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相似三角形的判定 题型分类练习
一．“A”字型（共6小题）
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定△ADE与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点D是△ABC中AC边上的一点，点E在射线AB上．若AB＝AD＝4，AC＝6，则以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，BE的长度为（ ）
A．2或 B．6或 C． D．
3．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，AE是AF、AC的比例中项，求证：DF∥BE．
4．已知，如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB＝1：2：3，若EG＝3，则AC＝ ．
5．如图G为△ABC的重心，GE∥AC，若S△ABC＝72，则S△GDE＝ ．
6．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A． B． C． D．
二．反“A”型（共3小题）
7．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1＝∠2＝∠3，则下列结论中不正确的是（ ）
A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△EDC D．△ABC∽△ACD
8．若△ADE∽△ACB，且，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是 ．
9．如图，在等边三角形ABC中，点E，F分别在AC，BC上，且AE AC＝AP AF，则下列不正确的是（ ）
A．△AEP∽△AFC B．△ABF∽△BCE C．△ABP∽△PAE D．△PBF∽△CBE
三．“X”字型（共4小题）
10．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在△ABC中，CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上的中线，则（ ）
A． B． C． D．
12．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CD B．∠A＝∠D C． D．
13．如图，BC∥FG∥ED，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形的组数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
四．反“X”型（共1小题）
14．如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F．求证：（1）△ABF∽△ACE；（2）△AEF∽△ACB．
五．“A”“X”综合型（共1小题）
15．如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的一点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．
六．分类讨论（共4小题）
16．如图，D为△ABC的边AB上一点，若AB＝15，AC＝10，AD＝3，在AC边上取一点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为（ ）
A．2 B．3.5 C．2或4.5 D．2或3.5
17．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为1cm/s，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间为（ ）
A．4.5s B．4.5s或5.76s
C．6.76s D．5.76s或6.76s
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ．设运动的时间为t（s），其中0＜t＜4．当t为何值时，△APQ与△ABC相似（ ）
A．3 B． C．或 D．3或
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．动点M从点A出发，以每秒1cm的速度沿AC向终点C移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
七．射影定理（共4小题）
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DC＝4，BC＝9，则AC为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
21．△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，若AB＝2，BC＝3，则CD的长＝ ．
22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，且AC+CD＝BD，若BD＝6，则CD＝ ．
23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝12，则AD的长为 ．
八．一线三等角（共4小题）
24．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论：①∠BAE＝30°；②CE2＝AB CF；③CFCD；④△ABE∽△AEF．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
25．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于（ ）
A． B．1 C． D．2
26．如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若，AD＝4，求CE的长；
（3）当点F是线段BC的中点时，求证：AF2＝AB AE．
27．如图所示，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，求CD的长．
九．角平分线（共2小题）
28．我们在学习三角形相似时，往往是添加平行线构造相似三角形的基本图形．有一学生根据这一理论猜想三角形内角平分线有这样一个性质：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．如果你认为这个猜想是正确的，请写出一个完整的推理过程．
29．已知，如图，△ABC的角平分线AD交BC于D，BD：DC＝2：1，若AC＝3cm，则AB＝ ．
