1.1 等腰三角形 分层训练（含答案）初中数学北师大版八年级下册

第一章 三角形的证明
1 等腰三角形（第1课时）
［学生用书本P2］
A组·基础达标 逐点击破
1．如图,在和中,,添加下列一个条件,不能证明和全等的是（ ）
第1题图
A． B．
C． D．
2．[2024兰州]如图，在中，， ，，则（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．[2024湖南]若等腰三角形的一个底角的度数为 ，则它的顶角的度数为____________ ．
4．如图，在等腰三角形中，为底边上的高，点为的中点.若，则____________.
第4题图
5．如图，点在线段上，在和中，，，.求证：.
6．如图,在中,,, ,且,求的度数.
B组·能力提升 强化突破
7．[2024深圳模拟]定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰三角形中， ，则它的特征值________________________．
8．如图，在中，，为的平分线.以点为圆心，的长为半径画弧，与，分别相交于点，，连接，.
（1） 求证：；
（2） 若 ，则的度数为________________.
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．[2024深圳模拟]【创新意识·推理能力】小琳在学习等腰三角形性质“三线合一”时，发现：
（1） 如图①，在中，若，，可以得出．请你用所学知识证明此结论．
（2） 小琳提出了一个问题：如图①，如果，，能不能说明？小琳不知道这个问题如何解决，便询问老师．老师进行了指导：条件里有“”和“”，我们可以尝试将和“变成”一条线段，将和“变成”一条线段，为了确保的条件可以使用，和的位置最好不要改变，所以我们可以“延长至点，使，延长至点，使（如图②）”.老师指导后，小琳还是没有思路．请你帮助小琳，完成问题的解答．
1 等腰三角形（第2课时）
［学生用书本P2］
A组·基础达标 逐点击破
1．如图，是等边三角形的中线，，则的度数是（ ）
第1题图
A． B． C． D．
2．如图，在等边三角形中，，平分，点在的延长线上，且 ，则的长是（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图①,衣架杆.若衣架收拢时, ,如图②所示,则此时,两点之间的距离是__________.
第3题图
4．如图,已知是等边三角形,点,,,在同一直线上,且,,则的度数是__________ .
第4题图
5．[2024宜宾]如图，点，分别是等边三角形边，上的点，且，与相交于点．
（1） 求证：；
（2） 求的度数．
6．[2024深圳模拟]请你完成命题“等腰三角形两腰上的中线相等”的证明．（提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再写出“已知”“求证”，最后写出证明过程．）
B组·能力提升 强化突破
7．如图，在等边三角形中，是边上一点，是的延长线上一点，连接，，若 ，，求的度数．
8．[2024福州模拟]如图，分别以的边,，向外作等边三角形和等边三角形，与相交于点，与相交于点．
（1） 求证：；
（2） 求的度数．
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．【几何直观·推理能力】已知等边三角形和点,设点到三边,,的距离分别为,,,的高为.
（1） 如图①,若点在边上,此时,可得结论：____________________（结论用含,,,的关系式表示）;
（2） 如图②,当点在内,此时可得结论：________________________（结论用含,,,的关系式表示）;
（3） 如图③,当点在外,（2）中的结论是否成立？若成立,请予以证明;若不成立,请写出,,和之间的关系,并说明理由.
1 等腰三角形（第3课时）
［学生用书本P4］
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1．在中， ， ，则下列说法中错误的是（ ）
A．是直角三角形 B．是锐角三角形
C．是等腰三角形 D．和互余
2．[2024宁波模拟]下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（ ）
A． ， B．
C． D．三个角的度数之比是
3．以已知线段,为边作等腰三角形,则（ ）
A．只能作以为腰的等腰三角形
B．只能作以为腰的等腰三角形
C．可以分别以,为腰作等腰三角形
D．不能作符合条件的等腰三角形
4．用反证法证明命题“若，则”时，应假设（ ）
A． B． C． D．
5．已知:如图,,,用反证法证明.
6．如图，在中，平分，交于点，，，求的长度.
B组·能力提升 强化突破
7．如图，在中，，点,,分别在,,边上，且，.
（1） 求证：是等腰三角形；
（2） 当 时，求的度数.
C组·核心素养拓展 素养渗透
8．【几何直观·推理能力】如图①,在中,, .
（1） 求的度数;
（2） 如图②,是的平分线.
① 找出图中所有的等腰三角形（等腰三角形除外）,并选择其中一个写出推理过程;
② 在直线上是否存在点,使是以为一腰的等腰三角形？如果存在,请在图③中画出所有满足条件的点,并直接写出相应的的度数;如果不存在,请说明理由.
