵射线CM平分∠BCE，
∴∠ECM∠BCE＝（3t﹣22.5）°，
∴∠DCM＝∠DCE﹣∠ECM＝（67.5﹣3t）°．
∵∠BCN＝2∠DCM，
∴90﹣3t＝2（67.5﹣3t），
∴t＝15．
Ⅱ．如图，由题意得：∠ACD＝6t°，
∵射线CN平分∠ACD，
∴∠NCA∠ACD＝3t°．
∴∠BCN＝90°﹣∠NCA＝（90﹣3t）°．
∴∠BCD＝∠ACD﹣90°＝（6t﹣90）°，
∴∠BCE＝∠ACD+45°﹣90°＝（6t﹣45）°．
∵射线CM平分∠BCE，
∴∠ECM∠BCE＝（3t﹣22.5）°，
∴∠DCM＝∠ECM﹣45°＝（3t﹣67.5）°．
∵∠BCN＝2∠DCM，
∴90﹣3t＝2（3t﹣67.5），
∴t＝25．
综上，当t为15s或25s时，∠BCN＝2∠DCM．
43．如图，已知∠AOB＝60°，三角形COD是含有30°角的三角板，∠COD＝30°，OE平分∠BOC．
（1）如图1，当∠AOC＝20°时，∠DOE＝ 10° ；
（2）如图2，当∠AOC＝40°时，∠DOE＝ 20° ；
（3）如图3，当∠AOC＝α（120°＜α＜180°）时，求∠DOE的度数，请借助图3填空．
解：因为∠AOC＝α，∠AOB＝60°，
所以∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝α﹣60°．
因为OE平分∠BOC，
所以 α﹣30° （用α表示）．
因为∠DOC＝30°，
所以∠DOE＝∠EOC+∠DOC＝ （用α表示）．
（4）由（1）（2）（3）问可知，当∠AOC＝β（0°＜β＜180°）时，直接写出∠DOE的度数．（用β来表示，无需说明理由）
【思路点拔】（1）首先求出∠BOC＝40°，利用角平分线可得∠COE＝20°，再利用角的和差可得答案；
（2）首先求出∠BOC＝20°，利用角平分线可得∠COE＝10°，再利用角的和差可得答案；
（3）首先求出∠BOC＝α﹣60°，利用角平分线可得∠COE30°，再利用角的和差可得答案；
（4）首先求出∠BOC＝β﹣60°，利用角平分线可得∠COE30°，再利用角的和差可得答案．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝60°﹣20°＝40°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝20°，∠DOE＝30°﹣20°＝10°，
故答案为：10°；
（2）∵∠AOB＝60°，∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝60°﹣40°＝20°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝10°，∠DOE＝30°﹣10°＝20°，
故答案为：20°；
（3）∵∠AOB＝60°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝α﹣60°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC∠BOCα﹣30°，
∵∠DOC＝30°，
∴∠DOE＝∠EOC+∠DOC（用α表示）；
故答案为：α﹣30°；；
（4）∠DOE．理由如下：
∵∠AOB＝60°，∠AOC＝β，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝β﹣60°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC∠BOC30°，
∵∠DOC＝30°，
∴∠DOE＝∠EOC+∠DOC．
44．已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点O放置于直线MN上，直角边OA与直线MN重合，其中∠AOB＝90°，然后将三角板AOB绕点O顺时针旋转，设∠AOM＝α，从点O引射线OC和OD，OC平分∠BON，．
（1）如图2，填空：当α＝30°时，∠CON＝ 30 °．
（2）如图2，当0°＜α＜90°时，求∠COD的度数（用含α的代数式表示）；
（3）如图3，当90°＜α＜180°时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．
【思路点拔】（1）利用平角和角平分线计算即可；
（2）由角平分线定义，平角定义求出∠BOD和∠BOC即可求出∠COD；
（3）利用已知条件和等量关系分别求出∠COD和∠BON，代入∠COD∠BON计算即可．
【解答】解：（1）∵OC平分∠BON，
∴∠CON∠BON，
∵∠BON＝180°﹣∠AOB﹣∠α＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠CON＝30°，
故答案为：30；
（2）当0°＜α＜90°时，
∵∠AOM＝α，∠AOB＝90°，
∴∠BON＝∠MON﹣∠AOM﹣∠AOB＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α，
∵OC平分∠BON，
∴∠BOC（90°﹣α），
∵∠MOB＝∠MOA+∠AOB＝90°+α，
∴∠BOD（90°+α），
∴∠COD＝∠BOD+∠BOC（90°+α）（90°﹣α）＝75°α；
（3）是定值，理由如下：
当90°＜α＜180°时，
∵∠BOM＝360°﹣90°﹣α＝270°﹣α，
∴∠BOD∠BOM（270°﹣α）＝90°α，
∵OC平分∠BON，∠BON＝90°+α﹣180°＝α﹣90°，
∴∠COB∠BON（α﹣90°）α﹣45°，
∴∠COD＝∠BOD+∠COB＝（90°α）+（α﹣45°α+45°，
∴∠COD∠BON＝（α+45°）（α﹣90°）＝60°．
45．将直角三角板MON（∠MON＝90°）的直角顶点O放在直线AB上，过点O作射线OC，使∠BOC＝62°．
（1）如图1，当三角板MON的一边ON与射线OB重合时，直接写出∠MOC的度数；
（2）将三角板MON绕点O逆时针转动，
①如图2，当OC平分∠MOB时，求∠BON的度数；
②如图3，当∠NOC∠AOM时，求∠NOC的度数．
【思路点拔】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MON的度数；
（2）①根据OC是∠MOB的角平分线，∠BOC＝62°可以求得∠BOM的度数，由∠NOM＝90°，可得∠BON的度数；②根据平角的定义求出∠AOM+∠CON＝28°，再根据角的倍数关系即可得解．
【解答】解：（1）∵∠MON＝90°，∠BOC＝62°，
∴∠MOC＝∠MON﹣∠BOC＝90°﹣62°＝28°；
（2）①∵∠BOC＝62°，OC是∠MOB的角平分线，
∴∠MOB＝2∠BOC＝124°，
∴∠BON＝∠MOB﹣∠MON＝124°﹣90°＝34°；
②∵∠AOM+∠MON+∠NOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝62°，∠MON＝90°，
∴∠AOM+∠CON＝180°﹣62°﹣90°＝28°，
∵，
∴．
46．如图1，射线OM上有A、B两点，OA＝12，OB＝3OA．一动点P从点O出发，以每秒4个单位的速度沿射线OA的方向运动，当点P到达点A时，射线AM开始绕点A按逆时针方向以每秒5°的速度旋转，同时点P降速一半沿射线AM的方向运动（如图2），当点P到达点B时，射线AM旋转停止，接着，射线BM开始绕点B按顺时针方向以每秒15°的速度旋转，同时点P再降速一半沿射线BM的方向运动（如图3）．设点P运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）AB的长等于 24 ；当点P到达点B时，∠OAB等于 120 °；
（2）当射线BM与AB所在直线第一次重合（不包括图2的情形）时，点P是线段AB的中点吗？为什么？
（3）在射线BM旋转的过程中，若它与AB所在直线第二次重合时所有运动停止，则t为多少秒时，BM所在直线与OA所在直线垂直？
【思路点拔】（1）由OA＝12，OB＝3OA，可求出线段AB的长，利用∠OAB的度数＝180°﹣AB旋转的速度×点P从点A到达点B所需时间，可求出当点P到达点B时∠OAB的度数；
（2）点P是线段AB的中点，利用PB的长度＝点P运动的速度×射线BM与AB所在直线第一次重合所需的时间，可求出PB的长度，结合AB的长度，可得出AP的长度，进而可得出AP＝PB，即点P是线段AB的中点；
（3）求出点P从点O运动到点B所需时间，延长线段OA交直线BM于点H，由射线BM所在的直线与AB所在直线垂直，可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵OA＝12，OB＝3OA，
∴AB＝OB﹣OA＝3OA﹣OA＝2OA＝2×12＝24．
当点P到达点B时，∠OAB＝180°﹣5°120°．
故答案为：24；120；
（2）点P是线段AB的中点，理由如下：
当射线BM与AB所在直线第一次重合时，如图4所示，
PB＝412．
∵此时点P，点A在点B同侧，
∴AP＝AB﹣PB＝24﹣12＝12，
∴AP＝PB，
∴当射线BM与AB所在直线第一次重合时，点P是线段AB的中点；
（3）点P从点O运动到点B所需时间为12÷4+24÷（4）＝15（秒）．
延长线段OA交直线BM于点H，如图5所示．
当BM所在直线第一次与OA所在直线垂直时，∠ABM＝30°，
根据题意得：15（t﹣15）＝180﹣30或15（t﹣15）＝360﹣30，
解得：t＝25或t＝37．
