2025年中考数学压轴题型解析 题型七 二次函数图象与性质综合题 课件（共69张PPT）

(共69张PPT)
题型七
二次函数图象与性质综合题
2025年中考题型解析
类型1 含参问题
1.已知抛物线 ．
（1）当 时：
①求该抛物线的顶点坐标，并直接在如图所示的平面直角坐标系中画出该
抛物线.
【答案】当时, ,
抛物线的顶点坐标为 .
画出该抛物线如图所示.
②若点是抛物线上一点，点的坐标为，直线 与抛物
线交于点（异于点），请直接用含的式子表示点 的横坐标，并求出
当时 的值.
【答案】点的横坐标为 .
，
（关键点），
，
,
或 .
. .
（2）点, 在抛物线上
，若对于, 的
任意取值，都有，求 的取值范
围．
【答案】 抛物线开口向下，
抛物线上离对称轴越近的点纵坐标越大.
又,抛物线的对称轴为直线 ,
点到直线的距离小于点 到直线
的距离.
由题意知点在点 左侧.
连接,则中点的横坐标为 .
由可知的中点在直线 右侧，
.
, ，
，
，
， .
2.新定义:我们把抛物线与抛物线
（其中）称为“伴随抛物线”.例如:抛物线 的“伴随
抛物线”为抛物线 .已知抛物线
的“伴随抛物线”为 .
（1）求出抛物线的解析式（用含 的式子表示）及顶点坐标.
【答案】根据“伴随抛物线”的定义可知,抛物线 的函数解析式为
.
，
抛物线的顶点坐标为 .
（2）过轴上一点,作轴的垂线分别交抛物线,于点, .当
时,求点 的坐标.
【答案】设点 ,
则, ,
.
,
,
或 .
对于，其根的判别式 ,
此方程无解，
对于 ,
解得, ,
点的坐标为或 .
（3）当时,抛物线的最大值与最小值的差为,求 的值.
【答案】对于抛物线 ,
当时, .
当时, ;
当时, .
，, ,故需要分两种情况讨论：
Ⅰ.当,即 时,
若,即 ,
则， ,
,
（不合题意的值已舍去）;
若,即 ,
则， ,
,
（不合题意的值已舍去）.
Ⅱ.当,即 时,
， ,
,
解得或 ，均不符合题意.
综上所述,的值为或 .
名师放大招
高分技法
利用二次函数的性质比较函数值大小的方法
1.代入比较法：若已知二次函数的解析式，可将各点的横坐标代入解析式，
求出各点的纵坐标，继而比较大小.
2.增减性比较法：利用二次函数图象的对称性，将已知点转化到对称轴的
同侧，再利用二次函数的增减性比较大小.
3.距离比较法：根据点到对称轴的距离比较大小，具体如下.
对于二次函数
①当 时，抛物线上的点到对称轴的距离越小，对应的函数值越小，
如图（1）；
②当 时，抛物线上的点到对称轴的距离越小，对应的函数值越大，
如图（2）.
图（1）
图（2）
3.如图，抛物线与轴交于， 两
点，与轴交于点，点为动点，且，过点作 轴的垂
线，交抛物线于点，交直线于点 ．
（1）求,的值及抛物线 的顶点坐标.
【答案】将， 分别代入
，
得解得
，
抛物线的顶点坐标为， .
（2）若，求 的值.
【答案】由（1）可知 .
易知点的坐标为 ，
结合，可得直线 的解析式为
，
,
， ，
若，则 ，
解得， （舍去），
的值为1.
（3）平移抛物线得到抛物线，使抛物线 的
顶点为，将抛物线在 轴上方的部分记为图
象，若图象始终在抛物线的下方，求 的取
值范围．
【答案】由,可知抛物线 的解析
式为 .
当抛物线经过点（如抛物线）或经过点
（如抛物线 ）时，如图所示.
把点的坐标 代入
，
得 ，
解得， （舍去）.
把点的坐标代入 ，
得 ，
解得， （舍去）.
