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二次函数 重点题精选习题练
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知函数y＝（m+2）3x﹣4是二次函数，则m等于（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．6
2．（3分）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+4 B．y＝（x﹣4）2+4
C．y＝（x+2）2+6 D．y＝（x﹣4）2+6
3．（3分）如果二次函数y＝x2﹣4x+c的最小值为0，那么c的值等于（ ）
A．2 B．4 C．﹣2 D．8
4．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列四组中正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＞0，b＜0，c＜0
5．（3分）抛物线y＝x2+5的顶点坐标是（ ）
A．（0，5） B．（0，﹣5） C．（5，0） D．（﹣5，0）
6．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝2x+2的交点横坐标分别是﹣1和1，抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足3＜m＜4，那么a的取值可能是（ ）
A．﹣3 B．1 C．2 D．
7．（3分）已知点（2，y1），（4，y2），（t，y3）都在抛物线y＝x2﹣2ax上，若0≤t≤1时，总有y1＜y3＜y2，则a的值可以是（ ）
A．﹣1 B． C． D．
8．（3分）已知函数y，若a≤x≤b，m≤y≤n，则下列说法正确的是（ ）
A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值
B．当n﹣m＝1时，b﹣a无最大值
C．当b﹣a＝1时，n﹣m有最小值
D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④am2+bm≥a+b（m为任意实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），顶点为M（﹣1，m），且抛物线与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣3）之间（不含端点）则下列结论：①当﹣3≤x≤1时，y≤0；②|ax2+bx+c|＝1﹣m 有两个实数根；③当△ABM的面积为时，；④当△ABM 为直角三角形时，在△AOB 内存在唯一一点P，使得 PA+PO+PB 的值最小，最小值的平方为 ，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x﹣2024）（x﹣2026）+6向下平移6个单位长度，所得的新抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则点P与点Q之间的距离为 ．
12．（3分）泗水卞桥（如图①）始建于晚唐时期，造型雅朴，雕饰精美，是山东省现存最古老的桥梁．拱桥中孔轮廓近似抛物线，现以拱桥的中孔最高点为坐标原点建立平面直角坐标系（如图②），已知A，B两点的距离为6米时，到x轴的距离为3米．当水面EF与x轴的距离为4米时，水面宽度EF等于 米．
13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝2时，该函数取最大值12．设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，若x1＜0，则a的取值范围是 ．
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1 y2（填“＞”或“＜”）；若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 ．
15．（3分）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3），点B（5，0），不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为 ．
三．解答题（共6小题，满分75分）
16．（10分）水果店销售一种水果，该水果的进价为每千克6元，在试销售的过程中发现，每天销量y（千克）与销售单价x（元/千克）存在一次函数关系：
单价x（元/千克） 10 15
销量y（千克） 30 20
销售单价定为多少元时，水果店每天能获得最大利润？
17．（11分）已知关于x的方程x2+（k﹣2）x+k﹣3＝0．
（1）求证：该方程总有实数根；
（2）若方程x2+（k﹣2）x+k﹣3＝0有一根大于5且小于7，求k的整数值；
