2025二轮复习大题规范练（八）
一、基础保分练
1．（2023·江苏南通·模拟预测）已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且．
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
2．（2024·福建泉州·模拟预测）的内角所对的边分别为，已知.
(1)求；
(2)若的角平分线与交于点，求.
3．（22-23高二下·湖南长沙·阶段练习）为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
奖项组别 个人赛 团体赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖
高一 20 20 60 50
高二 16 29 105 50
(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；
4．（2024·贵州贵阳·一模）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
5．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为．
(1)求双曲线E的离心率；
(2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．
6．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数.
(1)若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值;
(2)讨论的单调性与极值.
二、能力增分练
7．（2023·湖南常德·一模）已知数列满足（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求的前n项和.
8．（2024·江苏扬州·模拟预测）记的内角的对边分别为，若，且的面积为.
(1)求角；
(2)若，求的最小值.
9．（21-22高三上·四川成都·阶段练习）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
(2)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则①；②；③．
10．（2024·陕西西安·二模）如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
11．（2024·北京朝阳·一模）已知椭圆：的离心率为，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于A，B的点，的面积的最大值为.
(1)求E的方程；
(2)设O为原点，点N在直线上，N，P分别在x轴的两侧，且与的面积相等.
（i）求证：直线与直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）是否存在点P使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
12．（2024·广东·二模）已知.
(1)求的单调区间；
(2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由.
三、拓展培优练
13．（23-24高三上·安徽合肥·期末）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，，且．若则称a与b关于模m同余，记作（modm）（“|”为整除符号）．
(1)解同余方程（mod3）；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列，其中．
①若（），数列的前n项和为，求；
②若（），求数列的前n项和．
14．（2024·山东烟台·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆沿着轴正向无滑动地滚动，点为圆上一个定点，其初始位置为原点为绕点转过的角度（单位：弧度，）.
(1)用表示点的横坐标和纵坐标；
(2)设点的轨迹在点处的切线存在，且倾斜角为，求证：为定值；
(3)若平面内一条光滑曲线上每个点的坐标均可表示为，则该光滑曲线长度为，其中函数满足.当点自点滚动到点时，其轨迹为一条光滑曲线，求的长度.
15．（2023·全国·模拟预测）某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数学成绩 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77
知识竞赛成绩 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270
学生编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
数学成绩 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35
知识竞赛成绩 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5
计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，．
(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到）．
(2)设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同．记在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数．
（i）记，．证明：．
（ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精确到）．
(3)比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势．
注：参考公式与参考数据．；；．
16．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是的中点，点在棱上，且，，．
(1)若平面平面，证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值．
17．（2024·河北石家庄·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过点的动直线交于A，B两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图①.
(1)当点为椭圆的上顶点时，将平面xOy沿轴折叠如图②，使平面平面，求异面直线与所成角的余弦值；
(2)若过作，垂足为.
（i）证明:直线过定点；
（ii）求的最大值.
18．（2024·北京朝阳·一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若关于的不等式无整数解，求的取值范围.
参考答案：
1．(1)，
(2)
【分析】（1）直接得到的通项公式，由作差得到，从而求出的通项公式；
（2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得.
【详解】（1）依题意可得，
∵①，
当时，②，
，
，，
∵，
∴，
且在①式中令或（舍去），∴，
综上可得，．
（2）由（1）可得，
∴
．
2．(1).
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解；
（2）利用等面积法以及余弦定理即可求解.
【详解】（1）依题意，由正弦定理可得
所以，
又
所以，
因为，所以，所以，
又，所以.
（2）解法一：如图，由题意得，，
所以，即，
又，所以，
所以，即，
所以.
解法二：如图，中，因为，
由余弦定理得，，
所以，所以，
所以，
所以，
所以.
3．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）设出事件，利用条件概率公式求出答案；
（2）求出的可能取值及相应的概率，得到分布列和数学期望.
【详解】（1）记“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A，“任取1名学生，该生为高一学生"为事件，
，
故；
（2）由已知可得，的可能取值为，
，
，
，
的分布列为
0 1 2
4．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的判断定理，转化为证明平面，即可证明；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，代入二面角的向量公式，即可求解.
