2024-2025学年江苏省南京市某中学高二（上）期末数学模拟试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年江苏省南京市某中学高二（上）期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线(3 + 2) + + 6 = 0和直线 + 3 = 0平行，则( )
1
A. = 0或 = B. = 1或 = 2
3
C. = 1 D. = 2
2.过点 ( 1,4)作圆( 2)2 + ( 3)2 = 4的切线，切点为 ，则切线段 长为( )
A. √ 5 B. 3 C. √ 6 D. √ 7
2 2 1 1
3.设直线 与椭圆 ： + = 1交于 ， 两点，且点 ( , )为线段 的中点，则直线 的方程为( )
2 6 2 2
A. 3 + 2 = 0 B. 3 + 2 = 0 C. 3 2 = 0 D. 3 + + 1 = 0

4.设 为各项均不为零的等差数列{ }的前 项和，若( +
2 5
3 5) 2 = 4，则 =( ) 6
3 5
A. B. 2 C. D. 3
2 2
2 2 2 2
5.已知 1， 2是椭圆 1： + = 1和双曲线 2： 2 2 = 1( > 0, > 0)的公共焦点， 是它们的一个公12 2

共点，且∠ 1 2 = ，则双曲线 2的离心率为( ) 2
√ 5 √ 10
A. B. √ 5 C. D. √ 10
2 2
2
6.函数 ( ) =
2
的部分图象可能为( )
+1
A. B.
C. D.

7.已知数列{ }的前 项和为 ，且 2 = 1.则 2024 =( ) 2023
1 1 1 1
A. 2 2022 B. 2 2023 C. 4 2022 D. 4 2 2 2 22023
8.函数 ( )在 的导数为 ′( )，且 ′( ) < ( )，则有( )
A. (1) > 2 (2) B. 2 (1) > (2) C. . 2 (1) < (2) D. (1) < 2 (2)
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二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆 ： 2 + 2 = 4与圆 ：( 3)2 + ( 2)2 = 9交于 ， 两点，则下列说法正确的是( )
A. 线段 的垂直平分线所在的直线方程为2 3 = 0
B. 直线 的方程为3 + 2 4 = 0
6√ 13
C. | | =
13
24+12√ 13
D. 若点 是圆 上的一点，则△ 面积的最大值为
13
10.已知函数 ( ) = 2 3 6 + 1，则( )
A. ( ) = ( ) 1为奇函数
B. ( )的单调递增区间为( 1,1)
C. ( )的极小值为 3
D. 若关于 的方程 ( ) = 0恰有3个不等的实根，则 的取值范围为( 3,5)
1
11.在数列{ }中，若 1 = , +1 = ，则下列结论正确的有( ) 3 3 +1
1 1 3 2 3
A. { }为等比数列 B. { }的前 项和 = + 2 2
1 1
C. { }的通项公式为 = D. { }的最小值为 3 3
12.设 (0, √ 2 )为抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点， 为坐标原点， 为 上一点，且| | = 9，则( )
A. = 8 B. (0,4)
√ 5
C. 直线 的斜率为 D. △ 的面积为8√ 5
20
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.过点 (3, 1)且与圆 ： 2 + 2 2 6 + 6 = 0相切的直线方程为______．
1
3 2 , 0 ≤ ≤
14.数列{ }满足 1 = ,
2
+1 = { ，则数列的第2023项为______． 5 12 1, < < 12
15.“当 ∈ 时，函数 ( ) = 4 在区间[1,2]上单调递增”为真命题的 的一个取值是______. (符合
题意的一个值即可)
2 2 2
16.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)与双曲线 ：
2 = 1有相同的焦点 ，
3 1 2
，且它们的离心率互为

倒数， 是 与 的一个公共点，则△ 1 2的面积为______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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17.(本小题10分)