综上可知，若图象始终在抛物线的下方，
的取值范围为 .
4.已知抛物线的顶点的横坐标比抛物线
的顶点的横坐标大4.
（1）求 的值.
【答案】 ，
抛物线的顶点坐标为 ，
抛物线的顶点的横坐标为 ,
, .
（2）若和都是抛物线上的点，且 ，求
的最小值．
【答案】由（1）可知抛物线 .
和都是抛物线 上的点，
， ，
．
，
，
.
，
的最小值是 .
（3）若点和都是抛物线上的点，且 ，对于某一
个确定的实数，若的最小值为1，求 的最大值．
【答案】 抛物线 ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 .
点和都在抛物线上,且 ，
当取最小值1时，点和 都在对称轴的右侧.
此时， ，
①， ，
，解得 ，
，
此时点的坐标为，点的坐标为 .
当点是点关于直线的对称点时， 的值最大.
易知点关于直线的对称点的坐标为 ，
最大时， ，
的最大值为 ．
5.在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与 轴交于点
，，与轴交于点，点 在抛物线上.
（1）求出抛物线的函数表达式和 的值.
【答案】将代入 ，
得， ，
抛物线的函数表达式为 .
对于，当时， ，
解得，， .
（2）点为轴下方的抛物线上一点，过点作轴的平行线，与直线
交于点，若线段的长为，求点 的横坐标.
【答案】设点 .
易知,由,可知直线的函数表达式为 .
对于，令 ，
则，故 .
设的长为 .
当时， ，
当时，取最大值 .
故此种情况舍去.
当时， .令
,则, （舍去）.
故点的横坐标为 .
（3）点为直线上一动点，横坐标为，将点 向左平移1个单位长度，
得到点，若线段与抛物线恰好只有一个交点，求 的取值范围.
【答案】易知，则 .
当点落在抛物线上时， ，解得
， .
若，则线段 与抛物线无交点.
若，则当时，线段 与抛物线恰好只有一个交
点.
若，则当时，线段 与抛物线恰好只有一个交点.
综上，的取值范围为或 .
6.已知抛物线过点，，点是 轴正半轴上一
点，过点作轴的垂线，与抛物线交于点，点是 轴上一点，其纵坐标
为2，连接 ．
（1）求抛物线的解析式.
【答案】将，代入 ，
得
解得
抛物线的解析式为 .
（2）试判断线段与 的数量关系，并说明理由.
【答案】 ．
理由：根据题意画出符合题意的大致图象如图所示，
过点作 直线于点 ，
，， 轴，
， ，
，， ,
,
,
.
（3）点是轴上一点.设以,,, 为顶点的四边形的对角线的交
点为，是否存在点，使得？若存在，请求出 的值；若
不存在，请说明理由.
【答案】存在.
分两种情况讨论.
①当点在点上方时， ,
，
,
即 ,
,
解得， .
②当点在线段上时， ,
，
,
,
,
解得， （舍去）.
综上可知，的值是2或6或 .
7.新考法 结合程序框图考查函数 小明利用一次函数和二次函数知识，设
计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入的值为 时，输
出的值为1；输入的值为2时，输出的值为3；输入的值为3时，输出
的值为6．
图（1）
图（2）
（1）直接写出，， 的值．
【答案】，， .
（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于 的函数图象，如图（2）．
Ⅰ.当随的增大而增大时，求 的取值范围．
【答案】易知抛物线的对称轴为直线 .
结合图象可知，随的增大而增大时，或 .
Ⅱ.若关于的方程（为实数），在 时无解，
求 的取值范围．
【答案】方程可化为 .
由方程在时无解，可知当 时，抛物
线与直线 无交点.
当时，， 点 是抛物线的顶点.
当时， .
画出直线和 的位置，如图（1）所示，
图（1）
分析图象可知，当或时，抛物线与直线 在
的情况下无交点，即方程在 时无解.
