2024-2025学年湖南省-长沙市湖南师大附中高三（上）月考数学试卷（二）（PDF版，含答案）

2024-2025 学年湖南师大附中高三（上）月考数学试卷（二）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.已知复数 = ，则 的虚部为( )
1+
1 1
A. 1 B. 1 C. D.
2 2
2.已知 是单位向量，向量 满足| | = 3，则| |的最大值为( )
A. 2 B. 4 C. 3 D. 1

3.已知角 的终边在直线 = 2 上，则 的值为( )
sin +cos
2 1 2 1
A. B. C. D.
3 3 3 3
+ 3 3 , < 0, ( ) ( )
4.已知函数 ( ) = { 2 对任意的 ， ∈ ，且 ≠ ，总满足以下不等关系：
1 2 > 0，
+ , ≥ 0, 1 2 1 2 1 2
则实数 的取值范围为( )
3 3
A. ≤ B. ≥ C. ≤ 1 D. ≥ 1
4 4
5.如图，圆柱的母线长为4， ， 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且 ⊥ ，
8
三棱锥 的体积为 ，则圆柱的表面积为( )
3
A. 10
9
B.
2
C. 4
D. 8
6.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 到准线的距离为2，过焦点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，则
2| | + 3| |的最小值为( )
5
A. √ 6 + B. 2√ 6 + 5 C. 4√ 6 + 10 D. 11
2

7.设函数 ( ) = cos( + )，其中| | < .若 ∈ ，都有 ( + ) = ( ).则 = ( )的图象与直线 =
2 4 4
1
1的交点个数为( )
4
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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8.已知定义域为 的函数 ( )， ( )满足： (0) ≠ 0， ( ) ( ) ( ) ( ) = ( )，且 ( ) ( )
( ) ( ) = ( )，则下列说法正确的是( )
A. (0) = 1
B. ( )是偶函数
1
C. 若 (1) + (1) = ，则 (2024) (2024) = 22024
2
D. 若 (1) (1) = 1，则 (2024) + (2024) = 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
1
A. 一个样本的方差 2 = [( 21 3) + ( 2 3)
2 + + ( 20 3)
2]，则这组样本数据的总和等于60
20
B. 若样本数据 1， 2， ， 10的标准差为8，则数据2 1 1，2 2 1， ，2 10 1的标准差为16
C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，
平均数不变，方差变小
10.已知函数 ( ) = 3 + 2，则( )
A. ( )的值域为
B. ( )图象的对称中心为(0,2)
C. 当 3 > 0时， ( )在区间( 1,1)内单调递减
D. 当 > 0时， ( )有两个极值点
11.我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆 的周长和面积同时等分成两个部
分的函数称为圆 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是( )
A. 函数 ( ) = + 1是圆 ： 2 + ( 1)2 = 1的一个太极函数
B. 对于圆 ： 2 + 2 = 1的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数
C. 对于圆 ： 2 + 2 = 1的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形
D. 若函数 ( ) = 3 ( ∈ )是圆 ： 2 + 2 = 1的太极函数，则 ∈ ( 2,2)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.曲线 = 2 在点(1,2)处的切线与抛物线 = 2 + 2相切，则 = ______．
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2 2
13.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，若 为椭圆 上一点， ⊥ ，△ 1 1 2 1 2

的内切圆的半径为 ，则椭圆 的离心率为______．
3

14.设函数 ( ) = + ( > 4)，若 是从1，2，3，4四个数中任取一个， 是从4，8，12，16，20，24六
4
个数中任取一个，则 ( ) > 恒成立的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知( + )( ) = ( ) ．
(1)求 ；
3√ 3
(2)若△ 的面积为 ，且 = 2 ，求 的最小值．
4
16.(本小题15分)
2√ 3
已知双曲线 的焦点在 轴上，离心率为 ，点(3, √ 2)在双曲线 上，点 1， 2分别为双曲线的左、右焦点． 3
(1)求 的方程；
(2)过 2作两条相互垂直的直线 1和 2，与双曲线的右支分别交于 ， 两点和 ， 两点，求四边形 面
积的最小值．
17.(本小题15分)
如图，侧面 1 1水平放置的正三棱台 1 1 1， = 2 1 1 = 4，侧棱长为√ 2， 为棱 1 1上的动
点．
(1)求证： 1 ⊥平面 1 1；
5√ 33
(2)是否存在点 ，使得平面 与平面 1 1 1的夹角的余弦值为 ？若存在，求出点 ；若不存在，请说33
明理由．
18.(本小题17分)
若无穷正项数列{ }同时满足下列两个性质：
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①存在 > 0，使得 < ， ∈ ；
②{ }为单调数列，则称数列{ }具有性质 ．
1
(1)若 = 2 1， = ( ) ， 3
(ⅰ)判断数列{ }，{ }是否具有性质 ，并说明理由；
(ⅱ)记 = 1 1 + 2 2 + + ，判断数列{ }是否具有性质 ，并说明理由；
1
(2)已知离散型随机变量 服从二项分布 ( , )，0 < < ，记 为奇数的概率为 .证明：数列{ }具有性质2
．
19.(本小题17分)
4 2
已知函数 ( ) = 2 ， ( ) = 2 + 3 2 3 ( ∈ 且 < 2)．

