1.2 直角三角形 分层训练（含答案）初中数学北师大版八年级下册

2 直角三角形（第1课时）
A组·基础达标 逐点击破
1．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等
C．若，则 D．两直线平行，同位角相等
2．如图,校园内有两棵树,相距,一棵树高,另一棵树高,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．在中，，边，则边的长为__________.
4．如图,数字代表所在正方形的面积,则所代表的正方形的面积为____________.
第4题图
5．[2024吉林]图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点，尺，尺．设的长度为尺，可列方程为________________________________．
第5题图
6．我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何？”题意是:如图,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点处缠绕而上,绕5周后其末端恰好到达点处.问题中葛藤的最短长度是____________尺.
7．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点，，均在格点上.
（1） 判断的形状，并说明理由；
（2） 求的面积.
B组·能力提升 强化突破
8．如图，在中， ，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为.
（1） 求边的长；
（2） 当为直角三角形时，求的值.
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．[2024南通]【模型观念·几何直观】“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为,．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ）
第9题图
A．12 B．13 C．14 D．15
10．[2024大庆]【创新意识·几何直观】如图①，直角三角形的两个锐角分别是 和 ，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为 和 的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为__________．
第10题图
2 直角三角形（第2课时）
A组·基础达标 逐点击破
1．使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．斜边及一条直角边对应相等
2．[2024长沙模拟]如图，已知 ，能直接用“”判定的条件是（ ）
第2题图
A．， B．，
C．， D．，
3．[2024深圳模拟]如图，已知，，．判定和全等的依据是（ ）
第3题图
A． B． C． D．
4．如图,在和中, ,,若要用“斜边、直角边”直接证明,则还需补充一个条件:______________.
第4题图
5．如图,,都是的高,且,求证:.
6．如图，，分别是钝角三角形和钝角三角形的高,，.求证：.
B组·能力提升 强化突破
7．[2024宿迁模拟]如图，点在上， ,,,若 ,则________________．
8．如图,在中,, ,为的延长线上一点,点在上,且.
（1） 求证:;
（2） 若 ,求的度数.
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．【几何直观·推理能力】在中，，是过点的直线，于点，于点，且.
（1） 如图①，若点，在直线的同侧，求证：；
①
（2） 如图②，若点，在直线的两侧，问与仍垂直吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由.
②
2 直角三角形（第1课时）
A组·基础达标 逐点击破
1．D 2．C
3．
4．
5．
6．
7．（1） 解:是直角三角形.理由如下：
根据勾股定理，得，，，
,是直角三角形.
（2） ，，，.
.
B组·能力提升 强化突破
8．（1） 解:在中，根据勾股定理，
得.
（2） 根据题意，得，分以下两种情况：
①当 时，如答图①所示，则点与点重合，
第8题答图①
，；
②当 时，如答图②所示,则， .
第8题答图②
在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
，即，解得.
综上所述，当为直角三角形时，的值为4或.
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．B
10．
2 直角三角形（第2课时）
A组·基础达标 逐点击破
1．D 2．B 3．D
4．
5．证明:,都是的高,
.
在和中,
.
6．证明:，分别是钝角三角形和钝角三角形的高， ,
,,
,.
，，.
,，即.
B组·能力提升 强化突破
7．
8．（1） 证明: , .
在和中,,,
.
（2） 解:, , ,
.
由（1）知, .
.
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．（1） 证明:，，
.
在和中，
，.
又 ， ，
，即.
（2） 解:.证明如下：
，， .
在和中，
，.
又 ， ，即 ，
.