2024-2025学年安徽省淮南一中等五校高三（上）第一次联考数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年安徽省淮南一中等五校高三（上）第一次联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = {0,1,2,3,4}， = {0,1,2}， = {1,3,4}，则 ∩ ( ) =( )
A. {0} B. {3} C. {0,2} D. {1,3}
2.已知向量 = (0,2)， = (2, )，若( 2 ) ⊥ ，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
3 3 3 3 3
3.阅读下段文字：已知“√3为无理数，若(√3) √9为有理数，则存在无理数 = √3， = √9，使得 为有
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
理数；若(√3) √9为无理数，则取无理数 = (√3) √9， = √3，此时 = ((√3) √9) √3 = (√3) √9 √3 = (√3)3 =
3为有理数.”依据这段文字可以证明的结论是( )
3 3
A. (√3) √9是有理数 B. 存在无理数 ， ，使得 为有理数
3 3
C. (√3) √9是无理数 D. 对任意无理数 ， ，都有 为无理数
4.由 108° = 3 36° 4 336°，可求得 36°的值为( )
√ 5 1 √ 5+1 √ 3 1 √ 3+1
A. B. C. D.
5 4 2 3
, ≤
5.已知 > 0且 ≠ 1，若函数 ( ) = { 的值域为 ，则 的取值范围是( )
( + ) + 1, >
1 1
A. (0, ] B. [ , 1) C. (1,2] D. [2,+∞)
2 2
6.已知复数 1 = 1 + 是关于 的方程
2 + + = 0( , ∈ )的一个根，若复数 满足| 1| = | |，
复数 在复平面内对应的点 的集合为图形 ，则 得周长为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
7.逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出
中国路、中国桥等一张张闪亮的“中国名片”.如图，一辆汽车在一条水平的
高速公路上直线行驶，在 ， ， 三处测得道路一侧山顶 的仰角依次为30°，
45°，60°，其中 = ， = (0 < < 3 )，则此山的高度为( )
1 2 ( + ) 1 3 ( + ) 1 5 ( + ) 1 6 ( + )
A. √ B. √ C. √ D. √
2 3 2 3 2 3 2 3
1
8.若 ( ) = 4| | 是奇函数，则
=( )
1
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1 √ 2
A. B. C. √ 2 D. 2
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1 √ 3
9.已知复数 = ，则下列说法正确的是( )
2 2
√ 3 1
A. 的虚部为 B. 复平面内 + 对应的点位于第二象限
2


C. = D. 2025 = 1

10.从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示(均为可
向右无限延伸的正弦型曲线模型)：
记智力曲线为 ，情绪曲线为 ，体力曲线为 ，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则( )
A. 体力曲线 的最小正周期是三个曲线中最大的
B. 第462天时，智力曲线 处于上升期、情绪曲线 处于下降期
C. 智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点
D. 存在正整数 ，使得第 天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点

11.已知函数 ( ) = ， > 1， ( ) = (1 ) ， < 1，且 ( ) = ( ) = 1.01， ( ) = ( ) = 0.99，
+1
若 < ， < ，则( )
A. + > 0 B. + < 0 C. + > 0 D. + > 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.平面四边形 中， = 6， = 10， = 12， = 14，则 = ______．
13.设函数 ( ) = sin( + )， > 0的图象关于直线 = 1和 = 2均对称，则 (0)的值可以是______. (写
出两个值即可，少写或写错均不得分，如果多写按前两个值计分)
14.定义在(0,+∞)上的函数 ( )满足 ( + 1) = ( ) ，当0 < ≤ 1时， ( ) = √ ，若 ( )在区间
(0, )内有恰4个极大值点，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在等腰梯形 中，2 = 2 = 2 = = 6， ， 分别为 ， 的中点， 与 交于点 ．
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(1)令 = ， = ，用 ， 表示 ；
(2)求线段 的长．
16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0,0 < < 2 )的部分图象如图所示．
(1)求函数 ( )的解析式；
5
(2)求 ( )在[ , ]上的值域．
6 4
17.(本小题15分)
1
已知函数 ( ) = ， ( ) = ．

5
(1)函数 ( )在 = 处与 = 处的切线分别为 1， 2，且直线 1， 2之间的距离为 ，求证 > ； 2 2 3
(2)若 = { | ( ) = ( )}为空集，求实数 的取值范围．
18.(本小题17分)
在锐角三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 2 2 + 2 = 4，且 = 2
(1)求 ；

