2025年中考压轴题型解析 题型五 几何探究题 课件（共66张PPT）

(共66张PPT)
题型五
几何探究题
2025年中考题型解析
1.如图（1）是八年级教科书中的一道题.
14.如图，四边形是正方形，点是边的中点， ，且
交正方形外角的平分线于点.求证.（提示:取的中点 ,
连接 .）
__________________________________________________
图（1）
（1）请你思考题中“提示”,这样添加辅助线的意图是得到条件：_________.
（2）如图（2）,若点是边上任意一点（不与点, 重合）,其他条件不
变.求证: .
证明：在上取点，使 .
四边形是正方形， ， ,
.
， ，
.
，， ，
图（2）
.
又 ，
.
在和 中，
,
.
（3）在（2）的条件下,连接,过点作,垂足为.设,当 为
何值时,四边形 是平行四边形？并给予证明.
【答案】当时，四边形 是平行四边形.
证明：如图，在上取点，使 .
设正方形的边长为1，则由，得 ，
，， .
由（2）得, .
四边形 是平行四边形，
.
由易得 是等腰直角三角形，
,即 ,
.
2.在等边三角形中，， 分别在
边，上，且 ，线段
，交于点 .
（1）如图（1），求 的度数；
【答案】 为等边三角形，
， .
又 ,
,
,
.
（2）如图（2）,连接 ,若
,,求 的长；
【答案】 ,
，
,
（关键点：根据相似三角形对应边
成比例建立线段间的联系）.
， ,
设，则 ，
,
. .
, ,
, ，
，
， .
（3）如图（3），过点作于点,连接,若 ,求证：
.
证明：如图，延长到点，使,连接 ,
（点拨:构造等边三角形，转化待证线段）.
, ,
是等边三角形（依据:有一个角是 的等腰
三角形是等边三角形），
, ,
.
又,, ,
. .
. .
. .
， ，
.
是等边三角形， ,
.
又，, ,
是等边三角形，
, .
3.为平行四边形内一点，分别连接，， ．
（1）如图（1），过点作交于点，延长交于点 .
①若，，求 的长；
【答案】， .
又， .
又 ，
，
.
，， ，
.
②连接，，求证： .
图（1）
证明：如图（1），延长交于点 ，
则四边形和四边形 均是平行四边形，
, .
， .
由（1）知 .
又 ,
.
，
， ，
，
, ,
，
，即 .
（2）如图（2），为平行四边形外一点，连接 并延长，分别交
，于点，，连接.若，， ，
求证： .
证明：如图（2），连接 .
图（2）
， .
又， ，
, .
在上找一点，连接,使得 ，
.
，
， .
， ,
，
，即 .
4.问题背景 如图（1）,在矩形中,点,分别是,的中点,连接 ,
,求证: .
证明: 四边形 是矩形，
， .
，分别是， 的中点，
，即 ，
.
问题探究 如图（2）,在四边形中,, ,点是 的
中点,点在边上,,与交于点,求证: .
图（1）
证明：如图（1），过点作 于
点，延长,，交于点 ，
则四边形是矩形， ,
.
,, .
， .
又, ,
（提示：“8”字型全
等）,
, .
又 ，
,
, ，
.
. .
问题拓展 如图（3）,在“问题探究”的条件下,连接,, ,
直接写出 的值.
图（1）
图（2）
图（3）
【答案】 .
图（2）
【解析】解法提示：如图（2），延长, ，
交于点，过点作于点，连接 .
设，则， ,
.
，, .
又是的中点，垂直平分 ，
.
, （提示：“8”字
型相似）,
,
, .
. .
5.在中， ，是边上的高,将绕点 顺时针
旋转，得到，点，的对应点分别为, .
图（1）
图（2）
图（3）
（1）如图（1），若,,分别与,交于点, ，求证：四
边形 是矩形．
证明：是边上的高， .
由旋转的性质得 .
， .
又 ，
四边形 是矩形（依据：有三个角是直角的四边形是矩形）.
. .
图（1）
（2）如图（2），若点恰好落在上，点恰好落在上，延长 交
于点，连接，求 的度数．
【答案】如图，过点分别作于点，
于点 .
由旋转可得 .
又 ，
图（2）
，
.
，
， ，
,
.