答：t为25或37时，BM所在直线与OA所在直线垂直．
47．问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力．
（1）【特例感知】
如图①，已知线段CD在线段AB上运动，线段AB＝10cm，CD＝2cm，点E、F分别是AC、BD的中点．解答下列问题：
①如图1，若AC＝3cm，求EF的长 6 cm；（直接写出结果）
②小聪发现：保持线段CD在线段AB上运动，其他条件不变，则EF的长保持不变．小聪理由如下
∵E，F分别是AC、BD的中点，在此处键入公式．
∴EC＝ AC，DF＝ DB
∴EF＝EC+CD+DF
∵AB＝10cm，CD＝2cm不变
∴EF的长不变；
（2）【类比探究】
小聪继续探究发现角与线段类似，如图2已知∠COD在∠AOB内部转动，OE和OF分别平分∠AOC和∠BOD，则∠EOF与∠AOB、∠COD有数量关系，说明理由．
（3）【知识迁移】
如图3，已知∠COD在∠AOB内部转动，若∠AOB＝150°，∠COD＝30°，∠AOE＝k∠EOC，∠BOF＝k∠DOF，求∠EOF＝ 30° .（用含有k的式子表示计算结果）．
【思路点拔】（1）①根据线段中点的定义以及线段之间的和差关系进行计算即可；
②根据线段中点的定义即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可；
（3）根据角的倍比关系，和差关系进行计算即可．
【解答】解：（1）①∵点E、F分别是AC、BD的中点．
∴AE＝CEACcm，BF＝DFBD（10﹣3﹣2）cm，
∴EF＝EC+CD+DF
2
＝6（cm），
故答案为：6；
②∵点E、F分别是AC、BD的中点．
∴AE＝CEAC，BF＝DFBD，
故答案为：，；
（2）∠EOF∠AOB∠COD，理由如下：
∵OE和OF分别平分∠AOC和∠BOD，
∴∠AOE＝∠COE∠AOC，∠BOF＝∠DOF∠BOD，
∴∠EOF＝∠EOC+∠COD+∠DOF
∠AOC∠BOD+∠COD
（∠AOC+∠BOD）+∠COD
（∠AOB﹣∠COD）+∠COD
∠AOB∠COD；
（3）∵∠AOB＝150°，∠COD＝30°，
∴∠AOC+∠BOD＝150°﹣30°＝120°，
∵∠AOE＝k∠EOC，∠BOF＝k∠DOF，
∴∠EOC∠AOC，∠DOF∠BOD
∴∠EOF∠AOC∠BOD+∠COD
（∠AOC+∠BOD）+∠COD
120°+30°
30°．
故答案为：30°．
48．【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知∠AOB＝120°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．
（1）【初步感知】若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝30°，求∠EOF的度数；
（2）【探究发现】若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数为 60° ；
（3）【拓展延伸】若射线OC从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转，旋转的角度不超过180°，其余条件不变，当∠BOE＝3∠COF时，请借助备用图探究∠EOC的大小，并直接写出∠EOC的度数（不写探究过程）．
【思路点拔】（1）根据射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线推出∠COE与∠AOC，∠COF与∠BOC的倍数关系，根据∠AOC和∠BOC的度数求出∠COE和∠COF的度数，即可求出∠EOF的度数；
（2）根据射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线推出∠COE与∠AOC，∠COF与∠BOC的倍数关系，推出∠EOF＝∠COE+∠COF∠AOB，即可求出∠EOF的度数；
（3）设∠AOC＝x，分两种情况：①当OC在∠AOB内部时；②当OC在∠AOB外部时．分别建立关于x的方程，求出x的值后即可求出∠EOC的度数．
【解答】解：（1）∵射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠COE∠AOC，∠COF∠BOC，
∵∠AOB＝120°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝120°﹣30°＝90°，
∴∠COE∠AOC＝15°，∠COF∠BOC＝45°，
∴∠EOF＝∠COE+∠COF＝15°+45°＝60°；
（2）∵射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠COE∠AOC，∠COF∠BOC，
∴∠EOF＝∠COE+∠COF（∠AOC+∠BOC）∠AOB，
∵∠AOB＝120°，
∴∠EOF＝60°．
故答案为：60°；
（3）设∠AOC＝x，分两种情况：
①如图1，当OC在∠AOB内部时，
∠BOC＝120°﹣x，
∵射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠COEx，∠COF（120°﹣x）＝60°x，
∴∠BOE＝∠COE+∠BOCx+120°﹣x＝120°x，
∵∠BOE＝3∠COF，
∴120°x＝3（60°x），
解得：x＝60°，
∴∠COEx＝30°；
②如图2，当OC在∠AOB外部时，
∠BOC＝x﹣120°，
∵射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠COEx，∠COF（x﹣120°）x﹣60°，
∴∠BOE＝∠COE﹣∠BOCx﹣（x﹣120°）＝120°x，
∵∠BOE＝3∠COF，
∴120°x＝3（x﹣60°），
解得：x＝150°，
∴∠COEx＝75°；
综上所述，∠EOC的度数为30°或75°．
49．知识的迁移与应用
问题一：甲、乙两车分别从相距180km的A、B两地出发，甲车速度为36km/h，乙车速度为24km/h，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 5h或25h 后两车相距120km？
问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，OA表示时针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，OA与OB的夹角∠AOB＝120°．
（1）分针每分钟转过的角度为 6° ，时针每分钟转过的角度为 0.5° ；
（2）3：40时，时针与分针所成的角度 130° ；
（3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成60°角？
【思路点拔】问题一：设x h后两车相距120km，分两种情况进行讨论：相遇前两车相距120km，相遇后两车相距120km；
问题二：（1）根据钟面角即可解答；
（2）分别求出3：40时，分针转动角度和时针转动角度，即可解答；
（3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成60°角，进行分类讨论：①当分针在时针上方时，②当分针在时针下方时，分别列出方程求解即可．
【解答】解：问题一：设x h后两车相距120km，
若相遇前，则36x﹣24x＝180﹣120，
解得x＝5，
若相遇后，则36x﹣24x＝180+120，
解得x＝25．
∴两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），5h或25h后两车相距120km；
故答案为：5h或25h；
问题二：（1）分针每分钟转过的角度为360°÷60＝6°，
时针每分钟转过的角度为360°÷（12×60）＝0.5°，
故答案为：6°，0.5°；
（2）3：40时，分针转动角度为6°×40＝240°，
∵钟面一共有12个大格，
∴每转动一个大格，时针转动角度为360°÷12＝30°．
∴3：40时，时针转动角度为30°×3+0.5°×40＝110°，
∴故3：40时，时针与分针所成的角度240°﹣110°＝130°；
故答案为：130°；
（3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成60°角．
①当分针在时针上方时，
由题意得：4×30°+0.5°x﹣6°x＝60°，
解得：x；
②当分针在时针下方时，
由题意得：6°x﹣4×30°﹣0.5°x＝60°，
解得：x．
答：在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过或分钟，时针与分针成60°角．
50．学校新建了一栋教学大楼，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和一道侧门时，每分钟可以通过200名学生；只开启一道正门比只开启一道侧门每分钟可以通过的学生多40名．
（1）求平均每分钟一道侧门可以通过多少名学生？（列一元一次方程解决问题）
（2）紧急情况时因学生拥挤，出门的效率会降低20%，现规定在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学楼共有32间教室，每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合规定？请说明理由．
