2025二轮复习大题规范练（六）
一、基础保分练
1．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知等比数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
2．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，．
(1)若，，求的值；
(2)若，，求四边形ABCD的面积．
3．（22-23高二下·河南·期中）已知函数在点处的切线方程为．
(1)求实数和的值；
(2)求在上的最大值（其中e是自然对数的底数）．
4．（23-24高一下·甘肃白银·期中）人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）；
(3)根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．
5．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点，从，上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：
(1)求和的标准方程；
(2)若和交于不同的两点，求的值.
6．（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点
(1)证明：平面；
(2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.
二、能力增分练
7．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
8．（2024·江苏南通·三模）在中，角的对边分别为．
(1)求；
(2)若的面积为边上的高为1，求的周长．
9．（23-24高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列前项和为，求证：．
10．（2023·天津北辰·模拟预测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.
(1)求证：平面；
(2)求直线PB与平面所成角的正弦值；
(3)求点到PD的距离.
11．（2023·湖北·二模）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；
(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由
12．（2024·湖北·二模）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计
男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30
女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30
合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60
(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和；
(3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
三、拓展培优练
13．（2024·北京西城·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处切线的斜率；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)若集合有且只有一个元素，求的值．
14．（2024·天津·一模），，已知的图象在处的切线与x轴平行或重合．
(1)求的值；
(2)若对，恒成立，求a的取值范围；
(3)利用如表数据证明：．
1.010 0.990 2.182 0.458 2.204 0.454
15．（2024·广东深圳·二模）无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是．
(1)写出这个数列的前7项；
(2)如果且，求m，n的值；
(3)记，，求一个正整数n，满足．
16．（2024·河南南阳·一模）如图，在几何体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为平行四边形，四边形为菱形，为棱的中点，点在棱上，平面.
(1)证明平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．（2024·湖北·二模）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为．
(1)若直线与轴的交点为，求证：；
(2)过点作的垂线与直线交于点，求证：．
18．（2023·山东枣庄·二模）某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动．高三（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择．每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为．每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求
(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；
(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．
参考答案：
1．(1)；
(2).
【分析】（1）利用等比数列通项公式、前n项和求基本量，进而写出等比数列通项公式.
（2）等比数列前n项和公式写出，应用裂项相消法求
【详解】（1）由题知：①，
②，
②÷①得，，解得，代入①式得，，
所以．
（2）由（1）知：，
所以，
所以 ．
2．(1)
(2)
【分析】（1）中求出，在中，由正弦定理求出的值；
（2）和中，由余弦定理求出和，得和，进而可求四边形ABCD的面积．
【详解】（1）在中，，，则，
，
在中，由正弦定理得，
.
（2）在和中，由余弦定理得
，
，
得，又，得，
则，，
四边形ABCD的面积
.
3．(1)，
(2)
【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义可求的值，再根据切线过切点求的值；
（2）根据导数与函数单调性的关系，分析函数在给定区间上的单调性，再求函数的最大值.
【详解】（1）因为
所以，
由题意可得，，
解得:，.
（2）由(1)可得，
所以，且，
易得，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，，且，
即最大值为：.
4．(1)
(2)79.3
(3)7次
【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据即可求解.
（2）先确认频率分布直方图中频率为0.5的位置，再结合中位数定义求解即可.
（3）根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒的频率即可求解.
【详解】（1）因为各组频率之和为1，组距为10，
所以，
解得.
（2）因为，
所以中位数位于第三组中，
设中位数为x，则，
解得，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为79.3.
（3）由题红灯等待时间低于85秒的频率为，
故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为次.
5．(1)，
(2)
【分析】（1）通过观察可得点在抛物线上，点在椭圆上，代入点的方程求解即可；
（2）将和联立，求出交点横坐标，然后利用数量积的坐标运算求解.
【详解】（1）设抛物线的标准方程为，则，
结合表格数据，因为，
所以点在抛物线上，且，解得，
所以抛物线的标准方程为.
将点代入椭圆的标准方程中，
得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）根据对称性，可设两点坐标分别为，
联立方程组，消得，
解得，，
因为，
所以.
所以.
6．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点为，通过证明，得证平面；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离.
【详解】（1）证明：取中点，连接，如图所示，
为中点，则，又，得，
由，，得，
所以四边形为平行四边形，，
又平面，平面，所以平面.
（2），易知，又，得.
由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有.
如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则有，，
，
设平面的一个法向量为，则，
令，有，得，
，
设点到平面的距离为，
.
7．(1)
(2)
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）恒成立，即，利用导数求出函数的最小值即可.
【详解】（1）若，则，，故，
所以曲线在处的切线方程为，即；
（2）恒成立，即，
又，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，所以.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
8．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得，则得到的大小；
（2）利用三角形面积公式得，再结合余弦定理得的值，则得到其周长.
