1.4 角平分线 分层训练（含答案）初中数学北师大版八年级下册

4 角平分线（第1课时）
A组·基础达标 逐点击破
1．[2024梅州模拟]如图，平分，在上取一点，过点作，若,则点到的距离为（ ）
第1题图
A． B． C． D．
2．[2024天津]如图，在中， ， ，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的度数是（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．如图,在中,平分,于点,于点.若,,,则的长为（ ）
第3题图
A． B． C． D．
4．如图,在中, ,平分,于点.若,,则的长为________.
第4题图
5．如图，已知，点在上，，，垂足分别为，.求证：.
6．如图,已知:点是的平分线上一点,,,垂足分别是,,连接,且交于点.
（1） 求证:是的垂直平分线;
（2） 若 ,请你探究,之间有什么数量关系,并证明你的结论.
B组·能力提升 强化突破
7．我们把顶角为 的等腰三角形称作“黄金三角形”，“黄金三角形”的底边长是腰长的倍.如图，是“黄金三角形”，，的垂直平分线交于点，交于点，则与的面积比为________________.
8．[2024深圳模拟]如图，是的平分线，，过点作，与交于点．
（1） 求证：是等腰三角形；
（2） 若，，，求中边上的高．
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．[2024深圳模拟]【几何直观·推理能力】图①是一个平分角的仪器，其中，．
（1） 如图②，将仪器放置在上，使点与顶点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点是的平分线吗？请判断并说明理由;
（2） 如图③，在（1）的条件下，过点作于点，若，，的面积是60，求的长．
4 角平分线（第2课时）
A组·基础达标 逐点击破
1．三条公路将，，三个村庄连成一个三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建在（ ）
A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条角平分线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处
2．如图,是中的平分线,于点,,,,则的长是（ ）
第2题图
A．3 B．4 C．6 D．5
3．如图,在中, ,平分,,,,则________.
第3题图
4．如图，已知的周长是20，,分别平分和，于点，且，求的面积.
5．如图：已知和两条公路，以及,两个村庄，建立一个车站，使车站到两个村庄距离相等，即，且到，两条公路的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）.
B组·能力提升 强化突破
6．如图,直线,,表示三条相互交叉的公路,现在要建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
7．如图,在中, ,,,在边上找一点,使得点到点的距离与点到边的距离相等.
（1） 找出点的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）;
（2） 求的长.
8．[2024深圳模拟]已知：如图，的外角和的平分线相交于点，
（1） 求证：点在的平分线上；
（2） 若 ，求的度数．
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．【几何直观】如图,在中，，平分．
（1） 如图①，当 时，的度数为______________；
（2） 如图②，在第（1）问的条件下，过点作于点，已知，求的周长；
（3） 如图③，当 时，求证：．
4 角平分线（第1课时）
A组·基础达标 逐点击破
1．D 2．B 3．B
4．
5．证明:，，，.
在和中，
.
6．（1） 证明: 点是的平分线上一点,,,
.
又,.
,是等腰三角形.
是的平分线,是的垂直平分线.
（2） 解:,证明略.
B组·能力提升 强化突破
7．
8．（1） 证明：是的平分线，．
，，，
，是等腰三角形．
（2） 解：如答图，过点作于点．
第8题答图
在中，，，，
．
是的平分线，，，．
即中边上的高为．
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．（1） 解：是的平分线．理由如下：
在和中，．
，是的平分线．
（2） 如答图，过点作于点．
第9题答图
平分，，．
，．
4 角平分线（第2课时）
A组·基础达标 逐点击破
1．C 2．A
3．
4．解:如答图，连接，过点作于点，于点.
第4题答图
,分别平分和，.
的周长是20，于点，
.
5．解:如答图，点即为所求作.
第5题答图
B组·能力提升 强化突破
6．D
7．（1） 解:如答图,点即为所求作.
第7题答图
（2） .
8．（1） 证明：如答图，作于点，于点，于点．
第8题答图
平分，，，．
同理，，．
又，， 点在的平分线上．
（2） 解： ．
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．（1）
（2） 解：的周长为6．
（3） 证明：如答图，在上取一点，使．
第9题答图
平分,.
在和中，
，，．
，．
，，，
，．