已知圆 过两点 ( 3,5)， (1,7)，且圆心在直线 2 + 3 = 0上．
(1)求圆 的方程；
(2)过点 (4, 4)作直线 与圆 交于 ， 两点，若| | = 8，求直线 的方程．
18.(本小题12分)
已知{ }为等差数列，{ }是公比为正数的等比数列， 1 = 1 = 2， 2 = 2 1 1， 3 = 2 2 + 2．
(1)求{ }和{ }的通项公式；
(2)求数列{ }的前 项和．
19.(本小题12分)
2 2
已知椭圆 ： + = 1，直线 ： 1 = 0．
4 2
(1)求证：对 ∈ ，直线 与椭圆 总有两个不同交点；
4√ 5
(2)直线 与椭圆 交于 ， 两点，且| | = ，求 的值．
3
20.(本小题12分)
已知数列{ }满足 1 = 2， +1 = 3 6．
(1)记 = 3，证明：{ }是等比数列，并求{ }的通项公式；
(2)求数列{ }的前 项和 ．
21.(本小题12分)
某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路 ，余下的外围是抛物线的一段，
的中垂线恰是该抛物线的对称轴， 是 的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形 区域种植草坪，
其中 ， ， ， 均在该抛物线上.经测量，直路 段长为60米，抛物线的顶点 到直路 的距离为40米.以
为坐标原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系 ．
(1)求该段抛物线的方程；
(2)当 长为多少米时，等腰梯形草坪 的面积最大？
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22.(本小题12分)
1
设函数 ( ) = ( + 2) + ( 2 1)( 为非零常数)．
2
(1)若函数 ( )在点(0, (0))处的切线经过点(1, 2)，求实数 的值；
(2)讨论函数 = ( )的单调性．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】 = 3或3 + 4 5 = 0
2
14.【答案】
5
15.【答案】0(答案不唯一，1或2也可)
16.【答案】6
7 5 1
17.【答案】解：(1) ∵ ( 3,5)， (1,7)，∴线段 的中点 ( 1,6)， = = ， 1 ( 3) 2
可得线段 的垂直平分线的方程： 6 = 2( + 1)，化为：2 + 4 = 0．
2 + 4 = 0
联立{ ，解得圆心 (1,2)．
2 + 3 = 0
∴ 2 = | |2 = ( 3 1)2 + (5 2)2 = 25．
∴圆 的方程为：( 1)2 + ( 2)2 = 25；
(2)直线 的斜率不存在时，直线 的方程为： = 4，
则圆心 到直线 的距离 = 3，可得弦长为2√ 2 2 = 8，满足条件；
直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： + 4 = ( 4)，即 4 4 = 0，
| 2 4 4 | |3 +6|
则圆心 到直线 的距离 = = ，
√ 2 2 +1 √ +1
可得弦长| | = 2√ 2 2 = 2√ 25 2 = 8，解得 = 3．
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|3 +6| 3
∴ = 3，解得 = ，可得直线 的方程为：3 + 4 + 4 = 0．
√ 2
4
+1
综上可得直线 的方程为： = 4或3 + 4 + 4 = 0．
18.【答案】解：(1)由题意设等差数列等比数列的公差公比分别为 ， > 0，
则由题意有2 + = 3，2 2 = 2(2 + ) + 2，解得 = 1， = 2，
所以{ }和{ }的通项公式分别为 = 2 + ( 1) = + 1, = 2 2
1 = 2 , ( ∈ )；
(2)设数列{ }的前 项和为 ，
由(1)可得 = ( + 1) 2
, ( ∈ )，
所以 = 2 21 + 3 2
2 + + ( + 1) 2 ，
2 = 2 2
2 + 3 23 + + ( + 1) 2 +1，
1
两式相减得 = 2 21 + 22 +1
4×(1 2 )
+ + 2 ( + 1)2 = 4 + ( + 1)2 +1 = 2 +1 ， 1 2
所以数列{ }的前 项和为 = 2
+1, ( ∈ )．
19.【答案】解：(1)将直线 的方程代入椭圆 方程中，得
(1 + 2 2) 2 4 2 = 0，
