人教版九年级数学下名师点拨与训练第27章相似第27章 相似 小结与复习
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| 名称 | 人教版九年级数学下名师点拨与训练第27章相似第27章 相似 小结与复习 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 7.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-08 21:14:16 | ||
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文档简介
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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
第27章 相似 小结与复习
一、知识导图
二、知识清单
知识点一、图形的相似的概念
形状相同的图形叫做相似图形。
1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；
2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；
3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。
例1-1．在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下：
嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似；
淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对
C．嘉嘉对，淇淇不对 D．嘉嘉不对，淇淇对
例1-2．下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
变式．下列说法正确的是（ ）
A．对应边都成比例的多边形相似 B．对应角都相等的多边形相似
C．边数相同的正多边形相似 D．矩形都相似
知识点二、成比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
1）若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。
2）四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以）
3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。
4）比例的重要性质：
基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则；
更比性质：若，则； 反比性质：若，则；
等比性质：若，则。
5）拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
例2-1．已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，即＝，下列说法错误的是( )
A．ad=bc B．= C．＝ D．＝
例2-2．若x是3和6的比例中项，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2-1．有以下命题：
①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有 ．
②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项．
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项．
④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=﹣1．
其中正确的判断有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2-2．已知线段a，b，c满足 ，且a+2b+c=26，则a+2b﹣c= ．
知识点三、平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。
例3-1．如图，已知直线，直线分别交直线于点，直线分别交直线于点，若，则的值（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
例3-2．如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，交于点．若，则的长为 ．
变式3-1． 如图，点D、E是边 上的点，，连接，交点为F，，那么的值是 ．
变式3-2．在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．当点落在的延长线上时，连接，交于点P，若是方程的两个实数根（），则的面积为 ．
知识点四、相似多边形的性质与判定
（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。
（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。
（3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。
例4-1．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E、F.
求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
例4-2．如图，五边形ABCDE是由五边形FGHMN经过位似变换得到的，点O是位似中心，F、G、H、M、N分别是OA、OB、OC、OD、OE的中点，则五边形ABCDE与五边形FGHMN的面积比是（ ）
A．2：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
知识点五、相似三角形的相关概念
1）、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。
三角形相似具有传递性。
2）、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。
3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。
若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。
例5 .下列说法一定正确的是（ ）
（A）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似
（B）对应角相等的两个三角形不一定相似
（C）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
（D）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似
知识点六、相似三角形的判定
判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。
例6-1．如图，在四边形中，对角线、相交于点，，且，若，则的值为 .
例6-2．在中，对角线交于点O，E是上一点，且，连结，当时，若则 °，若，则 .
变式6-1．在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝8，AD＝10，求EC的长．
变式6-2．如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
知识点七、相似三角形的性质
1、对应角相等，对应边的比相等；
2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。）
例7-1．如图，在平行四边形ABCD中，点在对角线BD上，且.
（1）求证：；
（2）若，求AB的长.
例7-2． 如图，中，，，D为边上一点，．
（1）求证：；
（2）如果，求的长．
变式7-1．如图，△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于点E，BC＝48，AD＝16．
（1）若PN＝18，求DE的长；
（2）若矩形PQMN的周长为80，求矩形PQMN的面积．
知识点八、利用相似三角形测高测距离
1）、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。
2）、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。
例8-1．如图，某中学两座教学楼中间有个路灯，甲、乙两个人分别在楼上观察路灯顶端，视线所及如图①所示。根据实际情况画出平面图形如图②，CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF，甲从点C可以看到点G处，乙从点E恰巧可以看到点D处，点B是DF的中点，路灯AB高5.5米，DF=120米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离的差。
变式8-1．又到了一年中的春游季节．某班学生利用周末去参观“三军会师纪念塔”．下面是两位同学的一段对话：
甲：我站在此处看塔顶仰角为60°；
乙：我站在此处看塔顶仰角为30°；
甲：我们的身高都是1.6m；
乙：我们相距36m．
请你根据两位同学的对话，计算纪念塔的高度．（精确到1米）
变式8-2．已知如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=2m．
（1）请你画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为4m，请你计算DE的长．
知识点九、位似的概念及性质
1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。
相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。
2）相似图形与位似图形的区别与联系：
区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；
②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。
联系：位似图形是特殊的相似图形。
3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。
4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。
例9-1．如图，DC∥AB，OA=2OC，则△OCD与△OAB的位似比是 ．
变式9-1．如图，和是以点为位似中心的位似图形，，则和的面积比值是 ．
变式9-2．如图，在平行四边形中，以C为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为2∶3，连接，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为 ．
知识点十、利用位似变换作图（放大或缩小图形）
利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。
画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。
例10-1．如图，在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于原点O成中心对称的；
（2）以A为位似中心，在网格中画出，使与位似且面积比为4：1。
变式10-1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成如下画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
（1）在图1中，以为边，画出，使与全等，为格点，请在图1中画出满足条件的所有；
（2）在图2中，以点为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点、为格点；
（3）在图3中，在边上找一个点，且满足．
知识点十一、图形的变换与坐标
1）、平移：（1）图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横坐标应相应地加n个单位，反之则减；（2）图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减。
2）、轴对称:（1）图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）图形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。
3）、以原点为位似中心的位似变换
在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为，则其位似图形对应点的坐标为或。
例11-1．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
①以O为位似中心在第二象限作位似比为1：2变换，得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；
②以原点O为旋转中心，画出把△ABC顺时针旋转90°的图形△A2B2C2，并写出C2的坐标．
变式11-1．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，
（2）点C1的坐标是 ；
（3）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，
（4）使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 ．
三、核心素养提升
数学建模-构建相似三角形模型解决实际问题
1．在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．
2．如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点，镜子为点，表示树，点，，在同一水平线上，小李身高米，米，米，则树高为( )
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
3．小亮同学想利用影长测量学校旗杆AB的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上BD处，另一部分在某一建筑的墙上CD处，分别测得其长度为9.6米和2米，求旗杆AB的高度.
2.逻辑推理-利用相似三角形的判定和性质进行推理
4．如图，点E在菱形ABCD的边BC的延长线上，AE交CD于点F，FG∥CE交DE于点G．求证：FG=FC．
5．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E.
(1)求证：△ADE∽△BCE；
(2)如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB.
6．已知AD⊥BC，BE=CE，∠ABC=2∠C，BF为∠B的平分线．求证：AB=2DE．
【答案】解：连接EF．
3.分类讨论思想
7．如图，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），且∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x
（1）CD的长度是否随着的x变化而变化？若变化，请用含的x代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度；
（2）当x取何值时，△ABP和△CDP相似．
8．在△ABC中，D，E分别是AC，AB边上的点，AD=3，AE=2，AC=5，当AB= 时，△ADE与△ABC相似．
9．已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A≠∠B，点P是边AC上一点（不与A、C重合），过P点的一条直线与△ABC的边相交，所构成的三角形与原三角形相似，这样的直线有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在四边形，，，，，．动点从点出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动．当点不与点A、B、重合时，作点关于直线PD的对称点，连接、，设点的运动时间为秒．
（1）线段CD的长为 ；
（2）当为直角三角形时，求的值；
（3）作点关于直线PD的对称点，连接．
①当时，求的值；
②连接，当直线经过点A时，直接写出的值．
4.方程的思想
11．
（1）如图1，在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的点处．求的长；
（2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长；
（3）在图1中，将绕点旋转至A，，E三点共线时，请直接写出的长．
12．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．
⑴当x为何值时，△APD是等腰三角形
⑵若设BE=y，求y关于x的函数关系式；
⑶若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C 若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
第27章 相似 小结与复习