(2)求 的最大值；

(3)求实数 的取值范围，使得对任意实数 和任意角 ，恒有( + 3 + 2 )2 + ( + + )2 >
1
．
32
19.(本小题17分)
已知函数 = ( )定义域为 ， .若存在 ∈ ，对任意 ∈ ，当 < 时，都有 ( ) < ( )，则称 为 =
( )在 上的“ 点”．
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(1)求函数 ( ) = 2 + (2 ) + ( ≥ 0)在定义域上的最大“ 点”；
(2)若函数 ( ) = (2 + )ln(1 + ) 2 在 = [0,1]上不存在“ 点”，求 的取值范围；
(3)设 = {1,2,… , }( ∈ )，且 (1) = 0， ( ) ( 1) ≤ 1，证明： = ( )在 上的“ 点”个数不
小于 ( )．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】58
13.【答案】±1(答案不唯一，{ 1, 12,12,1}中的任意两个)
193 401
14.【答案】( , ]
64 100
15.【答案】解：(1)因为 ， 分别为 ， 的中点， = ， = ，
1 1
所以 = = 2 = 2 ；
2 2
(2)设 = + ，
因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 = + = 2 + = + 2 ，
因为 ， ， 三点共线， ， ， 三点共线，
1
2 + = 1 =
所以{ ，解得{ 3，
+ 2 = 1 1 =
3
1 1即 = + ，
3 3
由已知 与 平行且相等，因此 是平行四边形，
所以 = = = = 3，△ 是等边三角形，
2 1 1 1
2 2
| | = ( + )2 = ( + 2 + )
3 3 9
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1
= (36 + 2 × 6 × 3 60° + 9) = 7，
9
所以| | = √ 7．
1
16.【答案】解：(1)观察图象知， = 2， (0) = 2 = 1，即 = ，
2

又0 < < 2 ，且0在 ( )的递增区间内，则 = ，
6
5 5 5
( ) = 2 ( + )，由 ( ) = 2 ( + ) = 0，得 + = , ∈ ，
6 12 12 6 12 6
12 2
解得 = , ∈ ，
5 5
5 5
又因为 < ，且 > ，
4 12 2 12
1 2 5 1 2 5 6 12
即 < ，且 > ，解得 < < ，因此 = 1， = 2，
4 12 2 12 5 5

所以函数 ( )的解析式是 ( ) = 2 (2 + )；
6

(2)由(1)知， ( ) = 2 ( 2 + ) = 2 (2 )，
6 6
5 11 2
当 ∈ [ , ]时，可得2 ∈ ( , )，
6 4 6 6 3
11 2
令 = 2 ∈∈ ( , )，
6 6 3
11 3 3 2
即 ∈ [ , ]时， = 2 单调递增，当 ∈ ( , ]时，函数 = 2 单调递减，
6 2 2 3
3 3
所以 = 时，
2
= 2 ( ) = 2，
2
11 11 1
当 = 时， = 2 ( ) = 2 × = 1，
6 6 2
2 2 √ 3
当 = 时， = 2 ( ) = 2 × ( ) = √ 3，
3 3 2
所以函数 的值域为[ √ 3, 2]，
所以 ( )的值域为[ 2, √ 3].
1
17.【答案】解：(1)证明：由于 ( ) = ， ( ) = ．

1
则 ′( ) = ， ′( ) = ，
2 2
2 2
故 ′( ) = ， ′( ) = ，则 // ，
2 2 1 2

又 ( ) = ( ) = 0，
2 2
2 2
则 1方程为 = ( + )，即 + + 1 = 0， 2
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2 2
2方程为 = ( )，即 + 1 = 0， 2
2
则 = ，
4
√ 2+1
5 2 5 4 100
要证 > ，即证 > ，即证5√ 2 + 1 < 6，即 2 < 11，也即证11
2 > 100，
3 4
√ +1 3
2
而11 2 > 11 × 3.12 = 103.51 > 100，
5
所以 > 成立．
3
1
(2)由题意 ( ) = ( )无实解，即 = 无实数解，即1 = 2除0以外无其它实数解，

