人教版九年级数学下名师点拨与训练第27章相似第27章 综合质量检测卷（含解析）

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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第27章 相似
第27章 综合质量检测卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若与相似且对应中线之比为，则周长之比和面积比分别是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
2．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE∥BC，若CE∶AE＝2∶3，BC＝10，则DE的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．比值为（约0.618）的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比，我们中国的国旗宽与长之比就非常接近这个比例，如果某面国旗长为2米，则其宽约为（　　）
A．1.5米 B．1.2米 C．1.0米 D．0.8米
4．如图，矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点M、N，则的长为（　　）
A． B． C． D．5
5．如图，等边中，点，分别在边，上，，交于点． 若． 则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验（如图），解释了小孔成倒像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小明记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图）：物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　　）．
A． B． C． D．
7．如图，C是以为直径的上的一点，是的切线，，E为的中点，连接并延长交于点D，若，则的长度为（　　）．
A． B． C． D．2
8．如图，五边形ABCDE是由五边形FGHMN经过位似变换得到的，点O是位似中心，F、G、H、M、N分别是OA、OB、OC、OD、OE的中点，则五边形ABCDE与五边形FGHMN的面积比是（　　）
A．2：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
9．某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，则河的宽度PQ为（　　）
A．30m B．60m C．90m D．120m
10．有一块锐角三角形余料，边的长为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小长方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11． 已知，则　 　．
12．如图，在等边中，点在BC上，，把沿直线MN对折，使点恰好落在点，则　 　．
13．利用无人机探照灯测量坡面的角度.如图，一架无人机探照灯在点处，测得它的下边缘光线DA落在坡脚点处，上边缘光线DB落在斜坡点处，此时无人机离地面6米，将无人机沿水平方向前进2.5米到达点处，探照灯的上下边缘光线EC，EB落在斜坡B，C处，，此时点恰好在的正上方，现测得，则　 　.
14．已知：中，是中线，点在上，且，．则　 　．
15．如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，连接BD，M、N分别为边AD、BC上的动点，且MN⊥BD于点P，连接DN、BM，则DN+BM的最小值为　 　。
三、解答题（共8小题。共75分）
16．（8分）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，每个小正方形的边长都为1.
（1）在图上标出位似中心D的位置，并写出该位似中心D的坐标是 ；
（2）求△ABC与△A′B′C′的面积比．
17．（7分）如图，在中，，，点D，E分别在边上，且，．求证：．
18．（8分）如图，在中，，点是的中点，点是的中点，过点A作交的延长线于点F，交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，则的面积为　 　．
19．（9分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）以点为位似中心，把缩小为原来的，得到，在图①中画出；
（2）在图②中，作出的高线；
（3）在图③中，在边上作点，使线段的长度为．
20．（9分）根据以下素材，探索解决问题．
测量旗杆的高度
素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图1，光线，DN，BM分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．
素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图2，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得．
素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图3，点G，P，C在同一直线上，标杆，测得，．（说明：小陈同学、旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离）
（1）任务1 利用素材1证明△ABM△CDN；
（2）任务2 在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度；
（3）任务3 利用素材3求出旗杆的高度．
21．（9分）阅读理解：
如图1，若在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E与点A，B不重合），分别连结ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，若∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，请直接写出的值．
图1 图2 图3
21．（12分） 小明在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究：
（1）【习题回顾】：如图，在等边三角形ABC的AC、BC边上各取一点P，Q使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O，求∠BOQ的度数．请你解答该习题．
（2）【拓展延伸】：如图1，在等腰Rt△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，BP平分∠ABC， AQ=，∠BAC＝90°，求BP的长．小明的思路：过点A作AG∥BC交BP延长线于点G，证明△AQC≌△GPA，
（3）如图2，在Rt△ABC的AC、BC边上各取一点P、Q，使CQ＝2AP，BP平分∠ABC，，∠BAC＝90°，求AQ，BP的数量关系，请你解答小明提出的问题．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和．
