2024-2025学年广东省广州市某校高二（上）期末数学模拟试卷（含答案）

2024-2025 学年广东省广州市某校高二（上）期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在公差为2的等差数列{ }中， 3 2 5 = 4，则 4 2 7 =( )
A. 4 B. 2 C. 6 D. 8
2.圆： 2 + 2 4 + 6 = 0的圆心坐标和半径分别为( )
A. ( 2,3)，13 B. ( 2,3)，√ 13 C. (2, 3)，√ 13 D. (2, 3)，13
3.设 ， ∈ ，向量 = ( , 1,0)， = (2, , 2)， = (1, 2,1)，且 ⊥ ， // ，则| + | =( )
A. √ 14 B. √ 10 C. √ 29 D. 2√ 7
4.已知{ , , }是空间的一个基底，下列不能与 = ， = 构成空间的另一个基底的是( )
A. B. + C. + D. + +
5.已知圆 ： 2 + 2 +2 1 = 0，直线 ： 3 = 0，点 在直线 上运动，直线 ， 分别与圆 相
切于点 ， ，当切线长 最小时，弦 的长度为( )
√ 6
A. B. √ 6 C. 2√ 6 D. 4√ 6
2
1 1
6.已知数列{ }，满足 +1 = ，若 1 = ，则 2019 =( ) 1 2
1 1
A. 2 B. C. 1 D.
2 2
7.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，准线为 .点 在 上，直线 交 轴于点 ，若 = 3 ，则点 到准
线 的距离为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2 2
8.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)和抛物线
2 = 2 ( > 0)有相同的焦点 2(1,0)，两曲线相交于 ，
两点，若△ 1( 1为双曲线的左焦点)为直角三角形，则双曲线的离心率为( )
A. √ 2 B. √ 2 + 1 C. √ 3 D. √ 3+ 1
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. “ = 1”是“直线 2 + 1 = 0与直线 2 = 0互相垂直”的充要条件
3
B. 直线 + +2 = 0的倾斜角 的取值范围是[0, ] ∪ [ , )
4 4

C. 过( 1 , 1)，( 2 , 2)两点的所有直线的方程为
1 = 1
2 1 2 1
D. 经过点(1,1)且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为 + 2 = 0
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10.如图，在三棱柱 1 1 1中， ， 分别是 1 ， 1 1上的点，
且 = 2 1 ， 1 = 2 1 .设 = ， = ， 1 = .若∠ = 90°，
∠ 1 = ∠ 1 = 60°， = = 1 = 1，则下列说法中正确的是( )
1 1A. = +
1
+
3 3 3
√ 5
B. | | =
3
C. 直线 1和直线 1相互垂直
1
D. 直线 1和直线 1所成角的余弦值为 6
3
11.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，过 的直线 交抛物线 于点 ， ，且 ( , )，| | = .下
4 2
列结论正确的是( )
A. = 4 B. = ±√ 2
3√ 2
C. = 3 D. △ 的面积为
2
12.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中，后人称为“三角
垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第 层有 个球，
从上往下 层球的总数为 ，记 = ( 1)
( +1 )，则( )
A. +1 = +1 B. 1 + 2 + + 20 = 20
( +1) 3
C. 1 = ， ≥ 2 D.

1的最大值为 2 2 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2 2 2
13.椭圆 + 2 = 1( > 0)与双曲线
2 = 1有公共的焦点，则 =______．
25 8
14.圆 ：( + 3)2 + ( 4)2 = 1关于直线 + 2 = 0对称的圆 的方程是______．
1
15.在等比数列{ }中，若 1 = 1， 4 = ，则数列{ +1}的公比为 ． 8
2 2
16.已知动点 ( , )在椭圆 + = 1上，过点 作圆( 3)2 + 2 = 1的切线，切点为 ，则 的最小值
25 16
是 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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17.(本小题10分)
已知{ }是等差数列，其前 项和为 .若 1 = 2， 7 = 4( 2 + 5).
(1)求{ }的通项公式；
(2)设 = 2 + 2
，数列{ }的前 项和为 ，求 ．
18.(本小题12分)
已知圆 的方程为( 3)2 + 2 = 2．
(1)求过点 (2,1)的圆 的切线方程；
(2)若直线过点(2,3)，且直线 与圆 相交于两点 、 ，使得∠ = 90°，求直线 的方程．
19.(本小题12分)
如图，四棱锥 的底面是矩形， ⊥底面 ， = = 1， 为 中点，且 ⊥ ．
(1)求 ；
(2)求二面角 的正弦值．
20.(本小题12分)
已知等比数列{ }的公比为 ，与数列{