【思路点拔】（1）设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，则一道侧门可以通过（x﹣40）名学生，根据同时开启一道正门和一道侧门时，每分钟可以通过200名学生列方程求解．
（2）根据（1）的数据，可以求出拥挤时5分钟四道门可通过的学生人数，与这栋楼学生数比较得出答案．
【解答】解：（1）设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，一道侧门可以通过（x﹣40）名学生，
根据题意，得x+（x﹣40）＝200，
解得：x＝120，
x﹣40＝80，
答：平均每分钟一道正门可以通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生．
（2）这栋楼最多有学生32×45＝1440（名）．
拥挤时，5分钟内4道门能通过的学生数为：5×2（120+80）（1﹣20%）＝1600（名）．
∵1600＞1440，
∴建造的4道门符合安全规定．
51．某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题：
（1）求小明原计划购买文具袋多少个？
（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？
【思路点拔】（1）设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了（x+1）个，根据对话内容列出方程即可得出结果；
（2）设小明可购买钢笔y支，根据两种物品的购买总费用272元，列出方程即可得出结果．
【解答】解：（1）设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了（x+1）个，
由题意得：10（x+1）×0.85＝10x﹣17．
解得：x＝17；
答：小明原计划购买文具袋17个；
（2）设小明可购买钢笔y支，则购买签字笔（50﹣y）支，
由题意得：[8y+6（50﹣y）]×80%＝272，
解得：y＝20，
则：50﹣y＝30．
答：小明购买了钢笔20支，签字笔30支．
52．某厂本周计划每天生产200辆自行车，由于工作人员轮休等原因，实际每天生产量与计划生产量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减（单位：辆） +7 ﹣2 ﹣5 +14 ﹣11 +15 ﹣8
（1）该厂星期三生产电动车 195 辆；
（2）请求出该厂在本周实际生产自行车的数量．
（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一辆自行车可以得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆在60元基础上另奖15元；少生产一辆则倒扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
（4）若将（3）问中的实行“每日计件工资制”改为实行“每周计件工资制”，其他条件不变，在此计算方式下这一周工人的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．
【思路点拔】（1）星期三增减量为﹣5，是比计划少5辆的意思，所以200﹣5＝195；
（2）计划量加上所有的增减量，就是本周的实际量；
（3）求得计划的工资，奖励的工资以及倒扣的工资，即可求解；
（4）求得按照“每周计件工资制”下的工人的工资即可．
【解答】解：（1）200+（﹣5）＝195（辆）；
故答案为：195．
（2）200×7+36+（﹣26）＝1410（辆）；
故答案为：1410辆．
（3）1410×60+36×15+26×（﹣20）＝84620（元）；
故答案为：84620元．
（4）1410×60+10×15＝84750（元），
∵84620＜84750，
故选择“每周计件工资制”．
53．2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表：
数量（张） 1﹣50 51﹣100 101张及以上
单价（元/张） 60元 50元 40元
如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元．
（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？
（2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？
（3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？
【思路点拔】（1）运用分别购票的费用和﹣联合购票的费用就可以得出结论；
（2）设甲单位有退休职工x人，则乙单位有退休职工（102﹣x）人，根据“如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元”建立方程求出其解即可；
（3）有三种方案：方案一：各自购买门票；方案二：联合购买门票；方案三：联合购买101张门票．分别求出三种方案的付费，比较即可．
【解答】解：（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票需40×102＝4080（元），
则比各自购买门票共可以节省：5500﹣4080＝1420（元）；
（2）设甲单位有退休职工x人，则乙单位有退休职工（102﹣x）人．
依题意得：50x+60×（102﹣x）＝5500，
解得：x＝62．
则乙单位人数为：102﹣x＝40．
答：甲单位有62人，乙单位有40人；
（3）方案一：各自购买门票需50×60+40×60＝5400（元）；
方案二：联合购买门票需（50+40）×50＝4500（元）；
方案三：联合购买101张门票需101×40＝4040（元）；
综上所述：因为5400＞4500＞4040．
故应该甲乙两单位联合起来选择按40元一次购买101张门票最省钱．
54．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
（3）若关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1的解．
【思路点拔】（1）先算出两个方程的解，再根据“美好方程”的定义，求出m的值；
（2）根据已知条件建立关于n的方程，再求解；
（3）根据“美好方程”的定义，求出x+1＝0的解为x＝﹣2024，再求得方程x+3＝2x+k的解为x＝2025，然后将关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1变形为（y+1）+3＝2（y+1）+k，则y+1＝x＝2025，从而求解．
【解答】解：（1）∵3x+m＝0，
∴x，
∵4x﹣2＝x+10，
∴x＝4，
∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，
∴41，
∴m＝9，
故答案为：9．
（2）∵“美好方程”的两个解之和为1，
∴另一个方程的解为1﹣n，
∵两个解的差为8，
∴n﹣（1﹣n）＝8或1﹣n﹣n＝8，
∴n或n，
故答案为：或．
（3）∵x+1＝0，
∴x＝﹣2024，
∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”，
∴方程x+3＝2x+k的解为：x＝1﹣（﹣2024）＝2025，
∵关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1可化为（y+1）+3＝2（y+1）+k，
∴y+1＝x＝2025，
∴y＝2024．
故答案为：y＝2024．
55．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：2x＝2的解为x＝1，x+1＝1的解为x＝0，所以这两个方程互为“阳光方程”．
（1）若关于x的一元一次方程x+2m＝0与3x﹣2＝﹣x是“阳光方程”，则m＝ ．
（2）已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为x＝k，求k的值．
（3）①已知关于x的一元一次方程a＝2023x的解是x＝2024，请写出解是y＝2023的关于y的一元一次方程：2023 （﹣y﹣1） ＝﹣a．（只需要补充含有y的代数式）．
②若关于x的一元一次方程x﹣1＝0和x﹣5＝2x+a互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ﹣2024 ．
【思路点拔】（1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可；
（2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为x＝k，x＝1﹣k由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可；
（3）①由题意可知的解是x＝2024，结合y＝2023，则y+1＝2024＝x，即可求解；
②求得方程的解，利用“阳光方程”的定义得到方程的解，将关于y的方程变形，利用同解方程的定义即可得到y+2的值，从而求得方程的解．
【解答】解：（1）关于x的一元一次方程x+2m＝0的解为：x＝﹣2m，
方程3x﹣2＝﹣x的解为：，