【详解】（1）证明：因为底面底面，
所以.
因为底面是矩形，所以.
又，且平面，所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
（2）以为原点，所在直线为轴 轴 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
所以.
设平面的法向量为，则
，则
取，得.
设平面的法向量为，则
，则
取，得.
设平面与平面的夹角为，则
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
5．(1)
(2)
【分析】（1）根据左顶点与渐近线的方程求得即可得到离心率；
（2）求出交点纵坐标代入弦长公式求解.
【详解】（1）由题意知，且，
，
所以双曲线的离心率．
（2）由（1）知双曲线方程为，
将即代入，得，
不妨设，
所以．
6．(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）求导，根据直线垂直可得，即可求解，
（2）求导，对进行讨论，判断导函数的正负，即可得函数的单调性和极值.
【详解】（1）由题得，的定义域为.
.
的图象在点处的切线与直线l:垂直，
，
解得.
（2）由（1）知.
①当时，恒成立.
在上为减函数，此时无极值;
②当时，由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，无极大值.
综上可得，当时，在上为减函数，无极值;
当时，在上单调递减，在上单调递增.
的极小值为，无极大值.
7．(1)，
(2)
【分析】（1）先令，求得，再根据所给的式子当时，令和原式作差得到，即可求解；
（2）由（1）得到，利用裂项相消求和即可求解.
【详解】（1）由题可知（），
当时，；
当时，，
，
两式相减得：，
即，
经检验，当时，也符合上式；
故数列的通项公式为：，.
（2）由（1）得：，
，
故的前n项和.
8．(1)
(2)
【分析】（1）借助余弦定理与面积公式可得，结合二倍角公式可得，即可得解；
（2）结合题意借助向量，可得，结合模长与数量积的关系计算即可得，利用基本不等式即可得其最值.
【详解】（1），
结合余弦定理得，，
，，
即，又，，故；
（2）由（1）知：，
，，
，
又，
当且仅当时，长取最小值，此时，
长的最小值为.
9．(1)
(2)
(3)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可；
（2）依据，利用正态分布的对称性计算即可；
（3）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可.
【详解】（1）根据频率分布直方图得：
．
（2）由题意知，即，
所以．
（3）由题意可知，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为，
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
所以.
10．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过构造平行四边形，找到线线平行，利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）转换顶点并结合椎体的体积公式即可证明.
【详解】（1）∵直三棱柱中，为的中点，
所以，且，
因为，分别，的中点，
∴，，
，，
∴四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，平面，
故平面.
（2）因为直三棱柱，则平面平面，
因为平面，则点到底面的距离即为点到底面的距离，
又因为底面，则点到底面的距离即为长，
又因为N，P分别为AC，BC的中点，且，
则.
11．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）不存在点
【分析】（1）利用待定系数法，列方程组，即可求解；
（2）（ⅰ）首先利用坐标表示和，利用面积相等，以及点在椭圆上的条件，即可化简斜率乘积的公式，即可证明；（ⅱ）由条件，确定边长和角度的关系，再结合数形结合，即可判断是否存在点满足条件.
【详解】（1）当点是短轴端点时，的面积最大，面积的最大值为，
则，得，，
所以椭圆的方程为；
（2）（ⅰ）设， ，
，，
由题意可知，，，即，
所以；
（ⅱ）假设存在点，使得，
因为，，，
所以，，，
则，
由（ⅰ）可知，，又，所以三点共线，
如图，
则，所以，
则点与点重合，这与已知矛盾，
所以不存在点，使.
12．(1)在上单调递减，在上单调递增.
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间；
（2）求出直线的斜率，再求出，从而得到的等式，再进行换元和求导，即可解出答案.
【详解】（1）由题可得
因为，所以，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增.
综上，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题意得，斜率
，
,
由得，
，即，即
令，不妨设，则，
记
所以，所以在上是增函数，所以，
所以方程无解，则满足条件的两点不存在.