}满足 = 3 ( ∈ )
(1)证明数列{ }为等差数列；
(2)若 8 = 3，且数列{ }的前3项和 3 = 39，求{ }的通项，
(3)在(2)的条件下，求 = | 1|+ | 2| + + | |
21.(本小题12分)
已知在长方形 中， = 2 = 2√ 2，点 是 的中点，沿 折起平面 ，使平面 ⊥平面
(1)求证：在四棱锥 中， ⊥ ；
√ 5
(2)在线段 上是否存在点 ，使二面角 的余弦值为 ？若存在，找出点 的位置；若不存在，
5
说明理由．
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22.(本小题12分)
2 2 3
已知点 ， 分别为椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左，右顶点，点 (0, 2)，直线 交 于点 ， = 2
且△ 是等腰直角三角形．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)设过点 的动直线 与 相交于 ， 两点，当坐标原点 位于以 为直径的圆外时，求直线 斜率的取值
范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】4
14.【答案】( + 2)2 + ( 5)2 = 1
1
15.【答案】
4
16.【答案】√ 3
17.【答案】解：(1)设等差数列{ }的公差为 ．
∵ 7 = 4( 2 + 5)，
7×6
∴ 7 1 + = 4( 1 + + 1 + 4 )， 2
∴ 1 = ，∵ 1 = 2，
∴ = 2，
∴ = 2 + ( 1) × 2 = 2 ．
∴ { }的通项公式为 = 2 ，
(2)由(1)可知 = 2

+ 2 = 4 + 2
2 = 4 +4 ，
∵ = 1 + 2 + 3+ + ．
∴ = 4(1+ 2 + 3 + + ) + (4
1 + 42 + +4 )
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4 (1+ ) 4×(1 4 ) 4
= + = 2 ( + 1) + (4 1)，
2 1 4 3
4
∴ = 2 ( + 1)+ (4
1)．
3
18.【答案】解：(1) ∵ (2 3)2 + 12 = 2，∴点 在圆上，则 ⊥ ，
1 0
∵ = = 1，∴ = 1． 2 3
则直线 的方程为 1 = 1 ( 2)，即 1 = 0；
(2)圆 的方程为( 3)2 + 2 = 2，则圆 的圆心坐标为(3,0)，半径为√ 2．
记圆心到直线 的距离为 ，则 = √ 2 45° = 1．
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 = 2， = 3 2 = 1，满足条件；
当直线 的斜率存在时，设直线方程为 3 = ( 2)，即 + 3 2 = 0．
|3+ | 4
则 = = 1，解得 = ．
√ 2 3 1+
此时直线 的方程为4 + 3 17 = 0．
综上，直线 的方程为 = 2或4 + 3 17 = 0．
19.【答案】解：(1)连结 ，
因为 ⊥底面 ，且 平面 ，
则 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，则 ⊥ ，
所以∠ + ∠ = 90°，
又∠ + ∠ = 90°，
则有∠ = ∠ ，
所以 △ ∽ △ ，
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1
则 = ，所以 2 = 1，解得 = √ 2； 2
(2)因为 ， ， 两两垂直，故以点 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则 (√ 2, 0,0)， (√ 2, 1,0)，
√ 2
( , 1,0)， (0,0,1)，
2
所以 = ( √ 2, 0,1)，
√ 2 ， √ 2 = ( , 1,0) = ( , 0,0)， = ( √ 2, 1,1)，
2 2
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 0 √ 2 + = 0则有{ ，即{ ，

√ 2
= 0 + = 0
2
令 = √ 2，则 = 1， = 2，故 = (√ 2, 1,2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，

