2023-2024学年河南省周口市西华第三高级中学高三（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

2023-2024 学年河南省周口市西华第三高级中学高三（上）期末数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | 2 4 ≥ 0}， = { |0 < 2 ≤ }，且 ∩ = { |2 ≤ ≤ 4}，则 =( )
A. 6 B. 8 C. 8 D. 6

2.已知复数 满足3 + = 2023 + ，则 =( )
A. 1 + B. 1 C. 1 + 2 D. 1 2
3.已知( 3
2
+ 2)
的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为( )

A. 60 B. 80 C. 100 D. 120
4.不论 为任何实数，直线(2 1) ( + 3) ( 11) = 0恒过定点，若直线 + = 2此定点，其
3 1
中 ， 是正实数，则 + 的最小值是( )
2
21 27 21 27
A. B. C. D.
4 4 2 2
5.《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的灿筑物称为“方亭”，沿“方亭”上底面的一对边作
垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍
1
甍”.现记截面之间几何体体积为 1，“刍甍”的体积为 2，若
2 = ，则“方亭”的上、下底面边长之比为
1 3
( )
√ 5 1 √ 5 1 √ 5+1 √ 5+1
A. B. C. D.
2 4 2 4

6.若 ， 为锐角，且 + = ，则 + 的最小值为( )
4
A. 2√ 2 2 B. √ 2 1 C. 2√ 3 2 D. √ 3 1
7.已知函数 ( )的定义域为 ， = ( ) + 是偶函数， = ( ) 3 是奇函数，则 ( )的最小值为( )
A. B. 2√ 2 C. 2√ 3 D. 2
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2 2
8.已知 1， 2分别是双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，点 在双曲线上， 1 ⊥ 2，圆 ：
2 9 + 2 = ( 2 + 2)，直线 1与圆 相交于 ， 两点，直线 2与圆 相交于 ， 两点，若四边形 4
的面积为9 2，则 的离心率为( )
5 8 √ 5 2√ 10
A. B. C. D.
4 5 2 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知甲种杂交水稻近五年的产量(单位： / 2)数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近
五年的产量(单位： / 2)数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则( )
A. 甲种的样本极差小于乙种的样本极差
B. 甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数
C. 甲种的样本方差大于乙种的样本方差
D. 甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数

10.已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, < < )的部分图象如图所
2 2
示，则( )
A. ( )的最小正周期为
√ 3 √ 3
B. 当 ∈ [ , ]时， ( )的值域为[ , ]
4 4 2 2

C. 将函数 ( )的图象向右平移 个单位长度可得函数 ( ) = 2 的图象
12
5
D. 将函数 ( )的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点( , 0)对称
6
11.已知函数 ( )的定义域为[ 1,5]，部分对应值如表， ( )的导函数 ′( )的图象如图所示，下列关于函数
( )的结论正确的有( )
1 0 2 4 5
( ) 1 2 0 2 1
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A. 函数 ( )的极大值点有2个
B. 函数 ( )在[0,2]上是减函数
C. 若 ∈ [ 1, ]， ( )的最大值是2，则 的最大值为4
D. 当1 < < 2时，函数 = ( ) 有4个零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知点 在抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)上，过 作 的准线的垂线，垂足为 ，点 为 的焦点.若∠ = 60°，
点 的横坐标为1，则 = ______．

13.设 ， ， 分别为△ 的内角 ， ， 的对边，已知3 ( + ) + = 0，则sin( 2 )的
2
值为______．
14.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”用到函数 ( )：
∈ ， ( )为 的所有正因数之和，如 (6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12，则 (20) = ______； (6 ) = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2
( + 2 2)
在△ 中， ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且2 = 2 ，其中 是三角形外接圆半径，且 不
2+ 2
为直角．