13．(1)或（）．
(2)①3036；②
【分析】（1）根据带除的定义求解，（mod3），即能被3整除，从而得出或能被3整除；
（2）①首先求出（分奇偶项），确定出，用并项求和法求和；②求出，利用两角差的正切公式变形通项，结合裂项相消法求和．
【详解】（1）由题意（mod3），所以或（），即或（）．
（2）由（1）可得为，所以．
①因为（），所以．
．
②（）．
因为，
所以
．
【点睛】关键点点睛：本题考查学生的阅读理解能力，创新意识，解题关键是正确理解新概念并能应用解题，本题中同余问题，实质就是除以一个质数后的余数相等，问题转化后可结合数列的求和方法，两角差的正切公式等等知识才能顺利求解．
14．(1)；
(2)证明见解析；
(3)8.
【分析】（1）根据给定条件，结合三角函数及弧长计算求解.
（2）利用复合函数的求导公式，求出切线斜率，再借助三角恒等变换推理即得.
（3）由（1）及给定信息，求出并确定原函数，再求出弧长即得.
【详解】（1）依题意，，则，
所以.
（2）由复合函数求导公式及（1）得，因此，
而
，
所以为定值1.
（3）依题意，.
由，得，则，于是（为常数），
则，
所以的长度为8.
【点睛】结论点睛：函数是区间D上的可导函数，则曲线在点处的切线方程为：.
15．(1)0.70
(2)（i）证明见解析；（ii）
(3)答案见解析
【分析】（1）利用相关系数的公式进行计算即可；
（2）（i）根据题意即相关系数的公式进行计算即可证明；（ii）利用表格写出对应的与 得值，然后用“斯皮尔曼相关系数”的公式进行计算即可；
（3）只要能说出斯皮尔曼相关系数与一般的样本相关系数相比的优势即可
【详解】（1）由题意，这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为
（2）（i）证明：因为和都是1，2，，的一个排列，所以
，
，
从而和的平均数都是．
因此，，
同理可得，
由于，
所以；
（ii）由题目数据，可写出与的值如下：
同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数学成绩排名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
知识竞赛成绩排名 1 5 3 4 9 8 7 6 10 2
同学编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
数学成绩排名 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
知识竞赛成绩排名 12 14 13 11 16 15 17 18 19 20
所以，并且．
因此这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是
（3）答案①：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系；
答案②：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有关．如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系．
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明出平面，利用线面平行的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）计算出的值，以为坐标原点，、所在直线分别为、轴，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法结合二次函数的基本性质可求得平面与平面的夹角的余弦值的最大值.
【详解】（1）证明：因为四边形正方形，所以．
因为平面，平面，所以平面．
又因为平面，平面平面，所以．
因为平面，平面，所以平面．
（2）解：由题意可得，
．
因为四边形是正方形，所以．
又因为，，、平面，所以平面．
因为，所以平面，
因为平面，所以，．
则．
所以，．
以为坐标原点，、所在直线分别为、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
点到平面的距离为，
点到平面的距离为．
则，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，
则，取，可得．
设平面的法向量为，，，
则，取，可得．
设平面与平面的夹角为，
则，
令，
则
．
当时，取得最小值，最小值为，
所以的最大值为，此时，．
故平面与平面的夹角的余弦值的最大值为．
17．(1)
(2)（i）证明见详解；（ii）
【分析】（1）据题意求出椭圆方程，折叠后建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求出异面直线与所成角的余弦值；
（2）（i）联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理求出点的坐标，同理得到点的坐标，进而得到直线的方程，根据对称性，可判断定点在轴上，故令，即可得到定点坐标；（ii）由题意可知，点的轨迹为以，为直径的圆（除外），由即可求解.
【详解】（1）由椭圆定义可知，，
所以的周长为，所以，
又因为椭圆离心率为，所以，所以，
又，所以椭圆的方程：，
所以椭圆的焦点为，，
当点为椭圆的上顶点时，，
所以直线的方程为：，
由解得，，
由对称性知，
以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴的正半轴所在直线为轴建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的余弦值为.