∵关于x的一元一次方程x+2m＝0与3x﹣2＝﹣x是“阳光方程”，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵“阳光方程”的一个解为x＝k，则另一个解为1﹣k，
∵这两个“阳光方程”的解的差为5
则k﹣（1﹣k）＝5或（1﹣k）﹣k＝5，
解得k＝3或k＝﹣2．
故k的值为3或﹣2；
（3）①∵关于x的一元一次方程的解是x＝2024，
∴的解是x＝2024，
∵y＝2023，则y+1＝2024＝x，
则的解是y＝2023，
即：的解是y＝2023，
故答案为：y+1，﹣y﹣1；
②方程的解为：x＝2023，
∵关于x方程与互为“阳光方程”，
∴方程的解为：x＝1﹣2023＝﹣2022．
∵关于y的方程就是：
∴y+2＝﹣2022，
∴y＝﹣2024．
∴关于y的方程的解为：y＝﹣2024．
故答案为：y＝﹣2024．
56．如图，点A、B、C在同一条直线上，线段AB＝4，点C为线段AB的中点，在直线AB上用尺规作出点D，使得BD＝2AB，并求CD的长度．
小乐给出了以下解答： 解：如图为所作图形，BD＝2AB＝8， ∵AB＝4，点C为线段AB的中点， ∴CB＝ AB＝ 2 ， ∴CD＝CB+BD＝ 10 ． 小欢说： 我觉得小乐的解答不完整，可能还有别的情况…
（1）请将小乐的解答过程补充完整；
（2）请在备用图中用尺规作出其它满足条件的点D，并求出CD的长度．
【思路点拔】（1）根据中点的定义以及线段的和差运算填空即可．
（2）以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交射线BA于点D，则点D即为所求．由题意可得AD＝4，由中点的定义可得ACAB＝2，再根据CD＝AD+AC可得答案．
【解答】解：（1）如图为所作图形，BD＝2AB＝8，
∵AB＝4，点C为线段AB的中点，
∴CBAB＝2，
∴CD＝CB+BD＝10．
故答案为：；2；10．
（2）如图，点D即为所求．
∵BD＝2AB＝8，
∴AD＝4，
∵AB＝4，点C为线段AB的中点，
∴ACAB＝2，
∴CD＝AD+AC＝6．
57．为迎接2024年的到来，滨海学校七（2）班积极筹办元旦联欢活动．班主任李老师在“飞送外卖”APP上发现了一款由心悦蛋糕店制作的手工泡芙蛋糕．为增添节日氛围，李老师准备订购40个蛋糕送给同学们．根据以下材料，解决问题．
阅读材料
素材1 订购方式打包费配送费“飞送外卖”APP每个蛋糕收1元3元/单
注：订单总价（不含打包费和配送费）满50元起送．
素材2 蛋糕店专属“心悦红包”：面值10元，订单总价（不含打包费和配送费）满99元可使用． 注：该专属红包仅有1个．
素材3 红包购买金额 ×4个10元
“飞送外卖”福利：10元购买一组（4个）“神券红包”，面值随机确定． 注：每个“神券红包”面值相等且可以和“心悦红包”同时使用，但每一个订单只允许使用一个“神券红包”．
问题解决
问题1 若李老师一次性下单购买40个蛋糕，并使用“心悦红包”，且由外卖配送，总花费多少元？
问题2 （列方程解决问题）为了降低费用，李老师购买了一组“神券红包”，先后4次下单共订购40个蛋糕，并将两种红包全部使用，且由外卖配送，所有费用刚好为504元，请计算出每个“神券红包”的面值．
【思路点拔】问题1：总花费＝数量×（单价+包装费）+配送费﹣心悦红包；
问题2：设每个“神券红包”的面值为x元，根据总花费＝数量×（单价+包装费）+配送费×4+购买“神券红包”费用﹣4个“神券红包”面值﹣心悦红包，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：问题1：
根据题意得：
40×12﹣10+40×1+3
＝480﹣10+40+3
＝513（元），
答：总花费513元；
问题2：
设每个“神券红包”的面值为x元，
根据题意得：
40×（12+1）+4×3+10﹣4x﹣10＝504，
整理得：532﹣4x＝504，
解得：x＝7，
答：每个“神券红包”的面值为7元．
58．【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和一个10克的砝码，如何称出1个乒乓球和1个纸杯的质量？
【操作探究】下面是“指挥小组”的探究过程；
准备物品：①若干个大小相同的乒乓球（质量相同）；②若干个大小相同的纸杯（质量相同）．
探究过程：设每个乒乓球的质量是x克．
天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球的总质量 一次性纸杯的总质量
记录1 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 8x 8x+10
记录2 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 4x 4x﹣10
【解决问题】
（1）①将表格中的空白部分用含x的式子表示；
②分别求1个乒乓球的质量和1个一次性纸杯的质量．
【拓展设计】
（2）“创新小组”根据“智慧小组”的探究过程提出这样一个问题：
请你设计一个方案，使得乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍，并填入下表：
天平左边 天平右边 天平状态
记录3 乒乓球 8 个 一次性纸杯 4 个+2个10克的砝码 平衡
【思路点拔】（1）①由题目中的数量关系可得答案；
②根据题意列出方程，求解可得答案；
（2）设一次性纸杯个数为m，根据记录3列出方程，求解可得答案．
【解答】解：（1）①根据题意可得：记录1中的一次性纸杯的总质量为：8x+10；
记录2中的一次性纸杯的总质量为：4x﹣10，
故答案为：8x+10；4x﹣10；
②由题意得：（8x+10）÷14＝（4x﹣10）÷2，
解得：x＝4，
∴（4x﹣10）÷2＝3，
答：一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为3克．
（2）解：设一次性纸杯个数为m，则乒乓球的个数为2m，
由记录3得：4×2m＝3m+2×10，
解得m＝4，
∴将天平左边放8个乒乓球，天平右边放置4个一次性纸杯和2个10克的砝码，使得天平平衡．
故答案为：8，4．
59．综合与实践：
商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．条形码是由13位数字（每个数字都是由大于等于0且小于等于9的整数）组成，前12位数字分别表示“国家代码、出口商识别码和商品代码”相关信息，如图①693是代表中国，49170代表出口商识别码，0940代表商品代码，第13位数字2为“校验码”．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图①为例）：
步骤 举例说明
步骤1：自左向右编号 某商品的条形码：693489170940X（X为校验码）
位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
代码 6 9 3 4 9 1 7 0 0 9 4 0 X
步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s； s＝9+4+1+0+9+0＝23；
步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t； t＝6+3+9+7+0+4＝29；
步骤4：计算3s与t的和m； m＝3s+t＝23×3+29＝98；
步骤5：取大于或等于m且为10的最小整数倍数n； n＝100；
步骤6：计算n与m的差就是校验码X． X＝100﹣98＝2，校验码X＝2．
【知识运用】请回答下列问题：
（1）若某商品的条形码为692015246132X，根据材料计算验证码过程如下：
步骤1：自左向右编号，共13位；
步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s＝9+0+5+4+1+2＝21；
步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t＝6+2+1+2+6+0＝17；
步骤4：计算3s与t的和m＝3s+t＝ 80 ；
步骤5：取大于或等于m且为10的最小整数倍数n＝ 80 ；
步骤6：计算n与m的差就是校验码X＝ 0 ．
（2）如图②，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，用只含有a的代数式表示m＝ 59+a ；当a＝0时，m＝ 59 ，n＝ 60 ；当校验码X＝2时，a＝ 9 ．
【思路点拔】（1）把s＝211＝17，代入3s+r中即可求出m的值，进而求出n的值，再求出n﹣m的值即可求出X的值；
（2）根据题意求出s＝17，t＝8+a，则m＝3s+t＝59+a；当a＝0时，m＝59，n＝60，则此时X＝n﹣m＝1；当a＝1时，m＝60，n＝60，则此时X＝n﹣m＝0；则当校验码x＝2时，a≠0且a≠1，由61≤m＝59+a≤68，得到n＝70，则X＝n﹣m＝70﹣59﹣a＝2，解得a＝9．
【解答】解：（1）m＝3s+t＝3×21+17＝80，
n＝80，
X＝80﹣80＝0，
故答案为：80，80，0；
（2）在6912001001a5中，
偶数位上的数字之和s＝9+2+0+0+1+5＝17，奇数位上的数字之和t＝6+1+0+1+0+a＝a+8，
m＝3s+t＝3×17+a+8＝59+a，
当a＝0时，m＝59，n＝60，则此时X＝n﹣m＝1，
当a＝1时，m＝60，n＝60，则此时X＝n﹣m＝0，
∴当校验码X＝2时，a≠0且a≠1，
∴2≤a≤9，