(1)若 = ，求 的大小；
6
2 2 2
(2)求 2 的最小值．

16.(本小题15分)
已知正项数列{ }的前 项和为，且 = 1， 2 2 1 +1 = 8 ， ∈
．
(1)求 ；
(2)在数列{ }的每相邻两项 ， +1之间依次插入 1， 2，…， ，得到数列{ }： 1， 1， 2， 1， 2，
3， 1， 2， 3， 4，…，求{ }的前100项和．
17.(本小题15分)
某市37家 级旅游景区，在2024年元旦节日期间，接待人数和门票收入大幅增长.该市某旅行社随机调查了
市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：
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喜欢旅游 不喜欢旅游 总计
男性 20 30 50
女性 30 20 50
总计 50 50 100
(1)利用以上数据，判断能否依据小概率值 = 0.05的独立性检验认为喜欢旅游与性别有关？
(2)将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取2人进行访谈，记这2人中喜欢旅游的人数为 ，求 的分布
列与数学期望．
2
2 ( )附： = ，其中 = + + + ．
( + )( + )( + )( + )
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
18.(本小题17分)
1
如图，在四棱锥 中， // ， ⊥ ， ⊥ ，∠ = ∠ = 45°， = ， = √ 2，
2
= √ 3．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
1
(2)若 为 上一点，且 = ( + )，求直线 与平面 所成角的正弦值．
2
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = ln(1 + )．
(Ⅰ)求曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程；
(Ⅱ)设 ( ) = ′( )，讨论函数 ( )在[0,+∞)上的单调性；
(Ⅲ)证明：对任意的 ， ∈ (0,+∞)，有 ( + ) > ( ) + ( )．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2
12.【答案】
3
7
13.【答案】
9
1
14.【答案】42 (2 +1 1 )(3 +1 1 )
2
2
15.【答案】解：(1)由余弦定理可得2 = ，可得2 = ，
2
再由正弦定理可得 = 2 ， = 2 ，
所以 = + = sin( + )，

在三角形中，可得 + = ，而 = ，
2 6

可得 = ；
6
(2)由(1)可得 = sin( + ) = ，

在三角形中，可得sin( ) = 或sin( + ) = ，
2 2

即 = ，即 + = ，可得 = ，与 角不是直角矛盾，
2 2 2

或 + = ，可得 = = 2 ，
2 2
2 2 2 2 2 sin2
2
2 22 sin2 2(1 2 2 ) cos2 8 4 7 2 +1 1
所以 22 = =sin2 sin2
=
sin2 sin2
= 8 + 2 7 ≥
sin
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4
1 √2
2√ 8 2 2 7 = 4√ 2 7，当且仅当8
4 = 1时取等号，即 = 时取等号，
sin 2
2 2 2
所以 2 的最小值为4√ 2 7．

16.【答案】解：(1)因为 2 +1
2
= 8 ，
当 ≥ 2时， 2 = (
2 2 2 2 2
1) + + ( 2 1 ) + 1
= 8( 1) + + 8 × 1 + 1 = 8[1 + 2 + 3 + + ( 1)] + 1
( 1)
= 8 × + 1 = (2 1)2，
2
因为 > 0，所以 > 0，故 = 2 1．
当 = 1时， 1 = 1 = 1适合上式，
所以 = 2 1， ∈
．
(2)(方法1)因为 = 2 1， ∈
，
所以当 ≥ 2时， = 1 = (2 1) (2 3) = 2．
1 , = 1,
所以 = { 2 , ≥ 2.
所以数列{ }：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，
( +1)
设1 + 2 + + = ≤ 100，则 2 + 200 ≤ 0，
2
因为 ∈ ，所以 ≤ 13．
所以{ }的前100项是由14个1与86个2组成．
所以 100 = 14 × 1 + 86 × 2 = 186．
( +1)
(方法2)设1 + 2 + + = ≤ 100，则 2 + 200 ≤ 0，
2
因为 ∈ ，所以 ≤ 13．
根据数列{ }的定义，知 100 = 1 + ( 1 + 2) + ( 1 + 2 + 3) + + ( 1 + 2 + + 13) + ( 1 + 2 +
+ 9)
13×(1+25)
= 1 + 2 + + 13 + 9 = (1 + 3 + 5 + 25) + 17 = + 17 = 186． 2
17.【答案】解：(1)零假设 0：喜欢旅游与性别无关，
2
100×(20×20 30×30)
因为 2 = = 4 > 3.841，
50×50×50×50
所以依据小概率值 = 0.05的独立性检验，我们推断 0不成立，即认为喜欢旅游与性别有关；
20 2
(2)任取一人喜欢旅游的概率 = = ，
50 5
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2
由题意可知： ～ (2, )， 的可能取值为0，1，2，
5
2 2 9
所以 ( = 0) = 0 2 02 × (1 ) × ( ) = ， 5 5 25
2 2 12
( = 1) = 12 × (1 )
1 × ( )1 = ，
5 5 25
2 2 4
( = 2) = 22 × (1 )
0 × ( )2 = ，
5 5 25
所以 的分布列为：
0 1 2
9 12 4