（3）在（2）的条件下，对于一次函数y1＝x+b和二次函数，当﹣1＜x＜7时，有y1＞y2，求出b的取值范围．
18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A（4，0），B两点，交y轴于点C（0，4）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交AC于点E，过点P作AC的平行线交x轴于点F，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）将该抛物线y沿射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线y1，点G是新抛物线y1的顶点，点M为新抛物线y1的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点C，G，M，N为顶点的四边形是以MG为边的菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
19．（12分）如图1，已知二次函数图象与y轴交点为C（0，3），其顶点为D（1，2）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）直线CD与x轴交于M，现将线段CM上下移动，若线段CM与二次函数的图象有交点，求CM向上和向下平移的最大距离；
（3）若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕O点顺时针旋转90°，得到抛物线G，如图2所示，直线y＝﹣x+2与G交于A，B两点，P为G上位于直线AB左侧一点，求△ABP面积最大值，及此时点P的坐标．
20．（15分）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的点，PD⊥AC于点D，PF⊥x轴于点F，交线段AC于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）写出PD与PE满足的关系式．当PD最大时，求P点的坐标；
（3）如图（2），点M是在直线AC上方的抛物线上一动点，当∠MAO＝∠OAC时，求点M的坐标．
21．（15分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，开口向上的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OA＝OC＝3OB．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点G为抛物线上一点，当∠GBA＝∠BCO时，直接写出点G的坐标；
（3）如图2若M为线段AB的中点，N为抛物线的顶点，OT经过A，B，C三点．经过圆心T的直线交抛物线于D，E两点，直线ND交x轴于点P，直线NE交x轴于点Q．求MP MQ的值．中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数 重点题精选习题练
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B D A D B C D A
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知函数y＝（m+2）3x﹣4是二次函数，则m等于（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．6
【思路点拔】根据二次函数的定义，令m2﹣2＝2且m+2≠0，即可求出m的取值范围．
【解答】解：∵y＝（m+2）3x﹣4是二次函数，
∴m2﹣2＝2且m+2≠0，
∴m＝2．
故选：B．
2．（3分）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+4 B．y＝（x﹣4）2+4
C．y＝（x+2）2+6 D．y＝（x﹣4）2+6
【思路点拔】直接根据平移规律作答即可．
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣3）2+2+2，即y＝（x﹣4）2+4；
故选：B．
3．（3分）如果二次函数y＝x2﹣4x+c的最小值为0，那么c的值等于（ ）
A．2 B．4 C．﹣2 D．8
【思路点拔】仔细观察二次函数的解析式，将其化为顶点式，可得到二次函数的最小值为﹣4+c；根据已知条件可得﹣4+c＝0，据此可求出c的值，进而解答．
【解答】解：函数解析式可转化为y＝（x﹣2）2﹣4+c，
根据该图象开口向上，可知函数的最小值是﹣4+c，
又由已知条件可知函数的最小值是0，可得：
﹣4+c＝0，
解得c＝4．
故选：B．
4．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列四组中正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＞0，b＜0，c＜0