∴61≤m＝59+a≤68，
∴n＝70，
∴X＝n﹣m＝70﹣59﹣a＝2，
解得a＝9，
故答案为：59+a，59，60，9．
60．综合与实践：某数学学习小组在探索网格中多边形的面积．如图1用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，以格点为顶点的四边形称为格点四边形，同理，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．
（1）如图2，格点三角形ABC的面积为 6 ；
（2）如图3，求格点△DEF的面积小组发现，△DEF面积无法直接求得，尝试转化为已知可直接求的图形面积．小组发现两种方法：
方法一：如图4，将三角形补成如图长方形，用长方形面积减去三个阴影部分的直角三角形面积可得△DEF的面积；
方法二：将△DEF分成如图5三个三角形，△DOE，△EOF，△DOF，三个三角形的面积可以求出，则△DEF的面积可以求出．
选用上述方法，可求的△DEF的面积为 8 ；
（3）如图6，阴影部分图形的面积为 31 ；
（4）小组发现，用（2）方法，可以求得网格中所有格点多边形的面积．小组通过一些面积的计算，发现：格点多边形的面积与格点多边形的边上的格点个数、多边形内部格点的个数之间有一定数量关系，为了探求这种关系，小组列出如下表格：
图形序号 格点多边形的内部格点数x 格点多边形的边上的格点个数y 格点多边形的面积S
图2 4 6 （1）已求
图3 7 4 （2）已求
图6 22 20 （3）已求
你也可以尝试多个不同的格点多边形，直接用含有x，y的代数式表示S．S＝ y+x﹣1 ．
【思路点拔】（1）根据三角形的面积公式，利用网格的特点可直接求出△ABC的面积；
（2）选择方法一，利用网格的特点，根据面积的和差可求出△DEF的面积，选择方法二，利用网格的特点，把△DEF转化为三个三角形的面积和即可得出△DEF的面积；
（3）根据网格的特点，利用三角形，梯形，正方形的面积公式，结合图形即可求出阴影部分的面积；
（4）根据表格中的数据，归纳总结出规律即可．
【解答】解：（1）如图2所示，BC＝4，AM＝3，
∴S△ABCBC AM4×3＝6；
故答案为：6．
（2）选择方法一，如图4所示：PQ＝SF＝4，PS＝QF＝5，PD＝PQ＝2，PE＝3，ES＝2，
∴S正方形PQFS＝4×5＝20，S△PDE2×3＝3，S△SEF2×4＝4，S△QDF2×5＝5，
∴S△DEF＝S正方形PQFS﹣S△PDE﹣S△SEF﹣S△QDF＝20﹣3﹣4﹣5＝8；
选择方法二，如图5所示：OE＝2，OD＝3，FT＝FN＝2，
∴S△ODE2×3＝2，S△ODF3×2＝3，S△OEF2×2＝2，
∴S△DEF＝S△ODE+S△ODF+S△OEF＝2+3+2＝8；
故答案为：8．
（3）如图6所示：AD＝7，BC＝3，DF＝4，GH＝TH＝1，TM＝5，KL＝3，MN＝PN＝1，AQ＝4，AN＝7，
∴S正方形ADHN＝7×7＝49，S梯形ABCD（3+7）×1＝5，S△DEF4×2＝4，S△GHT1×1＝0.5，S梯形MTKL（3+5）×1＝4，S△MNP1×1＝0.5，S△QPA4×2＝4，
∴S阴影＝S正方形ADHN﹣S梯形ABCD﹣S△DEF﹣S△GHT﹣S梯形MTKL﹣S△MNP﹣S△QPA＝49﹣5﹣4﹣0.5﹣4﹣0.5﹣4＝31；
故答案为：31．
（4）在图2中，格点多边形的内部格点数x＝4，格点多边形的边上的格点个数y＝6，S＝66+4﹣1；
在图3中，格点多边形的内部格点数x＝7，格点多边形的边上的格点个数y＝4，S＝84+7﹣1；
在图6中，格点多边形的内部格点数x＝22，格点多边形的边上的格点个数y＝20，S＝3120+22﹣1；
以此类推，Sy+x﹣1．
故答案为：y+x﹣1．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版（2024）七年级上册期末复习培优试题训练
一．选择题（共18小题）
1．餐桌对于我们中国人有着非同一般的意义，它承载着家庭团圆的欢声笑语，如图为一张圆形木质餐桌，则其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
2．某市有近3万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取600名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．这600名考生是总体的一个样本
B．每位考生的数学成绩是个体
C．近3万名考生是总体
D．600名学生是样本容量
3．某商品原先的利润率为20%，为了促销，现降价20元销售，此时利润率下降为10%．那么这种商品的进价是（ ）元．
A．20 B．100 C．150 D．200
4．如图，点M、点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，AC＝2BC，若MC＝2，则AB的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
5．一列火车正在匀速行驶，它先用30s的时间通过了一条长280m的桥（即从车头进入桥头到车尾离开桥尾），又用20s的时间通过了一条长为120m的桥，这列火车的长度是（ ）
A．160m B．180m C．200m D．220m
6．如图，将一副三角尺（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝160°，则下列说法错误的是（ ）
A．∠A＝∠B＝45° B．∠AOC＝∠BOD＝70°
C．∠BOC+∠AOD＝180° D．∠BOC+∠D＝60°
7．如图，三角形纸片ABC中，点D、E、F分别在边BC，AB，AC上，连接DE，DF，将△BDE、△CDF分别沿DE、DF对折，使点B、C落在点B'、C'处，若B'D恰好平分∠EDC'，且∠EDF＝99.5°，则∠EDC'的度数为（ ）
A．37° B．38° C．39° D．40°
8．将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，CE、CF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B'、D'，若∠ECF＝22°，则∠B'CD'的度数为（ ）
A．48° B．46° C．44° D．42°
9．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则∠1、∠2、∠3三个角的数量关系为（ ）
A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90°
C．∠1﹣∠2+∠3＝90° D．∠1+2∠2﹣∠3＝90°
10．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则a﹣b的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
11．根据图中数字的排列规律，在第⑨个图中，a﹣b﹣c的值是（ ）
A．62 B．254 C．﹣258 D．256
12．已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法：
①a+b﹣c＞0；②ab+ac＞0；③；④|a﹣b|﹣|c+b|+|a﹣c|＝﹣2b．
其中正确结论序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④
13．如图所示：C是线段AB上一点，且AB＝3AC，P、Q从C点同时出发，分别朝着点A运动、点B运动，且点P的运动速度是点Q的一半，当AP＝6cm时，BQ的长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
14．有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝6，CE＝10，则线段BC的长是（ ）
A．8 B．8或16 C．8或32 D．16或32
15．电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形ABC，AB＝7，AC＝8，BC＝9，如果电子跳蚤开始时在BC边的P0点，BP0＝3，第一步跳蚤从P0跳到AC边上P1点，且CP1＝CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2＝AP1；第三步跳蚤从P2跳回到BC边上P3点，且BP3＝BP2；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为Pn，则P5与P2024之间的距离为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．5
16．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又把x﹣[x]称为x的小数部分，记作{x}，则有x＝[x]+{x}．如：[1.3]＝1，{1.3}＝0.3，1.3＝[1.3]+{1.3}，下列说法中正确的有（ ）个．
①[2.8]＝2；
②[﹣5.3]＝﹣5；
③若1＜|x|＜2，且{x}＝0.4，则x＝1.4或x＝﹣1.6；
④方程3[x]+1＝{x}+3x的解为x＝0.25．
A．4 B．3 C．2 D．1
