第一章 三角形的证明 质量评估（含答案）初中数学北师大版八年级下册

第一章 三角形的证明 质量评估
［时间:90分钟 分值:100分］
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8个小题,每小题3分,共24分,每小题有四个选项,其中只有一个是正确的）
1．下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．9,12,15 B．5,12,13 C．8,15,17 D．12,18,22
2．如图，于点，于点，要根据“”直接证明与全等，则还需要添加的一个条件是（ ）
第2题图
A． B．
C． D．
3．如图，点是内一条射线上的一点，且于点，于点.若， ，则的度数是（ ）
第3题图
A． B． C． D．
4．如图,在中, ,平分,垂直平分于点.若的长为6,则的长为（ ）
第4题图
A． B． C．3 D．2
5．如图，图①是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图①中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则图②中大正方形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．44
6．如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆处,发现此时绳子末端距离地面,则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（ ）
A． B． C． D．
7．在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得.小赵同学和小刘同学先画出了 之后，后续画图的主要过程分别如图②所示.
①
②
对这两种画法的描述中,正确的是（ ）
A．小赵同学作图判定的依据是“”
B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C．小刘同学作图判定的依据是“”
D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
8．如图,,,三点在同一条直线上,和都是等边三角形,,分别与,交于点,.有下列结论:;;.其中,正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5个小题,每小题3分,共15分）
9．用反证法证明:“任意三角形中至少有两个内角是锐角”的第一步是:假设__________________________________________.
10．若等腰三角形的两边长分别是2和10，则它的周长是__________.
11．如图,在等腰直角三角形中, ,,以为直角边作等腰直角三角形,以为直角边作等腰直角三角形,则的长为________.
第11题图
12．如图，在中，是边的垂直平分线，的长为4，的周长为14，则的周长为____________．
第12题图
13．如图①，两个大小不同的三角板叠放在一起，图②是由它得到的抽象几何图形，已知，， ，且点，，在同一条直线上，,,连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为____________．
第13题图
三、解答题（本大题共7个小题,共61分）
14．（5分）如图，点，在线段上，，，，，求证：.
15．（7分）如图,在正方形网格中，已知,点,,均在格点上.若小方格边长为1,求证:是直角三角形.
16．（8分）如图，在中，，点,分别是,上的点，且．若 ， ，求的度数．
17．（8分）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为,与公路上另一停靠站的距离为,停靠站，之间的距离为,且．
（1） 求修建的公路的长；
（2） 若公路修通后，一辆货车从处经过处到处的路程是多少？
18．（9分）如图，公路和公路在点处交汇，且 ，在处有一所中学，，此时有一辆消防车在公路上从点出发沿方向以的速度行驶，假设消防车行驶时周围以内有噪音影响．学校是否会受到噪音影响？如果受到噪音影响，则影响时间是多长？如果不受到噪音影响，请说明理由．
19．（12分）定义：我们把三角形某边上的中点到这条边上的高的距离称为三角形某边的“中偏度值”．
（1） 如图，在中， ，，，求中边的“中偏度值”；
（2） 在中，，，边上的高，求中边的“中偏度值”．
20．（12分）已知是等边三角形．
（1） 如图①，点是外一点，且 ，请猜想线段，，之间的数量关系：________________________________；
（2） 证明你的结论；
（3） 如图②，点是等边外一点，若，，，试求的度数．
第一章质量评估
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8个小题,每小题3分,共24分,每小题有四个选项,其中只有一个是正确的）
1．D 2．D 3．D 4．B 5．D 6．D 7．A 8．B
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5个小题,每小题3分,共15分）
9．同一三角形中至多有一个内角是锐角
10．
11．
12．
13．
三、解答题（本大题共7个小题,共61分）
14．证明:，， .
，，即.
在和中，
.
.
15．证明:,,.
,
,
,
是直角三角形.
16．解：， ，
．
， ．
， ，
．
，
，
．
17．（1） 解：,,,，
是直角三角形， ，
，
．
故修建的公路的长是．
（2） 在中，，
一辆货车从处经过处到处的路程．
答：一辆货车从处经过处到处的路程是.
18．解：如答图，过点作于点．
第18题答图
， ，.
，
消防车在公路上沿方向行驶时，学校会受到噪音影响．
设从点开始学校受到噪音影响，点结束，则.
，.
在中，根据勾股定理,得，
.
消防车的速度为，
学校受到噪音影响的时间为．
故学校会受到噪音影响,影响时间是.
19．（1） 解：如答图①，作的中线．
第19题答图①
，，，.
，，
，．
为中斜边上的中线，，，
，
即点到的距离为，
则中边的“中偏度值”为．
（2） ①当高在内部时，
如答图②，作中边上的中线．
第19题答图②
，，，，
，，
．
为的中线，
，，
即点到的距离为2，
则中边的“中偏度值”为2;
②当高在外部时，
如答图③，作中边上的中线.
第19题答图③
，，，，
，，
．
为的中线，
，，
即点到的距离为7，
则中边的“中偏度值”为7．
综上所述，中边的“中偏度值”为2或7．
20．（1）
（2） 证明：如答图①，以为边向下作等边，连接．
第20题答图①
，都是等边三角形，，， ，，
，.
， ， ，
．
，，．
（3） 解：如答图②，以为边向下作等边，连接，过点作，交的延长线于点.
第20题答图②
，都是等边三角形，
，， ，
，，．
设,.
在中，，则.
在中，，则，
整理，得，
，解得.
把代入,得或（舍去），
，．
， ， ．
， ．