一、知识导图
二、知识清单
知识点一、图形的相似的概念
形状相同的图形叫做相似图形。
1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；
2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；
3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。
例1-1．在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下：
嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似；
淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对
C．嘉嘉对，淇淇不对 D．嘉嘉不对，淇淇对
【答案】A
【知识点】图形的相似；位似图形的概念
例1-2．下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故选：D．
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
变式．下列说法正确的是（ ）
A．对应边都成比例的多边形相似 B．对应角都相等的多边形相似
C．边数相同的正多边形相似 D．矩形都相似
【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【分析】根据相似图形的定义，对选项一一分析，排除错误答案。
【解答】A、对应边都成比例的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；
B、对应角都相等的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；
C、边数相同的正多边形，形状相同，大小不一定相同，故正确；
D、矩形属于形状不唯一确定的图形，故错误。
故选C．
【点评】本题考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形。
知识点二、成比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
1）若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。
2）四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以）
3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。
4）比例的重要性质：
基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则；
更比性质：若，则； 反比性质：若，则；
等比性质：若，则。
5）拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
例2-1．已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，即＝，下列说法错误的是( )
A．ad=bc B．= C．＝ D．＝
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【分析】根据比例的性质将原式变形，分别进行判断即可，进而得出答案．
【解答】∵四条线段a，b，c，d是成比例线段，即＝，
∴A．利用内项之积等于外项之积，ad=bc，故选项正确，
B．利用内项之积等于外项之积，a（b+d)=b（a+c)，ab+ad=ab+bc，即ad=bc，故选项正确，
C．∵=，
∴=，故选项错误，
D．∵＝∴＝，故选项正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了比例的性质，将比例式灵活正确变形得出是解题关键．
例2-2．若x是3和6的比例中项，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【分析】根据比例中项的概念，得x2=3×6，则x可求出来．
【解答】∵x是3和6的比例中项，
∴x2=3×6=18，
解得x=．
故选D．
【点评】本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．求比例中项根据比例的基本性质进行计算．
变式2-1．有以下命题：
①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有 ．
②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项．
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项．
④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=﹣1．
其中正确的判断有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】比例线段；黄金分割
【解析】【解答】解：①、根据第四比例项的概念，显然正确；
②、如果点C是线段AB的中点，AB：AC=2，AC：BC=1，不成比例，错误；
③、根据黄金分割的概念，正确；
④、根据黄金分割的概念：AC= ﹣1，错误．
故选B．
【分析】根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法．
变式2-2．已知线段a，b，c满足 ，且a+2b+c=26，则a+2b﹣c= ．
【答案】2
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设 =k，则有a=3k，b=2k，c=6k，
代入已知等式得：3k+4k+6k=26，
解得：k=2，即a=6，b=4，c=12，
则原式=6+8﹣12=2，
故答案为：2
【分析】设已知比例式值为k，表示出a，b，c，代入已知等式求出k的值，确定出a，b，c的值，代入原式计算即可得到结果．
知识点三、平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。
例3-1．如图，已知直线，直线分别交直线于点，直线分别交直线于点，若，则的值（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：作分别交、于、，
∵，
∴四边形、四边形是平行四边形，
，
，
，即，
故答案为：A．
【分析】作分别交、于、，可得四边形、四边形是平行四边形，，然后根据平行线分线段成比例求出，再进一步计算的值即可．
例3-2．如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，交于点．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】点，为边的三等分点，
∴BE=ED=AD，
，
，
，
，
，
点，为边的三等分点，，
点，为边的三等分点，
，
，
，
．
故答案为：。
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质求得的长度，利用平行线分线段成比例定理求得，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
变式3-1． 如图，点D、E是边 上的点，，连接，交点为F，，那么的值是 ．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过作，交于，如图所示：
则，即：，，
，即：，
∴．
故答案为：
【分析】过作，交于，进而根据平行线分线段成比例结合题意即可求解。
变式3-2．在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．当点落在的延长线上时，连接，交于点P，若是方程的两个实数根（），则的面积为 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；旋转的性质
【解析】【解答】解：作交于，过作于，
∵是方程的两个实数根（），
∴，，
∴，
∵将绕点B顺时针旋转得到，
∴，，，，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】 先解方程可得AC=4，BC=3，再作CM∥BP交AB于点M，过C作CD⊥AB于点D，即可求出CD、BD的长度，再由旋转的性质和平行线的性质可得∠CBA=∠CMB，即可得到CM=BC，MD=BD，再由平行线分线段成比例求出BP，最后根据求解即可．
知识点四、相似多边形的性质与判定
（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。
（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。
（3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。
例4-1．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E、F.
求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°.
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.
∴AE＝EG＝FG＝AF，
即四边形AFGE为正方形．
∴ ＝ ＝ ＝ ，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】由正方形的性质可知；AC平分∠DAB，然后由角平分线的性质可知GE=GF，从而可证明四边形EGFA为正方形，故此四边形AFGE与四边形ABCD相似.本题主要考查的是相似多边形的判定、正方形的判定、角平分线的性质，证得四边形EAFG为正方形是解题的关键.
例4-2．如图，五边形ABCDE是由五边形FGHMN经过位似变换得到的，点O是位似中心，F、G、H、M、N分别是OA、OB、OC、OD、OE的中点，则五边形ABCDE与五边形FGHMN的面积比是（ ）
A．2：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
【答案】B
【知识点】相似多边形；位似变换
【解析】【解答】解：∵F为AO的中点，
∴OF：OA=1：2，
∵ 五边形ABCDE是由五边形FGHMN经过位似变换得到的 ，
∴FN∥AE，
∴△OFN∽△OAE，
∴OF∶OA=FN∶AE=1∶2
∴五边形ABCDE与五边形FGHMN的面积比为：4：1.
故答案为：B.
【分析】由五边形ABCDE与五边形FGHMN关于点O成位似关系，且OF：OA=1：2，可得位似比为1：2，根据形似图形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案.
知识点五、相似三角形的相关概念
1）、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。
三角形相似具有传递性。
2）、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。
3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。
若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。
例5 .下列说法一定正确的是（ ）
（A）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似
（B）对应角相等的两个三角形不一定相似
（C）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
（D）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似
【答案】C
【解析】根据判定定理2可知A错误，C正确；根据判定定理1可知B错误，根据相似三 角形预备定理可知只有直线与底边平行时才相似．
【总结】考查相似三角形的判定定理掌握情况和相关条件．
知识点六、相似三角形的判定
判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。
例6-1．如图，在四边形中，对角线、相交于点，，且，若，则的值为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图：
过点D作DE⊥BC于点E.
∴，
设DE=3x，DB=5x，则BE=4x.
∵DC=DB=5x，
∴CE=BE=4x，BC=8x.
过点A作AG//BC交DB于点G，
∴，∠AHD=∠CEH=90°=∠AHE.
∵，
∴∠GAD=∠GAB=∠ABC.
∴△DAH∽△ABC.
∴.
∵，
∴四边形ACEH是矩形，
∴.
∴
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥BC于点E.根据 ，设DE=3x，结合DC=DB可表示出BE，CE，BD.过点A作AG//BC交DB于点G，根据可证得∠GAD=∠GAB=∠ABC以及∠AHD=∠CEH=90°=∠AHE.可得△DAH∽△ABC和四边形ACEH是矩形，于是可得，可得结果.
例6-2．在中，对角线交于点O，E是上一点，且，连结，当时，若则 °，若，则 .
【答案】；
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∠BCD=∠BAD.
∵
∴，
∴∠AED=∠BAE=90°，
①∵，，AD=DA，
∴△OAD≌△EDA(SAS)
∴∠AOD=∠AED=90°，∠ODA=∠EAD.
∴AC⊥BD，
∴ 是菱形.
∴AB=BC=CD=AD.
∴∠ODC=∠ODA=∠EAD.
∵在直角三角形AED中，∠EAD+∠ODA+∠ODC=3∠EAD=90°.
∴∠ABC=∠ADC=60°.
②在DE上选取点F，使EF=CE，连接AF. 如图所示：
∵AE⊥CF，
∴AC=AF，
∴∠CAE=∠FAE，∠ACE=∠AFE.
∴.
∵∠OCD=∠FCA，
∴△OCD∽△FCA.
∴
∵AO=CO=DE，
∴
令，
∴.
解得：(舍负)
故
故答案为：60°；.
【分析】先根据平行四边形的性质以及角的换算，得出∠AED=90°，再证明△OAD≌△EDA ( SAS) ，得∠AOD=∠AED=90°，∠ODA=∠EAD.于是可得四边形ABCD为菱形，根据菱形的对角线平分对角和直角三角形两锐角互余，得3∠EAD=90°，可求∠ABC的度数；
在DE上选取点F，使EF=CE，连接AF.根据线段垂直平分线的性质得AC=AF，于是可证明△OCD∽△FCA，得，结合AO=CO=DE，可得，令，得到关于x的方程，求解即可.
变式6-1．在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝8，AD＝10，求EC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
由翻折可得：
∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∵∠B＝∠C，
∴△ABF∽△FCE；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝10，
∴BC＝10，
由翻折可得：
AF＝10，
在Rt△ABF中，
，
∴CF＝10﹣6＝4，
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴CE＝3．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【分析】(1)根据四边形ABCD是矩形，得出∠B=∠C=∠D=90°，由翻折可得：∠D=∠AFE=90°，利用同角的余角相等可以得出∠BAF=∠EFC，即可证出结论；
(2)由翻折可得：AF=10，根据勾股定理得出BF=6，利用 △ABF∽△FCE ，求解即可EC.
变式6-2．如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
【答案】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，∴，∵AF：BF=1：2，∴=，∴，即FE=BC，∵BC：CD=2：1，∴CD=BC，∵FE∥BD，∴．即FN：ND=2：3．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】过点F作FE∥BD，交AC于点E，求出，得出FE=BC，根据已知推出CD=BC，根据平行线分线段成比例定理推出=，代入化简即可．本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．
知识点七、相似三角形的性质
1、对应角相等，对应边的比相等；
2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。）
例7-1．如图，在平行四边形ABCD中，点在对角线BD上，且.
（1）求证：；
（2）若，求AB的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
，
（2）解：
.
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，推出从而证明；
（2）根据相似三角形对应边成比例，列出比例式，即可求出AB长.
例7-2． 如图，中，，，D为边上一点，．
（1）求证：；
（2）如果，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵，
∴
∴，
∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定，对应边成比例且夹角相等证出即可.