【详解】（1）因为，
由正弦定理，得，
即，即.
因为在中，，
所以.
又因为，所以.
（2）因为的面积为，
所以，得.
由，即，
所以.由余弦定理，得，即，
化简得，所以，即，
所以的周长为.
9．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据与的关系，即，和等比数列的性质进而求出数列的通项公式；
（2）由结合(1)并列项得，再根据裂项求和得，进而即可证明.
【详解】（1）当时，，两式相减得，，
又，，．
所以数列是首项为，公比是的等比数列，所以．
（2）证明：，
因为，
所以
，
因为，所以．
10．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）构造平面，由面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质可得线面平行；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）如图，取中点，连接
因为为中点，，，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为为中点，为中点，则，
又平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
又平面，故平面．
（2）
根据题意，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由条件可得，，
则，
设平面的法向量为，
则，解得，
取，则，所以平面的一个法向量为，
设直线PB与平面所成角为，
则.
所以直线PB与平面所成角的正弦值为.
（3）由（2）可知，，
所以点到PD的距离为.
11．(1)1
(2)是在定直线上，定直线
【分析】（1）根据题意列出方程组得到，设，，，利用点差法即可求解；
（2）根据（1）的结论得出，，设直线l：，，设，，联立直线与曲线方程，利用韦达定理联立直线与直线的方程得出，进而得证.
【详解】（1）由题意得，所以，
设，，，
则，
作差得，
又MN的斜率，，
所以.
（2）∵，∴，，，
直线l：，，
设，，
联立得，
所以，所以，
设直线AN：，BM：，
所以，
所以．故存在定直线，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上．
12．(1)填表见解析；性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系
(2)，
(3)分布列见解析；期望为
【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，即可得结论；
（2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，由二项分布即可得和；
（3）易知的所有可能取值为，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值.
【详解】（1）根据统计表格数据可得列联表如下：
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合计 21 39 60
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1
（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率
即可得，
故，．
（3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
所以的所有可能取值为；
且服从超几何分布：
故所求分布列为
0 1 2 3
可得
13．(1)
(2)单调递增区间为；单调递减区间为
(3)
【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；
（2）对函数求导得到，由函数定义域知，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；
（3）对函数求导得到，再分和两种情况讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，结合条件，即可求出结果.
【详解】（1）当时，，
所以,得到，
所以曲线在点处切线的斜率为．
（2）当时，，易知的定义域为，
又，
因为，所以，
所以时，，时，
所以的单调递增区间为；单调递减区间为．
（3）因为，所以，
易知，当时，的定义域为，
所以恒成立，故在上单调递增，
又，所以不合题意，
当时，的定义域为，此时，
所以时，，时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以．
设，则，
当时，，时，，
所以的单调递减区间为；单调递增区间为．
所以，
所以集合有且只有一个元素时．
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：
一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；
二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；
三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
14．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；
（2）根据条件得到对 ，恒成立，构造函数，注意到，分和两种情况讨论，利用函数的单调性，即可求出结果；
（3）注意到，再利用（2）中结论，得到，再利用等比数列的前项和公式及条件，即可求出结果.
【详解】（1）因为，得到，
所以，
由题有，得到，又，所以.
（2）由（1）知，即，
得到，由题知对 ，恒成立，
令，因为，
当时，，
又因为，
所以当时，恒成立，即单调递减，
所以，故满足题意，
当时，，不合题意，
综上，a的取值范围为.
（3）因为，
由（2）知在上恒成立，当且仅当时取等号，
所以，
即，所以命题得证.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（3）问，通过变形得到，再利用（2）中结果得到，从而解决问题.
15．(1)，，，，，，；
(2)；
(3)（答案不唯一，满足即可）
【分析】（1）根据数列的定义，逐一求解；
（2）根据数列的定义，分和分别求解；
（3）根据数列的定义，写出的值，即可求解.
【详解】（1）根据题意，，，
，，，
，．
（2）由已知，m，n均为奇数，不妨设．
当时，因为，所以，故；
当时，因为，而n为奇数，，所以．
又m为奇数，，所以存在，使得为奇数．
所以．
而，所以，即，，无解．
所以．
（3）显然，n不能为偶数，否则，不满足．
所以，n为正奇数．
又，所以．
设或，．
当时，，不满足；
当时，，即．
所以，取，时，
即．
【点睛】关键点点睛：第（3）问中，发现当时，满足，从而设，，验证满足条件.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用勾股定理，结合线面垂直的判定定理与性质定理即可得证；
（2）根据题意建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，利用空间向量法即可得解.