1 等腰三角形（第4课时）
［学生用书本P4］
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1．[2024深圳模拟]下列说法中，正确的有（ ）
①三个角都相等的三角形是等边三角形
②有两个角等于 的三角形是等边三角形
③有一个角是 的等腰三角形是等边三角形
④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．如图,在等边三角形中,,分别为,上的点,有下列结论:①若,则是等边三角形;②若,则是等边三角形.其中正确的结论是（ ）
第2题图
A．① B．② C．①② D．都不对
3．[2024东莞模拟]如图，在中， ， ，，则的长是（ ）
第3题图
A．6 B．4 C．3 D．2
4．如图，某山坡的坡面，坡角 ，则该山坡的高的长为____________.
第4题图
5．[2024江门模拟]如图，一艘渔船由西向东航行，8点到达处，灯塔在其北偏东 方向，距离，10点到达处，灯塔在其正北方向，此时渔船与灯塔相距____________．
6．如图，已知等边三角形，是的中点，过点作，垂足为.若等边三角形的边长为4，求的长.
B组·能力提升 强化突破
7．[2024深圳模拟]在等边三角形中，点是上的动点，点与点，不重合，点在的延长线上，且．
（1） 如图①，若点是的中点，求证：；
（2） 如图②，若点不是的中点时，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系；若成立，请给予证明．
C组·核心素养拓展 素养渗透
8．【创新意识·模型观念】如图,在等边三角形中,,点从点出发沿边向点以的速度移动,点从点出发沿边向点以的速度移动.,两点同时出发,设它们移动的时间为.
（1） 用含的式子表示:________________,__________;
（2） 经过几秒钟,为等边三角形
（3） 若,两点分别从,两点同时出发,并且都按顺时针方向沿的三边移动,则经过几秒钟,点与点第一次相遇,相遇在的哪条边上
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形（第1课时）
A组·基础达标 逐点击破
1．B 2．B
3．
4．
5．证明:在和中，
，
.
6．解:,, .
, .
.
B组·能力提升 强化突破
7．或
8．（1） 证明:是的平分线，.
由作图知：.
在和中，
.
（2）
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．（1） 证明:，
．
在和中，
，．
（2） 解：，，即．
， ．
在和中，
，，．
，，，，，
，．
1 等腰三角形（第2课时）
A组·基础达标 逐点击破
1．D 2．B
3．
4．
5．（1） 证明：为等边三角形， ，.
在和中，，．
（2） 解：，，
， .
6．解：已知：如答图，在中，，，分别为边与边上的中线.
求证：．
证明：，．
是边上的中线，是边上的中线，
，，．
在和中，，．
第6题答图
B组·能力提升 强化突破
7．解：是等边三角形， ．
， ．
， ．
是的一个外角， ，
的度数为 ．
8．（1） 证明略．
（2） 解： .
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．（1）
（2）
（3） 解:当点在外时,结论不成立.此时它们的关系是.
理由:如答图,连接,,.
则,
即.
是等边三角形,,.
第9题答图
1 等腰三角形（第3课时）
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1．B 2．D 3．A 4．C
5．证明:假设不成立,即与相交,如答图,设与相交于点,这样过点有两条直线,都与平行,这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾,故.
第5题答图
6．解:，，.
平分，.
，，
，.
B组·能力提升 强化突破
7．（1） 证明:，.
在和中,
，，是等腰三角形.
（2） 解:如答图，，，.
， ,
, , .
第7题答图
C组·核心素养拓展 素养渗透
8．（1） 解:, ,
.
（2） ① ,是等腰三角形.
推理是等腰三角形的过程如下:
由（1）得 .
又是的平分线, .
又 ,,是等腰三角形.
推理是等腰三角形的过程如下:
由（1）知 .
又是的平分线, ,
,
,,是等腰三角形.
② 存在3个点,使是以为一腰的等腰三角形.若为顶角,为一腰,则 （如答图①所示）;若为顶角,为一腰,则存在两个点一点在线段的延长线上,此时 （如答图②所示）,一点在线段上,此时 （如答图③所示）.
第8题答图
1 等腰三角形（第4课时）
A组·基础达标 逐点击破
1．D 2．C 3．A
4．
5．
6．解:在中， ， ， .
是的中点，，
，.
B组·能力提升 强化突破
7．（1） 证明：是等边三角形， ．
点是的中点，平分，， ．
， ．
， ，，．
（2） 解：成立．证明如下：
如答图，过点作交于点．
第7题答图
，．
是等边三角形， ，
， ，即 ，是等边三角形．， ， ．
，，．
在和中，
，，．
C组·核心素养拓展 素养渗透
8．（1） ；
（2） 解:若为等边三角形,则有,即,解得,
经过,为等边三角形.
（3） 当点与点第一次相遇时,,解得,即经过,点与点第一次相遇.当时,点移动的路程为,而,即此时点在边上,
经过,点与点第一次相遇在的边上.