（2）根据相似三角形对应边成比例求解即可.
变式7-1．如图，△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于点E，BC＝48，AD＝16．
（1）若PN＝18，求DE的长；
（2）若矩形PQMN的周长为80，求矩形PQMN的面积．
【答案】（1）解：依题意得：PN∥BC，则△APN∽△ABC，
又AD是高，则，
设DE=，则AE=16-，
由得，，解之得，=10
（2）解：由矩形PQMN，又AD是高，则四边形PQDE为矩形，
∴DE=PQ，
设DE=PQ=，则PN=，
同理得，
解得=4
则矩形PQMN的面积=
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据相似三角形的判定与性质证明△APN∽△ABC得到，设DE=，则AE=16-，进而代入即可求解；
（2）先根据矩形的判定与性质得到DE=PQ，设DE=PQ=，则PN=，进而求出y，再根据矩形的面积公式即可求解。
知识点八、利用相似三角形测高测距离
1）、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。
2）、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。
例8-1．如图，某中学两座教学楼中间有个路灯，甲、乙两个人分别在楼上观察路灯顶端，视线所及如图①所示。根据实际情况画出平面图形如图②，CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF，甲从点C可以看到点G处，乙从点E恰巧可以看到点D处，点B是DF的中点，路灯AB高5.5米，DF=120米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离的差。
【答案】解：∵AB⊥DF，EF⊥DF，
∴∠ABD=∠F=90°，
又∵∠EDF=∠ADB，
∴△DAB~△DEF，
同理得△GAB~△GCD，
∵点B是DF的中点，
∴DB=BF= DF= ×120=60，
∵
∴EF=2AB=2x5.5=11，
∵BG=10.5，
∴DG=10.5+60=70.5
∴CD= AB= ×55≈36.9
∴甲、乙两人的观察点到地面的距离的差为：36.9-11=25.9（米）
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用垂直的定义可证∠ABD=∠F，再利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△DAB~△DEF，同理得△GAB~△GCD，再利用相似三角形的对应边成比例，就可求出EF，DG的长，然后求出CD的长即甲、乙两人的观测点到地面的距离的差。
变式8-1．又到了一年中的春游季节．某班学生利用周末去参观“三军会师纪念塔”．下面是两位同学的一段对话：
甲：我站在此处看塔顶仰角为60°；
乙：我站在此处看塔顶仰角为30°；
甲：我们的身高都是1.6m；
乙：我们相距36m．
请你根据两位同学的对话，计算纪念塔的高度．（精确到1米）
【答案】解：如图，CD=EF=BH=1.6m，CE=DF=36m，∠ADH=30°，∠AFH=30°，
在Rt△AHF中，∵tan∠AFH=，
∴FH=，
在Rt△ADH中，∵tan∠ADH=，
∴DH=，
而DH﹣FH=DF，
∴﹣=36，即﹣=36，
∴AH=18，
∴AB=AH+BH=18+1.6≈33（m）．
答：纪念塔的高度约为33m．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先画出几何图形，如图，CD=EF=BH=1.6m，CE=DF=36m，∠ADH=30°，∠AFH=30°，分别利用正切定义得到FH=，DH=，则﹣=36，再利用特殊角的函数值可计算出AH=18，然后计算AH+BH即可．
变式8-2．已知如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=2m．
（1）请你画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为4m，请你计算DE的长．
【答案】解：（1）如图，EF为此时DE在阳光下的投影；
（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF，
∴，即，解得DE=10（m），
即DE的长为10m．
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【分析】（1）连结AC，过点D作DF∥AC，则EF为所求；
（2）先证明Rt△ABC∽Rt△DEF，然后利用相似比计算出DE的长．
知识点九、位似的概念及性质
1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。
相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。
2）相似图形与位似图形的区别与联系：
区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；
②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。
联系：位似图形是特殊的相似图形。
3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。
4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。
例9-1．如图，DC∥AB，OA=2OC，则△OCD与△OAB的位似比是 ．
【答案】1：2
【知识点】位似变换
【解析】解：∵DC∥AB
∴△OAB∽△OCD
∵△OCD与OAB的对应点的连线都过点O
∴△OCD与△OAB的位似
∴△OCD与△OAB的位似比为OC：OA=1：2．
【分析】先证明△OAB∽△OCD，△OCD与OAB的对应点的连线都过点O，所以可得△OCD与△OAB的位似，即可求得△OCD与△OAB的位似比为OC：OA=1：2．
变式9-1．如图，和是以点为位似中心的位似图形，，则和的面积比值是 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
∵OA：OD=2：3，
∴AB：DE=2：3，
∴.
故答案为：.
【分析】根据位似的性质得△ABC∽△DEF，由已知OA：OD=2：3，得AB：DE=2：3，根据相似三角形的性质得，即可求解.
变式9-2．如图，在平行四边形中，以C为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为2∶3，连接，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为 ．
【答案】10
【知识点】平行四边形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵平行四边形和平行四边形是位似图形，且位似比为2∶3，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：10
【分析】连接，先根据位似结合题意得到，，进而得到，，再根据“”即可求解。
知识点十、利用位似变换作图（放大或缩小图形）
利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。
画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。
例10-1．如图，在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于原点O成中心对称的；
（2）以A为位似中心，在网格中画出，使与位似且面积比为4：1。
【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：如图，与即为所求作的三角形．
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1，顺次连接即可；
（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，再顺次连接即可求解.
变式10-1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成如下画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
（1）在图1中，以为边，画出，使与全等，为格点，请在图1中画出满足条件的所有；
（2）在图2中，以点为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点、为格点；
（3）在图3中，在边上找一个点，且满足．
【答案】（1）解：如图，和和即为所作，
；
（2）解：如图，即为所作，
；
（3）解：如图所示，取格点，，连接，交于点，则点即为所求作的点．
【知识点】作图﹣位似变换；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】
（1）根据全等三角形的性质即可作出；
（2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出△EFC；
（3）取格点E，F，连接EF，交AC于P点，则点P即为所求作的点，由图可得△APF∽△CPE，从而得出.
知识点十一、图形的变换与坐标
1）、平移：（1）图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横坐标应相应地加n个单位，反之则减；（2）图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减。
2）、轴对称:（1）图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）图形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。
3）、以原点为位似中心的位似变换
在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为，则其位似图形对应点的坐标为或。
例11-1．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
①以O为位似中心在第二象限作位似比为1：2变换，得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；
②以原点O为旋转中心，画出把△ABC顺时针旋转90°的图形△A2B2C2，并写出C2的坐标．
【答案】解：①如图所示：△A1B1C1，即为所求，
C1的坐标为：（﹣8，2）；
②如图所示：△A2B2C2，即为所求，
C2的坐标为：（﹣1，﹣4）．
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】①直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；②直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案．
变式11-1．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，
（2）点C1的坐标是 ；
（3）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，
（4）使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 ．
【答案】（1）如图△A1B1C1
（2）（2，﹣2）
（3）如图△A2B2C2
（4）（1，0）
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（1.）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，
（2.）点C1的坐标是（2，﹣2）；
（3.）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，
（4.）点C2的坐标是（1，0），
【分析】（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，如图所示，（2）找出所求点坐标即可；（3）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，如图所示，（4）找出所求点坐标即可．
三、核心素养提升
数学建模-构建相似三角形模型解决实际问题
1．在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过作于，交于，
则，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴（米），
故答案为：.
【分析】本题根据相似三角形的预备定理：得出，再根据相似三角形的性质：对应边成比例，列出比例式：，求出QB，再通过计算出AB即可.
2．如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点，镜子为点，表示树，点，，在同一水平线上，小李身高米，米，米，则树高为( )
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：根据题意可知： ∠CAO=∠DBO=90°，∠COF=∠DOF，
故∠COA+∠COF=90°，∠DOB+∠DOF=90°，
∴∠COA=∠DOB，
∴△ACO∽△BDO，
∴，
∵AC=1.6米，OA=2.4米，OB=6米，
∴，
解得： BD=4，
即树高为4米.
故答案为：A.
【分析】根据等角的余角相等得出∠COA=∠DOB，根据有两个角相等的两个三角形是相似三角形得出△ACO∽△BDO，根据相似三角形的对应边之比相等，即可代入数据，求出BD的值.
3．小亮同学想利用影长测量学校旗杆AB的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上BD处，另一部分在某一建筑的墙上CD处，分别测得其长度为9.6米和2米，求旗杆AB的高度.
【答案】解：如图，
由题意得：AB：BE=1：1.2，
∵FC∥BE，
∴AF：AB=FC：BE，即AB：BE=AF：FC=1：1.2，
∴AF：9.6=1：1.2，
∴AF=8，
∴AB=AF+FB=8+2=10.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由不同物体影长成正比的性质，可得AB和BE的比值，再由FC平行BE，由平行线分线段成比例的性质列比例式即可求出AF的长，则AB的长可求.