17．如图是某展馆的平面图，3个展区均为正方形，分别记为①、②、③．④是展区②和③的公共区域．已知展区①、②、③的边长分别为10米，20米和30米，入口区域和出口区域的面积分别记为S1和S2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．S1＝S2﹣20 B． C．S1＝S2﹣10 D．
18．如图，把一个周长为定值的长方形分割为五个四边形，其中A是正方形，B，C，D，E都是长方形，这五个四边形的周长分别用lA，lB，lC，lD，lE表示，则下列各式的值为定值的是（ ）
A．lA B．lB+lD C．lA+lB+lD D．lA+lC+lE
二．填空题（共15小题）
19．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形的边数为 ．
20．一商店在某一时间以每件a元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，若卖出这两件衣服商店共亏损10元，则a的值为 ．
21．如图，一副三角板中，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，如果∠1＝27°，那么∠2的大小是 度．
22．定义运算“*”对于任意有理数a与b，满足，例如：．若有理数x满足x*4＝3，则x的值为 ．
23．已知a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断：①a＜c＜b；②﹣a＜b；③a+b＞0；④c﹣a＜0中，错误的是 （写序号）
24．将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝16°，则∠EAF的度数为 ．
25．点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+4|+（b﹣2）2＝0．如图，若点P是点B右侧一点，点M为PA的中点，点N为PB上靠近B点的三等分点，当点P在点B的右侧运动时，的值为 ．
26．如图，把∠APB放在量角器上，读得射线PA、PB分别经过刻度117和153，把∠APB绕点P逆时针方向旋转到∠A′PB′，当时，射线PA′经过刻度 ．
27．如表所示每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定x的值为 ．
﹣1 3 2 4 ﹣3 5 4 6 a 10
0 ﹣1 3 14 ﹣2 ﹣13 5 34 …… b x ……
第1个 第2个 第3个 第4个 ……
28．乐乐用一张长为26cm的长方形纸片折纸飞机，折叠过程如图1所示，最后折成的纸飞机如图5﹣2所示，AB为4cm，则图2中a的值为 ．
29．我们知道分数写为小数即0.，反之，无限循环小数0.写成分数即，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以0.为例进行讨论：设0.x，由0.0.4444…，得：x＝0.4444…，10x＝4.444…，于是10x﹣x＝（4.44…）﹣（0.444…）＝4，即：10x﹣x＝4，解方程得：，于是得0.，则无限循环小数0.化成分数为 ．
30．在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示，已知OA＝OB，则|a+b| ．
31．已知：如图所示，A、B是数轴上的两个点，点A所表示的数为﹣5，动点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q、M从点A向右运动，且点M的速度是点Q速度的，当运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度，则当点P运动到点A时，动点Q所表示的数为 ．
32．已知直线l上线段AB＝6，线段CD＝2（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），若线段CD的端点C从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，则线段CD运动 秒时，MN＝2DN．
33．如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、校验码”．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为：
步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即a＝9+1+3+5+7+9＝34；
步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即b＝6+0+2+4+6+8＝26；
步骤3：计算3a与b的和c，即c＝3×34+26＝128；
步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d＝130；
步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即X＝130﹣128＝2．
如图，若条形码中被污染的两个数字的和是5，则被污染的两个数字中右边的数字是 ．
三．解答题（共27小题）
34．已知：|a+2|+（b﹣4）2＝0，c比b大2．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）在数轴上，点A，B，C分别对应实数a，b，c．
①数轴上点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数．
②动点M从点A出发以4个单位速度向右运动，动点N从点B出发以1个单位速度向右运动，点D在数轴上对应的数是10，动点M与动点N同时出发，当M运动到D后立即以原来的速度向左运动，当点M到达出发点A时，两个动点同时停止运动，设运动时间是t，当t＝ 时，M、N两点到点C的距离相等（直接写出t的值）．
35．【定义】点M，N，Q是一条直线上从左到右的三个点，若直线上点P满足PM+PN＝PQ，则称点P是点M，N，Q的“和谐点”．
【理解】
（1）在数轴上（图1），点A，B，C，P表示的数分别为﹣2，0，5，1，点P是否为点A，B，C的“和谐点”？请通过计算作出判断．
（2）点A，B，C是一条直线上从左到右的三个点，且AB＝2，BC＝3，若点P是点A、B、C的“和谐点”，则AP的长是 ．
【拓展】
（3）在数轴上（图2），点A，B，C表示的数分别为a，a+2，a+5（a是整数），点P在点A的左侧，且点P是点A、B、C的“和谐点”，点A、B、C、P表示的数之和是否能被4整除？请通过计算作出判断．
36．（1）【概念感悟】
若A、B两点在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点间的距离等于|a﹣b|，已知a，b满足|a﹣1|+（b+2）2＝0，则线段AB的长
（2）【知识应用】
在（1）的条件下，点C在数轴上对应的数为2，在数轴上是否存在点P，使PA+PB＝PC，若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；
（3）【综合应用】
在（1）和（2）的条件下，三只蚂蚁分别在数轴上从点A，B，C同时出发爬行，若点A处的蚂蚁以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C处的两只蚂蚁分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探究：随着时间t的变化，点B处出发的蚂蚁始终保持与其他两只蚂蚁的距离怎么样的数量关系，请说明理由．
37．【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律；
例如：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，A，B两点之间的距离记为AB，则AB＝|a﹣b|；
若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，数轴上一点C到点A，B的距离相等，则点C表示的数为．
【问题情境】
如图，数轴上点A表示的数为﹣2．点B表示的数为8，点P从点A出发．以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t（t＞1）秒．
【综合运用】
（1）①t秒后，点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ．（用含t的式子表示）
②求P，Q两点之间的距离．
③当P，Q两点重合时，t的值为 ．
（2）若数轴上点M到点A，P的距离相等，点N到点B，P的距离相等，则在点P的运动过程中，M，N两点之间的距离是否发生变化？若变化．请说明理由；若不变，请求出M，N两点之间的距离．
38．如图，点A，B在数轴上，O为原点．动点P，Q分别从点B沿数轴向点A运动，两点到达点A均停止运动．点P运动速度是1.5单位长度/秒，点Q运动速度是2单位长度/秒．
（1）点P运动3秒时所对应的数是 ，运动t秒时所对应的数是 ．
（2）若点P和点Q同时出发，请问什么时候两点相距1单位长度？此时P，Q表示的数分别是多少？
（3）若点P先出发a秒，点Q再出发，a在什么范围时，两点相距0.5个单位长度的次数最多？请直接写出a的范围．
39．（1）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，如图1，他发现将火车在数轴上水平移动，则当A点移动到B点时，B点所对应的数为24；当B点移动到A点时，A点所对应的数为6（单位：单位长度）．由此可得点A处的数字是 ，玩具火车的长为 个单位长度．（直接写答案）
