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相似三角形的性质 同步练习
题号 6 7
答案 B C
一．试题（共9小题）
1．如图，有一块三角形的余料△ABC，它的高AH＝40mm，边BC＝80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF落在BC上，其余两个顶点D、G分别在AB、AC上．
（1）求证：△ADG∽△ABC；
（2）设DE＝xmm，矩形DEFG的面积为ymm2，写出y与x的函数关系式；
（3）当x为何值时，y有最大值，并求出最大值．
【思路点拔】（1）利用矩形的性质，DG∥EF，利用同位角相等，即可求证△ADG∽△ABC；
（2）根据△ADG∽△ABC，利用相似比等于对应高的比，求得DG＝2（40﹣x），然后即可求出用x表示的矩形面积的关系式．
（3）当﹣2（x﹣20）2＝0时，y的值最大．解得x即可．
【解答】解：（1）由于四边形DEFG是矩形，所以DG∥EF，
∴∠ADG＝∠ABC，∠AGD＝∠ACB，
∴△ADG∽△ABC，
（2）由△ADG∽△ABC得，
∴，
∴DG＝2（40﹣x）
则矩形面积y＝x 2（40﹣x）＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800
整理得y＝﹣2（x﹣20）2+800．
（3）当﹣2（x﹣20）2＝0时．y的值最大．
解得x＝20，即当x＝20时，y的值最大，最大值为800．
答：（2）y与x的函数关系式为：y＝﹣2（x﹣20）2+800．
（3）当x＝20mm时，y的值最大，最大值为800mm2．
2．有一块三角形的余料△ABC，它的高AH＝40mm，边BC＝80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF落在BC上，其余两个顶点DG分别在AB，AC上，且DG＝2DE，求矩形的面积．
【思路点拔】如图，设AH交DG于点K．设DE＝x，则DG＝2x，先证明△ADG∽△ABC，利用相似比得到，在根据比例性质求出x，然后计算出DG，从而可得到矩形的面积．
【解答】解：如图，设AH交DG于点K．设DE＝x，则DG＝2x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴，即，解得x＝20，
∴2x＝40，
即DE＝x，DG＝40，
∴矩形EFGD的面积为40×20＝800（mm2）．
答：矩形的面积为800mm2．
3．如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝80cm，高AD＝60cm．现在要把它加工成长与宽的比为2：1的矩形零件PQMN，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．求矩形的长和宽．
【思路点拔】根据矩形的性质推出△ANM∽△ABC，直接利用相似三角形的性质得出，进而得出MN，NP的长，即可得出答案．
【解答】解：∵矩形PQMN中，MN∥QP，MN＝QP，
∴△ANM∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴AE⊥MN，
∴，
设MN＝2x cm，则ED＝NP＝x cm，
∴AE＝（60﹣x）cm，
∴，
解得：x＝24，
∴MN＝2x＝48（cm），NP＝x＝24（cm），
∴矩形的长和宽分别为48cm，24cm．
4．一块三角形余料ABC，它的边长BC＝12厘米，高AD＝8厘米，要把它加工成正方形零件PQMN，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则加工成的零件边长为多少厘米？
【思路点拔】根据矩形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．
【解答】解：∵四边形EFCG是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽ABC，
∴，
又 AD⊥BC，
EF＝EG＝KD，
设正方形边长为x cm，则AK＝（8﹣x）cm，
∴，
解得：x＝4.8，
答：这个正方形零件的边长为4.8cm．
5．在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．如图①，四边形DEFG为Rt△ABC的内接正方形，则正方形DEFG的边长为 ，如图②，若Rt△ABC内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，则正方形的边长为 ．
【思路点拔】（1）根据题意画出图形，作CN⊥AB，再根据GF∥AB，可知△CGF∽△CAB，由相似三角形的性质即可求出正方形的边长；
（2）若Rt△ABC内有并排的2个全等的正方形，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N，同（1）可知，△CGF∽△CAB，根据对应边的比等于相似比可求出正方形的边长，同理可得出有3个，4个全等的正方形时正方形的边长，则可得出答案．
【解答】解：（1）在图1中，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N．
在Rt△ABC中，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∴AB CNBC AC，
CN，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴CM：CN＝GF：AB，
设正方形边长为x，
则，
∴x；
（2）①在图2中，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N．
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴CM：CN＝GF：AB，
设每个正方形边长为x，则，
∴x．
②类比①，在图3中，
∵△CGF∽△CAB，
∴CM：CN＝GF：AB，
设每个正方形边长为x，则，
∴x．
③在图4中，过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M，
∵△CGF∽△CAB，
∴CM：CN＝GF：AB，
设每个正方形边长为x，则，
∴x．
故答案为：，．