① > 0时，方程1 = 2化为1 2 = 0，
设 ( ) = 1 2，则 ′( ) = 2 ，
记 ( ) = 2 ，则 ′( ) = 2 ，
1
当2 ≥ 1，即 ≥ 时， ′( ) ≤ 0， ( )是减函数，即 ′( )是减函数，
2
又 ′(0) = 0，所以 < 0时， ′( ) > 0， ( )递增， > 0时， ′( ) < 0， ( )递减，
所以 ( ) = (0) = 0， ≠ 0时， ( ) < 0，
所以方程1 = 2除0以外无其它实数解，满足题意，
1
当0 < < 时， ′( ) = 2 = 0有无数解，设锐角 是它的解，则 = 2 ± ， ∈ ，
2
0 < < 时， ′( ) > 0， ( )递增，
又 (0) = 0，则0 < < 时，则 ( ) > 0，即 ′( ) > 0，
所以 ( )递增，而 (0) = 0，所以 ( ) > 0，又 (2 ) = 1 2 (2 )2 < 0，
所以 ( )在( , 2 )上有一个零点，即 ( ) = 0有不是0的根，不合题意；
② = 0时，方程为1 = 0有无数解，不合题意；
③ < 0时，1 ≥ 0，而 2 ≤ 0，且 ≠ 0时， 2 < 0，因此方程1 = 2除0以外无其它实
数解，满足题意；
1
综上， 取值范围是( ∞, 0) ∪ [ , +∞)．
2
18.【答案】解：(1)由题意知 2 2 + 2 = 4， = 2，
整理可得 2 + 2 2 = ，
由余弦定理可得 = 2 ，
所以 = 2 ，
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1
又 > 0，所以 = ，
2
所以sin2
1
+ sin2 = 1，
4
2√ 5
由 > 0，解得 = ；
5
(2)由(1)得 = 2，
+
所以tan( + ) = = 2，可得 = 2，
1
由题意 > 0， > 0，
得 + = 2 2 ≥ 2√ ，当且仅当 = 时，等号成立，
2
可得 ≤ = 3 √ 5，当且仅当 = 时，等号成立，
3+√ 5
2

所以 的最大值为3 √ 5；

(3)令 ( ) = ( + 3 + 2 )2 + ( + + )2
= 2 2 + [2(3 + 2 ) + 2( + )] + (3 + 2 )2 + ( + )2，
(3+2 )+( + )
当 = 时，
2
(3+2 )+( + )
( ) = [ ] 2
(3+2 ) ( + ) 2 ( + ) (3+2 )= [ ] + [ ]2
2 2
1
= [(3 + 2 ) ( + )]2，
2
1 1 1
由 [(3 + 2 ) ( + )]2 > ，得(3 + 2 )2 > ，
2 32 16
1 1
进而(3 + 2 ) ( + ) > ①或(3 + 2 ) ( + ) < ②，
4 4
3
由0 < < < + < ，
2 4 4 4

可得 + = √ 2sin( + ) ∈ (1,√ 2],
4
1
由①得2 + ( + )2 ( + ) > ，
4
7
即 < + ( + )，
4( + )
7 7
又 + ( + ) ≥ 2√ × ( + ) = √ 7，
4( + ) 4( + )
√ 7
当且仅当 + = 时，等号成立，
2
所以 < √ 7；
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1
由②得2 + ( + )2 ( + ) < ，
4
9
即 > + ( + )，
4( + )
9 13
由对勾函数的性质知 + ( + ) < ，
4( + ) 4
13
所以 > ，
4
13
综上，实数 的取值范围为( ∞,√ 7) ∪ [ , +∞)．
4
19.【答案】解：(1)函数 ( ) = 2 + (2 ) + ( ≥ 0)的定义域为 ，
则 ′( ) = 2 2 + (2 ) + = (2 + )(1 )，由 ≥ 0，得2 + > 0，
令 ′( ) > 0，解得 < 0；令 ′( ) < 0，解得 > 0，
函数 ( )在( ∞, 0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，
即对 ∈ ( ∞, 0]， ∈ ( ∞,0]，当 < 时，都有 ( ) < ( )，
所以函数 ( )在定义域上的最大“ ”点为0．
(2)由函数 ( ) = (2 + )ln(1 + ) 2 在[0,1]上不存在“ 点”，
得 ( ) ≤ (0)在[0,1]上恒成立，
2+ 2+
求导得 ′( ) = (1 + ) + 2，令 ( ) = (1 + ) + 2, ∈ [0,1]，
+1 +1
(1+ ) (2+ ) +2 2
求导得 ′( ) = + 2 = 2 ， 1+ ( +1) ( +1)
当 ≤ 0时， ′( ) < 0恒成立，函数 ( )在[0,1]上单调递减，
2+0
则 ′( ) = ( ) ≤ ′(0) = 1 + 2 = 0，
0+1
因此函数 ( )在[0,1]上单调递减， ( ) ≤ (0)，符合要求；
2 2 2
当 > 0时，令 + 2 2 = 0，则 = = 2，