（2）（i）设点，，，，
则直线的方程为，则，
由得，，
所以，
因为，所以，
所以，故，
又，
同理，，，
由三点共线，得，
所以，
直线的方程为，
由对称性可知，如果直线过定点，则该定点在轴上，
令得，
，
故直线过定点.
（ii）由题意知点，点的轨迹为以，为直径的圆（除外），
圆心为，半径为，故.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
18．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，再分三种情况讨论的单调性；
（2）不等式转化为，设函数，利用导数求函数的取值范围，再结合不等式，讨论的取值，即可求解.
【详解】（1），
当，得，
当时，时，，单调递增，
时，，单调递减，
当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，
当时，，函数在上单调递增，
综上可知，时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，
时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
时，函数的增区间是，无减区间.
（2）不等式，即，
设，，
设，，所以单调递增，
且，，
所以存在，使，即，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
因为，所以，
当时，，当时，，
不等式无整数解，即无整数解，
若时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意，
若时，即，因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时，，所以无整数解，符合题意，
当时，因为，显然是的两个整数解，不符合题意，
综上可知，.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键1是不等式的变形，第二个关键是确定函数的单调性，以及确定.2025二轮复习大题规范练（八）
一、基础保分练
1．（2023·江苏南通·模拟预测）已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且．
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
2．（2024·福建泉州·模拟预测）的内角所对的边分别为，已知.
(1)求；
(2)若的角平分线与交于点，求.
3．（22-23高二下·湖南长沙·阶段练习）为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
奖项组别 个人赛 团体赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖
高一 20 20 60 50
高二 16 29 105 50
(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；
4．（2024·贵州贵阳·一模）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
5．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为．
(1)求双曲线E的离心率；
(2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．
6．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数.
(1)若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值;
(2)讨论的单调性与极值.
二、能力增分练
7．（2023·湖南常德·一模）已知数列满足（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求的前n项和.
8．（2024·江苏扬州·模拟预测）记的内角的对边分别为，若，且的面积为.
(1)求角；
(2)若，求的最小值.
9．（21-22高三上·四川成都·阶段练习）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
(2)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则①；②；③．
10．（2024·陕西西安·二模）如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
11．（2024·北京朝阳·一模）已知椭圆：的离心率为，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于A，B的点，的面积的最大值为.
(1)求E的方程；
(2)设O为原点，点N在直线上，N，P分别在x轴的两侧，且与的面积相等.
（i）求证：直线与直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）是否存在点P使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
12．（2024·广东·二模）已知.
(1)求的单调区间；
(2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由.
三、拓展培优练
13．（23-24高三上·安徽合肥·期末）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，，且．若则称a与b关于模m同余，记作（modm）（“|”为整除符号）．
(1)解同余方程（mod3）；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列，其中．
①若（），数列的前n项和为，求；
②若（），求数列的前n项和．
14．（2024·山东烟台·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆沿着轴正向无滑动地滚动，点为圆上一个定点，其初始位置为原点为绕点转过的角度（单位：弧度，）.
(1)用表示点的横坐标和纵坐标；
(2)设点的轨迹在点处的切线存在，且倾斜角为，求证：为定值；
(3)若平面内一条光滑曲线上每个点的坐标均可表示为，则该光滑曲线长度为，其中函数满足.当点自点滚动到点时，其轨迹为一条光滑曲线，求的长度.
15．（2023·全国·模拟预测）某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数学成绩 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77
知识竞赛成绩 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270
学生编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
数学成绩 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35
知识竞赛成绩 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5
计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，．
(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到）．
(2)设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同．记在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数．
（i）记，．证明：．
（ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精确到）．
(3)比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势．
注：参考公式与参考数据．；；．
16．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是的中点，点在棱上，且，，．
(1)若平面平面，证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值．
17．（2024·河北石家庄·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过点的动直线交于A，B两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图①.
(1)当点为椭圆的上顶点时，将平面xOy沿轴折叠如图②，使平面平面，求异面直线与所成角的余弦值；
(2)若过作，垂足为.
（i）证明:直线过定点；
（ii）求的最大值.
18．（2024·北京朝阳·一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若关于的不等式无整数解，求的取值范围.