（1）求抛物线的对称轴．
（2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线．
①求抛物线的解析式．
②设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点．设点的横坐标为．是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
23 .（13分）小明在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究：
（1）【习题回顾】：如图，在等边三角形ABC的AC、BC边上各取一点P，Q使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O，求∠BOQ的度数．请你解答该习题．
（2）【拓展延伸】：如图1，在等腰Rt△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，BP平分∠ABC， AQ=，∠BAC＝90°，求BP的长．小明的思路：过点A作AG∥BC交BP延长线于点G，证明△AQC≌△GPA，
（3）如图2，在Rt△ABC的AC、BC边上各取一点P、Q，使CQ＝2AP，BP平分∠ABC，，∠BAC＝90°，求AQ，BP的数量关系，请你解答小明提出的问题．
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第27章 相似
第27章 综合质量检测卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若与相似且对应中线之比为，则周长之比和面积比分别是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：与相似，且对应中线之比为，
其相似比为，
与周长之比为，
与面积比为，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的性质求解即可。
2．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE∥BC，若CE∶AE＝2∶3，BC＝10，则DE的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵CE∶AE=2∶3，
∴AE∶CE=3∶2，
∴AE∶（AE+CE）=3∶(3+2)，
∵DE∥BC，
∴ ADE∽ ABC，
∴=，
∵BC=10，
∴=，
∴DE=6，
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质求出AE∶AC=3∶5，根据平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例建立方程，可求出DE的长.
3．比值为（约0.618）的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比，我们中国的国旗宽与长之比就非常接近这个比例，如果某面国旗长为2米，则其宽约为（　　）
A．1.5米 B．1.2米 C．1.0米 D．0.8米
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设国旗的宽为x米，
由题意得x∶2=0.618，
解得x≈1.2.
故答案为：B.
【分析】根据中国的国旗宽与长之比等于黄金分割比例出方程，求解即可.
4．如图，矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点M、N，则的长为（　　）
A． B． C． D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在矩形中，，，，
由勾股定理可得，
∵的平分线是BP
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴由勾股定理可得．
故选：C．
【分析】先利用勾股定理求出，再证明，利用相似三角形的性质可得，求得，最后利用勾股定理求出的长即可．
5．如图，等边中，点，分别在边，上，，交于点． 若． 则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，
，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】过点E作EG⊥BC于点G，根据题意易得CE=2，由等边三角形性质得∠ABD=∠C=60°，由含30°角直角三角形性质求出CG=1，利用勾股定理算出GE、BE的长，然后利用SAS判断出△ABD≌△BCE，得∠FDB=∠CEB，结合公共角∠FBD=∠CBE，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△FBD∽△CBE，由相似三角形对应边成比例建立方程可算出BF的长，进而根据EF=BE-BF可算出答案.
6．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验（如图），解释了小孔成倒像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小明记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图）：物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设蜡烛火焰的高度是x cm，
则有，
解得=4，
即蜡烛火焰的高度是4cm.
故答案为：A.
【分析】根据小孔成像以及相似三角形的性质可知，蜡烛火焰的高度与蜡烛火焰倒立像的高度的比值，等于物距与像距的比值.根据小孔成像以及相似三角形的性质可知，蜡烛火焰的高度与蜡烛火焰倒立像的高度的比值，等于物距与像距的比值.
7．如图，C是以为直径的上的一点，是的切线，，E为的中点，连接并延长交于点D，若，则的长度为（　　）．
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：连接并延长，过点D作延长线于点F，连接，
∵直径，E为的中点，
∴，
∴，
∵
∴
设，则，
∴，即，解得：，
在中，，
∴，解得：（负值已舍去），
∴，，
∴在中，，
又∵是的切线，，
∴，
在中，
∴．
故选：C．
【分析】连接OC并延长，过点D作DF⊥OC延长线于点F，连接OD，由PC∥AB，证，设OF=x，则CF=x+2，然后利用相似三角形的性质，结合切线的性质和勾股定理求得求解即可．
8．如图，五边形ABCDE是由五边形FGHMN经过位似变换得到的，点O是位似中心，F、G、H、M、N分别是OA、OB、OC、OD、OE的中点，则五边形ABCDE与五边形FGHMN的面积比是（　　）
A．2：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
【答案】B
【知识点】相似多边形；位似变换
【解析】【解答】解：∵F为AO的中点，
∴OF：OA=1：2，
∵ 五边形ABCDE是由五边形FGHMN经过位似变换得到的 ，
∴FN∥AE，
∴△OFN∽△OAE，
∴OF∶OA=FN∶AE=1∶2
∴五边形ABCDE与五边形FGHMN的面积比为：4：1.