【详解】（1）如图，连接DC1，
因为四边形为菱形，，所以，所以，
因为，所以，所以，
又平面，
所以平面，所以，
因为四边形为菱形，且，所以，
因为为棱的中点，所以，
又，所以，
因为平面，所以平面.
（2）以为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
易知，
所以，，
所以，，
设，则，
因为平面BDF，所以存在唯一的，
使得.
所以，解得，
所以，
设平面的法向量为，则，所以，
取，则，故，
设平面的法向量为，则，所以，
取，则，故，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面BDF夹角的余弦值为.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线的方程为联立直线和抛物线方程求得，，即可得，得证；
（2）写出过点的的垂线方程，解得交点的纵坐标为，再由相似比即可得，即证得.
【详解】（1）易知抛物线焦点，准线方程为；
设直线的方程为
联立得，
可得，所以；
不妨设在第一象限，在第四象限，对于；
可得的斜率为
所以的方程为，即为
令得
直线的方程为，
令得．
又，所以
即得证．
（2）方法1：
由（1）中的斜率为可得过点的的垂线斜率为，
所以过点的的垂线的方程为，即，
如下图所示：
联立，解得的纵坐标为
要证明，因为四点共线，
只需证明（*）．
，
．
所以（*）成立，得证.
方法2：
由知与轴平行，
①
又的斜率为的斜率也为，所以与平行，
②，
由①②得，即得证.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设点法，从而得到，解出点的坐标，从而转化为证明即可.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件概率的计算公式即可求得答案；
（2）方法一：根据女生参加活动的人数确定变量的可能取值，计算每个取值对应的概率，可得变量的分布列，即可求得期望；
方法二：分别计算出一名女生和一名男生参加活动可获得分数的期望，设恰有Y名女生参加活动，则男生有名参加活动，，计算出变量Y的期望，即可求X的期望.
【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件A，“恰有一名女生参加活动”为事件B．
则，，
所以．
（2）方法一: “选取的两人中女生人数为i”记为事件，，
则，，．
由题意知X的可能值为，“得分为分”分别记为事件，，，，，则
，，；
，，；
，，．
；
；
；
；
，
所以X的分布列为
X 20 30 40 50 60
P
所以．
方法二：
根据题意，一名女生参加活动可获得分数的期望为，
一名男生参加活动可获得分数的期望为．
设恰有Y名女生参加活动，则男生有名参加活动，
，
则，，．
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
则有，
所以．
【点睛】难点点睛：本题考查了条件概率的计算，比较基础，第二问考查随机变量的期望的求解，求解的思路并不困难，但难点在于要根据变量的取值的可能情况，计算每种情况相应的概率，计算较复杂，计算量较大，需要思维缜密，计算仔细。2025二轮复习大题规范练（六）
一、基础保分练
1．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知等比数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
2．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，．
(1)若，，求的值；
(2)若，，求四边形ABCD的面积．
3．（22-23高二下·河南·期中）已知函数在点处的切线方程为．
(1)求实数和的值；
(2)求在上的最大值（其中e是自然对数的底数）．
4．（23-24高一下·甘肃白银·期中）人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）；
(3)根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．
5．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点，从，上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：
(1)求和的标准方程；
(2)若和交于不同的两点，求的值.
6．（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点
(1)证明：平面；
(2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.
二、能力增分练
7．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
8．（2024·江苏南通·三模）在中，角的对边分别为．
(1)求；
(2)若的面积为边上的高为1，求的周长．
9．（23-24高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列前项和为，求证：．
10．（2023·天津北辰·模拟预测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.
(1)求证：平面；
(2)求直线PB与平面所成角的正弦值；
(3)求点到PD的距离.
11．（2023·湖北·二模）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；
(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由
12．（2024·湖北·二模）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计
男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30
女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30
合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60
(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和；
(3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
三、拓展培优练
13．（2024·北京西城·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处切线的斜率；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)若集合有且只有一个元素，求的值．
14．（2024·天津·一模），，已知的图象在处的切线与x轴平行或重合．
(1)求的值；
(2)若对，恒成立，求a的取值范围；
(3)利用如表数据证明：．
1.010 0.990 2.182 0.458 2.204 0.454
15．（2024·广东深圳·二模）无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是．
(1)写出这个数列的前7项；
(2)如果且，求m，n的值；
(3)记，，求一个正整数n，满足．
16．（2024·河南南阳·一模）如图，在几何体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为平行四边形，四边形为菱形，为棱的中点，点在棱上，平面.
(1)证明平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．（2024·湖北·二模）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为．
(1)若直线与轴的交点为，求证：；
(2)过点作的垂线与直线交于点，求证：．
18．（2023·山东枣庄·二模）某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动．高三（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择．每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为．每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求
(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；
(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．