【思路点拔】根据函数图象可以判断a、b、c的正负情况，从而可以解答本题．
【解答】解：由函数图象，可得
函数开口向上，则a＞0，
顶点在y轴右侧，则a、b异号，b＜0，
图象与y轴交点在y轴负半轴，则c＜0，
故选：D．
5．（3分）抛物线y＝x2+5的顶点坐标是（ ）
A．（0，5） B．（0，﹣5） C．（5，0） D．（﹣5，0）
【思路点拔】直接根据y＝x2+k的顶点坐标为（0，k）即可解答．
【解答】解：抛物线y＝x2+5的顶点坐标是（0，5），
故选：A．
6．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝2x+2的交点横坐标分别是﹣1和1，抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足3＜m＜4，那么a的取值可能是（ ）
A．﹣3 B．1 C．2 D．
【思路点拔】求出抛物线的表达式y＝ax2+2x+2﹣a，由﹣1×m1，求出m，进而求解．
【解答】解：当x＝﹣1时，y＝2x+2＝0，当x＝1时，y＝2x+2＝4，
即抛物线过点（﹣1，0）、（1，4），
由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝ax2+2x+2﹣a，
抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m，另外一个交点为﹣1，
则﹣1×m1，
即3＜14，
解得：﹣1＜a，
故选：D．
7．（3分）已知点（2，y1），（4，y2），（t，y3）都在抛物线y＝x2﹣2ax上，若0≤t≤1时，总有y1＜y3＜y2，则a的值可以是（ ）
A．﹣1 B． C． D．
【思路点拔】由抛物线解析式y＝x2﹣2ax可知对称轴为直线x＝a，抛物线开口向上，且抛物线过原点，画出图象对y3的取值进行分析，当x＝1时，y＝1﹣2a；当x＝2时，y＝4﹣4a；当x＝4时，y＝16﹣8a，则必须满足，解得：．
【解答】解：由抛物线解析式y＝x2﹣2ax可知对称轴为直线x＝a，抛物线开口向上，且抛物线过原点．
∵2＜4，y1＜y2，可知点（2，y1），（4，y2）在对称轴的右侧，
当a≤0时，则y3＜y1＜y2，不满足题意，故a＞0，如右图所示：
当x＝1时，y＝1﹣2a；当x＝2时，y＝4﹣4a；当x＝4时，y＝16﹣8a，
∵0≤t≤1时，总有y1＜y3＜y2，则点（t，y3）必在对称轴的左侧，
则必须满足，所以，
解得：，故A、C、D都不符合．
故选：B．
8．（3分）已知函数y，若a≤x≤b，m≤y≤n，则下列说法正确的是（ ）
A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值
B．当n﹣m＝1时，b﹣a无最大值
C．当b﹣a＝1时，n﹣m有最小值
D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值
【思路点拔】根据题意画出函数图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可．
【解答】解：如图：
由图可知：当x≤0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，
当a≤b≤0时，m＝b2，n＝a2，
当n﹣m＝1时，即：a2﹣b2＝1，
∴（a﹣b）（a+b）＝1，
∴b﹣a1，当a+b的值越小，b﹣a越小，无限接近0，但不等于0，即b﹣a没有最小值，
当0＜a≤b时，m＝a，n＝b，
当n﹣m＝1时，b﹣a＝1，
当a＜0＜b时，m＝0，
n﹣m＝1时，n＝1，当a＝﹣1，b＝1时，b﹣a的值最大，为1﹣（﹣1）＝2，
综上：当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值，无最小值，
故选项A，B错误；
当a≤b≤0时，m＝b2，n＝a2，
当b﹣a＝1时，即：n﹣m＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝﹣（a+b），
∴当a+b越小时，n﹣m的值越大，即n﹣m没有最大值，
当0＜a≤b时，m＝a，n＝b，
当b﹣a＝1时，n﹣m＝b﹣a＝1；
当a＜0＜b时，m＝0，
当b﹣a＝1时，x＝a和x＝b的函数值相同时，n﹣m的值最小，
综上：当b﹣a＝1，n﹣m有最小值，无最大值；
故选项C正确，D错误．
故选：C．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④am2+bm≥a+b（m为任意实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】由抛物线的对称轴公式即可对②进行判断；由抛物线的开口方向可判断a，结合抛物线的对称轴可判断b，根据抛物线与y轴的交点可判断c，进而可判断①；由图象可得：当x＝2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，可判断③；由于当x＝1时，二次函数y取最小值a+b+c，即am2+bm+c≥a+b+c（m为实数），进一步即可对④进行判断，从而可得答案．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴，