故答案为：B.
【分析】由五边形ABCDE与五边形FGHMN关于点O成位似关系，且OF：OA=1：2，可得位似比为1：2，根据形似图形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案.
9．某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，则河的宽度PQ为（　　）
A．30m B．60m C．90m D．120m
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意得QR∥ST，
∴△PQR∽△PST
∴，即，
解得：PQ=90m
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质得出，代数计算求解即可.
10．有一块锐角三角形余料，边的长为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小长方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图：当最上层的小长方形的一边与交于点E、F时，，于，交于，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∵小长方形的宽为
∴能分割三层小长方形，且最上一层正好能分割一个小长方形，
设第二层靠近点A的边为x，
根据三角形相似可得：，
解得，即第二层正好能分割两个小长方形，
设最下层靠近点A的边为，
根据三角形相似可得：，
解得，即最下层正好能分割三个小长方形，
∴按如图方式分割成的小长方形零件最多有个，
故答案为：B.
【分析】 当最上层的小长方形的一边与AB、AC交于点E、F时，EF∥BC，AD⊥BC于D，交EF于G，则△AEF∽△ABC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AG的长，然后根据DG=AD-AG可求出DG的长， 所以△ABC能分割三层小长方形，且最上一层正好能分割一个小长方形，设第二层靠近点A的边为x，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出x=10，即第二层正好能分割两个小长方形，设最下层靠近点A的边为y，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出y=15，即最下层正好能分割三个小长方形，从而即可得出答案.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11． 已知，则　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵设，
∴a=3k，b=4k，
∴.
故答案为：.
【分析】根据等比的性质，设，则a=3k，b=4k，然后代入待求式子，合并后约分化简即可.
12．如图，在等边中，点在BC上，，把沿直线MN对折，使点恰好落在点，则　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BD：DC=2：3，
∴设BD=2a，则CD=3a，BC=5a.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=5a，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
由折叠的性质可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AM=DM，AN=DN，
∴BM+MD+BD=7a，DN+NC+DC=8a，
∵∠MDN=∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠NDC+∠MDB=∠BMD+∠MDB=120°，
∴∠NDC=∠BMD，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴△BMD∽△CDN，
∴(BM+MD+BD)：(DN+NC+CD)=MD：DN=AM：AN，
即AM：AN=7：8，
故答案为： .
【分析】设BD=2a，则CD=3a，根据折叠的性质可得AM=DM，AN=DN，根据等边三角形的性质准备条件，证△BMD∽△CDN，根据相似三角形周长的性质求解即可。
13．利用无人机探照灯测量坡面的角度.如图，一架无人机探照灯在点处，测得它的下边缘光线DA落在坡脚点处，上边缘光线DB落在斜坡点处，此时无人机离地面6米，将无人机沿水平方向前进2.5米到达点处，探照灯的上下边缘光线EC，EB落在斜坡B，C处，，此时点恰好在的正上方，现测得，则　 　.
【答案】
【知识点】相似三角形的应用；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接，作于，
点恰好在的正上方，
是直角三角形，
又，，
根据勾股定理得，
，
∵ ，
，，
，
，
又∵，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】通过做辅助线，构造直角，根据勾股定理求出的长，易证，依据相似的性质得出，求出BE，作于，由，列比例解出和，进而求出，根据，，进而求出
14．已知：中，是中线，点在上，且，．则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：是边上的中线，
．
，
．
．
，
．
又，
．
．
．
．
．
故答案为：
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角与内角的关系．先利用等腰三角形的性质，三角形外角与内角的关系可推出，再根据已知条件可证明，利用相似三角形的性质可得：，化简可用表示出，再代入比例式可求出答案.
