6.3.2 二项式系数的性质 教学设计（表格式）

二项式系数的性质
课型 新授课 复习课□ 试卷讲评课□ 其它课□
教学内容分析 （1）二项式系数的性质：本节课设置在学生学习完二项式定理之后，课程要求学生对二项式系数的性质进行探索。本节课设置为教师结合数学史的相关内容，引导学生对二项式系数的性质进行由浅及深的探究。结合杨辉三角，教师可以引导学生发现二项式系数最直观的一个性质——对称性，要观察对称性，我们可以把它看作一个函数，通过提问“对于，比如，它关于谁对称呢？”帮助学生去发现结论；随后在函数的基础上很自然地引出第二个性质——增减性与最大值，学生通过前面函数图像都对二项式系数的增减性与最大值已经有较清晰的感受，这时教师再从数的角度展示增减性和最大值的证明过程，体现结论的合理性；随后对于不能直接观察到的性质——各二项式系数的和，可以结合二项式定理的展开式，通过赋值得到结果。 （2）赋值法：即通过对二项展开式中的字母赋予特定的值，从而求解特定项的值的方法。学生在学习二项式系数的第三条性质——各二项式系数的和时，了解了赋值法，通过例题“证明：在的展示式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和”进一步熟悉赋值法，随后通过更多的习题和变式初步掌握赋值法的运用。
学情分析 通过前面内容的学习，学生已经掌握了组合与二项式定理的相关知识，并且已经初步了解了二项式系数的简单性质.对常见的数学思想方法，如数形结合、转化与化归、分类讨论、函数思想等也有所接触,这为本节课的学习奠定了基础.另外，高二的学生已经具备了一定的分析、探究问题的能力，恰当的问题引导能够帮助学生建立知识间的相互联系，从而解决问题.
学习目标 （1）通过“观察、归纳、论证”二项式系数的性质这一过程，掌握二项式系数的基本性质及证明方法; （2）通过学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，体会从函数角度研究问题的过程，体会应用数形结合、特殊到一般、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.。培养学生问题意识，培养学生团结协作的精神，提高学生思维能力。 重点：掌握二项式系数的性质、探讨二项式系数的规律、了解赋值法的运用。 难点：赋值法的正确运用。
评价任务 （1）学生通过观察杨辉三角能否二项式系数的性质检测目标1是否达成； （2）学生能否完成李二检测目标2是否达成。
教学评活动过程 教师活动学生活动环节一：新知引入教师活动 这节课我们一起来学习二项式系数的性质，首先让我们回顾一下二项式定理，在二项展开式中，就叫做二项式系数，那么随着n的改变，二项式系数有什么通用的性质呢？让我们一起来看看。 令，计算二项式系数的值，并填入表格，如果将这些系数进行特定的排列，形似三角，这个三角在我国被称为杨辉三角。它是由我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中记载着的表。 学生活动 学生自主探究，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感，增强民族自豪感。 设计意图：通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感，增强民族自豪感。环节二：观察归纳，分析性质教师活动 问题1：观察杨辉三角和二项式系数表的特点，总结归纳二项式系数的性质。 问题2：如何证明二项式系数的性质？学生活动 问题解决： 性质1【对称性】通过杨辉三角我们可以直观感受到每一行的二项式系数都具有一个通性，这 个性质就是对称性。通过函数图形可以更清晰地感受这一点，设，以为例画出函数图形——7个孤立的点，这个图形的对称轴是谁呢？没错，它的对称轴是。事实上，函数的图像总是关于对称的。 【概括】与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。 性质2【增减性与最大值】 让我们继续观察的函数图像，可以直观感受到函数在对称轴以左递增，以右递减，最大值应该在中间项取到。从数的角度我们可以通过比值比较两个数的大小，不妨设，那么相对于的大小就由决定，通过令，可得在时递增，再通过比较相邻两项的大小可以得到当n为偶数时，最大，而当n为奇数时，，且同时取得最大值。 【概括】当n为偶数时，最大，而当n为奇数时，，且同时取得最大值。 性质3【各二项式系数的和】 在二项展开式中，令，则可以得到，也就是说各二项式系数的和为，这种方法称之为赋值法。 【概括】 。 设计意图： 通过杨辉三角和函数图像研究二项式系数的第一个性质——对称性，并为二项式系数的第二个性质——增减性埋下伏笔。分别从形与数的角度发现的增减性与最大值，加深学生印象，理解二项式系数的增减性通过赋值法的巧妙运用证明结论，加深学生对赋值法的理解。 环节三：例题讲解教师活动 例1 证明：在的展示式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。 教师展示证明过程。学生活动 学生先独立思考，再个别提问解答，规范步骤。 例1解决： 【点拨】通过赋 可得 ， 即得证。 【结论】 设计意图： 通过赋值法的巧妙运用证明结论，加深学生对赋值法的理解，培养学生用联系、转化的方法观察问题、解决问题，提升学生的逻辑推理素养。环节四：运用知识，强化练习教师活动 1. 2. 3..已知 （1）求的值； （2）求的值。 教师展示答案并根据学生作答情况重点讲解。 学生活动 学生自行完成后核对。设计意图：通过以上练习的解答，巩固所学的二项式系数的性质和赋值法的应用，帮助学生熟悉赋值法在求二项展开式中特定项系数和中的运用。环节五：归纳小结，强化思想教师活动 1.知识清单 2.学生反思 （1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？学生活动 学生自主总结，学生间补充完善。 设计意图：加强对本节课所学知识的记忆，加深对数学思想方法的理解，养成总结的好习惯。
板书设计 6.3.2 二项式系数的性质 一、杨辉三角（二项式系数表） 二、二项式系数的性质 1.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。 2.当n为偶数时，最大，而当n为奇数时，，且同时取得最大值。 3.
作业与拓展学习设计 （1）教材第34页练习题 （2）查找相关资料，探究杨辉三角的性质与应用 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡在1654年发现这一规律，所以这个排列又叫作帕斯卡三角形。就是这个看上去平平无奇的数字三角形，却有一些非常奇妙甚至是神秘的特性。
特色学习资源分析、技术手段的应用说明 多媒体课件
教学反思与改进 教学过程中要多关注学生的原有知识水平和个性差异，灵活机动地随机处理课堂上的问题，把学生出现的错误当成是一种珍贵的教学资源，并加以合理利用。同时也要认真观察学生的微妙变化和反应情况，随机的调整教课的速度，让每个学生都能消化吸收。