∴b＜0，2a+b＝0，故②正确；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
∵当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，故③正确，
∵当x＝1时，二次函数y取最小值a+b+c，
∴am2+bm+c≥a+b+c（m为实数），即am2+bm≥a+b（m为实数），故④正确．
综上，正确结论的个数有4个．
故选：D．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），顶点为M（﹣1，m），且抛物线与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣3）之间（不含端点）则下列结论：①当﹣3≤x≤1时，y≤0；②|ax2+bx+c|＝1﹣m 有两个实数根；③当△ABM的面积为时，；④当△ABM 为直角三角形时，在△AOB 内存在唯一一点P，使得 PA+PO+PB 的值最小，最小值的平方为 ，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【思路点拔】①先求出抛物线于x轴的另一个点的坐标，根据图象即可判断①是否正确；②根据二次函数与一元二次方程关系，利用数形结合思想即可判断②是否正确；③利用割补法用a表示出面积，再求出a的值，即可判断③是否正确；④过点A、M分别作y轴、x轴的平行线交于点C，连接AM、AB、BM，运用分类讨论思想，求出a的值，再将△BPA绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A′，连接PP′，过点A′作A′T⊥x轴于点T，作A′Q⊥y轴于点Q，推出当点O，点P，点P′，点A′共线时，PA+PO+PB值最小，最小值为OA′，此时∠APB＝∠APO＝∠BPO＝120°，设A′（m，n），在Rt△AA′T和Rt△BA′Q中，利用勾股定理列出方程组，求出m，n的值，进而求出OA′2，并与 比较，即可判断④是否正确．
【解答】②②解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），顶点为M（﹣1，m），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，
∴当﹣3≤x≤1时，y≤0，
故①正确；
②方程|ax2+bx+c|＝1﹣m 有两个实数根相当于函数y＝|ax2+bx+c|的图象与函数y＝1﹣m的图象有两个交点，
画出函数图象如下，由图可知，这两个图象没有交点，
故②正确；
③将（﹣3，0），（1，0）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得：，
∴y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，
∴抛物线的顶点为M（﹣1，﹣4a），
设抛物线对称轴交x轴于H，如图，
则H（﹣1，0），
∴AH＝﹣1﹣（﹣3）＝2，MH＝4a，OH＝1，
∵B（0，﹣3a），
∴OB＝3a，
∴S△ABM＝S△AMH+S梯形BMHO﹣S△AOB AH MH （MH+OB） OHOA OB2×4a（4a+3a）×13×3a＝3a，
∵S△ABM，
∴3a
∴a，
故③正确；
④如图，过点A、M分别作y轴、x轴的平行线交于点C，连接AM、AB、BM，
则四边形ACDO是矩形，
∴∠C＝∠BDM＝∠AOB＝90°，
∵A（﹣3，0），B（0，﹣3a），M（﹣1，﹣4a），
∴AC＝OD＝4a，OA＝CD＝3，OB＝3a，BD＝a，DM＝1，CM＝2，
∵△ABM为直角三角形，有三种情况：∠BAM＝90°或∠AMB＝90°或∠ABM＝90°，
显然∠BAM＜90°，
∴只能∠AMB＝90°或∠ABM＝90°，
若∠AMB＝90°，则∠AMC+∠BMD＝90°，
∵AC∥OD，OA∥DC，
∴四边形ACDO是平行四边形，
∵∠AOD＝90°，
∴四边形ACDO是矩形，
∴∠C＝∠BDM＝∠AOB＝90°，
∴∠AMC+∠MAC＝90°，
∴△AMC∽△MBD，
∴，即，
∴a2，
∵a＞0，
∴a；
若∠ABM＝90°，则∠ABO+∠MBD＝90°，
∵∠AOB＝∠BDM＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠MBD＝∠BAO，
∴△ABO∽△BMD，
∴，即，
∴a2＝1，
∵a＞0，
∴a＝1；
∵点B在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不含端点），