15．如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，连接BD，M、N分别为边AD、BC上的动点，且MN⊥BD于点P，连接DN、BM，则DN+BM的最小值为　 　。
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，过点M作ME⊥BC，垂足为点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
∴四边形ABEM和四边形CDME均为矩形，
∴ME=AB=1，∠MPD+∠PDM=90°，
又∵MN⊥BD，
∴∠EMN+∠MPD=90°，
∴∠EMN=∠ADB，
∴在Rt△BAD和Rt△NEM中，
，
∴，解得：NE=，
以MN和BM作为平行四边形的两边向右侧构造平行四边形MBGN，过点G作HF⊥AB交AB延长线于点F，交DC延长线于点H，
由同角余角相等，即同理可证∠FBG=∠ADB，四边形BFHC为矩形，
∴BG=MN，NG=BM，FH=BC，BF=CH，
又∵BG=MN，∠F=∠MEN=90°，
∴△BFH≌△MEN(AAS)，
∴CH=BF=ME=1，FG=NE=，HG=HF-FG=BC-FG=，
在Rt△DHG中，DG=，
又∵ DN+BM=DN+NG≥DG，
当且仅当D、N、G三点共线时，.
故答案为：.
【分析】利用MN⊥BD先分析边角关系，构造相似或利用同角三角函数值，即分析得MN为定长，故目标线段最值为“造桥选址”最值问题，即构造平行四边形的性质进行线段转移，将双动点转换为单动点的“将军饮马”线段和最值，利用勾股定理构造直角解之即可.
三、解答题（共8小题。共75分）
16．（8分）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，每个小正方形的边长都为1.
（1）在图上标出位似中心D的位置，并写出该位似中心D的坐标是 ；
（2）求△ABC与△A′B′C′的面积比．
【答案】解：（1）如图：D（7，0）；
（2）∵△ABC∽△A′B′C′
∴
【知识点】相似三角形的性质；作图﹣位似变换
【解析】【分析】考查位似.
17．（7分）如图，在中，，，点D，E分别在边上，且，．求证：．
【答案】【解答】
解：∵，，，，∴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】首先求出，的长，再求出，又因为，根据相似三角形的判定可证得
18．（8分）如图，在中，，点是的中点，点是的中点，过点A作交的延长线于点F，交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，则的面积为　 　．
【答案】（1）证明：，
，
∵点E是的中点，
，
在和中，
，
；
，点是线段的中点，
，，
，AF=CD，
四边形是矩形；
（2）
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）解：根据（1）得，∴根据勾股定理可得，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：.
【分析】（1）由二直线平行，内错角相等可得∠AFE=∠DBE，由中点定义可得AE=DE，从而可用“AAS”证出△BDE≌△FAE，由全等三角形的对应边相等可得AF=BD，再根据等腰三角形的三线合一可得AD⊥BC，BD=CD，则AF=CD，从而即可得到平行四边形ADCF是矩形；
（2）在Rt△ABD中，用勾股定理求得BD的长，从而求得AF=BD=2，BC=2BD=4，根据三角形面积公式算出△ABC的面积；由平行于三角形一边得直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△AGF∽△CGB，利用相似三角形的对应边成比例得到，然后格局同高三角形的面积之比等于对应底之比可得，最后由求解即可．
19．（9分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）以点为位似中心，把缩小为原来的，得到，在图①中画出；
（2）在图②中，作出的高线；
（3）在图③中，在边上作点，使线段的长度为．
【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）见详解
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（1）如图所示：即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）如图所示：点即为所求．
【分析】（1）根据题意再结合网格，找到、中点，然后相连接，即可得到答案；
（2）根据题意再结合网格，利用直角三角形中两锐角互余的性质，即可得到答案；
（3）根据题意再结合网格，求出的长度为，，即，找到的五等分点，即可得到答案.