一十．子母型（共2小题）
30．已知，如图所示，E是△ABC中线AD上一点，且BD2＝ED AD．求证：△ADC∽△CDE．
31．如图，在△ABC中，P是AC上一点，连接BP．要使△ABP∽△ACB，则必须有∠ABP＝ 或∠APB＝ 或 ．
一十一．手拉手（共5小题）
32．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．
33．如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠AED＝∠C C． D．
34．矩形AGFE∽矩形ABCD，AE、AD分别为它们的最短边，点F在AB上，且3AE＝2AD．
（1）若矩形ABCD的面积为450cm2，求矩形AEFG的面积．
（2）求证：∠1＝∠2．
35．如图，在锐角△ABC中，AB、AC上的高CE、BF交于点D，连接EF，图中共有相似三角形（ ）
A．8对 B．7对 C．6对 D．5对
36．问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F．点D在BC边上，，求的值．
一十二．综合型（共5小题）
37．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．
（1）求∠APB的大小．
（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．
38．如图，下列条件仍无法保证△ADE与△ABC相似的是（ ）
A．∠ADE＝∠C B．∠B＝∠C C． D．
39．如图，已知∠ABC＝∠ACD＝90°，补充一个条件： ，可使△ABC∽△DCA．
40．如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
41．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．中小学教育资源及组卷应用平台
相似三角形的判定 题型分类练习
题号 1 2 6 7 9 10 11 12 13 16 17
答案 D A D C C A D D C C B
题号 18 20 24 25 32 33 35 38 40 41
答案 C B B C D D A B D A
一．“A”字型（共6小题）
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定△ADE与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定定理作答即可．
【解答】解：∠A 是两个三角形的公共角，
A、，得DE∥BC，得△ADE∽△ABC；
B、，得出△ADE∽△ACB；
C、，得DE∥BC，得△ADE∽△ABC；
D、，无法判断△ADE与△ABC相似，
故选：D．
2．如图，点D是△ABC中AC边上的一点，点E在射线AB上．若AB＝AD＝4，AC＝6，则以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，BE的长度为（ ）
A．2或 B．6或 C． D．
【思路点拔】本题应分两种情况进行讨论，①△ABC∽△AED；②△ABC∽△ADE；可根据各相似三角形得出的关于AE、AE、AB、AC四条线段的比例关系式求出AE的长，则可得出答案．
【解答】解：本题分两种情况：
①△ADE∽△ACB，
∴，
∵AB＝4，AC＝6，AD＝4，
∴，
∴AE，
∴BE＝AB﹣AE＝4；
②△ADE∽△ABC．
∴，
∵AB＝4，AC＝6，AD＝4，
∴，
∴AE＝6，
∴BE＝2．
故选：A．
3．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，AE是AF、AC的比例中项，求证：DF∥BE．
【思路点拔】由DE∥BC，AE是AF、AC的比例中项，可得．又因为∠A＝∠A，所以△ABE∽△ADF，再根据相似三角形的性质可得∠ADF＝∠AFD，DF∥BE．
【解答】解：∵AE是AF、AC的比例中项，
∴，
∵DE∥BC，
∴．
∴．
又∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ADF，
∴∠ADF＝∠AFD，
∴DF∥BE．
4．已知，如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB＝1：2：3，若EG＝3，则AC＝ 9 ．
【思路点拔】首先根据已知的平行线段，得出AD：DF：FB＝AE：EG：GC＝1：2：3，进而得出EG：AC＝2：6＝1：3，解答即可．
【解答】解：∵DE∥FG∥BC，AD：DF：FB＝1：2：3，
∴AD：DF：FB＝AE：EG：GC＝1：2：3，
∴EG：AC＝2：6＝1：3，
∵EG＝3，
∴AC＝9，
故答案为：9．
5．如图G为△ABC的重心，GE∥AC，若S△ABC＝72，则S△GDE＝ 4 ．
【思路点拔】根据三角形重心的性质得AD为△ABC的中线，DG：AG＝1：2，则利用三角形面积公式得到S△ADCS△ABC＝36，再证明△DEG∽△DCA，然后根据相似三角形的性质得（）2，从而可计算出S△DEG＝4．
【解答】解：∵G为△ABC的重心，
∴AD为△ABC的中线，DG：AG＝1：2，
∴S△ADCS△ABC72＝36，
∵GE∥AC，
∴△DEG∽△DCA，
∴（）2＝（）2，
∴S△DEG36＝4．
故答案为4．
6．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】证明BE：EC＝1：3，进而证明BE：BC＝1：4；证明△DOE∽△AOC，得到，借助相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴，
∴S△DOE：S△AOC，
故选：D．
二．反“A”型（共3小题）
7．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1＝∠2＝∠3，则下列结论中不正确的是（ ）
A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△EDC D．△ABC∽△ACD
【思路点拔】有两组角对应相等的两个三角形相似，由此即可判断．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
故A不符合题意；
∵∠1＝∠3，∠DAE＝∠DAC，
∴△ADE∽△ACD，
故B不符合题意；
在△ADE和△EDC中，只有条件∠1＝∠3，不能判定△ADE∽△EDC，
故C符合题意；
∵∠2＝∠3，∠BAC＝∠DAC，
∴△ABC∽△ACD，
故D不符合题意．
故选：C．
8．若△ADE∽△ACB，且，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是 ．
