5.1.1任意角 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
第五章 三角函数
章节引入
引语：现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律。
例如：
昼夜交替
四季更替
月亮圆缺
潮涨潮落
章节引入
引语：现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种规律称为周期性.
问题：研究一类新函数的基本思路是什么？
问题：三角函数的自变量是什么？
5.1.1任意角
第五章 三角函数
那些年，我们一起学过的角是如何定义的？
复习引入
问题1：初中对角的定义是什么呢？
[答案]　0°~360°
生活中的角度都是在这个范围内吗？
[答案]　（静态定义）具有公共顶点的两条射线组成的图形
问题2：初中学习过的角有哪些？
问题3：角的范围是多少？
[答案] 锐角 直角 钝角
平角 周角
复习引入
问题4：在现实生活中有没有不在 范围内的角？
体操运动员前空翻转体540°
体操运动员后空翻转体720°
主动轮逆时针旋转
被动轮顺时针旋转
复习引入
探究新知
发现：角是由“旋转”而来！
对此，我们对角的概念进行动态推广。
探究新知
始边　
终边
顶点
B
o
A
①定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
α
问题：用旋转来描述角，需要哪些要素才能确定？
旋转中心、旋转方向和旋转量
1.任意角的概念
“旋转”形成角
角的表示：用小写的希腊字母 α,β, γ,…来表示角,记作“角α”.在不引起混淆的情况下,可以简记成“α”.
探究新知
问题：类比实数的学习，角的范围我们可以怎样扩充
②分类：任意角
（按旋转方向）
正角
负角
零角
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
一条射线没有做任何旋转(始边与终边重合)
探究新知
问题：类比实数的大小关系和相等关系，两个角有什么关系？
自然地，正角>零角>负角，如果两个角都是正角，旋转量大的角大，如果两个角都是负角，则旋转量大的角反而小.
相等的角：如果两个角的旋转量和旋转方向都一样，则称这两个角相等，α=β。
探究新知
问题：角能否进行加减运算呢？两个角的加法如何运算？两个角相减又该如何规定呢？
设α、β是任意两个角.我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β
把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为 α.
我们有α β=α+( β).这样，角的减法可以转化为角的加法.
探究新知
2.角的运算
1、两个角的加法如何运算？
2、两角相减又该怎么规定呢？
类比实数的运算，思考下列问题
1、角的加法：
O
B
A
C
C
O
B
A
2、角的减法：
课堂练习
1.时钟经过1小时，时针转动的角为(　　)
A．30°　　　　　B．-30°
C．60° D．-60°
[答案]B
2、如图所示的时钟，如果时钟快了2h，应该如何校准？ 校准过程中分针相对起始位置转过了多少度？如果时钟慢了2h呢？
快调
慢调
如果时钟快了2h,则需要将分针相对于起始位置逆时针旋转720°，α=720°
如果时钟慢了2h,则需要将分针相对于起始位置顺时针旋转720°
α= - 720°
探究新知
我们一起来画60°角.
B
A
O
小华同学
B
A
O
小明同学
都对，但是乱！
小李同学
B
A
O
探究新知
为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，
3.象限角
角的顶点与坐标原点重合，
角的始边与x轴的非负半轴重合.
如果角的终边落在坐标轴上，则该角不属于任何一个象限.
y
x
O
角的终边
角的始边
终边落在第几象限就是第几象限角
轴线角
x
y
o
始边　
终边

终边
终边
终边



探究新知
3.象限角
y
x
O
角的终边
角的始边
轴线角
x
y
o
始边　
终边

终边
终边
终边



问题：
第一象限的角一定是锐角吗？
第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
第三象限角一定是负角吗？
课堂练习
练习1：在直角坐标系中画出下列角，并指出下面的角是第几象限角？
（1）45°
（2）390°
（3）-200°
（4）240°
（5）-270°
问题：第一象限角一定是锐角吗？
第二象限角一定比第一象限角大吗？
第三象限角一定是负角？
探究新知
4.终边相同的角
练习2：在同一个直角坐标系中画出-30°,330°,-390°
问题：在直角坐标系中，给定一个角，这个角的终边是否唯一确定？若给一条射线作终边，这个角唯一吗
330°=-30°+360°
-390°=-30°+（-1）×360°
－32°
-390°
x
y
o
330°
｛β︱β= -30°＋ k·360°,k∈Z｝
归纳: 与 -30°角终边相同的角
相差360°的整数倍
一个角，对应一条终边；
一条终边，对应无数个角：终边相同的角
探究新知
问题：将-30°推广到一般角α，结论应该是什么？
4.终边相同的角
｛β︱β= -30°＋ k·360°,k∈Z｝
探究新知
轴线角
终边与x轴负半轴重合的角
终边与y轴正半轴重合的角
终边与y轴负半轴重合的角
终边与x轴正半轴重合的角
选代表，加循环
例题讲解
例1 在0°~360°范围内找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
象限角的判定方法：利用终边相同角的表示，将角转化到0°～360°范围内，确定角的终边所在的位置
题型一：象限角的判定
例题讲解
例2 写出终边在y轴上的角的集合．
题型二：终边相同的角的表示及应用
选代表，加循环
变式： 写出终边在y=x上的角的集合．
①终边在y轴正半轴的角的集合:
②终边在y轴负半轴的角的集合:
则终边在y轴上的角的集合:
例题讲解
－315°、－135°、45°、225°、405°、585°．
例3 写出终边在直线y=x上的角的集合S．S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β有哪些？
题型二：终边相同的角的表示及应用
巩固练习
[练习1]若角α的终边在如图所示的阴影部分(包括边界)，请指出角α的取值范围.
巩固练习
D
C
y
x
【练习2】
【练习3】
C
巩固练习
二等分
逆时针标1-4
三等分
课堂小结
2. 任意角包括哪几类角？
1. 任意角的定义？
3. 象限角是如何定义的
4. 终边相同的角的集合如何表示