2025二轮复习小题满分练（五）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·江苏南京·三模）集合的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．（2024·广东深圳·一模）已知为虚数单位，若，则（ ）
A． B．2 C． D．
3．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深菨的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则（ ）
A． B．1 C． D．
4．（2023·湖南张家界·二模）函数的部分图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·北京朝阳·二模）已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·浙江宁波·二模）已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·湖南衡阳·模拟预测）新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足， 的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，他的赋分是（ ）
A． B． C． D．或
8．（2023·湖南长沙·一模）已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2024·全国·模拟预测）如图，在下列给出的正方体中，点为顶点，点为下底面的中心，点为正方体的棱所在的中点，则与不垂直的是（ ）.
A． B．
C． D．
10．（2024·浙江·模拟预测）已知均值为的多组样本点数据，…经最小二乘法得到的回归直线.现删去样本点数据，并利用最小二乘法得到新回归直线，则新回归直线（ ）
参考数据：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
A．斜率改变 B．截距不变 C．斜率不变 D．截距改变
11．（2024·河北·模拟预测）已知函数的零点分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024·广东湛江·二模）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B、C与O在同一水平面上，他测得米，，在点B处测得点A的仰角为（），在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度 米.
13．（2024·广东深圳·二模）已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为，则该圆锥的表面积为 ．
注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球．
14．（2024·重庆·三模）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上存在不在轴上的两点A，B满足，且，则椭圆离心率的取值范围为 .2025二轮复习小题满分练（五）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·江苏南京·三模）集合的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．（2024·广东深圳·一模）已知为虚数单位，若，则（ ）
A． B．2 C． D．
3．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深菨的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则（ ）
A． B．1 C． D．
4．（2023·湖南张家界·二模）函数的部分图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·北京朝阳·二模）已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·浙江宁波·二模）已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·湖南衡阳·模拟预测）新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足， 的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，他的赋分是（ ）
A． B． C． D．或
8．（2023·湖南长沙·一模）已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2024·全国·模拟预测）如图，在下列给出的正方体中，点为顶点，点为下底面的中心，点为正方体的棱所在的中点，则与不垂直的是（ ）.
A． B．
C． D．
10．（2024·浙江·模拟预测）已知均值为的多组样本点数据，…经最小二乘法得到的回归直线.现删去样本点数据，并利用最小二乘法得到新回归直线，则新回归直线（ ）
参考数据：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
A．斜率改变 B．截距不变 C．斜率不变 D．截距改变
11．（2024·河北·模拟预测）已知函数的零点分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024·广东湛江·二模）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B、C与O在同一水平面上，他测得米，，在点B处测得点A的仰角为（），在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度 米.
13．（2024·广东深圳·二模）已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为，则该圆锥的表面积为 ．
注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球．
14．（2024·重庆·三模）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上存在不在轴上的两点A，B满足，且，则椭圆离心率的取值范围为 .
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D C A C D A CD CD
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】先求出集合，再求出子集个数即可.
【详解】由题意，得,故集合A子集个数为个.
故选：D.
2．B
【分析】由复数的运算及共轭复数的定义即可求出结果.
【详解】因为，所以，
.
故选：B.
3．D
【分析】根据给定条件，利用正八边形的结构特征，结合数量积的定义计算即得.
【详解】在正八边形中，连接，则，
而，即，于是，
在等腰梯形中，，
所以.
故选：D
4．C
【分析】根据函数的奇偶性、对称性以及函数值的对应性，利用排除法即可得出结果.
【详解】因为的定义域为R.定义域关于原点对称，
，
所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D，
当时，令可得或，
所以时，两个相邻的零点为和，当时，，，，故排除选项A，
故选：C.
5．A
【分析】根据分段函数的单调性求解即可.
【详解】当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
当时，，所以在上单调递增，无最小值，
根据题意，存在最小值，
所以，即.
故选：A.
6．C
【分析】由题意可得数列在上是递减数列，数列在上是递增数列，再根据二次函数的单调性即可得解.
【详解】因为对任意都有，
所以数列在上是递减数列，
因为对任意都有，
所以数列在上是递增数列，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
7．D
【分析】由题意设，再根据赋分原理，列出和的范围，并表示，根据不等式，即可求解.
【详解】设，，，
，
∴，.
∴赋分是或.
故选：D.
8．A
【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程，
再设，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和.
【详解】
设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，，
所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中点.
根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点，
所以MO是的中位线，所以，
又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线C的方程为.
所以，，双曲线C的渐近线方程为，
设，T到两渐近线的距离之和为S，则，
由，即，
又T在上，则，即，解得，，
由，故，即距离之和为.
故选：A.
【点睛】由平面几何知识，，依据双曲线的定义，可将转化为用a表示，进而的双曲线的标准方程.
9．CD
【分析】建立适当空间直角坐标系，利用空间向量分析判断即可.
【详解】设正方体的棱长为2，
对A：建立如图所示空间直角坐标系，则，
可得，则，
所以，即，故A错误；
对B：建立如图所示空间直角坐标系，则，
可得，则，
所以，即，故B错误；
对C：建立如图所示空间直角坐标系，则，
可得，则，
所以与不垂直，即与不垂直，故C正确；
对D：建立如图所示空间直角坐标系，则，
可得，则，
所以与不垂直，即与不垂直，故D正确.
故选：CD.
10．CD
【分析】依据题意得，接着先求出新数据的，再代入最小二乘法公式求得和，进而得解.
【详解】由题意可得，且，
所以，
不妨将样本点数据作为第n组数据，即，
则前组数据满足，
，
所以
，
所以.
综上，新回归直线斜率不变，截距会发生变化，故选项AB错误，选项CD正确.
故选：CD.
11．ACD
【分析】对于A，由题意得，进而得即可求解判断；对于B，先明确零点取值范围，由取值范围再结合即即可求解判断；对于C，由即以及零点的取值范围即可求解判断；对于D，结合AB以及将转化成即可判断.
【详解】对于A，由题，，
所以即，
所以，故，故A正确；
对于B，由得，
故函数与图象交点横坐标和与图象交点的横坐标即为函数和的零点，
如图，由图象性质可知，
又由A得，故，
所以，故B错；
对于C，由上即，以及得：
，故C对；
对于D，由AB得，，，
所以，故D对.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是由和得即，二是数形结合明确零点的取值范围为且，接着对所判式子进行变形放缩等即可判断.
12．204
【分析】根据仰角设出长度，再根据余弦定理列出的边长关系，解方程求解即可.
【详解】设米，因为在点B处测得点A的仰角为，所以，所以.
因为在点C处测得点A的仰角为45°，所以米.
由余弦定理，可得，
即，解得.
故答案为：204
13．
【分析】借助过圆锥的轴以及内切球球心的截面图求出圆锥的母线长，即可求出圆锥表面积.
【详解】由题过圆锥的轴以及内切球球心的截面图如下：
设圆锥高为，母线长为，
则在三角形中有，即①，
又由得，即②，
所以由①②得，
所以圆锥的表面积为.
故答案为：.
14．
【分析】由判断出四边形为平行四边形，由正弦定理，利用可得答案.
【详解】由知，为AB中点，四边形为平行四边形，
由与可知，
在中由正弦定理知，，
在中，有，又因为，
可得，，由，得，
故离心率的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中离心率的计算，关键是根据题中条件，结合曲线性质，找到一组等量关系（齐次式），进而求解离心率或范围.