【思路点拔】根据题意求出△ADE与△ACB的相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ADE∽△ACB，且，
∴△ADE与△ACB的面积比为：，
∴△ADE与四边形BCED的面积比为：，又四边形BCED的面积是2，
∴△ADE的面积是，
故答案为：．
9．如图，在等边三角形ABC中，点E，F分别在AC，BC上，且AE AC＝AP AF，则下列不正确的是（ ）
A．△AEP∽△AFC B．△ABF∽△BCE C．△ABP∽△PAE D．△PBF∽△CBE
【思路点拔】首先证明△PAE∽△CAF，推出∠APE＝∠C＝60°，再证明△ABF∽△BCE，△PBF∽△CBE，可得结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，
∵AE AC＝AP AF，
∴，
∵∠PAE＝∠CAF，
∴△PAE∽△CAF，
∴∠APE＝∠C＝60°，
∵∠APE＝∠ABP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠CAF＝60°，
∴∠CAF＝∠ABE，
∴∠BAF＝∠CBE，
∵∠ABF＝∠C，
∴△ABF∽△BCE，
∵∠BPF＝∠APE＝∠C，∠PBF＝∠CBE，
∴△PBF∽△CBE，
故选项A，B，D正确，
故选：C．
三．“X”字型（共4小题）
10．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据题意得出△DEF∽△BCF，那么；由AE：ED＝2：1可设ED＝k，得到AE＝2k，BC＝3k；得到，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ED∥BC，BC＝AD，
∴△DEF∽△BCF，
∴，
设ED＝k，则AE＝2k，BC＝3k；
∴，
故选：A．
11．如图，在△ABC中，CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上的中线，则（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据中位线的性质得：DE∥BC，DEBC，从而得：△DEF∽△CBF，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得结论．
【解答】解：∵CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上中线，
∴D是AB的中点，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DEBC，
∴△DEF∽△CBF，
∴，
故选：D．
12．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CD B．∠A＝∠D C． D．
【思路点拔】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【解答】解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．
故选：D．
13．如图，BC∥FG∥ED，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形的组数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行分析，从而得到存在的相似三角形的组数．
【解答】解：∵BC∥FG∥ED
∴△ABC∽△AFG
△AFG∽△ADE
△ABC∽△ADE
∴图中相似的三角形的组数是3组
故选：C．
四．反“X”型（共1小题）
14．如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F．求证：（1）△ABF∽△ACE；（2）△AEF∽△ACB．
【思路点拔】根据两角对应相等的三角形是相似三角形可证明（1）；
根据两边对应成比例且夹角相等的三角形是相似三角形可证明（2）．
【解答】证明：（1）∵CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，
∴∠AFB＝∠AEC，∠A为公共角，
∴△ABF∽△ACE（两角对应相等的两个三角形相似）．
（2）由（1）得AB：AC＝AF：AE，∠A为公共角，
∴△AEF∽△ACB（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
五．“A”“X”综合型（共1小题）
15．如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的一点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．
【思路点拔】（1）利用“一线三直角”即可证明△ABE∽△DEF；
（2）由AB＝CD＝6，CF＝3FD，求出DF和CF的长，利用△ABE∽△DEF求出DE的长度，再由△CGF∽△DEF求出CG的长度，即可求出BG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90o，
∵∠BEF＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEF＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD＝4，AD∥BG，
∵CF＝3FD，
∴DF＝1，
设DE＝x，
∵△ABE∽△DEF，
∴，
即，
解得：x＝2，
∴DE＝2，
∵AD∥BG，
∴∠DEF＝∠G，
∵∠DFE＝∠CFG
∴△CGF∽△DEF，
∴，
∵CF＝3FD，
∴，
∴CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝10．
六．分类讨论（共4小题）
16．如图，D为△ABC的边AB上一点，若AB＝15，AC＝10，AD＝3，在AC边上取一点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为（ ）
A．2 B．3.5 C．2或4.5 D．2或3.5
【思路点拔】由于△ADE与△ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论．
【解答】解：如图，
①当∠AED＝∠B时，，即，
解得：AE＝4.5；
②当∠ADE＝∠B时，，即，
解得：AE＝2．
故选：C．
17．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为1cm/s，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间为（ ）
A．4.5s B．4.5s或5.76s