2.逻辑推理-利用相似三角形的判定和性质进行推理
4．如图，点E在菱形ABCD的边BC的延长线上，AE交CD于点F，FG∥CE交DE于点G．求证：FG=FC．
【答案】证明：四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，DC∥AB，AD∥BC，
∵FC∥BC，
∵FG∥AD，
∴ ，
∴
∴FG=FC
【知识点】菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】由菱形的性质可知对边平行，四条边相等，然后利用平行线分线段成比例，列出比例式，等量代换即可.
5．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E.
(1)求证：△ADE∽△BCE；
(2)如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB.
【答案】证明：(1)如图∵∠A与∠B是弧CD所对的圆周角，
∴∠A＝∠B，又∵∠1＝∠2，
∴△ADE∽△BCE.
(2)如图，∵AD2＝AE·AC，∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED＝∠ADC，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
即∠AED＝90°，
∴直径AC⊥BD，∴CD＝CB.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】考查圆周角定理。
6．已知AD⊥BC，BE=CE，∠ABC=2∠C，BF为∠B的平分线．求证：AB=2DE．
【答案】解：连接EF．
∵∠ABC=2∠C，BF为∠B的平分线，
∴∠FBC=∠C=∠ABC，
∴BF=CF；
又∵BE=CE，
∴EF⊥BC；
∵AD⊥BC，
∴EF∥AD，
∴AF：FC=DE：EC；
而AB：BC=AF：FC，
∴AB：BC=DE：EC，
∴，
即AB=2DE．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】连接EF．根据角平分线的性质知AF：FC=DE：EC，由平行线分线段成比例知AF：FC=DE：EC，由这两个比例式和已知条件“BE=CE”知，即AB=2DE．
3.分类讨论思想
7．如图，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），且∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x
（1）CD的长度是否随着的x变化而变化？若变化，请用含的x代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度；
（2）当x取何值时，△ABP和△CDP相似．
【答案】（1）解：CD的长度不变化．
理由如下：
如图1，延长CB和PA，记交点为点Q．
∵∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，
∴QB=BC（等腰三角形“三合一”的性质）．
∵BA⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD，
∴△QAB∽△QDC，
∴ = = ，
∴CD=2AB=2×4=8，
即CD=8
（2）解：当△BAP∽△CDP时，
∵∠BPC=∠BPA，∠CPD=∠BPA，
∴∠BPA=∠BPC=∠CPD=60°，
∴AP= = = ，
即x= ；
如图2，当△BAP∽△PDC时，
∵∠CPB=∠BPA，∠PCD=∠BPA，
∴3∠BPA=90°，
∴∠BPA=30°，
∴AP= = =4 ，
即x=4 ；
即当x= 或4 时，△ABP和△CDP相似．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）如图1，延长CB和PA，记交点为点Q．根据等腰△QPC“三合一”的性质证得QB=BC；由相似三角形（△QAB∽△QDC）的对应边成比例得到 = = ，则CD=2AB；（2）当△BAP∽△CDP时，易得∠BPA=60°，x=AP= = = ，当△BAP∽△PDC时，易得∠BPA=30°，AP= = =4 ，求出x的值即可．
8．在△ABC中，D，E分别是AC，AB边上的点，AD=3，AE=2，AC=5，当AB= 时，△ADE与△ABC相似．
【答案】7.5或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，∵AD=3，AE=2，AC=5，
∴当△ADE∽△ACB时， = ，即 = ，解得AB= ；
当△ADE∽△ABC时， = ，即 = ，解得AB=7.5．
综上所述，当AB为7.5或 时，△ADE与△ABC相似．
故答案为：7.5或 ．
【分析】根据题意画出图形，再分△ADE∽△ACB与△ADE∽△ABC两种情况进行讨论即可．
9．已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A≠∠B，点P是边AC上一点（不与A、C重合），过P点的一条直线与△ABC的边相交，所构成的三角形与原三角形相似，这样的直线有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，过点P作AB的平行线，或作BC的平行线，或作AB的垂线，或作∠CPD=∠B，共4条直线，
故选：D．
【分析】过点D作直线与另一边平行或垂直，或∠CPD=∠B即可．
10．如图，在四边形，，，，，．动点从点出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动．当点不与点A、B、重合时，作点关于直线PD的对称点，连接、，设点的运动时间为秒．
（1）线段CD的长为 ；
（2）当为直角三角形时，求的值；
（3）作点关于直线PD的对称点，连接．
①当时，求的值；
②连接，当直线经过点A时，直接写出的值．
【答案】（1）5
（2）解：分两种情况：①当点P在上时，∵点不与点A、B、重合，
∴只能是，如图所示，
当时，由（1）知，，
∴，
解得：；
②当点P在上时，∵点不与点A、B、重合，
∴只能是，过点D作于E，如图所示，
由翻折得：
由（1）知：，，，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
∴
解得：；
综上，当为直角三角形时，的值为1或．
（3）解：①分两种情况：
1)当点P在上时，延长到F，如图所示，
由（1）知：，
∵点B与点关于对称，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴，
解得：；
（3）
2）当点P在上时，延长、相交于E，延长到F，如图所示，
∵
∴
∴
∴
解得：，，
∵点B与点关于对称，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
解得：．
综上，当时，的值为或．
故答案为：或；
②或
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：过点D作于E，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
根据勾股定理，可得．
故答案为：5；
（3）②分两种情况：
1)当点P在上时，如图所示：
由翻折可知，点C与点关于对称，
∴，，
∵，
∴，
又∵点B与点关于对称，经过点A，
∴此时，点A为重合，则，
∴，
由股定理，得，
∴，
解得：，
∴，
∴；
2)当点P在上时，过点D作于E，于F，如图所示：
由翻折可得：，，
∴点C与点关于对称，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵点B与点关于对称，
∴，
∵点C与点关于对称，
∴四边形与关于对称，
∴，
∴，
∴，
∵经过点A，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
解得：．
综上，当直线经过点A时，的值为或．
故答案为：或．
【分析】（1）过点D作于E，先证明四边形是矩形，得，，从而得出，然后由勾股定理求解；
（2）分类讨论：①当点P在上时，；②当点P在上时，，分别求解即可；
（3）①分类讨论：1)当点P在上时，2)当点P在上时，分别求解即可；
②分类讨论：1)当点P在上时，2)当点P在上时，分别求解即可．
4.方程的思想
11．
（1）如图1，在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的点处．求的长；
（2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长；
（3）在图1中，将绕点旋转至A，，E三点共线时，请直接写出的长．
【答案】（1）解：为矩形，，，
，，
；
（2）解：为平移后的图形，，，
，，
，
设长为，
，，
解得：，
，
，，
，
，
；
（3）解：将绕点旋转至A，，E三点共线，
分以下两种情况：
①当旋转到左侧时，如图所示：
作，交的延长线于点，
由（2）可知，
由旋转性质可知，，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
②当旋转到右侧时，如图所示：
作，交的延长线于点，
由（2）可知，
由旋转性质可知，，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形的判定；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质、翻折的性质和勾股定理可以直接求解；
（2）根据勾股定理，可得EB的长；根据三角形相似的判定和性质，可列比例式，求出CF的长；根据线段的计算，可得EF的长；
（3）根据旋转的角度不同，进行分类讨论；根据旋转的性质，矩形的判定和性质以及勾股定理可以直接求出DC的值.
12．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．
⑴当x为何值时，△APD是等腰三角形
⑵若设BE=y，求y关于x的函数关系式；
⑶若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C 若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．
【答案】解：（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，
∴DH=BC=4，HB=CD=6．
∴AH=2，AD=2．
∵AP=x，
∴PH=x﹣2，
情况①：当AP=AD时，即x=2．
情况②：当AD=PD时，则AH=PH．
∴2=x﹣2，解得x=4．
情况③：当AP=PD时，
则Rt△DPH中，x2=42+（x﹣2）2，解得x=5．
∵2＜x＜8，
∴当x为2、4、5时，△APD是等腰三角形．
（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，
∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°．
∴∠HDP=∠EPB．
又∵∠DHP=∠B=90°，
∴△DPH∽△PEB．
∴=，
∴=．
整理得：y=（x﹣2）（8﹣x）=﹣x2+x﹣4；
（3）存在．
设BC=a，则由（2）得△DPH∽△PEB，
∴=，
∴y=，
当y=a时，
（8﹣x）（x﹣2）=a2
x2﹣10x+（16+a2）=0，
∴△=100﹣4（16+a2），
∵△≥0，
∴100﹣64﹣4a2≥0，
4a2≤36，
又∵a＞0，
∴a≤3，
∴0＜a≤3，
∴满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过C．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；立体图形的初步认识；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，在Rt△AHD中，由勾股定理可求得DH、AD、PH的值，若△ADP为等腰三角形，则分三种情况：①当AP=AD时，x=AP=AD，②当AD=PD时，有AH=PH，故x=AH+PH，③当AP=PD时，则在Rt△DPH中，由勾股定理可求得DP的值，有x=AP=DP．
（2）易证：△DPH∽△PEB ，即，故可求得y与x的关系式．
（3）利用△DPH∽△PEB，得出，进而利用根的判别式和一元二次不等式解集得出即可．
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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
第27章 相似 小结与复习
一、知识导图
二、知识清单
知识点一、图形的相似的概念
形状相同的图形叫做相似图形。
1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；
2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；
3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。
例1-1．在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下：
嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似；
淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对
C．嘉嘉对，淇淇不对 D．嘉嘉不对，淇淇对
例1-2．下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
变式．下列说法正确的是（ ）
A．对应边都成比例的多边形相似 B．对应角都相等的多边形相似
C．边数相同的正多边形相似 D．矩形都相似
知识点二、成比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
1）若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。
2）四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以）
3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。
4）比例的重要性质：
基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则；
更比性质：若，则； 反比性质：若，则；
等比性质：若，则。
5）拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
例2-1．已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，即＝，下列说法错误的是( )
A．ad=bc B．= C．＝ D．＝
例2-2．若x是3和6的比例中项，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2-1．有以下命题：
①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有 ．
②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项．
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项．
④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=﹣1．
其中正确的判断有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2-2．已知线段a，b，c满足 ，且a+2b+c=26，则a+2b﹣c= ．
知识点三、平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。
例3-1．如图，已知直线，直线分别交直线于点，直线分别交直线于点，若，则的值（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
例3-2．如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，交于点．若，则的长为 ．
变式3-1． 如图，点D、E是边 上的点，，连接，交点为F，，那么的值是 ．
变式3-2．在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．当点落在的延长线上时，连接，交于点P，若是方程的两个实数根（），则的面积为 ．
知识点四、相似多边形的性质与判定
（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。
（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。
（3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。
例4-1．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E、F.