又， ，
点在 的平分线上（依据：到一个角的两边距离相等的点，在这个
角的平分线上），
.
. .
（3）如图（3），若，与交于点，， ，求
的面积.
【答案】在中， .
易证 ,
,
, .
,
图（3）
.
又 ,
,
.
又 , ,
,
,
,
点是 的中点，
.
图（3）
6.如图，点为正方形的边上一点（不与点,重合），以 为边
在正方形外作正方形，的延长线交对角线于点 ．
图（1）
图（2）
图（3）
（1）如图（1），连接，，写出四边形 的形状，并说明理由.
【答案】四边形 是平行四边形.
理由： 四边形和四边形 都是正方形，
， ，
， ，
， ，
， ，
,即 ，
四边形 是平行四边形.
图（1）
（2）如图（2），过点作于点，连接， ，求证：
.
证明：由题意知 ，
四边形 是矩形，
，， .
由正方形的性质，可知 ，
，
,
图（2）
，
.
，
，
.
图（2）
（3）如图（3），若的延长线恰好经过点，求 的值．
【答案】如图，过点作于点，
则 .
由（2）得 .
设，则 .
图（3）
点不与, 重合，
.
易知， ，
， ，
，
,即 ，
，
解得 （负值已舍去，结果已检验），
．
7.如图（1），四边形是菱形， ，点是上一动点，点
是对角线延长线上一点，且，连接，，交于点 .
图（1）
图（2）
（1）求 的度数.
【答案】 四边形是菱形， ，
， ， ，
，
.
又 ，
，
，
.
图（1）
（2）如图（2），连接，交于点，延长交于点，试判断
与 的数量关系，并加以证明.
【答案】 .
证明：由（1）知， ,
， 是等边三角形，
.
， ，
，
，
，
.
图（2）
（3）在（2）的基础上，若，点为的三等分点，且靠近点 ，
求 的长.
【答案】易得,， ,
.
如图，过点作于点 ，
则， ，
， .
由（2）知 是等边三角形，
.
方法一： ，
， ，
， ,
,, ,
,
.
方法二：如图，过点作，交 的延
长线于点 ，
则 ， ，
是等边三角形，
.
，
，
，
.
8.如图，四边形 为正方形，四边形
为矩形，点在边上，点在边
的延长线上，连接，， .
（1）连接，若平分，求 的长.
【答案】平分 ，
.
四边形 为矩形，
，， ，
,
，
,
,
.
在正方形中， .
设,则 ，
.
在中， ，
，
解得，即 .
（2）连接交于点，连接交于点 ，
若 ,
①求 的度数；
【答案】 四边形 为正方形，
， .
在矩形中， ，
四边形 是正方形,
， ,
， ,
， ,
.
又， ，
,
,
,
.
②求 的长.
【答案】方法一：四边形 为正方形，
.
由①知 ，
,
,
.
又 ，
.
又 ，
,
,
又， ，
,
,
.
方法二：延长交于点 .
由①知 .
又 ，
点是 的中点,
， ,
.
易知 ，
， ,
,
,
.
,
.
9.在中，， ，是斜边上的中线， ，
分别是和上的点，于点，连接 .
（1）如图（1），若平分，求 的度数.
【答案】 ，
， 是斜
边 上的中线，
， .
又平分， ，
， （依据：等腰三角形“三线合一”），
.
在中，是斜边 上的中线，
，
.
. .
. .
（2）若平分 边，其他条件不变.
（ⅰ）如图（2），求 的值；
【答案】在和 中，
，
.
过点作于点 ，如图.
，平分 边，
是的中位线，则 .
易知 是等腰直角三角形，
.
又 ，
，
，
.
（ⅱ）如图（3），过点作，交于点，设与交于点 ，
求证： .
证明： ，
，，，四点共圆（提示：四点在以 为直径的圆上），
（依据：同弧所对的圆周角相等）.
，
（依据：两直线平行，内错角相等），
，
， ，
. .
. .
. .
.
又 ，
，
.
易得 ，
.
， ，
，
.
，
（提示：“8”字型相似），
，
.
名师敲重点
知识积累
常见的相似模型
类型 图示及结论
平行线型（“A”字型，“8” 字型）
若，则 .
类型 图示及结论
斜交型
若，则 .
续表
类型 图示及结论
“一线三等角”型
若 ，
则 .
续表
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