C．6.76s D．5.76s或6.76s
【思路点拔】分△ADE∽△ABC和△AED∽△ABC两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：设运动时间为t s，
由题意，得：AD＝t cm，CEt cm，
∴AE＝AC﹣CE＝（12t）cm，
当△ADE∽△ABC时，
则，即，
∴12t＝9（12t），
解得：t＝4.5；
当△AED∽△ABC时，
则，即，
∵9t＝12（12t），
解得：t＝5.76；
综上，t＝4.5或t＝5.76；
故选：B．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ．设运动的时间为t（s），其中0＜t＜4．当t为何值时，△APQ与△ABC相似（ ）
A．3 B． C．或 D．3或
【思路点拔】由勾股定理求出AB长，分两种情况，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；分别列出关于t的方程，求出t，即可解决问题．
【解答】解：由勾股定理得：AB5（cm），
由题意得：AQ＝t cm，AP＝（5﹣t）cm，
当AQ：AC＝AP：AB时，
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴△APQ∽△ABC，
此时t：4＝（5﹣t）：5，
∴t；
当AQ：AB＝AP：AC时，
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴△APQ∽△ACB，
此时（5﹣t）：4＝t：5，
∴t，
∴当t为或时，△APQ与△ABC相似．
故选：C．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．动点M从点A出发，以每秒1cm的速度沿AC向终点C移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
【思路点拔】根据勾股定理求出AB，根据相似得出两种情况，根据相似得出比例式，代入比例式求出即可．
【解答】解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．
∴根据勾股定理，得AB5cm，
以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①当△AMP∽△ABC时，，即，
解得t；
②当△APM∽△ABC时，，即，
解得t，
综上所述，当t或t时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似．
七．射影定理（共4小题）
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DC＝4，BC＝9，则AC为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路点拔】根据射影定理：直角三角形中，一条直角边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项计算即可．
【解答】解：由射影定理得，
AC2＝CD CB＝4×9＝36，
∴AC＝6．
故选：B．
21．△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，若AB＝2，BC＝3，则CD的长＝ ．
【思路点拔】由AD与BC垂直，根据垂直的定义得到∠ADB为90°，又∠BAC＝90°，可得出两角相等，再由∠B为公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形ABD与三角形CAB相似，根据相似得比例，将AB及BC的值代入求出BD的长，再由BC﹣BD即可求出CD的长．
【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
又∠BAC＝90°，
∴∠ADB＝∠BAC，又∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CAB，
∴，即AB2＝BC BD，
∵AB＝2，BC＝3，
∴BD，
则CD＝BC﹣BD＝3．
故答案为：
22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，且AC+CD＝BD，若BD＝6，则CD＝ 2 ．
【思路点拔】在DB上取一点E使得DE＝DC，因为AD⊥EC，所以AE＝AC，因为AC+CD＝BD得AE＝BE，再证明AE＝EC，则可得出答案．
【解答】解：在DB上取一点E使得DE＝DC，
∵AD⊥BC，
∴AE＝AC，
∵AC+CD＝BD，BD＝BE+ED，
∴AC＝BE＝AE，
∴∠B＝∠BAE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，∠BAE+∠EAC＝90°，
∴∠EAC＝∠C，
∴EA＝EC，
∴AE＝BE＝CE＝AC，
∵BD＝6，
∴BE+DE＝CE+DE＝2CD+CD＝6，
∴CD＝2，
故答案为：2．
23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝12，则AD的长为 6 ．
【思路点拔】根据射影定理得到AD2＝CD BD，代入计算即可得到答案．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴AD2＝CD BD＝36，
∴AD＝6，
故答案为：6．
八．一线三等角（共4小题）
24．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论：①∠BAE＝30°；②CE2＝AB CF；③CFCD；④△ABE∽△AEF．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据题意，可以先求出tan∠BAE的值，即可判断①；根据题意求出△ABE∽△ECF即可判断②；根据②中的结论可以得到CF，然后即可得到CF和CD的关系，从而可以判断③；根据相似三角形的判定方法可以判断④．
【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝a，
∴tan∠BAEtan30°，
∴∠BAE≠30°，故①错误；
∵AE⊥BF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
而∠AEB+∠EAB＝90°，
∴∠EAB＝∠FEC，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴，
∴BE EC＝AB CF，
∵BE＝EC，
∴CE2＝AB CF，故②正确；
∴CF，
∴，故③错误；
在Rt△CEF中，，
在Rt△ABE中，AEa，
∵，
∴，
而∠ABE＝∠AEF，
∴△ABE∽△AEF，故④正确；