∴﹣3＜﹣3a＜﹣2，
解得a＜1，
∴a，
∴OB，AB2，
如图，将△BPA绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A′，连接PP′，过点A′作A′T⊥x轴于点T，作A′Q⊥y轴于点Q，
∴BP＝BP′，PA＝P′A′，∠PBP′＝∠ABA′＝60°，
∴△PBP′和△ABA′是等边三角形，
∴BP＝PP′，AA′2＝A′B2＝AB2，
∴PA+PO+PB＝P′A′+PO+PP′≥OA′，
∴当点O、P、P′、A′共线时，PA+PO+PB值最小，最小值为OA′，
此时∠APB＝∠APO＝∠BPO＝120°，
设A′（m，n），
则A′T＝﹣n，AT＝﹣3﹣m，A′Q＝﹣m，BQ＝﹣n，
在Rt△AA′T中，
由勾股定理，得AT2+A′T2＝AA′2，
在Rt△BA′Q中，
由勾股定理，得BQ2+A′Q2＝A′B2，
即，
解得，
∴OA′2＝m2+n2＝（）2+（）2，
故④错误；
综上，正确的有①②③．
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x﹣2024）（x﹣2026）+6向下平移6个单位长度，所得的新抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则点P与点Q之间的距离为 2 ．
【思路点拔】根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令y＝0，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可．
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣2024）（x﹣2026）+6的图象向下平移6个单位长度，所得抛物线的解析式为：
y＝（x﹣2024）（x﹣2026），
令y＝（x﹣2024）（x﹣2026）＝0，则（x﹣2024）（x﹣2026）＝0，
∴x﹣2024＝0或x﹣2026＝0，
解得：x＝2024或2026，
∴PQ＝2026﹣2024＝2，
故答案为：2．
12．（3分）泗水卞桥（如图①）始建于晚唐时期，造型雅朴，雕饰精美，是山东省现存最古老的桥梁．拱桥中孔轮廓近似抛物线，现以拱桥的中孔最高点为坐标原点建立平面直角坐标系（如图②），已知A，B两点的距离为6米时，到x轴的距离为3米．当水面EF与x轴的距离为4米时，水面宽度EF等于 米．
【思路点拔】根据题意得点B（3，﹣3），设抛物线解析式为y＝ax2，解得，结合题意得点F的纵坐标为﹣4，代入抛物线解得，即可得水面宽度EF．
【解答】解：∵已知A，B两点的距离为6米时，到x轴的距离为3米，
∴点B（3，﹣3），
根据题意设抛物线解析式为y＝ax2，将点A代入得﹣3＝a×32，
解得，
则抛物线解析式为，
∵水面EF与x轴的距离为4米，
∴点F的纵坐标为﹣4，代入抛物线得，
解得，
则水面宽度．
故答案为：．
13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝2时，该函数取最大值12．设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，若x1＜0，则a的取值范围是 ﹣3＜a＜0 ．
【思路点拔】根据二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝2时，该函数取最大值12，可以写出该函数的顶点式，得到a＜0，再根据该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，x1＞4，可知，当x＝4时，y＞0，即可得到a的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝2时，该函数取最大值12，
∴a＜0，该函数解析式可以写成y＝a（x﹣2）2+12，
∵设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，若x1＜0，
∴当x＝0时，y＞0，
即a（0﹣2）2+12＞0，解得，a＞﹣3，
∴a的取值范围是﹣3＜a＜0，
故答案为：﹣3＜a＜0．
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1 ＞ y2（填“＞”或“＜”）；若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 m＜1 ．
【思路点拔】先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣1＝﹣（x﹣2）2+3，
∴二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象的对称轴为直线x＝2，开口向下，
∵0＜x1＜1，x2＞4，