求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
例4-2．如图，五边形ABCDE是由五边形FGHMN经过位似变换得到的，点O是位似中心，F、G、H、M、N分别是OA、OB、OC、OD、OE的中点，则五边形ABCDE与五边形FGHMN的面积比是（ ）
A．2：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
知识点五、相似三角形的相关概念
1）、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。
三角形相似具有传递性。
2）、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。
3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。
若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。
例5 .下列说法一定正确的是（ ）
（A）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似
（B）对应角相等的两个三角形不一定相似
（C）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
（D）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似
知识点六、相似三角形的判定
判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。
例6-1．如图，在四边形中，对角线、相交于点，，且，若，则的值为 .
例6-2．在中，对角线交于点O，E是上一点，且，连结，当时，若则 °，若，则 .
变式6-1．在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝8，AD＝10，求EC的长．
变式6-2．如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
知识点七、相似三角形的性质
1、对应角相等，对应边的比相等；
2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。）
例7-1．如图，在平行四边形ABCD中，点在对角线BD上，且.
（1）求证：；
（2）若，求AB的长.
例7-2． 如图，中，，，D为边上一点，．
（1）求证：；
（2）如果，求的长．
变式7-1．如图，△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于点E，BC＝48，AD＝16．
（1）若PN＝18，求DE的长；
（2）若矩形PQMN的周长为80，求矩形PQMN的面积．
知识点八、利用相似三角形测高测距离
1）、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。
2）、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。
例8-1．如图，某中学两座教学楼中间有个路灯，甲、乙两个人分别在楼上观察路灯顶端，视线所及如图①所示。根据实际情况画出平面图形如图②，CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF，甲从点C可以看到点G处，乙从点E恰巧可以看到点D处，点B是DF的中点，路灯AB高5.5米，DF=120米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离的差。
变式8-1．又到了一年中的春游季节．某班学生利用周末去参观“三军会师纪念塔”．下面是两位同学的一段对话：
甲：我站在此处看塔顶仰角为60°；
乙：我站在此处看塔顶仰角为30°；
甲：我们的身高都是1.6m；
乙：我们相距36m．
请你根据两位同学的对话，计算纪念塔的高度．（精确到1米）
变式8-2．已知如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=2m．
（1）请你画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为4m，请你计算DE的长．
知识点九、位似的概念及性质
1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。
相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。
2）相似图形与位似图形的区别与联系：
区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；
②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。
联系：位似图形是特殊的相似图形。
3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。
4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。
例9-1．如图，DC∥AB，OA=2OC，则△OCD与△OAB的位似比是 ．
变式9-1．如图，和是以点为位似中心的位似图形，，则和的面积比值是 ．
变式9-2．如图，在平行四边形中，以C为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为2∶3，连接，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为 ．
知识点十、利用位似变换作图（放大或缩小图形）
利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。
画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。
例10-1．如图，在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于原点O成中心对称的；
（2）以A为位似中心，在网格中画出，使与位似且面积比为4：1。
变式10-1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成如下画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
（1）在图1中，以为边，画出，使与全等，为格点，请在图1中画出满足条件的所有；
（2）在图2中，以点为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点、为格点；
（3）在图3中，在边上找一个点，且满足．
知识点十一、图形的变换与坐标
1）、平移：（1）图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横坐标应相应地加n个单位，反之则减；（2）图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减。
2）、轴对称:（1）图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）图形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。
3）、以原点为位似中心的位似变换
在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为，则其位似图形对应点的坐标为或。
例11-1．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
①以O为位似中心在第二象限作位似比为1：2变换，得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；
②以原点O为旋转中心，画出把△ABC顺时针旋转90°的图形△A2B2C2，并写出C2的坐标．
变式11-1．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，
（2）点C1的坐标是 ；
（3）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，
（4）使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 ．
三、核心素养提升
数学建模-构建相似三角形模型解决实际问题
1．在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．
2．如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点，镜子为点，表示树，点，，在同一水平线上，小李身高米，米，米，则树高为( )
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
3．小亮同学想利用影长测量学校旗杆AB的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上BD处，另一部分在某一建筑的墙上CD处，分别测得其长度为9.6米和2米，求旗杆AB的高度.
2.逻辑推理-利用相似三角形的判定和性质进行推理
4．如图，点E在菱形ABCD的边BC的延长线上，AE交CD于点F，FG∥CE交DE于点G．求证：FG=FC．
5．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E.
(1)求证：△ADE∽△BCE；
(2)如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB.
6．已知AD⊥BC，BE=CE，∠ABC=2∠C，BF为∠B的平分线．求证：AB=2DE．
【答案】解：连接EF．
3.分类讨论思想
7．如图，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），且∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x
（1）CD的长度是否随着的x变化而变化？若变化，请用含的x代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度；
（2）当x取何值时，△ABP和△CDP相似．
8．在△ABC中，D，E分别是AC，AB边上的点，AD=3，AE=2，AC=5，当AB= 时，△ADE与△ABC相似．
9．已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A≠∠B，点P是边AC上一点（不与A、C重合），过P点的一条直线与△ABC的边相交，所构成的三角形与原三角形相似，这样的直线有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在四边形，，，，，．动点从点出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动．当点不与点A、B、重合时，作点关于直线PD的对称点，连接、，设点的运动时间为秒．
（1）线段CD的长为 ；
（2）当为直角三角形时，求的值；
（3）作点关于直线PD的对称点，连接．
①当时，求的值；
②连接，当直线经过点A时，直接写出的值．
4.方程的思想
11．
（1）如图1，在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的点处．求的长；
（2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长；
（3）在图1中，将绕点旋转至A，，E三点共线时，请直接写出的长．
12．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．
⑴当x为何值时，△APD是等腰三角形
⑵若设BE=y，求y关于x的函数关系式；
⑶若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C 若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
第27章 相似 小结与复习
一、知识导图
二、知识清单
知识点一、图形的相似的概念
形状相同的图形叫做相似图形。
1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；
2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；
3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。
例1-1．在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下：
嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似；
淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对
C．嘉嘉对，淇淇不对 D．嘉嘉不对，淇淇对
【答案】A
【知识点】图形的相似；位似图形的概念
例1-2．下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故选：D．
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
变式．下列说法正确的是（ ）
A．对应边都成比例的多边形相似 B．对应角都相等的多边形相似
C．边数相同的正多边形相似 D．矩形都相似
【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【分析】根据相似图形的定义，对选项一一分析，排除错误答案。
【解答】A、对应边都成比例的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；
B、对应角都相等的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；
C、边数相同的正多边形，形状相同，大小不一定相同，故正确；
D、矩形属于形状不唯一确定的图形，故错误。
故选C．
【点评】本题考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形。
知识点二、成比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
1）若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。
2）四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以）
3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。
4）比例的重要性质：
基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则；