25 2525
9 12 4 4
所以 ( ) = 0 × + 1 × + 2 × = ．
25 25 25 5
18.【答案】解：(1)证明：∵ ⊥ ， // ，∴ ⊥ ，
∵ ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 ；
(2)取 的中点 .连接 、 ，
由(1)知 ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
如图，过点 作 ⊥ ，
∵ ∠ = 45°， = √ 2，∴ = 1， = = 1，∴ = 1，
∵ ∠ = 45°， ⊥ ，∴ = = 2，
∵ = √ 3，由勾股定理可知 ⊥ ，
∵ ∩ = ， 、 平面 ，∴ ⊥平面 ，
1
∵ = ( + )，∴ 为 的中点，
2
∴ // ，又 √ 3 = √ 3，∴ = ，
2
∴ ⊥平面 ，∴ ∠ 为直线 与平面 所成角，
1
由(1)知 ⊥ ，又 // ， = ，
2
1
∠ = 45°， = √ 2，∴ = = = 1，
2
则 = √ 2
√ 13
+ 2 2 cos∠ = ，
2
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13 3
∴ 2 = 2 + 2 = + = 4，∴ = 2，
4 4
√ 3
√ 3
∴ sin∠ = = 2 = ，
2 4
∴直线 与平面
√ 3
所成角的正弦值为 ．
4
1
19.【答案】解：(Ⅰ)对函数求导可得： ′( ) = [ln( + 1) + ]，
+1
将 = 0代入原函数可得 (0) = 0，将 = 0代入导函数可得： ′(0) = 1，
故在 = 0处切线斜率为1，故 0 = 1( 0)，化简得： = ；
(Ⅱ)由(Ⅰ)有： ( ) = ′( ) =
1
[ln( + 1) + ]，
+1
2 1
′( ) = [ln( + 1) + ]，
+1 2( +1)
2 1
令 ( ) = ln( + 1) + ，令 + 1 = ( ≥ 1)，
+1 2( +1)
2
2 1 ( 1) +1
设 ( ) = + 2， ′( ) = 3 > 0恒成立，
故 ( )在[0,+∞)上单调递增，又因为 (0) = 1，
故 ( ) > 0在[0,+∞)上恒成立，故 ′( ) > 0，
故 ( )在[0,+∞)上单调递增；
(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)有 ( )在[0,+∞)上单调递增，又 (0) = 1，
故 ( ) > 0在[0,+∞)恒成立，故 ( )在[0,+∞)上单调递增，
设 ( ) = ( + ) ( )， ′( ) = ′( + ) ′( )，
由(Ⅱ)有 ( )在[0,+∞)单调递增，又因为 + > ，所以 ′( + ) > ′( )，
故 ( )单调递增，又因为 > 0，故 ( ) > (0)，
即： ( + ) ( ) > ( ) (0)，又因为函数 (0) = 0，
故 ( + ) > ( ) + ( )，得证．
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