Ⅲ.若在函数图象上有点，（与不重合）的横坐标为， 的横坐标
为．小明对，之间（含， 两点）的图象进行研究，当图象对应
函数的最大值与最小值均不随的变化而变化时，直接写出 的取值范围．
【答案】或 .
【解析】解法提示： ，
点，到直线 的距离相等.
如图（2），将代入，得， .
图（2）
将代入，得 .
作直线，， ，
分析可知，当点在直线和轴之间的图象上，或在直线 和直
线之间的图象上时（均含边界点），点， 之间的图象对应函数的
最大值与最小值分别为3和2，不随的变化而变化，故 的取值范围为
或 .
类型2 与几何图形有关
8.在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线 为常数，且
与轴交于点，抛物线的顶点为，且与 轴交
于点, ．
（1）当点在直线上时，求 的值；
【答案】由抛物线经过坐标原点 ，
可知 ,
，
点的坐标是 .
当点在直线上时， .
又 ，
.
（2）当点在直线下方时，求点到直线 距离的最大值；
【答案】设点到直线的距离为 .
当点在直线下方时， ，
配方，得 .
当时， ,
点与直线 距离的最大值是1.
（3）当时，求 的面积.
【答案】将代入，得 ，
解得, ，
，
，
.
，
点在直线 上方.
如图，过点作轴于点，则 ，
.
，， ，
，解得（舍去）, ，
， ，
, ，
.
9.已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点 ，
抛物线的对称轴为直线 .
（1）求， 的值.
【答案】 抛物线与轴交于点， ,且对称轴为
直线 ，
点的坐标为 .
将，分别代入 ，
得
解得
（2）点是直线下方的抛物线上一动点，过点分别作 轴交直线
于点，轴交直线于点 .
（ⅰ）求线段 的最大值；
【答案】对于，当时， ,
,
.
又 , .
又轴， 轴，
，
.
设直线的表达式为 ，
将，分别代入，得
解得
直线的表达式为 .
设， ，
则 .
，
当时， 取最大值2，
的最大值为 .
（ⅱ）连接，当线段把的面积分成的两部分时，求点 的
横坐标．
【答案】如图，延长交轴于点 .
, ，
当线段把的面积分成的两部分时， 或
.
设， ，
则， .
.当时， ，
整理,得，解得（舍去）, .
.当时， ,
整理,得,解得（舍去）, .
综上可知，当线段把的面积分成的两部分时，点 的横坐标
为或 .
10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为
．直线过点，且平行于轴，与抛物线交于， 两
点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交
轴于点，顶点为 ．
备用图
（1）当时，求点 的坐标；
【答案】 ,
抛物线的顶点的坐标为 .
,点和点关于直线 对称,
.
（2）连接，，，若为直角三角形，求此时抛物线 所对
应的函数表达式；
【答案】由题意,得抛物线的顶点与抛物线的顶点 关于直线
对称（关键点）,
, 抛物线
.
当时,可得 .
图（1）
①当 时,如图（1）,过点作 轴,垂足
为 .
, .
,, .
, .
直线轴, ,
, .
, ,
.
又 点在抛物线 上，
,
解得或 .
当时,可得,,此时, 重合,舍去.
当 时,符合题意.
将代入抛物线 ,得
.
图（2）
②当 时,如图（2）,过点作 轴于点
,过点作,交的延长线于点 .
同理可得 .
, .
, ,
.
又 点在抛物线 上，
,解得或 .
,.此时, 符合题意.
将代入抛物线 ,得
.
③易知,当 时,此情况不存在.
综上,抛物线所对应的函数表达式为 或
.
（3）在（2）的条件下，若的面积为3，，两点分别在边 ，
上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出
长度的最小值，并简要说明理由．
【答案】长度的最小值为.理由：由（2）知,当 时,
,此时 的面积为1,不合题意,舍去.
图（3）
如图（3）,当 时,,此时 的面积为
3,符合题意.
由题意可求得 .
取的中点,连接 .
在中可求得 .
在中可求得 .
易知当,,三点共线时,取最小值,最小值为 .
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