2023-2024学年安徽省马鞍山中加双语学校高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年安徽省马鞍山中加双语学校高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的为( )
A. 与互为对立事件 B. 与互斥
C. 与相等 D.
2.过点的直线中，被圆截得的弦最长的直线的方程是( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时的值为( )
A. B. C. D.
4.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.执行如图所示的程序框图，则输出的的值是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知向量，，，且向量与互相垂直，则的值是( )
A. B. C. D.
7.直线被椭圆所截得的弦长等于( )
A. B. C. D.
8.在平面上有一系列点，，，，，对每个正整数，点位于函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切．若，且的前项之和为，则( )
A. B. C. D.
9.如图，在棱长为的正方体中，、、分别是棱、、的中点，以为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为( )
A.
B.
C.
D.
10.已知，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
11.如图，样本和分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
12.已知为椭圆的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴若直线的斜率为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知为椭圆上的一点，，分别为圆和圆上的点，则的最小值为______．
14.如图所示，已知抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点，且两条曲线的交点连线也过焦点，则该椭圆的离心率为______．
15.以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是______．
16.命题“若，则二元一次不等式表示直线的右上方区域包含边界”的条件：______，结论：______，它是______命题填“真”或“假”．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．设过点的动直线与相交于，两点．
求的方程；
是否存在这样的直线，使得的面积为，若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ若，求二面角的余弦值．
19.本小题分
为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中，名学生化学成绩满分分的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组已知图中前三个组的频率依次构成等差数列，第一组和第五组的频率相同．
求，的值；
估算高分大于等于分人数；
估计这名学生化学成绩的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表和中位数中位数精确到．
20.本小题分
某外语学校的一个社团中有名同学，其中人只会法语，人只会英语，人既会法语又会英语，现选派人到法国的学校交流访问．
在选派的人中恰有人会法语的概率；
在选派的人中既会法语又会英语的人数的分布列与期望．
21.本小题分
记为等差数列的前项和，已知，．
求的通项公式；
求，并求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.“” “二元一次不等式表示直线的右上方区域包含边界” 真
17.解：设，因为直线的斜率为，
所以，．
又，解得，，
所以椭圆的方程为．
当轴时，不合题意，由题意可设直线的方程为：，，
联立消去得，
当，所以，即或时．
所以，
点到直线的距离，
所以，
设，则，，解得或，即，
所以存在这样的直线：或．
18.Ⅰ证明：矩形和菱形所在的平面相互垂直，，平面平面，平面，
平面，
平面，，
菱形中，，则为等边三角形，为的中点．
，又，得．
，平面平面，
平面；
Ⅱ解：由Ⅰ可知，，两两垂直，
如图所示以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
故A，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
设平面的法向量，
由，取，得，
设二面角的平面角为，由图可知为钝角，
则，
二面角的余弦值为．
19.解：由题意可知：，
解得，；
因为高分的频率约为，
所以估算高分大于等于分人数为；
估计这名学生化学成绩的平均值等于，
设中位数为，则，解得，
故估计这名学生化学成绩的中位数为．
20.解：事件“选派的三人中恰有人会法语的概率为；
的取值为、、、，
则，，，；
分布列为：
．
21.解：根据题意，设等差数列的公差为，
又由，则，则有，即，
又由，则，
故；
根据题意，由的结论，，
则，
又由，故当时，取得最小值．
第1页，共1页