更比性质：若，则； 反比性质：若，则；
等比性质：若，则。
5）拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
例2-1．已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，即＝，下列说法错误的是( )
A．ad=bc B．= C．＝ D．＝
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【分析】根据比例的性质将原式变形，分别进行判断即可，进而得出答案．
【解答】∵四条线段a，b，c，d是成比例线段，即＝，
∴A．利用内项之积等于外项之积，ad=bc，故选项正确，
B．利用内项之积等于外项之积，a（b+d)=b（a+c)，ab+ad=ab+bc，即ad=bc，故选项正确，
C．∵=，
∴=，故选项错误，
D．∵＝∴＝，故选项正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了比例的性质，将比例式灵活正确变形得出是解题关键．
例2-2．若x是3和6的比例中项，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【分析】根据比例中项的概念，得x2=3×6，则x可求出来．
【解答】∵x是3和6的比例中项，
∴x2=3×6=18，
解得x=．
故选D．
【点评】本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．求比例中项根据比例的基本性质进行计算．
变式2-1．有以下命题：
①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有 ．
②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项．
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项．
④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=﹣1．
其中正确的判断有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】比例线段；黄金分割
【解析】【解答】解：①、根据第四比例项的概念，显然正确；
②、如果点C是线段AB的中点，AB：AC=2，AC：BC=1，不成比例，错误；
③、根据黄金分割的概念，正确；
④、根据黄金分割的概念：AC= ﹣1，错误．
故选B．
【分析】根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法．
变式2-2．已知线段a，b，c满足 ，且a+2b+c=26，则a+2b﹣c= ．
【答案】2
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设 =k，则有a=3k，b=2k，c=6k，
代入已知等式得：3k+4k+6k=26，
解得：k=2，即a=6，b=4，c=12，
则原式=6+8﹣12=2，
故答案为：2
【分析】设已知比例式值为k，表示出a，b，c，代入已知等式求出k的值，确定出a，b，c的值，代入原式计算即可得到结果．
知识点三、平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。
例3-1．如图，已知直线，直线分别交直线于点，直线分别交直线于点，若，则的值（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：作分别交、于、，
∵，
∴四边形、四边形是平行四边形，
，
，
，即，
故答案为：A．
【分析】作分别交、于、，可得四边形、四边形是平行四边形，，然后根据平行线分线段成比例求出，再进一步计算的值即可．
例3-2．如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，交于点．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】点，为边的三等分点，
∴BE=ED=AD，
，
，
，
，
，
点，为边的三等分点，，
点，为边的三等分点，
，
，
，
．
故答案为：。
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质求得的长度，利用平行线分线段成比例定理求得，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
变式3-1． 如图，点D、E是边 上的点，，连接，交点为F，，那么的值是 ．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过作，交于，如图所示：
则，即：，，
，即：，
∴．
故答案为：
【分析】过作，交于，进而根据平行线分线段成比例结合题意即可求解。
变式3-2．在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．当点落在的延长线上时，连接，交于点P，若是方程的两个实数根（），则的面积为 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；旋转的性质
【解析】【解答】解：作交于，过作于，
∵是方程的两个实数根（），
∴，，
∴，
∵将绕点B顺时针旋转得到，
∴，，，，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】 先解方程可得AC=4，BC=3，再作CM∥BP交AB于点M，过C作CD⊥AB于点D，即可求出CD、BD的长度，再由旋转的性质和平行线的性质可得∠CBA=∠CMB，即可得到CM=BC，MD=BD，再由平行线分线段成比例求出BP，最后根据求解即可．
知识点四、相似多边形的性质与判定
（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。
（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。
（3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。
例4-1．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E、F.
求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°.
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.
∴AE＝EG＝FG＝AF，
即四边形AFGE为正方形．
∴ ＝ ＝ ＝ ，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】由正方形的性质可知；AC平分∠DAB，然后由角平分线的性质可知GE=GF，从而可证明四边形EGFA为正方形，故此四边形AFGE与四边形ABCD相似.本题主要考查的是相似多边形的判定、正方形的判定、角平分线的性质，证得四边形EAFG为正方形是解题的关键.
例4-2．如图，五边形ABCDE是由五边形FGHMN经过位似变换得到的，点O是位似中心，F、G、H、M、N分别是OA、OB、OC、OD、OE的中点，则五边形ABCDE与五边形FGHMN的面积比是（ ）
A．2：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
【答案】B
【知识点】相似多边形；位似变换
【解析】【解答】解：∵F为AO的中点，
∴OF：OA=1：2，
∵ 五边形ABCDE是由五边形FGHMN经过位似变换得到的 ，
∴FN∥AE，
∴△OFN∽△OAE，
∴OF∶OA=FN∶AE=1∶2
∴五边形ABCDE与五边形FGHMN的面积比为：4：1.
故答案为：B.
【分析】由五边形ABCDE与五边形FGHMN关于点O成位似关系，且OF：OA=1：2，可得位似比为1：2，根据形似图形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案.
知识点五、相似三角形的相关概念
1）、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。
三角形相似具有传递性。
2）、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。
3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。
若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。
例5 .下列说法一定正确的是（ ）
（A）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似
（B）对应角相等的两个三角形不一定相似
（C）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
（D）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似
【答案】C
【解析】根据判定定理2可知A错误，C正确；根据判定定理1可知B错误，根据相似三 角形预备定理可知只有直线与底边平行时才相似．
【总结】考查相似三角形的判定定理掌握情况和相关条件．
知识点六、相似三角形的判定
判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。
例6-1．如图，在四边形中，对角线、相交于点，，且，若，则的值为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图：
过点D作DE⊥BC于点E.
∴，
设DE=3x，DB=5x，则BE=4x.
∵DC=DB=5x，
∴CE=BE=4x，BC=8x.
过点A作AG//BC交DB于点G，
∴，∠AHD=∠CEH=90°=∠AHE.
∵，
∴∠GAD=∠GAB=∠ABC.
∴△DAH∽△ABC.
∴.
∵，
∴四边形ACEH是矩形，
∴.
∴
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥BC于点E.根据 ，设DE=3x，结合DC=DB可表示出BE，CE，BD.过点A作AG//BC交DB于点G，根据可证得∠GAD=∠GAB=∠ABC以及∠AHD=∠CEH=90°=∠AHE.可得△DAH∽△ABC和四边形ACEH是矩形，于是可得，可得结果.
例6-2．在中，对角线交于点O，E是上一点，且，连结，当时，若则 °，若，则 .
【答案】；
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∠BCD=∠BAD.
∵
∴，
∴∠AED=∠BAE=90°，
①∵，，AD=DA，
∴△OAD≌△EDA(SAS)
∴∠AOD=∠AED=90°，∠ODA=∠EAD.
∴AC⊥BD，
∴ 是菱形.
∴AB=BC=CD=AD.
∴∠ODC=∠ODA=∠EAD.
∵在直角三角形AED中，∠EAD+∠ODA+∠ODC=3∠EAD=90°.
∴∠ABC=∠ADC=60°.
②在DE上选取点F，使EF=CE，连接AF. 如图所示：
∵AE⊥CF，
∴AC=AF，
∴∠CAE=∠FAE，∠ACE=∠AFE.
∴.
∵∠OCD=∠FCA，
∴△OCD∽△FCA.
∴
∵AO=CO=DE，
∴
令，
∴.
解得：(舍负)
故
故答案为：60°；.
【分析】先根据平行四边形的性质以及角的换算，得出∠AED=90°，再证明△OAD≌△EDA ( SAS) ，得∠AOD=∠AED=90°，∠ODA=∠EAD.于是可得四边形ABCD为菱形，根据菱形的对角线平分对角和直角三角形两锐角互余，得3∠EAD=90°，可求∠ABC的度数；
在DE上选取点F，使EF=CE，连接AF.根据线段垂直平分线的性质得AC=AF，于是可证明△OCD∽△FCA，得，结合AO=CO=DE，可得，令，得到关于x的方程，求解即可.
变式6-1．在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝8，AD＝10，求EC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
由翻折可得：
∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∵∠B＝∠C，
∴△ABF∽△FCE；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝10，
∴BC＝10，
由翻折可得：
AF＝10，
在Rt△ABF中，
，
∴CF＝10﹣6＝4，
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴CE＝3．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【分析】(1)根据四边形ABCD是矩形，得出∠B=∠C=∠D=90°，由翻折可得：∠D=∠AFE=90°，利用同角的余角相等可以得出∠BAF=∠EFC，即可证出结论；
(2)由翻折可得：AF=10，根据勾股定理得出BF=6，利用 △ABF∽△FCE ，求解即可EC.
变式6-2．如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
【答案】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，∴，∵AF：BF=1：2，∴=，∴，即FE=BC，∵BC：CD=2：1，∴CD=BC，∵FE∥BD，∴．即FN：ND=2：3．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】过点F作FE∥BD，交AC于点E，求出，得出FE=BC，根据已知推出CD=BC，根据平行线分线段成比例定理推出=，代入化简即可．本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．
知识点七、相似三角形的性质
1、对应角相等，对应边的比相等；
2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。）
例7-1．如图，在平行四边形ABCD中，点在对角线BD上，且.
（1）求证：；
（2）若，求AB的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
，
（2）解：
.
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，推出从而证明；
（2）根据相似三角形对应边成比例，列出比例式，即可求出AB长.
例7-2． 如图，中，，，D为边上一点，．
（1）求证：；
（2）如果，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵，
∴
∴，
∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定，对应边成比例且夹角相等证出即可.
（2）根据相似三角形对应边成比例求解即可.