20．（9分）根据以下素材，探索解决问题．
测量旗杆的高度
素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图1，光线，DN，BM分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．
素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图2，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得．
素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图3，点G，P，C在同一直线上，标杆，测得，．（说明：小陈同学、旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离）
（1）任务1 利用素材1证明△ABM△CDN；
（2）任务2 在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度；
（3）任务3 利用素材3求出旗杆的高度．
【答案】（1）证明：由题意知：，，
即，
∵，
∴，
∴．
（2）解：小陈同学还要测量图中线段DE的长度，记为a．
由题意知：，
∵，，
∴，
∴．
∴，
∵，，，
∴．
（3）解：过点G作于点H，交PQ于点F．
由题意知：，，，
即，
，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由题意得到：，然后根据平行线的性质得到：，进而即可求证；
（2）把线段DE的长度记为a，由题意得到：，进而证明，得到：，进而可得到CD的长；
（3）过点G作于点H，交PQ于点F，由题意得到：，，，进而求出PF的长度，然后根据垂直的定义和平行线的性质即可证明，得到：，进而即可求出CD的长.
21．（9分）阅读理解：
如图1，若在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E与点A，B不重合），分别连结ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，若∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，请直接写出的值．
图1 图2 图3
【答案】解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．
理由：∵∠A=55°，
∴∠ADE+∠DEA=125°．
∵∠DEC=55°，
∴∠BEC+∠DEA=125°．
∴∠ADE=∠BEC．
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC．
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点
（2）作图如下：
图1图2
（3）．
【知识点】矩形的性质；梯形；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)要证明点E是四边形ABCD的边AB上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解.
(2)根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可.
(3)因为点E是梯形ABCD的边AB上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出BC和AB的数量关系，从而可求出解.
21．（12分） 小明在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究：
（1）【习题回顾】：如图，在等边三角形ABC的AC、BC边上各取一点P，Q使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O，求∠BOQ的度数．请你解答该习题．
（2）【拓展延伸】：如图1，在等腰Rt△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，BP平分∠ABC， AQ=，∠BAC＝90°，求BP的长．小明的思路：过点A作AG∥BC交BP延长线于点G，证明△AQC≌△GPA，
（3）如图2，在Rt△ABC的AC、BC边上各取一点P、Q，使CQ＝2AP，BP平分∠ABC，，∠BAC＝90°，求AQ，BP的数量关系，请你解答小明提出的问题．
【答案】（1）解：在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAP＝∠C＝60°，AP＝CQ，
∴△ABP≌△CAQ（SAS），
∴∠ABP＝∠CAQ．
∵∠BOQ＝∠BAO+∠ABP，
∴∠BOQ＝∠BAO+∠CAQ＝∠BAC＝60°；
（2）解：过点A作AG∥BC交BP的延长线于点G，
∴∠PAG＝∠C，∠PBC＝∠G，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝∠ABP，
∴∠G＝∠ABP，
∴AG＝AB，
∵AC＝AB，
∴AG＝AC，
∵AP＝CQ，
∴△CAQ≌△AGP（SAS），
∴PG=AQ=．
∵AG∥BC，
∴△APG∽△CPB，
∴，
而，
∴，
∴，
∵PG=，
∴BP＝2；
（3）解：如图2，过点A作AG∥BC交BP的延长线于点G，
由（1）知∠PAG＝∠C，AG＝AB，
∵，
∴，
∵CQ＝2AP，
∴，
∴△APG∽△CQA，
∴，
∴，
Rt△ABC中，，
∴，
∴，
∵AG∥BC，
∴△APG∽△CPB，
∴，
∴，
∴，
∴2BP=AQ．
【知识点】角平分线的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得∠ABP=∠CAQ；根据交的计算，即可求出∠BOQ的度数；
（2）根据角平分线的性质，可得∠PBC＝∠ABP；根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得PG=AQ；根据三角形相似的判定和性质，可列比例式，进而求出BP的值；
（3）根据三角形相似的判定和性质，可列比例式，得到，，进而可得AQ和BP的数量关系.