故选：B．
25．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【思路点拔】根据矩形的性质得到AD＝BC＝5，∠D＝∠B＝∠C＝90°，根据三角形的角平分线的性质得到DF＝EF，由勾股定理求出AE、BE，证△ABE∽△ECF，得出，代入求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝5，∠D＝∠B＝∠C＝90°，
∵AF平分∠DAE，EF⊥AE，
∴DF＝EF，
由勾股定理得：AE2＝AF2﹣EF2，AD2＝AF2﹣DF2，
∴AE＝AD＝5，
在△ABE中由勾股定理得：BE3，
∴EC＝5﹣3＝2，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△ABE∽△ECF，
∴，
∴，
∴CF．
故选：C．
26．如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若，AD＝4，求CE的长；
（3）当点F是线段BC的中点时，求证：AF2＝AB AE．
【思路点拔】（1）利用同角的余角相等，先说明∠BAF＝∠EFC，再利用相似三角形的判定得结论；
（2）先利用勾股定理求出BF，再利用相似三角形的性质得方程，求解即可．
（3）由△ABF∽△FCE，可得，结合F为BC的中点，可得，结合∠AFE＝∠B＝90°，可得△ABF∽△AFE，从而可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°．
∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，
∴∠D＝∠AFE＝90°．
∵∠BAF+∠AFB＝90°＝∠AFB+∠EFC，
∴∠BAF＝∠EFC．
又∵∠B＝∠C，
∴△ABF∽△FCE．
（2）∵四边形ABCD是矩形，，AD＝4，
∴，AD＝BC＝4，
∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，
∴AD＝AF＝4，DE＝EF．
在Rt△ABF中，．
设CE的长为x，则．
∵△ABF∽△FCE，
∴．
∴CE AF＝BF EF，
即．
∴，
即．
（3）∵△ABF∽△FCE，
∴，
∵F为BC的中点，
∴BF＝CF，
∴，
∵∠AFE＝∠B＝90°，
∴△ABF∽△AFE，
∴，
∴AF2＝AB AE．
27．如图所示，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，求CD的长．
【思路点拔】由等边三角形ABC中，∠APD＝60°，易得∠B＝∠C＝60°，∠BAP＝∠DPC，则可证得△BAP∽△CPD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠APD+∠DPC＝∠B+∠BAP，∠APD＝60°，
∴∠BAP＝∠DPC，
∴△BAP∽△CPD，
∴AB：PC＝BP：CD，
∵AB＝BC＝3，BP＝1，
∴PC＝BC﹣BP＝2，
∴3：2＝1：CD，
解得：CD．
九．角平分线（共2小题）
28．我们在学习三角形相似时，往往是添加平行线构造相似三角形的基本图形．有一学生根据这一理论猜想三角形内角平分线有这样一个性质：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．如果你认为这个猜想是正确的，请写出一个完整的推理过程．
【思路点拔】过点D作DE∥AB交CA于点E，根据平行线分线段成比例定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到EA＝ED，得到答案．
【解答】证明：过点D作DE∥AB交CA于点E，
∵DE∥AB，
∴∠EDA＝∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAD，
∴∠EDA＝∠EAD，
∴EA＝ED，
∵DE∥AB，
∴，
∴，
∵DE∥AB，
，
∴．
29．已知，如图，△ABC的角平分线AD交BC于D，BD：DC＝2：1，若AC＝3cm，则AB＝ 6cm ．
【思路点拔】过D作DE∥AC，利用平行线的性质和角平分线的定义得出△ADE是等腰三角形，进而利用平行线分线段成比例解答即可．
【解答】解：过D作DE∥AC，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠DAC，
∵△ABC的角平分线AD交BC于D，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵DE∥AC，BD：DC＝2：1，AC＝3cm，
∴，
即，
解得：DE＝2cm，
∴AE＝2cm，
∵DE∥AC，
∴，
即，
解得：AB＝6cm，
故答案为：6cm．
一十．子母型（共2小题）
30．已知，如图所示，E是△ABC中线AD上一点，且BD2＝ED AD．求证：△ADC∽△CDE．
【思路点拔】根据三角形的中线的定义可得BD＝CD，再求出，然后根据两组边对应成比例，夹角相等两三角形相似证明即可．
【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵BD2＝ED AD，
∴CD2＝ED AD，
∴，
又∵∠CDE＝∠ADC，
∴△ADC∽△CDE．
31．如图，在△ABC中，P是AC上一点，连接BP．要使△ABP∽△ACB，则必须有∠ABP＝ ∠C 或∠APB＝ ∠ABC 或 ．
【思路点拔】要使△ABP∽△ACB，已知有一组公共角，则根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定．
【解答】解：要使△ABP∽△ACB，已知∠A＝∠A，则必须有∠ABP＝∠C或∠ABP＝∠ABC或AB：AP＝AC：AB．
一十一．手拉手（共5小题）
32．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．
【思路点拔】先根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
B、添加∠B＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
C、添加，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
D、添加，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项符合题意；
故选：D．
33．如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠AED＝∠C C． D．
【思路点拔】先根据∠1＝∠2得出∠BAC＝∠DAE，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠DAE．
