2023-2024学年广东省中山一中高二（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

2023-2024 学年广东省中山一中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线 的方向向量是 = (1, √ 3)，则直线 的倾斜角为( )
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
2.已知两个平面的法向量分别为 = (0,1,1), = (1, 1,0)，则这两个平面的夹角为( )
A. 30° B. 60° C. 60°或120° D. 120°
3.直线 1： + 1 = 0与直线 2： 1 = 0的位置关系是( )
A. 垂直 B. 相交且不垂直 C. 平行 D. 平行或重合
4.若抛物线 2 = 2 ( > 0)上的点 ( 0, √ 2)到其焦点的距离是 到 轴距离的3倍，则抛物线的标准方程为
( )
A. 2 = B. 2 = 2 C. 2 = 3 D. 2 = 4
5.在长方体 1 1 1 1中，| | = 2，| | = 3，| 1| = 2， 是 的中点，则直线 1与 1 所成
的角的余弦值为( )
√ 10 √ 10 √ 10
A. B. C. D. √ 10
2 5 10
3 9
6.在等比数列{ }中， 3 = ，其前三项的和 3 = ，则数列{ }的公比等于( ) 2 2
1 1 1 1
A. B. C. 或1 D. 或1
2 2 2 2
2 2
7.若直线 = + 2与焦点在 轴上的椭圆 + = 1总有公共点，则 的取值范围是( )
9
A. (0,4] B. (4,9) C. [4,9) D. [4,9) ∪ (9,+∞)
8.双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点 2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长
线经过左焦点 1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新
2 2
闻灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为 2 2 = 1， 1， 2为其左、右焦点，若从右焦点 2发
第 1 页，共 10 页
3
出的光线经双曲线上的点 和点 反射后，满足∠ = 90°，tan∠ = ，则该双曲线的离心率为( )
4
√ 5 √ 10
A. B. √ 5 C. D. √ 10
2 2
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 (0,0,0)， (1, 1,2)， (1, 1, 2)， (1,1, 2)，则下列说法正确的是( )
A. 点 ， 关于平面 对称 B. 点 ， 关于 轴对称
C. ， ， 三点构成直角三角形 D. ， ， 三点构成钝角三角形
10.已知直线 ： = 0与圆 ： 2 + 2 4 2 + 1 = 0，则下列说法正确的是( )
A. 直线 恒过定点(1,0) B. 圆 的圆心坐标为(2,1)
C. 存在实数 ，使得直线 与圆 相切 D. 若 = 1，直线 被圆 截得的弦长为2
11.欧拉函数 ( )( ∈ )的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互素的正整数的个数(互素是指两个整
数的公约数只有1)，例如， (1) = 1， (3) = 2， (7) = 6.下列说法正确的是( )
A. (11) = 10
B. 数列{ ( )}为递增数列
C. 数列{ (2 )}为等比数列

D. 数列{ }的前 项和为 ，则 < 4 (2 )
12.在正三棱柱 中，已知 = = 2，空间点 满足 = + + 1 1 1 1 1 2 3 1，则( )
1
A. 当 1 = 2 = 3 = 时， 为正方形 1 2 1对角线交点
B. 当 1 + 2 + 3 = 2时， 在平面 1 内
2√ 3
C. 当 3 = 1时，三棱锥 的体积为 3
D. 当 1 = 3，且 1 + 2 = 1时，有且仅有一个点 ，使得 ⊥
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
1
13.已知 = (2, , 3)， = (1, , )，其中 ， ∈ ，若 // ，则 的值为______．
2
第 2 页，共 10 页
14.数列{ }的通项公式为 = 10 2 ，( ∈
)，其前 项和为 ，则 的最大值为______．
15.已知点 ( 1,0)， (1,0)，若圆 2 + 2 2 + 2 4 = 0上存在点 满足 = 0，则实数 的取值
范围是______．

16.设 1， 2是椭圆3
2 + 4 2 = ( > 0)的两个焦点，若椭圆上存在点 满足∠ 1 2 = ，记△ 的外3 1 2

接圆和内切圆半径分别是 ， ，则 的值为______．

四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知圆 经过点(2,0)和(0,2)且圆心在直线 + = 4上．
(1)求圆 的方程；
(2)若点 为圆 上的任意一点，求点 到直线 ：2 + + 2 = 0距离的最大值和最小值．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，且 ⊥ ， = 2 ，已知侧棱 ⊥平面 ，
设点 为棱 的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)若 = = = 2，求点 到平面 的距离．
19.(本小题12分)
已知数列{ }的前 项和 ，且