∴2﹣x1＜x2﹣2，即（x1，y1）比（x2，y2）离对称轴直线的水平距离近，
∴y1＞y2；
∵m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，
∴x1＜x2＜x3，
∵对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，
∴x1＜2，x3＞2，且A（x1，y1）离对称轴最远，B（x2，y2）离对称轴最近，
∴2﹣x1＞x3﹣2＞|x2﹣2|，
∴x1+x3＜4，且 x2+x3＞4，
∵2m+2＜x1+x3＜2m+4，2m+3＜x2+x3＜2m+5，
∴2m+2＜4，且2m+5＞4，
解得m＜1，
故答案为：＞，m＜1．
15．（3分）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3），点B（5，0），不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为 2＜x＜5 ．
【思路点拔】根据图象及点A，B坐标求解．
【解答】解：由图象可得，在点A，B之间的抛物线在直线下方，
∴2＜x＜5时，x2+bx+c＜mx+n，
故答案为：2＜x＜5．
三．解答题（共6小题，满分75分）
16．（10分）水果店销售一种水果，该水果的进价为每千克6元，在试销售的过程中发现，每天销量y（千克）与销售单价x（元/千克）存在一次函数关系：
单价x（元/千克） 10 15
销量y（千克） 30 20
销售单价定为多少元时，水果店每天能获得最大利润？
【思路点拔】根据表中数据用待定系数法求函数解析式即，再根据利润＝每件的利润×销售量列出函数解析式，由函数的性质求解即可．
【解答】解：设每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
根据题意得：，
解得：，
∴y＝﹣2x+50，
设每天的利润为w元，由题意得
w＝（x﹣6） y
＝（x﹣6）（﹣2x+50）
＝﹣2x2+62x﹣300．
∵﹣2＜0，
当时，y有最大值，
所以，当销售单价为15.5元时，水果店每天能获得最大利润．
17．（11分）已知关于x的方程x2+（k﹣2）x+k﹣3＝0．
（1）求证：该方程总有实数根；
（2）若方程x2+（k﹣2）x+k﹣3＝0有一根大于5且小于7，求k的整数值；
（3）在（2）的条件下，对于一次函数y1＝x+b和二次函数，当﹣1＜x＜7时，有y1＞y2，求出b的取值范围．
【思路点拔】（1）利用一元二次方程根的判别式进行判定即可；
（2）解方程得到方程的两个根，然后根据含有字母k的根即为大于5且小于7的根，列出不等式组，求解得到k的取值范围，再写出整数值即可；
（3）把k值代入得到二次函数解析式，再根据y1＞y2整理出关于x的一元二次不等式，然后利用二次函数的性质可知，二次函数与x轴的交点横坐标在﹣1到7之外，再根据两个负数相比较，绝对值大的反而小列出不等式求解即可．
【解答】（1）证明：Δ＝（k﹣2）2﹣4（k﹣3）
＝k2﹣4k+4﹣4k+12
＝k2﹣8k+16，
＝（k﹣4）2，
∵（k﹣4）2≥0，
∴此方程总有实根；
（2）解：解得方程两根为x1＝﹣1，x2＝3﹣k，
∵方程有一根大于5且小于7，
∴5＜3﹣k＜7，
即﹣7＜k﹣3＜﹣5，
解得﹣4＜k＜﹣2，
∵k为整数，
∴k＝﹣3；
（3）解：由 （2）知k＝﹣3，
∴y2＝x2﹣5x﹣6，
∵y1＞y2，
∴y2﹣y1＜0，
即x2﹣6x﹣6﹣b＜0，
∵在﹣1＜x＜7时，有y1＞y2，
∴x2﹣6x﹣6﹣b＝0的两个根在﹣1到7之间，
即y＝x2﹣6x﹣6﹣b与x轴的交点在﹣1到7之外，
∴两根之积﹣6﹣b≤﹣1×7，
解得b≥1．
18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A（4，0），B两点，交y轴于点C（0，4）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交AC于点E，过点P作AC的平行线交x轴于点F，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）将该抛物线y沿射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线y1，点G是新抛物线y1的顶点，点M为新抛物线y1的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点C，G，M，N为顶点的四边形是以MG为边的菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【思路点拔】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）延长PE交x轴于H，可求直线AC的解析式为y＝﹣x+4，设P（p，p2+p+4）（0＜p＜4），可得E（p，﹣p+4），H（p，0），证明△PHF是等腰直角三角形，从而可求PE+PFp2+3p﹣1＝﹣（p﹣3）2+，即可求解；