A、∵∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE．
∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
B、∵∠C＝∠AED，∠BAC＝∠DAE．
∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
C、∵，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
D、∵，∠B与∠D的大小无法判定，
∴无法判定△ABC∽△ADE，故本选项符合题意．
故选：D．
34．矩形AGFE∽矩形ABCD，AE、AD分别为它们的最短边，点F在AB上，且3AE＝2AD．
（1）若矩形ABCD的面积为450cm2，求矩形AEFG的面积．
（2）求证：∠1＝∠2．
【思路点拔】（1）首先利用相似多边形的对应边的关系得到相似比，从而利用面积的比等于相似比求得结论；
（2）利用相似多边形的性质得到AE：AD＝AG：AB，从而得到△ADE∽△ABG，利用相似三角形的对应角相等求得结论．
【解答】解：（1）∵3AE＝2AD，
∴，
∵矩形AGFE∽矩形ABCD，
∴相似比为，
∴面积的比为，
∵矩形ABCD的面积为450cm2，
∴四边形AEFG的面积为200cm2；
（2）∵四边形ABCD为矩形，四边形AEFG∽四边形ADCB
∴∠DAB＝∠EAG＝90°，AE：AD＝AG：AB，
∴∠DAE+∠EAF＝∠GAB+∠EAF，
∴∠DAE＝∠GAB，
∵AE：AD＝AG：AB，
∴△ADE∽△ABG，
∴∠1＝∠2．
35．如图，在锐角△ABC中，AB、AC上的高CE、BF交于点D，连接EF，图中共有相似三角形（ ）
A．8对 B．7对 C．6对 D．5对
【思路点拔】由∠BEC＝∠AEC＝∠BFC＝∠AFB＝90°，∠ABF＝∠ACE，可证△ABF∽△ACE∽△BDE∽△CDF，即有6对相似三角形，由相似三角形的判定方法可证△AFE∽△ABC，△BDC∽△EDF，可得结论．
【解答】解：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC＝∠AEC＝∠BFC＝∠AFB＝90°，
∴∠A+∠ABF＝∠A+∠ACE，
∴∠ABF＝∠ACE，
∴△ABF∽△ACE∽△BDE∽△CDF，即有6对相似三角形，
∴，．
又∵∠A＝∠A，
∴△AFE∽△ABC，
∵，∠FDE＝∠BDC，
∴△BDC∽△EDF，
故选：A．
36．问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F．点D在BC边上，，求的值．
【思路点拔】问题背景
由题意得出，∠BAC＝∠DAE，则∠BAD＝∠CAE，可证得结论；
尝试应用
连接EC，证明△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，由相似三角形的性质得出，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，可证明△ADF∽△ECF，得出3，则可求出答案．
【解答】问题背景
证明：∵△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE；
尝试应用
解：如图1，连接EC，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴△ABC∽△ADE，
由（1）知△ABD∽△ACE，
∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴，
∴3．
∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴3．
一十二．综合型（共5小题）
37．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．
（1）求∠APB的大小．
（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．
【思路点拔】（1）根据等边三角形的性质得到∠PCD＝60°，根据相似三角形的性质得到∠APC＝∠PBD，根据三角形内角和定理计算；
（2）根据相似三角形的性质、等边三角形的性质解答．
【解答】解：（1）∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝60°，
∴∠A+∠APC＝60°，
∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC＝∠PBD，
∴∠A+∠B＝60°，
∴∠APB＝120°；
（2）∵△ACP∽△PDB，
∴，
∴CD2＝AC BD．
38．如图，下列条件仍无法保证△ADE与△ABC相似的是（ ）
A．∠ADE＝∠C B．∠B＝∠C C． D．
【思路点拔】本题中已知∠A是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【解答】解：由图得：∠A＝∠A，
∴当∠ADE＝∠C或或时，△ABC与△ADE相似；
B选项中∠B和∠C不是成比例的两边的夹角，
故选：B．
39．如图，已知∠ABC＝∠ACD＝90°，补充一个条件： ，可使△ABC∽△DCA．
【思路点拔】根据题目所给的条件，利用一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似解答即可．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ACD＝90°，，
∴△ABC∽△DCA．
故答案为：．
40．如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拔】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：A、有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、，两三角形的对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
D、，两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，两三角形不相似，故本选项符合题意；
故选：D．
41．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】解：根据题意得：AB，AC＝2，BC，
∴BC：AC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
B、三边之比：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：A．
