2024-2025学年上海市青浦高级中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市青浦高级中学高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.学校规定，只有拥有良好品德的学生才有资格评选三好学生，那么“某学生有良好的品德”是“该生是三好学生”的条件．
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要
2.现利用随机数表法从编号为，，，，，的支水笔中随机选取支，选取方法是从下列随机数表第行的第个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第支水笔的编号为( )
A. B. C. D.
3.直线与椭圆相交于，两点，则弦长( )
A. B.
C. D.
4.已知数列不是常值数列，且满足是正整数，若，则( )
A. 存在、，对任意、，都有为等比数列
B. 存在、，对任意、，都有为等比数列
C. 存在、，对任意、，都有为等差数列
D. 存在、，对任意、，都有为等差数列
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合，，则 ______．
6.函数的定义域是______．
7.已知正数，满足，则的最小值为______．
8.二次项式的展开式的第项为______．
9.幂函数的单调增区间为______．
10.已知事件与事件相互独立，且，，则 ______．
11.关于的不等式对恒成立，则的取值范围为______．
12.向量，向量，则向量在向量上的投影向量为______．
13.复数的共轭复数为，且满足，则 ______．
14.甲乙两人下棋，两人每盘棋获胜的概率均为，现在两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得元奖金第一局，第二局比赛都是甲胜，第三局是乙胜现在比赛因意外终止，鉴于公平，奖金应该分给甲______元
15.已知函数，，则函数的最大值为______．
16.某数学建模小组的学生为了研究一个长方体的盒子最多可以放多少个小球，准备了一个长为、宽为、高为的长方体盒子他们将若干个直径均为的小球完全放入盒中小球的任何部分都不能在盒子外，那么最多可以放______个小球．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，已知平面，
求证：平面平面；
若，，求直线与平面所成角的大小；
18.本小题分
已知函数，．
判断函数的奇偶性；
判断函数的单调性，并求不等式的解集．
19.本小题分
中国电池制造行业在过去几年中呈现出惊人的增长和创新动力，尤其在新能源汽车和储能市场的强力拉动下，中国电池企业的数量、技术水平和市场地位均取得了显著突破从行业集聚效应到技术创新，再到国际市场竞争力，中国电池产业正在展现出前所未有的活力与潜力”中国电池企业总数已超过万家，这一庞大的数量不仅显示了行业规模的扩张，更反映了中国在电池制造领域的快速发展年前四个月新增注册万家，这种增长势头表明，技术创新和市场需求扩张正在驱动行业持续前行中国电池制造企业通过不断的技术创新和巨额研发投入，在全球市场中占据了主导地位展望未来，随着电池技术的持续突破和市场需求的不断扩张，中国企业有望继续引领全球电池行业的发展中国电池制造业正处在一个充满机遇与挑战的关键时期，持续的创新与合规将是其保持长久竞争力的关键．
某电池厂有、两条生产线，现从生产线中取出产品件，从生产线中取出产品件．
若生产线的个产品可充电次数分别为，，，，，，，那么这些数据的第百分位数是多少？
若生产线测得件产品的可充电次数的平均值为，方差为；生产线测得件产品的可充电次数的平均值为，方差为求这件产品组成的总样本的平均值与方差．
提示：方差公式
20.本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右顶点分别为、，右焦点为，且椭圆过点、，过点的直线与椭圆交于、两点点在轴的上方．
求椭圆的标准方程；
若，求点的坐标；
设直线，的斜率分别为、，是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
若函数是其定义域内的区间上的严格增函数，而是上的严格减函数，则称是上的“弱增函数”若数列是严格增数列，而是严格减数列，则称是“弱增数列”．
判断函数是否为上的“弱增函数”，并说明理由其中是自然对数的底数；
已知函数与函数的图像关于坐标原点对称，若是上的“弱增函数”，求的最大值；
已知等差数列是首项为的“弱增数列”，且公差是偶数．记的前项和为，设是正整数，常数，若存在正整数和，使得且，求所有可能的值．
参考答案
1.
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5.
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8.
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10.
11.
12.
13.或
14.
15.
16.
17.证明：因为平面，，
由三垂线定理可知，，
因为且，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
因为平面，
所以为直线与平面所成的角，
因为，，
所以，
因为，所以，
中，，
即直线与平面所成的角为．
18.解：的定义域为，满足关于原点对称，
又，
故为奇函数；
证明：任取，，且，
，
因为，，且，
故，，，，，
所以，，
故函数在上单调递增；
由为奇函数，且在上单调递增，
变形为，
则要满足，解得：，
故不等式的解集为．
19.解：根据题意，个数据从小到大排列为：，，，，，，，，
又由，故这些数据的第百分位数是；
根据题意，这件产品组成的总样本的平均值为，方差为，
若生产线测得件产品的可充电次数的平均值为，方差为；生产线测得件产品的可充电次数的平均值为，方差为，
则，
其方差．
20.解：因为椭圆过点、，
所以，解得，
故椭圆的标准方程为；
设，，
由可知，，
因为，
所以，
则，解得，
所以，
分别将点，的坐标代入椭圆的方程，
则，解得舍或，
故所求点的坐标为；
设存在常数，使得，
设直线的斜率为，
由题意可得，，
则，
所以，
由题意，设直线的方程为，
联立方程组，可得，
所以，且，
则
，
所以，
则，
故存在，．
21.解：显然，是上的严格增函数，
对于函数，
当时，恒成立，
故是上的严格减函数，
从而是上的“弱增函数”；
记，
由题意得，，
，
函数图像的对称轴为，且是区间上的严格增函数，
函数图像在第一象限的最低点的横坐标为，
且是区间上的严格减函数，
由是上的“弱增函数”，得，
所以，
所以的最大值为；
，
由是“弱增数列”得，，即，
又因为是偶数，所以，
从而，故，
由得，所以当时，，即，
故若，则不存在和，使得，
从而，
若，解得，满足；
若，解得，满足；
若，解得，不满足，
当时，，故不存在大于的正整数，使得，
综上，所有可能的值为和．
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