2025二轮复习小题满分练（七）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·海南·模拟预测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三上·黑龙江牡丹江·期末）江南的周庄、同里、用直、西塘、乌镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外，这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处．某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知长方体的体积为是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
7．（2023·湖南郴州·三模）已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·辽宁大连·一模）设是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若的内切圆M的半径为a（M为圆心），且，使得，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（23-24高三上·海南·阶段练习）若函数则（ ）
A．的最小正周期为10 B．的图象关于点对称
C．在上有最小值 D．的图象关于直线对称
10．（2024·全国·一模）设a为常数，的定义域为R，，则（ ）．
A．
B．成立
C．
D．满足条件的不止一个
11．（2023·河北张家口·三模）已知是圆上不同的两点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，直线分别是圆的两条切线，为椭圆的离心率.下列选项正确的有（ ）
A．直线与椭圆相交
B．直线与圆相交
C．若椭圆的焦距为两直线的斜率之积为，则
D．若两直线的斜率之积为，则
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2023·上海徐汇·二模）如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为 .
13．（2023·广东佛山·二模）有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第个盒子中取到白球的概率是 ．
14．（2024·山东菏泽·一模）关于的不等式恒成立，则的最小值为 ．2025二轮复习小题满分练（七）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·海南·模拟预测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三上·黑龙江牡丹江·期末）江南的周庄、同里、用直、西塘、乌镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外，这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处．某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知长方体的体积为是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
7．（2023·湖南郴州·三模）已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·辽宁大连·一模）设是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若的内切圆M的半径为a（M为圆心），且，使得，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（23-24高三上·海南·阶段练习）若函数则（ ）
A．的最小正周期为10 B．的图象关于点对称
C．在上有最小值 D．的图象关于直线对称
10．（2024·全国·一模）设a为常数，的定义域为R，，则（ ）．
A．
B．成立
C．
D．满足条件的不止一个
11．（2023·河北张家口·三模）已知是圆上不同的两点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，直线分别是圆的两条切线，为椭圆的离心率.下列选项正确的有（ ）
A．直线与椭圆相交
B．直线与圆相交
C．若椭圆的焦距为两直线的斜率之积为，则
D．若两直线的斜率之积为，则
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2023·上海徐汇·二模）如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为 .
13．（2023·广东佛山·二模）有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第个盒子中取到白球的概率是 ．
14．（2024·山东菏泽·一模）关于的不等式恒成立，则的最小值为 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C D A A C A AD ABC
题号 11
答案 BCD
1．B
【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合.
【详解】依题意，集合，而，则，
由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为.
故选：B
2．B
【分析】根据复数的四则运算法则和求复数的模长公式，化简已知条件，得到复数z，再求复数z的共轭复数，得
【详解】因为，所以，
则，则
故选：B
3．C
【分析】应用组合数求出所有可能情况数，应用古典概型的概率求法、对立事件概率求法求概率即可.
【详解】从这6个古镇中挑选2个去旅游的可能情况有种情况，
至少选一个苏州古镇的概率为．
故选：C
4．D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
5．A
【分析】根据题意，先求平面与交点的位置，再设长方体的长、宽、高分别为，最后利用三棱锥的体积公式即可求解.
【详解】取的中点，连接， 易知，所以平面与交点为.
设长方体的长、宽、高分别为，则.
平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为
.
故选：A.
6．A
【分析】计算得，再利用三点共线结论得系数和为1，即，再利用基本不等式求出最值即可.
【详解】因为是的中点，且，
所以.
因为三点共线，所以，
即，所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：A.
7．C
【分析】先根据导数的几何意义求出，再利用裂项相消法即可得解.
【详解】，则，
所以，
所以.
故选：C.
8．A
【分析】向量坐标化并结合双曲线定义与等面积得点点距列方程得代入双曲线求出离心率.
【详解】设，由对称性不妨设A在第一象限，此时M也在第一象限，
因为，所以，
所以，又，
解得，
所以，
所以，解得，所以，代入双曲线方程得：，
解得，所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛:本题考查双曲线的离心率，关键是向量坐标化并充分利用曲线定义确定A的坐标.
9．AD
【分析】由正弦型函数的周期公式可求A，通过代入求值的方法可判断BD选项，利用正弦函数的图象与性质可判断C.
【详解】，A正确.
因为，所以的图象不关于点对称，B错误.
因为，所以的图象关于直线对称，D正确.
若，则，由的图象可知，
在上有最大值，没有最小值，C错误.
故选：AD.
10．ABC
【分析】对已知条件进行多次赋值，结合已知数据，再对每个选项进行逐一判断即可.
【详解】
对A：对原式令，则，即，故A正确；
对B： 对原式令，则，故，
对原式令，则，故非负；
对原式令，则，解得，
又非负，故可得，故B正确；
对C：由B分析可得：，故C正确；
对D：由B分析可得：满足条件的只有一个，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题考察抽象函数的性质，处理问题的关键是对已知条件合理的赋值，属中档题.
11．BCD
【分析】由时，点时，得到直线方程，联立方程组，结合，可判定A错误；由原点到直线的距离为，可判定B正确；设，根据题意求得，进而得到，结合离心率的定义，可判定C正确；不妨设，根据得到，求得，结合离心率的定义，求得，可判定D正确.
【详解】对于A中，当时，点的坐标可以为，
可得直线为，即，
由，整理得，此时，
所以直线与椭圆无交点，所以A错误；
对于B中，因为，所以，设原点到直线的距离为，
由点到直线的距离公式，可得，
所以直线与圆相交，所以B正确；
对于C中，椭圆的焦距为，可得，即，
不妨设，则直线，
由原点到直线的距离等于1，可得，解得，
同理可得，因为，即，
解得，又由，解得，
所以离心率，所以C正确；
对于D中，不妨设，则,，
所以，解得，
所以，
因为，可得，所以，所以D正确.
故选：BCD.
【点睛】解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
12．/
【分析】由圆锥侧面的平面展开图的面积公式求出圆锥的母线长，再由勾股定理求出圆锥的高，再由体积公式即可得出答案.
【详解】设圆锥的母线长为，
所以圆锥侧面的平面展开图的面积为：，
所以，所以圆锥的高.
故圆锥的体积为：.
故答案为：.
13．
【分析】记事件表示从第i个盒子里取出白球，利用全概率公式可得，进而可得，然后构造等比数列，求通项公式即得.
【详解】记事件表示从第个盒子里取出白球，则，，
所以，
，
，
进而可得，，
又，，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
故答案为：；.
14．
【分析】由，得，利用导数证明，则问题转化为恒成立，即可得解.
【详解】令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
由，得，
而，
令，
则，所以，
若，
如图作出函数的图象，
由函数图象可知，方程有唯一实数根，
即，
由，得，
即，
当时，，即，
又，，所以，
所以不成立，
即当时，不恒成立，
综上所述，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