（3）由将该抛物线y沿射线CA方向平移2个单位长度得到新抛物线y1，可得抛物线向右，向下分别平移了2个单位长度，可得y1（x﹣3）2，则G（3，），新抛物线y1的对称轴为直线x＝3，设M（3，m），分两种情况：①当CM为对角线时，②当CG为对角线时，根据菱形的性质可解．
【解答】解：（1）∵抛物线yx2+bx+c交x轴于A（4，0），B两点，交y轴于点C（0，4），
∴，
解得：，
故抛物线的表达式为：yx2+x+4；
（2）延长PE交x轴于H，
∵A（4，0），C（0，4），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，OC＝OA，
∵PE∥y轴，
∴PE⊥x轴，
∵OC＝OA，∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝45°，
∵PF∥AC，
∴∠OFP＝45°，
∴PHPF，
∴PEPF＝PE+PH，
设P（p，p2+p+4）（0＜p＜4），则E（p，﹣p+4），H（p，0），
∴PEp2+p+4﹣（﹣p+4）PEp2+2p，PHp2+p+4，
∴PEPF＝PE+PHp2+2pp2+p+4＝﹣p2+3p+4＝﹣（p）2，
∴PEPF的最大值为，此时点P的坐标为（，）；
（3）∵将该抛物线y沿射线CA方向平移2个单位长度得到新抛物线y1，A（4，0），C（0，4），
∴抛物线yx2+x+4（x﹣1）2，向右，向下分别平移了2个单位长度，
∴y1（x﹣3）2，
∴G（3，），新抛物线y1的对称轴为直线x＝3，
∵C，G，M，N为顶点的四边形是以MG为边的菱形，
设M（3，m），
∵C（0，4）．
∴CG，
CM，
MG＝|m|，
分两种情况：
①当CM为对角线时，CG＝MG，
∴|m|，解得m或，
∴点M的坐标为（3，）或（3，）；
∴点N的坐标为（0，4）或（0，4）；
②当CG为对角线时，MC＝MG，
∴|m|，解得m，
∴点M的坐标为（3，，
∴点N的坐标为（0，）．
综上，点N的坐标为（0，4）或（0，4）或（0，）．
19．（12分）如图1，已知二次函数图象与y轴交点为C（0，3），其顶点为D（1，2）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）直线CD与x轴交于M，现将线段CM上下移动，若线段CM与二次函数的图象有交点，求CM向上和向下平移的最大距离；
（3）若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕O点顺时针旋转90°，得到抛物线G，如图2所示，直线y＝﹣x+2与G交于A，B两点，P为G上位于直线AB左侧一点，求△ABP面积最大值，及此时点P的坐标．
【思路点拔】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①设直线CD向下平移最大距离为m，由Δ＝1﹣4m＝0，即可求解；②设直线CD向上平移最大距离为n，同理可解；
（3）由，即可求解．
【解答】解：（1）∵顶点D（1，2），
设二次函数的解析式为 y＝a（x﹣1）2+2，
把（0，3）代入得：3＝a+2，
∴a＝1，
∴y＝（x﹣1）2+2，
即 y＝x2﹣2x+3；
（2）由点C、D的坐标得，直线CD解析式为 y＝﹣x+3，
∴M（3，0），
①设直线CD向下平移最大距离为m，
∴平移后的直线解析式为 y＝﹣x+3﹣m，
此时直线与抛物线有一个交点，
把 y＝﹣x+3﹣m 代入 y＝x2﹣2x+3，
得 x2﹣2x+3＝﹣x+3﹣m，
x2﹣x+m＝0，
Δ＝1﹣4m＝0，
即：．
②设直线CD向上平移最大距离为n，
此时C，M对应点为C′，M′，
则M′（3，m），
当M′恰在二次函数上时，
∴32﹣2 3+3＝m，
∴m＝6，
∴向上平移的最大距离为6．
综上，CM向下平移的最大距离为 ，向上平移的最大距离为6；
（3）二次函数平移后顶点与原点重合时顶点为（0，0），
则函数的解析式为：y＝x2，
设F（m，m2） 为 y＝x2 上一点，
F绕O顺时针旋转 90° 后，对应点为F′，
则△FMO≌△F′M′O，
则FM＝F′M＝m，FN＝OM＝OM'＝m2，
F'：（m2，﹣m），
若F在y轴左侧同理可证成立，即满足横坐标为纵坐标的平方，
所以G：x＝y2，
把 y＝﹣x+2 代入 x＝y2，
∴y2＝﹣y+2，
解得：y1＝﹣2，y2＝1；
则 A（1，1），B（4，﹣2），
设：P（m2，m），
过点P作PQ/x轴交AB于点Q，
∵AB：y＝﹣x+2，
∴Q（2﹣m，m），
∴PQ＝2﹣m﹣m2，
∴
，
当 时，S△ABP 有最大值，，
此时 ．
20．（15分）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的点，PD⊥AC于点D，PF⊥x轴于点F，交线段AC于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）写出PD与PE满足的关系式．当PD最大时，求P点的坐标；