√ 2
{
= 0 = 0
则有 ，即{ 2 ，
= 0 √ 2 + = 0
令 = 1，则 = 1， = 0，故 = (0,1,1)，
| | 3 3√ 14
所以|cos < , > | = = = ，
| || | √ 7×√ 2 14
设二面角 的平面角为 ，
则 3√ 14 √ 70 = √ 1 cos2 = √ 1 cos2 < , >= √ 1 ( )2 = ，
14 14
所以二面角 的正弦值为√ 70．
14
20.【答案】(12分)(1)证明：设{ }的公比为 ，
∵ = 3
( ∈ )
∴ = log3 ( ∈
) …… (1分)
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∴ +1 = 3 +1 3 =
+1
3 = 3 (与 无关的常数)
∴ { }为等差数列，公差为log3 .…… (3分)
= 3 8 = 3 +7 = 1
(2)解：∵ { 8 { 1
= 15
即 解出{ 1 ……(5分)
3 = 39 3 1 + 3 = 39 = 2
∴ = 15 2( 1) = 17 2 ………… (6分)
(3)由 = 17 2 ≥ 0得 ≤ 8， = 17 2 ≤ 0可得 ≥ 9
∴ { }的前8项均为正，从第9项开始为负 ………… (7分)
(15+17 2 )×
( )当 ≤ 8时， = | 1| + | | + + | | = + + + = = (16 ) =
2
2 1 2 +2
16 ………… (9分)
( )当 ≥ 9时 = | 1|+ | 2| + + | |
= 1 + 2 + + 8 ( 9 + 10 + + )
= 2( 1 + 2 + + 8) ( 1 + 2 + + 8 + 9 + 10 + + )
(15 + 1)× 8
= 2 × ( 2 + 16 )
2
= 128 (16 )
= 2 16 + 128………… (11分)
2+16 ,( ≤8)
综上所述： = { 2 16 +128( ≥ 9)………… (12分)
21.【答案】证明：(1)连接 ，∵ 为 的中点， = 2 = 2√ 2， = √ 2，
∵ 为长方形，∴ ⊥ 中， = = 2√ 2．
在△ 中， = √ 2 + 2 = √ 2 + 2 = 2，
同理 = 2， 2 + 2 = 2，∴ ⊥ ，
在折叠后的图形中：
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， ⊥ ，
∴ ⊥平面 ，
又 平面 ， ⊥ ，
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又∵ ⊥ ， 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
∴ 1平面 ，
又 平面 ，
∴ ⊥ ，
(2)由(1)可知：△ 、△ 均为等腰直角三角形，过 点作底边 的高，交 于 点，以 为原点建立
空间直角坐标系，如图所示：
则 = (0,0,1)， = (1,0,0)， = ( 1,2,0)， = ( 1,0,0)，
则 = (1,0,1)， = ( 1,2, 1)， = (2,0,0)，
易知平面 的一个法向量为 = (0,1,0)，
假设在线段 上存在点 ，使二面角 的余弦值为√ 5，
5
设设 = ，则 = + = (1 , 2 , 1 )，
(1 2 ) + 2 + (1 ) = 0
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，∴ { = 0，∴ { ，
= 0 2 = 0
2 1 √ 5 1
取 = 1，则 = (0,1, )，∴ cos < ， >= = =∣
1
∣ ∣ ∣ 2 2 5 ，解得 = ， √ 1+( ) 2
1
即当点 为线段 的中点时，二面角 的余弦值为√ 5．
5
22.【答案】解：(Ⅰ)由题意知：△ 是等腰直角三角形， = 2， (2,0)，
3 6 4
设 ( 0, 0)，由 = ，则 0 = , 0 = ， 2 5 5
代入椭圆方程，解得 2 = 1，
2
∴椭圆方程为 + 2 = 1.… (5分)
4
(Ⅱ)由题意可知，直线 的斜率存在，方程为 = 2，设 ( 1, 1)， ( 2 , 2)，
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= 2
则{ 2 2 ，整理得：(1+ 4
2) 2 16 + 12 = 0，
+ = 1
4
16 12
由韦达定理可知： 1 + 2 = 2， 1 2 = 2，… (8分)
1+4 1+4
由直线 与 有两个不同的交点，则△> 0，
3
即( 16 )2 4 × 12× (1 + 4 2) > 0，解得： 2 > ，…①…(9分)
4
由坐标原点 位于以 为直径的圆外，则 > 0，即 1 2 + 1 2 > 0，
则 1 2 + 1 2 = 1 2 + ( 1 2)( 2 2)
= (1 + 2) 1 2 2 × ( 1 + 2)+ 4
12 16
= (1 + 2) 2 2 × 2 + 4 > 0，
1+4 1+4
解得： 2 < 4，…②…(11分)
3 √ 3 √ 3
综合①②可知： < 2 < 4，解得 < < 2或 2 < < ，
4 2 2
√ 3 √ 3
直线 斜率的取值范围( 2, ) ∪ ( , 2).… (12分)
2 2
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