变式7-1．如图，△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于点E，BC＝48，AD＝16．
（1）若PN＝18，求DE的长；
（2）若矩形PQMN的周长为80，求矩形PQMN的面积．
【答案】（1）解：依题意得：PN∥BC，则△APN∽△ABC，
又AD是高，则，
设DE=，则AE=16-，
由得，，解之得，=10
（2）解：由矩形PQMN，又AD是高，则四边形PQDE为矩形，
∴DE=PQ，
设DE=PQ=，则PN=，
同理得，
解得=4
则矩形PQMN的面积=
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据相似三角形的判定与性质证明△APN∽△ABC得到，设DE=，则AE=16-，进而代入即可求解；
（2）先根据矩形的判定与性质得到DE=PQ，设DE=PQ=，则PN=，进而求出y，再根据矩形的面积公式即可求解。
知识点八、利用相似三角形测高测距离
1）、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。
2）、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。
例8-1．如图，某中学两座教学楼中间有个路灯，甲、乙两个人分别在楼上观察路灯顶端，视线所及如图①所示。根据实际情况画出平面图形如图②，CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF，甲从点C可以看到点G处，乙从点E恰巧可以看到点D处，点B是DF的中点，路灯AB高5.5米，DF=120米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离的差。
【答案】解：∵AB⊥DF，EF⊥DF，
∴∠ABD=∠F=90°，
又∵∠EDF=∠ADB，
∴△DAB~△DEF，
同理得△GAB~△GCD，
∵点B是DF的中点，
∴DB=BF= DF= ×120=60，
∵
∴EF=2AB=2x5.5=11，
∵BG=10.5，
∴DG=10.5+60=70.5
∴CD= AB= ×55≈36.9
∴甲、乙两人的观察点到地面的距离的差为：36.9-11=25.9（米）
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用垂直的定义可证∠ABD=∠F，再利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△DAB~△DEF，同理得△GAB~△GCD，再利用相似三角形的对应边成比例，就可求出EF，DG的长，然后求出CD的长即甲、乙两人的观测点到地面的距离的差。
变式8-1．又到了一年中的春游季节．某班学生利用周末去参观“三军会师纪念塔”．下面是两位同学的一段对话：
甲：我站在此处看塔顶仰角为60°；
乙：我站在此处看塔顶仰角为30°；
甲：我们的身高都是1.6m；
乙：我们相距36m．
请你根据两位同学的对话，计算纪念塔的高度．（精确到1米）
【答案】解：如图，CD=EF=BH=1.6m，CE=DF=36m，∠ADH=30°，∠AFH=30°，
在Rt△AHF中，∵tan∠AFH=，
∴FH=，
在Rt△ADH中，∵tan∠ADH=，
∴DH=，
而DH﹣FH=DF，
∴﹣=36，即﹣=36，
∴AH=18，
∴AB=AH+BH=18+1.6≈33（m）．
答：纪念塔的高度约为33m．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先画出几何图形，如图，CD=EF=BH=1.6m，CE=DF=36m，∠ADH=30°，∠AFH=30°，分别利用正切定义得到FH=，DH=，则﹣=36，再利用特殊角的函数值可计算出AH=18，然后计算AH+BH即可．
变式8-2．已知如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=2m．
（1）请你画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为4m，请你计算DE的长．
【答案】解：（1）如图，EF为此时DE在阳光下的投影；
（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF，
∴，即，解得DE=10（m），
即DE的长为10m．
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【分析】（1）连结AC，过点D作DF∥AC，则EF为所求；
（2）先证明Rt△ABC∽Rt△DEF，然后利用相似比计算出DE的长．
知识点九、位似的概念及性质
1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。
相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。
2）相似图形与位似图形的区别与联系：
区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；
②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。
联系：位似图形是特殊的相似图形。
3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。
4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。
例9-1．如图，DC∥AB，OA=2OC，则△OCD与△OAB的位似比是 ．
【答案】1：2
【知识点】位似变换
【解析】解：∵DC∥AB
∴△OAB∽△OCD
∵△OCD与OAB的对应点的连线都过点O
∴△OCD与△OAB的位似
∴△OCD与△OAB的位似比为OC：OA=1：2．
【分析】先证明△OAB∽△OCD，△OCD与OAB的对应点的连线都过点O，所以可得△OCD与△OAB的位似，即可求得△OCD与△OAB的位似比为OC：OA=1：2．
变式9-1．如图，和是以点为位似中心的位似图形，，则和的面积比值是 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
∵OA：OD=2：3，
∴AB：DE=2：3，
∴.
故答案为：.
【分析】根据位似的性质得△ABC∽△DEF，由已知OA：OD=2：3，得AB：DE=2：3，根据相似三角形的性质得，即可求解.
变式9-2．如图，在平行四边形中，以C为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为2∶3，连接，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为 ．
【答案】10
【知识点】平行四边形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵平行四边形和平行四边形是位似图形，且位似比为2∶3，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：10
【分析】连接，先根据位似结合题意得到，，进而得到，，再根据“”即可求解。
知识点十、利用位似变换作图（放大或缩小图形）
利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。
画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。
例10-1．如图，在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于原点O成中心对称的；
（2）以A为位似中心，在网格中画出，使与位似且面积比为4：1。
【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：如图，与即为所求作的三角形．
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1，顺次连接即可；
（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，再顺次连接即可求解.
变式10-1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成如下画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
（1）在图1中，以为边，画出，使与全等，为格点，请在图1中画出满足条件的所有；
（2）在图2中，以点为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点、为格点；
（3）在图3中，在边上找一个点，且满足．
【答案】（1）解：如图，和和即为所作，
；
（2）解：如图，即为所作，
；
（3）解：如图所示，取格点，，连接，交于点，则点即为所求作的点．
【知识点】作图﹣位似变换；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】
（1）根据全等三角形的性质即可作出；
（2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出△EFC；
（3）取格点E，F，连接EF，交AC于P点，则点P即为所求作的点，由图可得△APF∽△CPE，从而得出.
知识点十一、图形的变换与坐标
1）、平移：（1）图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横坐标应相应地加n个单位，反之则减；（2）图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减。
2）、轴对称:（1）图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）图形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。
3）、以原点为位似中心的位似变换
在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为，则其位似图形对应点的坐标为或。
例11-1．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
①以O为位似中心在第二象限作位似比为1：2变换，得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；
②以原点O为旋转中心，画出把△ABC顺时针旋转90°的图形△A2B2C2，并写出C2的坐标．
【答案】解：①如图所示：△A1B1C1，即为所求，
C1的坐标为：（﹣8，2）；
②如图所示：△A2B2C2，即为所求，
C2的坐标为：（﹣1，﹣4）．
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】①直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；②直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案．
变式11-1．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，
（2）点C1的坐标是 ；
（3）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，
（4）使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 ．
【答案】（1）如图△A1B1C1
（2）（2，﹣2）
（3）如图△A2B2C2
（4）（1，0）
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（1.）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，
（2.）点C1的坐标是（2，﹣2）；
（3.）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，
（4.）点C2的坐标是（1，0），
【分析】（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，如图所示，（2）找出所求点坐标即可；（3）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，如图所示，（4）找出所求点坐标即可．
三、核心素养提升
数学建模-构建相似三角形模型解决实际问题
1．在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过作于，交于，
则，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴（米），
故答案为：.
【分析】本题根据相似三角形的预备定理：得出，再根据相似三角形的性质：对应边成比例，列出比例式：，求出QB，再通过计算出AB即可.
2．如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点，镜子为点，表示树，点，，在同一水平线上，小李身高米，米，米，则树高为( )
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：根据题意可知： ∠CAO=∠DBO=90°，∠COF=∠DOF，
故∠COA+∠COF=90°，∠DOB+∠DOF=90°，
∴∠COA=∠DOB，
∴△ACO∽△BDO，
∴，
∵AC=1.6米，OA=2.4米，OB=6米，
∴，
解得： BD=4，
即树高为4米.
故答案为：A.
【分析】根据等角的余角相等得出∠COA=∠DOB，根据有两个角相等的两个三角形是相似三角形得出△ACO∽△BDO，根据相似三角形的对应边之比相等，即可代入数据，求出BD的值.
3．小亮同学想利用影长测量学校旗杆AB的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上BD处，另一部分在某一建筑的墙上CD处，分别测得其长度为9.6米和2米，求旗杆AB的高度.
【答案】解：如图，
由题意得：AB：BE=1：1.2，
∵FC∥BE，
∴AF：AB=FC：BE，即AB：BE=AF：FC=1：1.2，
∴AF：9.6=1：1.2，
∴AF=8，
∴AB=AF+FB=8+2=10.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由不同物体影长成正比的性质，可得AB和BE的比值，再由FC平行BE，由平行线分线段成比例的性质列比例式即可求出AF的长，则AB的长可求.