+1 = 3 + 1， 1 = 1，其中 ∈ ．
(1)证明：数列{ }是等比数列；
3 , 为奇数
(2)设 = { 4 ，求数列{ }的前20项和 ． , 为偶数 20
( +2)(1+ 3 )
20.(本小题12分)
马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图， 为棚顶， 是棚底地面的中心， 为棚底直径， = ，△
是棚底的内接正三角形，中间的支柱 = 18米，从支柱上的 点向棚底周围拉了4根绳子 、 、 、
第 3 页，共 10 页
供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从 点沿着绳子 爬到 点，再沿着 爬到棚顶，然后从棚顶
跳到 、 、 中的某一根绳子上．
(1)当 点取在距离 点3√ 6米处时，证明拉绳 所在直线和平面 垂直；
(2)经验表明当拉绳 所在直线和平面 所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把 点
取在什么位置．
21.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，若动点 ( , )( ≥ 0)到点 (0,1)的距离比它到 轴的距离大1的轨迹为曲线 .设直线
过点 (0,1)且与曲线 交于 ， 两点，且 ( 1, 1)， ( 2, 2)，( 1 < 0, 2 > 0)．
(1)求曲线 的方程；
(2)若点 是直线 = 1上任意一点，设直线 ， ， (其斜率都存在)的倾斜角依次为 ， ， ，求证：
1 1 2
+ = ．
tan tan tan
22.(本小题12分)
对于数列{ }，规定数列{

}为数列{ }的一阶差分数列，其中 = +1 ， ∈ ．
(1)已知数列{ }的通项公式为
3
= ，数列{ }的前 项和为 ．
①求 ；
②记数列{3 + 1}的前 项和为 ，数列{ 2 }的前 项和为 ，且 = + ，求实数 的值．
(2)北宋数学家沈括对于上底有 个，下底有 个，共有 层的堆积物(堆积方式如图)，提出可以用公式 =

[(2 + ) + ( + 2 ) ] + ( )求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”.试证明上述求和公式．
6 6
第 4 页，共 10 页
第 5 页，共 10 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
3
13.【答案】
2
14.【答案】20
15.【答案】[ 3, 1] ∪ [1,3]
16.【答案】2
17.【答案】解：(1)设圆心为 ( , )，半径为 ( > 0)，
则圆 的标准方程为( )2 + ( )2 = 2，
(2 )2 + (0 )2 = 2 = 2
由已知可得，{(0 )2 + (2 )2 = 2，解得{ = 2，
+ = 4 = 2
所以圆 的标准方程为( 2)2 + ( 2)2 = 4；
(2)由(1)知，圆心为 (2,2)，半径 = 2，
|2×2+2+2| 8√ 5
圆心 (2,2)到直线 ：2 + + 2 = 0的距离 = = > ，
√ 22
5
+12
所以直线 与圆 相离，
8√ 5 8√ 5
所以点 到直线 ：2 + + 2 = 0距离的最大值为 + = + 2，最小值为 = 2．
5 5
18.【答案】解：(1)证明：取 中点 连接 ， ，又点 为棱 的中点，
1 1
∴ // ，且 = ，又易知 // ，且 = ，
2 2
第 6 页，共 10 页
∴ // ，且 = ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ // ，又 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ；
(2)根据题意，以 ， ， 所在直线为轴，建系如图，
则根据题意可得 (0,0,2)， (0,2,0)， (1,2,0)， (2,0,0)， (1,0,1)，
∴ = (0,2, 2)， = (1,0,0)， = (1, 2,1)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= = 0
则{ ，取 = (0,1,2)，
= 2 + = 0
| | 2 2√ 5
∴点 到平面 的距离为| ||cos < , > | = = = ．
| | √ 5 5
19.【答案】(1)证明：对于 +1 = 3 + 1， 1 = 1，当 = 1时， 1 + 2 = 3 1 + 1， 2 = 2 1 + 1 = 3，
当 ≥ 2时，由 +1 = 3 + 1得 = 3 1 + 1，两式相减得 +1 = 3 ( ≥ 2)，由于 2 = 3 1，
所以{ }是首项为1，公比为3的等比数列，所以 = 3
1．
(2)解：①当 为奇数时， = log3 = 1， 1 = 0， 19 = 18，
0+18
所以 1 + 3 + + 19 = × 10 = 90． 2
4 1 1
②当 为偶数时， = = 2( )； ( +2)(1+ 3 ) +2
1 1 1 1 1 1 1 10
所以 2 + 4 + + 20 = 2[( ) + ( ) + + ( )] = 1 = ． 2 4 4 6 20 22 11 11
10 1000
所以 20 = 90 + = ． 11 11