(1)令 ( ) = ( ) ( )， ( )是 ( )的导函数，判断 ( )的单调性；
(2)若 ( ) ≥ ( )对任意的 ∈ (1,+∞)恒成立，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
2
13.【答案】
3
5
14.【答案】
8
15.【答案】解：(1)由( + )( ) = ( ) ，
根据正弦定理得( + )( ) = ( ) ，整理得 2 + 2 2 = ，
2 2 + 2 1
由余弦定理得 = = = ，结合 ∈ (0, )，可知 = ．
2 2 2 3
1 3√ 3
(2)根据题意，△ 的面积 = = ，
2 4
√ 3 3√ 3 1 3
即 = ，可得 = 3，所以 = = = ．
4 4 2 2
因为 = 2
1 1 1 2
，所以 = + = + ( ) = + ，
3 3 3 3
2 2 2
两边平方得
1
= (
2
+
1 4
)2 = +
4
+
1 4 2
= 2 + 2 + ，
3 3 9 9 9 9 9 3
1 4 2 1 2 2 √ 6
因为 2 + 2 + ≥ 2 + = 2，当且仅当 = , = √ 6时取等号．
9 9 3 3 3 3 2
2
所以 的最小值为2，可知 的最小值为√ 2．
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2√ 3=
3
16.【答案】解：(1)根据题意可得 9 2 2 = 1 ，解得 = 1，
2 = 3，
2 2
{ 2 = 2 + 2
2
所以双曲线 的方程为 2 = 1；
3
(2)
根据题意，直线 1， 2的斜率都存在且不为0，
1
设直线 1： = ( 2), 2： = ( 2)，其中 ≠ 0，
1
因为 1， 2均与 的右支有两个交点，所以
√ 3 1 √ 3
| | > , | | > ，所以 < 2 < 3，
3 3 3
= ( 2)
联立{ 2 2 ，得(1 3
2) 2 + 12 2 12 2 3 = 0，
= 1
3
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 2
12 12 3
则 1 + 2 = ， 2 , 1 2 = 2
1 3 1 3
所以| | = √ 1 + 2| 1 2| = √ 1 + 2√ ( 1 + 22) 4 1 2
2 2 2 2
2√ 12 12 3
2√ 3√ 1+
2 2√ 3(1+ )= √ 1 + ( ) 4 × = √ 1 + 2 = ， 2 2 2 2
1 3 1 3 |1 3 | 3 1
2
同理 2√ 3( +1)| | = ， 2
3
2 2 2 2
1 1 2√ 3(1+ ) 2√ 3( +1) ( +1)
所以 = | || | = 2 2 = 6 2 2 ． 2 2 3 1 3 (3 1)(3 )
4
令 = 2 + 1，所以 2 = 1, ∈ ( , 4)，
3
2 1 6
则 = 6 = 6 = ≥ 6 3 2+16 16 16 16 1 1 2 ， 3+ 2 16( ) +1 2
1 1
当 = ，即 = ±1时，等号成立．
2
故四边形 面积的最小值为6．
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17.【答案】(1)证明：延长三条侧棱交于一点 ，如图所示，
因为正三棱台的侧棱长为√ 2，所以 = = 2√ 2，
而 = 4，
所以 2 + 2 = 16 = 2，即 ⊥ ，
同理 ⊥ ， ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，即 1 ⊥平面 1 1．
(2)解：由(1)知 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，
以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,2√ 2), (0,2√ 2, 0)， 1(0,0,√ 2), 1(√ 2, 0,0), 1(0, √ 2, 0)，
所以 1 = (0,0, √ 2), = (0,2√ 2, 2√ 2), 1 1 = (√ 2, 0, √ 2), 1 1 = ( √ 2,√ 2, 0)， 1 1 =
(0,√ 2, √ 2)，
设 = 1 1 1 = (√ 2, 0, √ 2) = (√ 2 , 0, √ 2 )， ∈ [0,1]，
则 = 1 + = (√ 2 , 0, √ 2 √ 2 )，
= √ 2 √ 2 = 0
设平面 1 1 1的法向量分别为 = ( , , )，则{
1 1
1 1 = √ 2 √ 2 = 0
取 = 1，则 = = 1，所以 = (1,1,1)，
= √ 2 (√ 2 + √ 2 ) = 0
设平面 的法向量分别为 = ( , , )，则{ ，
= 2√ 2 2√ 2 = 0
取 = ，则 = ， = + 1，所以 = ( + 1, , )，
因为平面 与平面 5√ 331 1 1的夹角的余弦值为 ， 33
| | | +1+ + | 5√ 33
所以|cos < ， > | = = =| | | | 2 2 33 ， √ ( +1) +2
1 7
整理得12 2 + 8 7 = 0，即(2 1)(6 + 7) = 0，解得 = 或 = (舍)，
2 6
故当点 为 1 1中点时，使得平面 与平面 1 1 1的夹角的余弦值为
5√ 33．
33
18.【答案】解：(1)( )不具有性质 ．
理由如下：
因为 = 2 1单调递增，但无上限，即不存在 ，使得 < 恒成立，
所以数列{ }不具有性质 ，
1
因为 = ( )
< 1，又数列{ }为单调递减数列，所以数列{ }具有性质 ， 3
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( )数列{ }具有性质 ，
理由如下：
1 1 2 1
= 1 + 3 2 + + ③， 3 3 3