2.逻辑推理-利用相似三角形的判定和性质进行推理
4．如图，点E在菱形ABCD的边BC的延长线上，AE交CD于点F，FG∥CE交DE于点G．求证：FG=FC．
【答案】证明：四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，DC∥AB，AD∥BC，
∵FC∥BC，
∵FG∥AD，
∴ ，
∴
∴FG=FC
【知识点】菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】由菱形的性质可知对边平行，四条边相等，然后利用平行线分线段成比例，列出比例式，等量代换即可.
5．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E.
(1)求证：△ADE∽△BCE；
(2)如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB.
【答案】证明：(1)如图∵∠A与∠B是弧CD所对的圆周角，
∴∠A＝∠B，又∵∠1＝∠2，
∴△ADE∽△BCE.
(2)如图，∵AD2＝AE·AC，∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED＝∠ADC，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
即∠AED＝90°，
∴直径AC⊥BD，∴CD＝CB.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】考查圆周角定理。
6．已知AD⊥BC，BE=CE，∠ABC=2∠C，BF为∠B的平分线．求证：AB=2DE．
【答案】解：连接EF．
∵∠ABC=2∠C，BF为∠B的平分线，
∴∠FBC=∠C=∠ABC，
∴BF=CF；
又∵BE=CE，
∴EF⊥BC；
∵AD⊥BC，
∴EF∥AD，
∴AF：FC=DE：EC；
而AB：BC=AF：FC，
∴AB：BC=DE：EC，
∴，
即AB=2DE．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】连接EF．根据角平分线的性质知AF：FC=DE：EC，由平行线分线段成比例知AF：FC=DE：EC，由这两个比例式和已知条件“BE=CE”知，即AB=2DE．
3.分类讨论思想
7．如图，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），且∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x
（1）CD的长度是否随着的x变化而变化？若变化，请用含的x代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度；
（2）当x取何值时，△ABP和△CDP相似．
【答案】（1）解：CD的长度不变化．
理由如下：
如图1，延长CB和PA，记交点为点Q．
∵∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，
∴QB=BC（等腰三角形“三合一”的性质）．
∵BA⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD，
∴△QAB∽△QDC，
∴ = = ，
∴CD=2AB=2×4=8，
即CD=8
（2）解：当△BAP∽△CDP时，
∵∠BPC=∠BPA，∠CPD=∠BPA，
∴∠BPA=∠BPC=∠CPD=60°，
∴AP= = = ，
即x= ；
如图2，当△BAP∽△PDC时，
∵∠CPB=∠BPA，∠PCD=∠BPA，
∴3∠BPA=90°，
∴∠BPA=30°，
∴AP= = =4 ，
即x=4 ；
即当x= 或4 时，△ABP和△CDP相似．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）如图1，延长CB和PA，记交点为点Q．根据等腰△QPC“三合一”的性质证得QB=BC；由相似三角形（△QAB∽△QDC）的对应边成比例得到 = = ，则CD=2AB；（2）当△BAP∽△CDP时，易得∠BPA=60°，x=AP= = = ，当△BAP∽△PDC时，易得∠BPA=30°，AP= = =4 ，求出x的值即可．
8．在△ABC中，D，E分别是AC，AB边上的点，AD=3，AE=2，AC=5，当AB= 时，△ADE与△ABC相似．
【答案】7.5或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，∵AD=3，AE=2，AC=5，
∴当△ADE∽△ACB时， = ，即 = ，解得AB= ；
当△ADE∽△ABC时， = ，即 = ，解得AB=7.5．
综上所述，当AB为7.5或 时，△ADE与△ABC相似．
故答案为：7.5或 ．
【分析】根据题意画出图形，再分△ADE∽△ACB与△ADE∽△ABC两种情况进行讨论即可．
9．已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A≠∠B，点P是边AC上一点（不与A、C重合），过P点的一条直线与△ABC的边相交，所构成的三角形与原三角形相似，这样的直线有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，过点P作AB的平行线，或作BC的平行线，或作AB的垂线，或作∠CPD=∠B，共4条直线，
故选：D．
【分析】过点D作直线与另一边平行或垂直，或∠CPD=∠B即可．
10．如图，在四边形，，，，，．动点从点出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动．当点不与点A、B、重合时，作点关于直线PD的对称点，连接、，设点的运动时间为秒．
（1）线段CD的长为 ；
（2）当为直角三角形时，求的值；
（3）作点关于直线PD的对称点，连接．
①当时，求的值；
②连接，当直线经过点A时，直接写出的值．
【答案】（1）5
（2）解：分两种情况：①当点P在上时，∵点不与点A、B、重合，
∴只能是，如图所示，
当时，由（1）知，，
∴，
解得：；
②当点P在上时，∵点不与点A、B、重合，
∴只能是，过点D作于E，如图所示，
由翻折得：
由（1）知：，，，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
∴
解得：；
综上，当为直角三角形时，的值为1或．
（3）解：①分两种情况：
1)当点P在上时，延长到F，如图所示，
由（1）知：，
∵点B与点关于对称，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴，
解得：；
（3）
2）当点P在上时，延长、相交于E，延长到F，如图所示，
∵
∴
∴
∴
解得：，，
∵点B与点关于对称，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
解得：．
综上，当时，的值为或．
故答案为：或；
②或
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：过点D作于E，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
根据勾股定理，可得．
故答案为：5；
（3）②分两种情况：
1)当点P在上时，如图所示：
由翻折可知，点C与点关于对称，
∴，，
∵，
∴，
又∵点B与点关于对称，经过点A，
∴此时，点A为重合，则，
∴，
由股定理，得，
∴，
解得：，
∴，
∴；
2)当点P在上时，过点D作于E，于F，如图所示：
由翻折可得：，，
∴点C与点关于对称，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵点B与点关于对称，
∴，
∵点C与点关于对称，
∴四边形与关于对称，
∴，
∴，
∴，
∵经过点A，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
解得：．
综上，当直线经过点A时，的值为或．
故答案为：或．
【分析】（1）过点D作于E，先证明四边形是矩形，得，，从而得出，然后由勾股定理求解；
（2）分类讨论：①当点P在上时，；②当点P在上时，，分别求解即可；
（3）①分类讨论：1)当点P在上时，2)当点P在上时，分别求解即可；
②分类讨论：1)当点P在上时，2)当点P在上时，分别求解即可．
4.方程的思想
11．
（1）如图1，在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的点处．求的长；
（2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长；
（3）在图1中，将绕点旋转至A，，E三点共线时，请直接写出的长．
【答案】（1）解：为矩形，，，
，，
；
（2）解：为平移后的图形，，，
，，
，
设长为，
，，
解得：，
，
，，
，
，
；
（3）解：将绕点旋转至A，，E三点共线，
分以下两种情况：
①当旋转到左侧时，如图所示：
作，交的延长线于点，
由（2）可知，
由旋转性质可知，，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
②当旋转到右侧时，如图所示：
作，交的延长线于点，
由（2）可知，
由旋转性质可知，，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形的判定；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质、翻折的性质和勾股定理可以直接求解；
（2）根据勾股定理，可得EB的长；根据三角形相似的判定和性质，可列比例式，求出CF的长；根据线段的计算，可得EF的长；
（3）根据旋转的角度不同，进行分类讨论；根据旋转的性质，矩形的判定和性质以及勾股定理可以直接求出DC的值.
12．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．
⑴当x为何值时，△APD是等腰三角形
⑵若设BE=y，求y关于x的函数关系式；
⑶若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C 若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．
【答案】解：（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，
∴DH=BC=4，HB=CD=6．
∴AH=2，AD=2．
∵AP=x，
∴PH=x﹣2，
情况①：当AP=AD时，即x=2．
情况②：当AD=PD时，则AH=PH．
∴2=x﹣2，解得x=4．
情况③：当AP=PD时，
则Rt△DPH中，x2=42+（x﹣2）2，解得x=5．
∵2＜x＜8，
∴当x为2、4、5时，△APD是等腰三角形．
（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，
∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°．
∴∠HDP=∠EPB．
又∵∠DHP=∠B=90°，
∴△DPH∽△PEB．
∴=，
∴=．
整理得：y=（x﹣2）（8﹣x）=﹣x2+x﹣4；
（3）存在．
设BC=a，则由（2）得△DPH∽△PEB，
∴=，
∴y=，
当y=a时，
（8﹣x）（x﹣2）=a2
x2﹣10x+（16+a2）=0，
∴△=100﹣4（16+a2），
∵△≥0，
∴100﹣64﹣4a2≥0，
4a2≤36，
又∵a＞0，
∴a≤3，
∴0＜a≤3，
∴满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过C．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；立体图形的初步认识；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，在Rt△AHD中，由勾股定理可求得DH、AD、PH的值，若△ADP为等腰三角形，则分三种情况：①当AP=AD时，x=AP=AD，②当AD=PD时，有AH=PH，故x=AH+PH，③当AP=PD时，则在Rt△DPH中，由勾股定理可求得DP的值，有x=AP=DP．
（2）易证：△DPH∽△PEB ，即，故可求得y与x的关系式．
（3）利用△DPH∽△PEB，得出，进而利用根的判别式和一元二次不等式解集得出即可．
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