（2）如果火车AB正前方8个单位处有一个“隧道”MN，火车AB从（1）的起始位置出发到完全驶离“隧道”恰好用了t秒，已知火车AB过“隧道”的速度为0.2个单位/秒，则可知“隧道”MN的长为 个单位．（自己在稿纸上画图分析，用含t的代数式表示即可）
（3）他惊喜的发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：如图2，（1）条件下的数轴上放置与AB大小相同的玩具火车CD，使原点O与点C重合，两列玩具火车分别从点O和点A同时在数轴上同时移动，已知CD火车速度5个单位/秒，AB火车速度为2个单位/秒（两火车均向右运动），几秒后两火车的A处与C处相距2个单位？
40．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角、如图①所示，若，则∠COD是∠AOB的内半角．
（1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ ；
（2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？
（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由．
41．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处，并使两条直角边落在直线PQ、MN上，将△AOB绕着点O顺时针旋转α（0°＜α＜180°）．
（1）如图2，若α＝26°，则∠BOP＝ ，∠AOM+∠BOQ＝ ；
（2）若射线OC是∠BOM的角平分线，且∠POC＝β．
①若△AOB旋转到图3的位置，∠BON的度数为多少？（用含β的代数式表示）
②△AOB在旋转过程中，若∠AOC＝2∠AOM，求此时β的值．
42．将两个直角三角形如图1摆放，已知∠CDE＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠B＝30°，射线CM平分∠BCE．
（1）如图1，当D、A、C三点共线时，∠ACM的度数为 °．
（2）如图2，将△DCE绕点C从图1的位置开始顺时针旋转，旋转速度为每秒6°，设时间为t s，作射线CN平分∠ACD．
①若0＜t，∠MCN的度数是否改变？若改变，请用含t的代数式表示；若不变，请说明理由并求出值．
②若t＜30，当t为何值时，∠BCN＝2∠DCM？请直接写出t的值．
43．如图，已知∠AOB＝60°，三角形COD是含有30°角的三角板，∠COD＝30°，OE平分∠BOC．
（1）如图1，当∠AOC＝20°时，∠DOE＝ ；
（2）如图2，当∠AOC＝40°时，∠DOE＝ ；
（3）如图3，当∠AOC＝α（120°＜α＜180°）时，求∠DOE的度数，请借助图3填空．
解：因为∠AOC＝α，∠AOB＝60°，
所以∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝α﹣60°．
因为OE平分∠BOC，
所以 （用α表示）．
因为∠DOC＝30°，
所以∠DOE＝∠EOC+∠DOC＝ （用α表示）．
（4）由（1）（2）（3）问可知，当∠AOC＝β（0°＜β＜180°）时，直接写出∠DOE的度数．（用β来表示，无需说明理由）
44．已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点O放置于直线MN上，直角边OA与直线MN重合，其中∠AOB＝90°，然后将三角板AOB绕点O顺时针旋转，设∠AOM＝α，从点O引射线OC和OD，OC平分∠BON，．
（1）如图2，填空：当α＝30°时，∠CON＝ °．
（2）如图2，当0°＜α＜90°时，求∠COD的度数（用含α的代数式表示）；
（3）如图3，当90°＜α＜180°时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．
45．将直角三角板MON（∠MON＝90°）的直角顶点O放在直线AB上，过点O作射线OC，使∠BOC＝62°．
（1）如图1，当三角板MON的一边ON与射线OB重合时，直接写出∠MOC的度数；
（2）将三角板MON绕点O逆时针转动，
①如图2，当OC平分∠MOB时，求∠BON的度数；
②如图3，当∠NOC∠AOM时，求∠NOC的度数．
46．如图1，射线OM上有A、B两点，OA＝12，OB＝3OA．一动点P从点O出发，以每秒4个单位的速度沿射线OA的方向运动，当点P到达点A时，射线AM开始绕点A按逆时针方向以每秒5°的速度旋转，同时点P降速一半沿射线AM的方向运动（如图2），当点P到达点B时，射线AM旋转停止，接着，射线BM开始绕点B按顺时针方向以每秒15°的速度旋转，同时点P再降速一半沿射线BM的方向运动（如图3）．设点P运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）AB的长等于 ；当点P到达点B时，∠OAB等于 °；
（2）当射线BM与AB所在直线第一次重合（不包括图2的情形）时，点P是线段AB的中点吗？为什么？
（3）在射线BM旋转的过程中，若它与AB所在直线第二次重合时所有运动停止，则t为多少秒时，BM所在直线与OA所在直线垂直？
47．问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力．
（1）【特例感知】
如图①，已知线段CD在线段AB上运动，线段AB＝10cm，CD＝2cm，点E、F分别是AC、BD的中点．解答下列问题：
①如图1，若AC＝3cm，求EF的长 cm；（直接写出结果）
②小聪发现：保持线段CD在线段AB上运动，其他条件不变，则EF的长保持不变．小聪理由如下
∵E，F分别是AC、BD的中点，在此处键入公式．
∴EC＝ AC，DF＝ DB
∴EF＝EC+CD+DF
∵AB＝10cm，CD＝2cm不变
∴EF的长不变；
（2）【类比探究】
小聪继续探究发现角与线段类似，如图2已知∠COD在∠AOB内部转动，OE和OF分别平分∠AOC和∠BOD，则∠EOF与∠AOB、∠COD有数量关系，说明理由．
（3）【知识迁移】
如图3，已知∠COD在∠AOB内部转动，若∠AOB＝150°，∠COD＝30°，∠AOE＝k∠EOC，∠BOF＝k∠DOF，求∠EOF＝ .（用含有k的式子表示计算结果）．
48．【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知∠AOB＝120°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．
（1）【初步感知】若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝30°，求∠EOF的度数；
（2）【探究发现】若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数为 ；
（3）【拓展延伸】若射线OC从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转，旋转的角度不超过180°，其余条件不变，当∠BOE＝3∠COF时，请借助备用图探究∠EOC的大小，并直接写出∠EOC的度数（不写探究过程）．
49．知识的迁移与应用
问题一：甲、乙两车分别从相距180km的A、B两地出发，甲车速度为36km/h，乙车速度为24km/h，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距120km？
问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，OA表示时针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，OA与OB的夹角∠AOB＝120°．
（1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ；
（2）3：40时，时针与分针所成的角度 ；
（3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成60°角？
50．学校新建了一栋教学大楼，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和一道侧门时，每分钟可以通过200名学生；只开启一道正门比只开启一道侧门每分钟可以通过的学生多40名．
（1）求平均每分钟一道侧门可以通过多少名学生？（列一元一次方程解决问题）
（2）紧急情况时因学生拥挤，出门的效率会降低20%，现规定在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学楼共有32间教室，每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合规定？请说明理由．
51．某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题：
（1）求小明原计划购买文具袋多少个？
（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？
52．某厂本周计划每天生产200辆自行车，由于工作人员轮休等原因，实际每天生产量与计划生产量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减（单位：辆） +7 ﹣2 ﹣5 +14 ﹣11 +15 ﹣8