1 1 1 2 1
= 1 2 + 3 3 + + +1 ④， 3 3 3 3
2 1 1 1 1 2 1
③ ④得 = 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 +1， 3 3 3 3 3 3
2 1
2 1 (1 )3 3 2 1 1 1 2 1 2 2 +2即
3
= +
3 1 3 +1
= + (1
3 3
) = ，
1 3
+1 3 3 +1
3
+1
所以 = 1 < 1，所以数列{ }满足条件①， 3
1
因为 = (2 1)( )
> 0，所以 < +1，所以{ }为单调递增数列，满足条件②， 3
综上，数列{ }具有性质 ．
(2)证明：因为 = 0，1， ， ， ∈ ，
若 为奇数的概率为 ， 为偶数的概率为 ，
由题意离散型随机变量 服从二项分布 ( , )，
所以 +

= 1 = [(1 ) + ]
= 0 0(1 ) + 1 1(1 ) 1 + 2 2(1 ) 2 + +


(1 )0，
[(1 ) ] = 0 0 1 ( ) (1 ) + ( )
1(1 ) 1 + 2 ( )
2(1 ) 2 + + ( )
(1 )0，

1 (1 2 )
两式相减，即 = ， 2
1 1
所以当0 < < 时，0 < 1 2 < 1，故 随着 的增大而增大，且 < ， 2 2
故数列{ }具有性质 ．
4 2
19.【答案】解：(1)因为 ( ) = ( ) ( ) = 2 + 2 3 + 2 + 3 ，定义域为{ | ≠ 0}，

4 2( 1)
所以 ( ) = ′( ) = 2 2 + 2 3 ，
4 2( 2 2 +2)
可得 ′( ) = 3 + 2 > 0，
所以 ( )在( ∞, 0)和(0,+∞)上单调递增；
(2)若 ( ) ≥ ( )对任意的 ∈ (1,+∞)恒成立，
此时 (2) ≥ (2)，
即 (2) = 2 3 + 2 = ( 1)( 2) ≥ 0，
解得 ≤ 1或 ≥ 2，
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所以 ≤ 1，
4 2
令 ( ) = ( ) + = ，函数定义域为(1,+∞)，

4 2( 1)
可得 ′( ) = 2 1，
4 2( 1)
令 ( ) = 2 1，函数定义域为(1,+∞)，
4 2( 2 2 +2)
可得 ′( ) = > 0，
3
所以 ( )在(1,+∞)单调递增，
即 ′( )在(1,+∞)单调递增，
又 ′(2) = 0，
所以当 ∈ (1,2)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 ∈ (2,+∞)时， ′( ) > 0， ( )递单调增，
所以 ( ) ≥ (2) = 0，
则 ( ) ≥ ，
要证 ( ) ≥ ( )，
需证 ≥ ( )，
即证 2 (3 + 1) + 2 + 3 ≥ 0，
令 ( ) = 2 (3 + 1) + 2 + 3 ，
因为 = (3 + 1)2 4( 2 + 3 ) = 5 2 6 + 1 = ( 1)(5 1)，
1
若 ≤ ≤ 1，
5
则 ≤ 0，
所以 ( ) = 2 (3 + 1) + 2 + 3 ≥ 0．
1 3 +1 4
若 < ，对称轴 = < ，
5 2 5
所以 ( )在(1,+∞)递增，
则 ( ) > (1) = 2 ≥ 0．
综上所述， 的取值范围为( ∞, 1]．
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