2
①当 2 ≤ 0，即 ≥ 1时， ′( ) ≥ 0，即 ( )在[0,1]上单调递增，

则 ′( ) = ( ) ≥ ′(0) = 0，函数 ( )在[0,1]上单调递增， ( ) ≥ (0)，不符合要求；
2 2 2 2
②当 2 ∈ (0,1)，即 < < 1时，若 ∈ (0, 2), ′( ) < 0，若 ∈ ( 2,1), ′( ) > 0，
3
2 2 2
函数 ( )在(0, 2)上单调递减，在( 2,1)上单调递增，而 (0) = 0, (1) = 2 + ，
2
若 (1) ≤ 0，则 ( ) ≤ 0在[0,1]上恒成立， ( )在[0,1]上单调递减，此时 ( ) ≤ (0)，
若 (1) > 0，则存在 0 ∈ (0,1)，使得 ( 0) = 0，当 0 < ≤ 1时， ( ) > 0，
函数 ( )在[0, 0]上单调递减，在[ 0, 1]上单调递增，
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2
则要 ( ) ≤ (0)恒成立，只需 (1) ≤ (0)，解得 ≤ 2，
2
2
2 2 3 2 2 23 ln 2
由 2 1 = = = 8 < 0，得 2 < 1，
2 2 2 2 2
3
2 2 2(3 4 2) 2( 3 24

) 2 2 2
由 2 = = = 16 > 0，得 2 > ，
2 3 3 2 3 2 3 2 2 3
2 2
即当 < ≤ 2时，符合要求；
3 2
2 2
③当 2 ≥ 1，即0 < ≤ 时， ′( ) < 0恒成立，函数 ( )在[0,1]上单调递减，
3
则 ′( ) = ( ) ≤ ′(0) = 0，函数 ( )在[0,1]上单调递减，此时 ( ) ≤ (0)，符合要求；
2
所以 的取值范围是{ | ≤ 2} = { | ≤ 2 }；
2 2 2
(3)证明：若 ( )在 上的“ 点“个数为0，则 ( ) ≤ (1) = 0，符合要求；
若 ( )在 上的“ 点“个数为 ∈ ，
令 ( )在 上的“ 点“分别为 1， 2， ， ，
其中 1 <

2 < < ≤ , ≤ 1 ∈ , 1, 2 ∈ {2, , }( ∈
)，
若 = 1，则若 1 1 = 1，由 ( ) ( 1) ≤ 1，
则0 < ( 1) (1) ≤ 1，即0 < ( 1) ≤ 1，
若 1 = > 1，由题意 ( 1 1) < ( 1)， (1) < ( 1)， ( 1 1) ≤ (1)，
于是0 < ( 1) (1) ≤ 1，即0 < ( 1) ≤ 1，又 ( ) ≤ ( 1)，则 ( ) ≤ 1，符合要求；
若 ≥ 2，则 ( 1) (1) = ( 1) > 0， ( 2) ( 1) > 0， ， ( ) ( 1) > 0，
由 ( ) ( 1) ≤ 1，则0 < ( ) ( 1) ≤ 1，
若 1 = 1，即 1 = 1，则0 < ( ) ( 1) ≤ 1，若 1 = > 1，
依题意， ( 1 + 1) = ( 1) < ( )， ( 1) < ( )，且 ( 1) ≤ ( 1)，
又0 < ( ) ( 1) ≤ 1，因此0 < ( ) ( 1) ≤ 1，
即0 < ( 2) ( 1) ≤ 1，0 < ( 3) ( 2) ≤ 1， ，0 < ( ) ( 1) ≤ 1，
即有0 < ( 2) ( 1) + ( 3) ( 2) + + ( ) ( 1) ≤ 1，
即0 < ( ) ( 1) ≤ 1，
由0 < ( 1) ≤ 1，得0 < ( ) ≤ ，又 ( ) ≤ ( )，因此 ( ) ≤ ，
即 ( )在 上的“ 点“个数不小于 ( )，
所以 ( )在 上的“ 点“个数不小于 ( )．
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