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和．
（1）求抛物线的对称轴．
（2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线．
①求抛物线的解析式．
②设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点．设点的横坐标为．是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）x=2.5；（2）①；②1或
【分析】（1）根据函数图像所过的点的特点结合函数性质，可知两点中点横坐标即为对称轴；
（2）①根据平移可得已知点平移后点的坐标，平移过程中a的值不发生改变，所以利用交点式可以求出函数解析式；
②根据条件求出A、B、C、D四点的坐标，由条件可知三角形相似有两种情况，分别讨论两种情况，根据相似的性质可求出m的值．
【详解】解：（1）因为抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点，
这两点的纵坐标相同，根据抛物线的性质可知，对称轴是x=（1+4）÷2=2.5,；
（2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（-1,0），（2,0），将点（-1,0），（2,0），a=-1，
根据交点式可求出C1二次函数表达式为；
②根据①中的函数关系式，可得A（2,0），B（-1,0），C（0,2），D（m，），且m＞0
由图像可知∠BOC=∠DEO=90°，
则以点，，为顶点的三角形与相似有两种情况，
（i）当△ODE∽△BCO时，
则，即，
解得m=1或-2（舍），
（ii）当△ODE∽△CBO时，
则，即，
解得
所以满足条件的m的值为1或．
【点睛】本题主要考查了一元二次函数图形的平移、表达式求法、相似三角形等知识点，熟练运用数形结合是解决问题的关键．
23 .（13分）小明在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究：
（1）【习题回顾】：如图，在等边三角形ABC的AC、BC边上各取一点P，Q使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O，求∠BOQ的度数．请你解答该习题．
（2）【拓展延伸】：如图1，在等腰Rt△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，BP平分∠ABC， AQ=，∠BAC＝90°，求BP的长．小明的思路：过点A作AG∥BC交BP延长线于点G，证明△AQC≌△GPA，
（3）如图2，在Rt△ABC的AC、BC边上各取一点P、Q，使CQ＝2AP，BP平分∠ABC，，∠BAC＝90°，求AQ，BP的数量关系，请你解答小明提出的问题．
【答案】（1）解：在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAP＝∠C＝60°，AP＝CQ，
∴△ABP≌△CAQ（SAS），
∴∠ABP＝∠CAQ．
∵∠BOQ＝∠BAO+∠ABP，
∴∠BOQ＝∠BAO+∠CAQ＝∠BAC＝60°；
（2）解：过点A作AG∥BC交BP的延长线于点G，
∴∠PAG＝∠C，∠PBC＝∠G，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝∠ABP，
∴∠G＝∠ABP，
∴AG＝AB，
∵AC＝AB，
∴AG＝AC，
∵AP＝CQ，
∴△CAQ≌△AGP（SAS），
∴PG=AQ=．
∵AG∥BC，
∴△APG∽△CPB，
∴，
而，
∴，
∴，
∵PG=，
∴BP＝2；
（3）解：如图2，过点A作AG∥BC交BP的延长线于点G，
由（1）知∠PAG＝∠C，AG＝AB，
∵，
∴，
∵CQ＝2AP，
∴，
∴△APG∽△CQA，
∴，
∴，
Rt△ABC中，，
∴，
∴，
∵AG∥BC，
∴△APG∽△CPB，
∴，
∴，
∴，
∴2BP=AQ．
【知识点】角平分线的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得∠ABP=∠CAQ；根据交的计算，即可求出∠BOQ的度数；
（2）根据角平分线的性质，可得∠PBC＝∠ABP；根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得PG=AQ；根据三角形相似的判定和性质，可列比例式，进而求出BP的值；
（3）根据三角形相似的判定和性质，可列比例式，得到，，进而可得AQ和BP的数量关系.
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