20.【答案】解：(1)证明：因为 = ， = ，所以△ 是正三角形，则∠ = ，
3
易知 ⊥底面圆 ，而 底面圆 ，所以 ⊥ ，

又在 △ 中， = 18，所以 = = 6√ 3，
√ 3
因为△ 是正三角形，所以 √ 3 = × × 2 = 6√ 3 × √ 3 = 18，
2
且 = √ 2 + 2 = 9√ 2， = ，所以 2 + 2 = 2，则 ⊥ ，
同理可证 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
即拉绳 所在直线和平面 垂直．
(2)如图，以 为原点， ， 所在直线为 ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
第 7 页，共 10 页
设| | = ，(0 ≤ ≤ 18)，∴ (0,0, )， ( 3√ 3, 9,0), (3√ 3, 9,0), ( 6√ 3, 0,0)，
所以 = (3√ 3, 9, ), = (3√ 3, 9, )， = ( 6√ 3, 0, )，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 3√ 3 + 9 = 0则{ ，
= 6√ 3 = 0
令 = ，则 = √ 3 , = 6√ 3，
故 = ( , √ 3 , 6√ 3)，
设直线 和平面 所成的角为 ，
6√ 3 6√ 3 6√ 3 1
sin = |cos < , >| = = ≤ =
√ 108+ 2 √ 4 2则 +108 2
3
√ 108 4 2+ +540 1082 ，
2 √ 2√ 4 2 2 +540
当且仅当 2 108
2
4 = ，即| | = = 3√ 6米时，拉绳 所在直线和平面 所成角的正弦值最大，
2
故应该把 点取在距离 点3√ 6米处．
21.【答案】解：(1)根据已知：动点 ( , )( ≥ 0)到点 (0,1)的距离比它到 轴的距离大1的轨迹为曲线 ，
那么相当于动点 ( , )( ≥ 0)到点 (0,1)的距离与它到 = 1的距离相等．
那么根据抛物线的定义可知： 的方程为 2 = 4 ．
(2)证明：根据题意易知直线 的斜率存在，设直线 斜率为 ，那么 的方程为 = + 1，
= + 1
联立直线 方程和椭圆方程可得{ 2 ，解得
2 4 4 = 0，
= 4
所以根的判别式 = (4 )2 4 × ( 4) = 16 2 + 16 > 0恒成立，
第 8 页，共 10 页
如图，根据第一问可得 1 2 = 4， 1 + 2 = 4 ，
2 2 2
因此 2 + 2

1 2 = ( 1 + )
2
2 2
2 ( )
1 2 = 16 + 8，且 1 =
1 , 2 =
2，则 = 1 2 = 1，
4 4 1 2 16
因为点 是直线 = 1上任意一点，设直线 ， ， (其斜率都存在)的倾斜角依次为 ， ， ，
+1 +1 2
所以设 ( 0, 1)，那么 =
1 , = 2 , = ，
1 0 2 0 0
1 1
+ = 1
0 + 2
0 = 1 0
2 0 4( 1 0) 4( 2 0)
因此 + = +tan tan 1 2 1 2 2 2 1+1 2+1 +1 +1 1+4 2+44 1 4 2
4( 1 0)(
2 2
2+4)+4( 2 0)( 1+4) 4[ 1 2( 1+ 2)+4( + ) (
2+ 2) 8 ] 21 2 0 1 2 0 4[ 16 +16 0(16 +8) 8 0]= 2 = = =( 1+4)(
2
2+4) (
2
1+4)(
2
2+4)
2
16+4(16 +8)+16
2
4 0( 16 16)
2 = 0．
4(16 +16)
2 2
又因为 =tan 2
= 0
( ) ，
0
1 1 2
因此 + = ．
tan tan tan
22.【答案】解：(1)①由题意， = 3 3 +1 = ( + 1) ，
所以， 3 3 3 3 3 3 = + 1 + + 1 = ( + 1) + ( 1) + + 2 1 ，
即 = ( + 1)
3 1．
②由题意知， = ( + 1)3 3 = 3
2 + 3 + 1，
所 ∑ 2 =1 = ∑ =1( 3 ) + ∑ =1( 3 + 1) = 3∑
2
=1 + ∑ =1( 3 + 1)，
即 = 3 + ，所以 = 3；
(2)证明：设数列{ }的通项公式为 = ( + 1)( + 1), ∈
，
则由题意知，需证明的公式中， 即为数列{ }的前 项和， 即为数列{ }的第 项，且 = ( + 1)，
= ( + 1)．
又 = ( + 1)( + 1) = + ( 1)( + ) + ( 1)
2，
( 1)且∑ =1 = ，∑

=1( 1)( + ) = ( + ) ， 2
2 1 1 (3 +5) 1 1 1由(1)知 = ∑ =1 = ( ) = [( + 1)
3 1 ] = 3 + 2 + ，
3 3 2 3 2 6
1 1 1
所以，∑ 2 =1( 1) =
2 3 2
= + ， 3 2 6
第 9 页，共 10 页
( 1) 1 3 1 2 1 1 3 + 1 2 6 3( + )+1所以 = + ( + ) + + = + + ，
2 3 2 6 3 2 6
又 = ( + 1)， = ( + 1)，

则 [(2 + ) + ( + 2 ) ] + ( ) = [(3 + 1) + (3 + 2 2)( + 1)] + ( 1) =
6 6 6 6
1
3
+ 1 2 6 3( + )+1+ + ，
3 2 6

所以 = [(2 + ) + ( + 2 ) ] + ( )成立．
6 6
第 10 页，共 10 页