（1）该厂星期三生产电动车 辆；
（2）请求出该厂在本周实际生产自行车的数量．
（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一辆自行车可以得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆在60元基础上另奖15元；少生产一辆则倒扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
（4）若将（3）问中的实行“每日计件工资制”改为实行“每周计件工资制”，其他条件不变，在此计算方式下这一周工人的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．
53．2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表：
数量（张） 1﹣50 51﹣100 101张及以上
单价（元/张） 60元 50元 40元
如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元．
（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？
（2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？
（3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？
54．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
（3）若关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1的解．
55．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：2x＝2的解为x＝1，x+1＝1的解为x＝0，所以这两个方程互为“阳光方程”．
（1）若关于x的一元一次方程x+2m＝0与3x﹣2＝﹣x是“阳光方程”，则m＝ ．
（2）已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为x＝k，求k的值．
（3）①已知关于x的一元一次方程a＝2023x的解是x＝2024，请写出解是y＝2023的关于y的一元一次方程：2023 ＝﹣a．（只需要补充含有y的代数式）．
②若关于x的一元一次方程x﹣1＝0和x﹣5＝2x+a互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ．
56．如图，点A、B、C在同一条直线上，线段AB＝4，点C为线段AB的中点，在直线AB上用尺规作出点D，使得BD＝2AB，并求CD的长度．
小乐给出了以下解答： 解：如图为所作图形，BD＝2AB＝8， ∵AB＝4，点C为线段AB的中点， ∴CB＝ AB＝ ， ∴CD＝CB+BD＝ ． 小欢说： 我觉得小乐的解答不完整，可能还有别的情况…
（1）请将小乐的解答过程补充完整；
（2）请在备用图中用尺规作出其它满足条件的点D，并求出CD的长度．
57．为迎接2024年的到来，滨海学校七（2）班积极筹办元旦联欢活动．班主任李老师在“飞送外卖”APP上发现了一款由心悦蛋糕店制作的手工泡芙蛋糕．为增添节日氛围，李老师准备订购40个蛋糕送给同学们．根据以下材料，解决问题．
阅读材料
素材1 订购方式打包费配送费“飞送外卖”APP每个蛋糕收1元3元/单
注：订单总价（不含打包费和配送费）满50元起送．
素材2 蛋糕店专属“心悦红包”：面值10元，订单总价（不含打包费和配送费）满99元可使用． 注：该专属红包仅有1个．
素材3 红包购买金额 ×4个10元
“飞送外卖”福利：10元购买一组（4个）“神券红包”，面值随机确定． 注：每个“神券红包”面值相等且可以和“心悦红包”同时使用，但每一个订单只允许使用一个“神券红包”．
问题解决
问题1 若李老师一次性下单购买40个蛋糕，并使用“心悦红包”，且由外卖配送，总花费多少元？
问题2 （列方程解决问题）为了降低费用，李老师购买了一组“神券红包”，先后4次下单共订购40个蛋糕，并将两种红包全部使用，且由外卖配送，所有费用刚好为504元，请计算出每个“神券红包”的面值．
58．【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和一个10克的砝码，如何称出1个乒乓球和1个纸杯的质量？
【操作探究】下面是“指挥小组”的探究过程；
准备物品：①若干个大小相同的乒乓球（质量相同）；②若干个大小相同的纸杯（质量相同）．
探究过程：设每个乒乓球的质量是x克．
天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球的总质量 一次性纸杯的总质量
记录1 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 8x
记录2 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 4x
【解决问题】
（1）①将表格中的空白部分用含x的式子表示；
②分别求1个乒乓球的质量和1个一次性纸杯的质量．
【拓展设计】
（2）“创新小组”根据“智慧小组”的探究过程提出这样一个问题：
请你设计一个方案，使得乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍，并填入下表：
天平左边 天平右边 天平状态
记录3 乒乓球 个 一次性纸杯 个+2个10克的砝码 平衡
59．综合与实践：
商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．条形码是由13位数字（每个数字都是由大于等于0且小于等于9的整数）组成，前12位数字分别表示“国家代码、出口商识别码和商品代码”相关信息，如图①693是代表中国，49170代表出口商识别码，0940代表商品代码，第13位数字2为“校验码”．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图①为例）：
步骤 举例说明
步骤1：自左向右编号 某商品的条形码：693489170940X（X为校验码）
位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
代码 6 9 3 4 9 1 7 0 0 9 4 0 X
步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s； s＝9+4+1+0+9+0＝23；
步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t； t＝6+3+9+7+0+4＝29；
步骤4：计算3s与t的和m； m＝3s+t＝23×3+29＝98；
步骤5：取大于或等于m且为10的最小整数倍数n； n＝100；
步骤6：计算n与m的差就是校验码X． X＝100﹣98＝2，校验码X＝2．
【知识运用】请回答下列问题：
（1）若某商品的条形码为692015246132X，根据材料计算验证码过程如下：
步骤1：自左向右编号，共13位；
步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s＝9+0+5+4+1+2＝21；
步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t＝6+2+1+2+6+0＝17；
步骤4：计算3s与t的和m＝3s+t＝ ；
步骤5：取大于或等于m且为10的最小整数倍数n＝ ；
步骤6：计算n与m的差就是校验码X＝ ．
（2）如图②，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，用只含有a的代数式表示m＝ ；当a＝0时，m＝ ，n＝ ；当校验码X＝2时，a＝ ．
60．综合与实践：某数学学习小组在探索网格中多边形的面积．如图1用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，以格点为顶点的四边形称为格点四边形，同理，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．
（1）如图2，格点三角形ABC的面积为 ；
（2）如图3，求格点△DEF的面积小组发现，△DEF面积无法直接求得，尝试转化为已知可直接求的图形面积．小组发现两种方法：
方法一：如图4，将三角形补成如图长方形，用长方形面积减去三个阴影部分的直角三角形面积可得△DEF的面积；
方法二：将△DEF分成如图5三个三角形，△DOE，△EOF，△DOF，三个三角形的面积可以求出，则△DEF的面积可以求出．
选用上述方法，可求的△DEF的面积为 ；
（3）如图6，阴影部分图形的面积为 ；
（4）小组发现，用（2）方法，可以求得网格中所有格点多边形的面积．小组通过一些面积的计算，发现：格点多边形的面积与格点多边形的边上的格点个数、多边形内部格点的个数之间有一定数量关系，为了探求这种关系，小组列出如下表格：
图形序号 格点多边形的内部格点数x 格点多边形的边上的格点个数y 格点多边形的面积S
图2 4 6 （1）已求
图3 7 4 （2）已求
图6 22 20 （3）已求
你也可以尝试多个不同的格点多边形，直接用含有x，y的代数式表示S．S＝ ．
