6.3 二项式定理 教学设计（表格式）

二项式定理
课型 新授课 复习课□ 试卷讲评课□ 其它课□
教学内容分析 二项式定理前面内容的继续，也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、特定项等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。 本节所涉及的核心素养有:数学抽象、逻辑推理和数学运算等。
学情分析 学生已经掌握了多项式乘法，学生的认知结构中已经有了二项式定理的平方、立方和数列的有关知识，对组合已经有了初步的认识，学生能够运用所学知识解决简单的计数问题，对该节课推导二项式定理奠定了基础。 在推导二项式定理的过程中，可能会遇到的难点是二项式定理一般展开式中的系数为组合数；二项式定理中字母是可变的，结构是不变的,这里教师需要注意学生的实际接受程度，做好重点教学的准备。
学习目标 （1）通过运用多项式运算法则和计数原理对二项展开式的项的研究，能推导出二项式定理，发展逻辑推理、数学抽象等素养； （2）通过对二项展开式结构的分析与研究，能求出二项展开式中的特定项，发展逻辑推理、数学运算等素养； （3）能用二项式定理解决一些简单的数学问题，发展数学运算等素养，通过利用二项式定理求具体情境问题，发展数学建模素养。 重点：二项式定理的推导和简单应用 难点：二项式系数的推导。
评价任务 （1）通过例1检测学习目标（1）是否达成； （2）通过例2检测学习目标（2）、（3）是否达成。
学习活动设计 教师活动学生活动环节一：创设情景，引入新课历史情境 1664年,伟大的科学家牛顿,年仅22岁在剑桥大学就读的他,在研读英国数学家沃利斯的《无穷算术》中的, 时，发现了展开式的规律(即二项式定理)，又称牛顿二项式定理。二项式定理的发现是牛顿发明微积分的过程中一个关键节点，甚至可以说，牛顿正是以二项式定理为基石发明了伟大的微积分。 了解二项式定理的历史背景，感受数学文化的熏陶，培育数学素养.。设计意图：遵循“历史发生原理”,将牛顿发现二项式定理的历史融入教学，以此激发学生的学习兴趣，启迪思维，同时让学生受到数学文化的熏陶,培育数学素养. 环节二：主动思考，探究新知教师活动 问题1 能否运用多项式的乘法法则，写出展开式的推导过程？ 问题2 的展开式，有什么共同的特点？ 问题3 为什么的展开式合并前共4项 合并后的是怎样得到的，其他项呢？ 问题4 为什么的展开式合并前共8项 合并后的是怎样得到的，其他项呢？？学生活动 问题1解决 问题2解决 每一项的次数都是相同的且都等于二项式的幂指数，字母按的降幂排序，字母按升幂排序，各项系数与组合数有关. 问题3解决 用分步乘法计数原理分析：第一步从第一个括号中选或，有种选法；第二步从第二个括号中选或，有种选法；由分步乘法计数原理，合并前共有种选法。 第一个括号取，第二个括号取,第二个括号取，第一个括号取，合起来总共2种取法；出现的次数相当于从2个中取1个的组合数，即有2个，所以是。同理可得验证其他项。 问题4解决 与问题3的解决方法类同 设计意图： 让学生经历从“特殊—一般”“归纳—猜想”的过程，培养学生合情推理能力，同时让学生重新研究多项式乘法的原理，培养学生的创造能力，提升学生的逻辑推理核心素养。环节三： 提出猜想，归纳定理教师活动 问题1 类比以上分析，尝试写出的展开式？ 问题2 类比以上分析，请大家猜想的展开式是怎么样的？ 我们把这个公式叫做二项式定理（binomial theorem），右边多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数为 叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项： . 学生活动 问题1解决 问题2解决 设计意图：将多项式乘法法则与计数原理建立联系，进而突破难点：用计数原理推导二项式定理，其中尤为难的是使用组合数表达二项展开式中各项的系数.让学生类比抽象概括出二项式定理的表达式，不仅有利于学生二项式定理概念的意义建构，还能提高学生从特殊到一般的思维能力。 环节四：运用知识，强化练习教师活动 例1 求的展开式. 例2 （1）求的展开式的第4项的系数. （2）求的展开式中的系数. 学生活动 例1 分析：二项式定理中的字母是，而现在是单项式和，只要把公式里的换成和，把赋值为6，就可以了. 解： 总结：其字母ab是一种符号可以把a看作长方形，b看作三角形,它们可以是任意的数或代数式.一般地，我们可以把公式里的两个字母看成两个框，改变框里的内容并不会影响公式的结构，也就是说字母是可变的，但公式结构却不变. 例2 （1）分析：此时通项公式中的换成了，把赋值为7，把赋值为4，化简即可. 解：（1） 因此，展开式第4项的系数是280. 分析：此时把通项公式中的换成了，把赋值为6，化简后把的指数赋值为2，化简求解. 解：（2）的展开式的通项是 根据题意，得 因此，的系数是. 设计意图：通过例1的解答一是为了让学生熟悉二项式展开式，二是培养学生看待公式的眼光即公式中字母的可变性和结构的不变性。通过例2的解答，一是区分二项式系数和系数是两个不同的概念，巩固公式的应用，二是强化通项公式的简洁性. 三是非标准化形式进行标准化，减去一个数也就是相当于加上它的相反数，因此，此题的就是，要学会运用数的眼光看待式子，提升学生的逻辑推理与数学运算核心素养。环节五：回顾总结，方法提炼教师活动 1.知识小结 2.数学思想与方法 3.感受数学美 学生活动 学生自主总结，学生间补充完善。 设计意图：梳理本节课的学习脉络，提高学生发现、提出、分析、解决数学问题的能力，提出研究数学问题的一般方法即从特殊到一般归纳定理，从一般到特殊解决问题,同时通过二项式定理，指出二项展开式的概括性和对称性并此为美.更重要的是渗透数学史,与创设情景进行了前后呼应，强调了二项式定理数学价值，也进行了二项式定理到广义二项式定理的简单介绍，为有自主学习能力的学生课后继续探究埋下伏笔．
板书设计 6.3.1 二项式定理 一、二项式定理 二、典例分析 通项 例1 二项式系数 例2 作业与拓展学习设计 课本31页练习