2024-2025学年广西柳州市高三（上）月考数学试卷（一模）（含答案）

2024-2025学年广西柳州市高三（上）月考数学试卷（一模）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.对于非零向量，，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知双曲线：的一条渐近线方程为，则( )
A. B. C. D.
4.若过点与圆相切的两条直线的夹角为，则( )
A. B. C. D.
5.点，的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
6.设函数，已知，，且的最小值为，则( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱台的体积为，，，则与底面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
8.设函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量服从正态分布，即，则( )
A. B.
C. D.
10.过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线交于，两点，经过点和原点的直线交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 以为直径的圆与轴相切 D.
11.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数已知是定义在上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数为偶函数，则( )
A. B.
C. 为奇函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.在的展开式中，常数项为______．
14.如图，在的格子中，有一只蚂蚁从点爬到点，每次只能向右或向上移动一格，则从点爬到点的所有路径总数为______，若蚂蚁只在下三角形对角线及以下的部分所围成的三角形行走，则从点到点的所有总路径数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，，求的周长．
16.本小题分
如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，．
证明：平面；
若圆锥的侧面积为，求二面角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
若有极小值，且极小值小于，求的取值范围．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，为直线上一动点，椭圆：的左右顶点分别为，，上、下顶点分别为，若直线交于另一点，直线交于另一点．
求证：直线过定点，并求出定点坐标；
求四边形面积的最大值．
19.本小题分
某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了和两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择和两个套餐之一，如图是该购物平台天销售优惠券的情况单位：千张的折线图：
由折线图可看出，可用回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
假设每位顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，其中包含一张优惠券，套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了张优惠券，设其概率为，求；
记中所得概率的值构成数列，求数列的最值．
参考数据：，，，．
参考公式：相关系数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，
可得，即，
由于，可得，
所以，故；
由及正弦定理，
可得，
又，，则，
故，即，
所以，
由正弦定理得，即，
解得，，
故的周长为．
16.解：证明：由题知，平面，，
故以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立空间直角坐标系．
设，则，，，，，
所以，，．
因为，．
所以，，
因为，，平面，所以平面；
因为圆锥的侧面积，所以，所以，
由可知，为平面的一个法向量，
因为，，
设平面的法向量为，则，，
所以，令，得，
则，
所以二面角的正弦值为．
17.解：当时，，则，
所以，，所以即切点坐标为，切线斜率为，
所以切线方程为；
定义域为，且．
若，令，解得，令，解得，
可知在上单调递减，上单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意，可得，即，
令，，在上单调递增，
又，不等式等价于，解得，
又，所以；
若，则对任意恒成立．
所以在上单调递减，无极值，不合题意，
综上，的取值范围是．
18.解：证明：易知，，
所以椭圆的方程为，
设，
当时，设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
可得，
所以，
即，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
可得，
所以，
即，
由对称性知，定点在轴上，
设，
因为，
所以，
即，
解得，
所以直线过定点；
当时，直线也恒过定点；
综上，直线也恒过定点．
易知四边形的面积
，
令，
当且仅当时，等号成立，
此时，
易知函数在上单调递增，
又．
搜易当时，四边形面积取得最大值，最大值．
19.解：由折线图中数据和附注中参考数据得，，，
，
所以，
因为与的相关系数近似为，说明与的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系；
依题意得，，其中，，
则，
所以是以首项为，公比为的等比数列，
故成立，
则有，
所以，
又因为，
所以；
当为偶数时，，单调递减，最大值为，，，
当为奇数时，，单调递增，最小值为，，，
所以数列的最大值为，最小值为．
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