该一元二次方程根的判别式 = 16 2 + 8(1 + 2 2) > 0，
所以直线 与椭圆 总有两个不同交点．
4 2
(2)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则有 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2， 1+2 1+2
4√ 5
因为| | = ，
3
4 2 4√ 5
所以√ 1 + 2| 2 2 2 21 2| = √ 1 + √ ( 1 + 2) 4 1 2 = √ 1 + √ ( ) 4 = 1+2 2 1+2 2 3
2√ 2×√ 4 2+1 4√ 5 1 1
√ 1 + 2 2 =
2 = 1, 2 = = ±1, = ± ，
1+2 3 4 2
1
所以 的值为±1, ± ．
2
20.【答案】解：(1)证明：由 1 = 2， +1 = 3 6，
可得 +1 3 = 3( 3)，
由 = 3，可得 +1 = 3 ，
则{ }是首项为 1，公比为3的等比数列．
所以 1 = 3 = ( 1) 3 ；
(2)由(1)可得 = 3 3
1，
1 3 1 3
= 3 + 3+. . . +3 (1 + 3 + 3
2+. . . +3 1) = 3 = 3 + ．
1 3 2
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21.【答案】解：(1)以路 所在直线为 轴，抛物线的对称轴为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ( 30,0)， (30,0)， (0,40)．
∵曲线的 为抛物线的一段弧，∴可设抛物线的解析式为 = ( 30)( +
30)( ≠ 0)．
2
将点 (0,40)代入得：40 = 900 ，即 = ．
45
2
∴抛物线的解析式为 = (900 2)(0 < < 30)；
45
(2)设等腰梯形 的面积为 ，
1 2
则 = (2 + 60) × (900 2)，
2 45
2
= ( 3 30 2 + 900 + 27000)，
45
2
′ = ( 3 2 60 + 900)，令 ′ = 0，得 = 10或 = 30(舍去)．
45
当 ∈ (0,10)时， ′ > 0， ( )单调递增，当 ∈ (10,30)时， ′ < 0， ( )单调递减．
12800
∴当 = 10时， 有最大值为 ．
15
12800
答：当 为20米时，等腰梯形草坪 的面积最大，其最大值为 平方米．
15
1 1
22.【答案】解：(1)函数 ( ) = ( + 2) + ( 2 1)，求导得： ′( ) = + ，则有 ′(0) = ，
2 +2 2
1
而 (0) = 2 ，
2
1 1 1 1
因此曲线 ( )在点(0, (0))处的切线方程为 ( 2 ) = ，则有 2 ( 2 ) = ，
2 2 2 2
1 1 1
即( + 2) = 2 + ，而 + 2 > 0，则 = 1，
2 2 2
所以实数 的值为1．
2
1 2+2 + ( +1) + 1
(2)函数 ( ) = ( + 2) + ( 2 1)的定义域为( 2, +∞)， ′( ) = = ，
2 +2 +2
当 ≥ 1时，恒有 ′( ) ≥ 0，当且仅当 = 1且 = 1取等号，则函数 ( )在( 2, +∞)上单调递增，
当 < 1时，由 2 + 2 + = 0解得 1 = 1 √ 1 ， 2 = 1 + √ 1 ，
当 1 = 1 √ 1 > 2，即0 < < 1时，当 2 < < 1或 > 2时， ′( ) > 0，当 1 < < 2时， ′( ) <
0，
因此函数 ( )在( 2, 1 √ 1 )，( 1 + √ 1 , +∞)上单调递增，在( 1 √ 1 , 1 + √ 1 )上单
调递减，
当 ≤ 0，即 1 √ 1 ≤ 2时，当 2 < < 2时， ′( ) < 0，当 > 2时， ′( ) > 0，
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因此函数 ( )在( 2, 1 + √ 1 )上单调递减，在( 1 + √ 1 + ∞)上单调递增，
所以当 ≤ 0时， ( )递减区间是( 2, 1 + √ 1 )，递增区间是( 1 + √ 1 , +∞)；
当0 < < 1时，递增区间是( 2, 1 √ 1 )，( 1 + √ 1 , +∞)，递减区间是( 1 √ 1 , 1 +
√ 1 )；
当 ≥ 1时， ( )递增区间是( 2, +∞)．
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