（3）如图（2），点M是在直线AC上方的抛物线上一动点，当∠MAO＝∠OAC时，求点M的坐标．
【思路点拔】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数性质，求出点C坐标，根据OA＝4，OC＝3，求出AC，再根据三角形三角函数求得，即可推出当PE最大时，△PDE的周长最大；求得直线AC的解析式，分别设出设，则，表示出解析式的顶点式，即可求出结果；
（3）设直线AM交y轴于D，证明△AOD≌△AOC，求得D的坐标，同理得直线AD解析式为，联立方程组，解方程组即可得出答案．
【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3中得：
，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）在中，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵OA＝4，OC＝3，
∴，
∴，
∵PD⊥AC，PF⊥x轴，
∴∠EFA＝∠EDP＝90°，
又∵∠AEF＝∠PED，
∴∠DPE＝∠FAE，
∴，
∴，
∴当PE最大时，PD最大．
设直线AC解析式为y＝kx+b′，代入得：
，
解得：，
∴直线AC解析式为，
设，则，
∴．
∴当m＝﹣2时，PE有最大值，即PD最大，此时；
（3）如图，设直线AM交y轴于D，
∵∠MAO＝∠OAC，OA＝OA，∠AOD＝∠AOC＝90°，
∴△AOD≌△AOC（ASA），
∴OD＝OC＝3，
∴D（0，3），
∴直线AD解析式为．
联立得，
解得或（不合题意，舍去），
∴．
21．（15分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，开口向上的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OA＝OC＝3OB．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点G为抛物线上一点，当∠GBA＝∠BCO时，直接写出点G的坐标；
（3）如图2若M为线段AB的中点，N为抛物线的顶点，OT经过A，B，C三点．经过圆心T的直线交抛物线于D，E两点，直线ND交x轴于点P，直线NE交x轴于点Q．求MP MQ的值．
【思路点拔】（1）由B（1，0），可求出A、C的坐标，再将这三点坐标代入解析式计算即可得解；
（2）在第二象限取点M（﹣2，1）、第三象限取点M'（﹣2，﹣1），连接BM，BM'交抛物线于点G、G'，满足题意，分别求直线BM、直线BN解析式，再与抛物线联立即可求交点坐标；
（3）先求出圆心T（﹣1，﹣1），再设设D（m，﹣m2+2m+3），E（n，﹣n2+2n+3），求出过T（﹣1，﹣1）的直线DE的解析式为y＝k（x+1）﹣1，再与抛物线联立得到k（x+1）﹣1＝x2+2x﹣3，推出m+n＝k﹣2，mn＝﹣2﹣k，再求出直线DN的解析式y＝（m+1）x+m﹣3，得到其与x轴的交点坐标P，得到MP，同理可得MQ，再代入计算即可得MP MQ的值．
【解答】解：（1）由B（1，0），则OB＝1，
∴OA＝OC＝3OB＝3，
∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），
将A（﹣3，0），C（0，﹣3），B（1，0）代入y＝ax2+bx+c中，得：
，解得：，
故该抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3．
（2）∵tan∠BCO，当∠GBA＝∠BCO时，
则有tan∠GBA＝tan∠BCO．
则在第二象限取点M（﹣2，1）、第三象限取点M'（﹣2，﹣1），连接BM，BM'交抛物线于点G、G'，
此时完全满足题意．
设直线BM的解析式为y＝kx+b，代入点M（﹣2，1），B（1，0）可得，
解得，则直线BM的解析式为y，
令x2+2x﹣3，解得x＝1或x，
即交点G坐标为（，），
同理可得BM'与抛物线的交点G'坐标为（，），
综上，点G坐标为（，），（，）．
（3）．理由如下：
∵⊙T经过A、B、C三点，
∴圆心T在AB与AC的垂直平分线的交点上，
∴可得T坐标为（﹣1，﹣1），
∵D、E为抛物线上两点，设D（m，﹣m2+2m+3），E（n，﹣n2+2n+3），
设经过T（﹣1，﹣1）的直线DE的解析式为y＝k（x+1）﹣1，
令k（x+1）﹣1＝x2+2x﹣3，整理得：x2+（2﹣k）x﹣2﹣k＝0，
由韦达定理得：m+n＝k﹣2，mn＝﹣2﹣k，
又顶点N坐标为（﹣1，﹣4），
∵D、N为抛物线与直线DN相交的两个交点，由根据韦达定理，
直线DN的解析式可写成：y＝（m+1）x+m﹣3，
∵P点为直线DN与x轴相交的交点，
令y＝0，此时xP，
则MP，
直线EN的解析式可写成：y＝（n+1）x+n﹣3，
令y＝0，则xQ，
同理可得，MQ，
∴MP MQ．