6．已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【思路点拔】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是4，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则 ，
解得x＝5，
所以另一段长为25﹣5＝20，
因为20÷4＝5，所以是第5张．
故选：B．
7．如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1，S2，那么S1，S2的比值是（ ）
A．1：1 B．8：9 C．9：8 D．
【思路点拔】由四边形ABCD、BEFG、MNQP是正方形，易证得△AEF，△CFG，△APM，△CNQ是等腰直角三角形，即可得AP＝PM＝PQ＝NQ＝CQAC，AE＝EF＝FG＝CG＝AF cos45°ACAC，继而求得S1与S2的比值．
【解答】解：∵如图，四边形ABCD、BEFG、MNQP是正方形，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA＝45°，∠APM＝∠CQN＝∠AEF＝∠CGF＝90°，
∴△AEF，△CFG，△APM，△CNQ是等腰直角三角形，
∴AP＝PM＝PQ＝NQ＝CQAC，AE＝EF＝FG＝CG＝AF cos45°ACAC，
∴S1＝EF2AC2，S2＝PQ2AC2，
∴S1：S2＝9：8．
故选：C．
8．△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加工成正方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）
【思路点拔】由勾股定理求得AB，所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为x，则DE＝CD＝x，BD＝BC﹣CD＝6﹣x，先证明△BDE∽△BCA，于是可利用相似比求得xcm；当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CH⊥AB于H，交MQ于J，先利用面积法计算出CHcm，设正方形MNPQ边长为x，则QM＝x，CJx，证明△CMQ∽△CBA，则可利用相似比计算出xcm，然后比较两个正方形的边长的大小来判断哪种方法利用率高．
【解答】解：当所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为x，则DE＝x cm，BD＝BC﹣CD＝（6﹣x）cm，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴，即，
解得：x（cm），
即正方形BDEF边长为cm；
当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CH⊥AB于H，交MQ于J，
则MN∥CH，
AB10，
∵CH ABAC BC
∴CH（cm），
设正方形MNPQ边长为x，则QM＝x，CJx，
∵QM∥AB，
∴△CMQ∽△CBA，
∴，即，
解得：x（cm），
即正方形BDEF边长为（cm）；
∵，
∴图1利用率高．
9．在△ABC中，AD⊥BC，BC＝AD＝20cm，现有若干张长为5cm宽为3cm的矩形纸片，打算如图方向平铺在三角形内．（纸片均不能重叠和超出三角形ABC三边）
（1）如果纸片只平铺底层，最多能平铺几张完整的矩形纸片，说明理由；
（2）三角形内最多可以平铺几张完整的矩形纸片，说明理由．
【思路点拔】（1）在AD上取DG＝3，过G点作EF∥BC交AB、AC于E、F，平行线分线段成比例求出EF的长度即可判断；
（2）由（1）知道第一层能铺的纸片数，依次求出第二层、第三层、第四层、第五层的纸片数，然后加在一起即可．
【解答】解：（1）能铺三块，理由如下：
在AD上取DG＝3，过G点作EF∥BC交AB、AC于E、F，
∵AD＝20，DG＝3，
∴AG＝AD﹣DG＝17，
∵EF∥BC，
∴，
∴，
∴EF＝17，
∵17÷5＝3.4，
∴最多能平铺3整张矩形纸片；
（2）九张，理由如下：
由（1）知，第一层放纸片的总长度是20﹣3＝17，
17÷5＝3.4，这一层能平铺三张完整的纸片，
第二层放纸片的总长度是20﹣2×3＝14，
14÷5＝2.8，这一层能平铺两张完整的纸片，
第三层放纸片的总长度是20﹣3×3＝11，
11÷5＝2.2，这一层能平铺两张张完整的纸片，
第四层放纸片的总长度是20﹣4×3＝8，
8÷5＝1.6，这一层能平铺一张完整的纸片，
第五层放纸片的总长度是20﹣5×3＝5，
5÷5＝1，这一层能平铺一张完整的纸片，
∴三角形内最多可以平铺九张完整的矩形纸片．中小学教育资源及组卷应用平台
相似三角形的性质 同步练习
一．试题（共9小题）
1．如图，有一块三角形的余料△ABC，它的高AH＝40mm，边BC＝80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF落在BC上，其余两个顶点D、G分别在AB、AC上．
（1）求证：△ADG∽△ABC；
（2）设DE＝xmm，矩形DEFG的面积为ymm2，写出y与x的函数关系式；
（3）当x为何值时，y有最大值，并求出最大值．
2．有一块三角形的余料△ABC，它的高AH＝40mm，边BC＝80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF落在BC上，其余两个顶点DG分别在AB，AC上，且DG＝2DE，求矩形的面积．
3．如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝80cm，高AD＝60cm．现在要把它加工成长与宽的比为2：1的矩形零件PQMN，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．求矩形的长和宽．
4．一块三角形余料ABC，它的边长BC＝12厘米，高AD＝8厘米，要把它加工成正方形零件PQMN，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则加工成的零件边长为多少厘米？
5．在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．如图①，四边形DEFG为Rt△ABC的内接正方形，则正方形DEFG的边长为 ，如图②，若Rt△ABC内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，则正方形的边长为 ．
6．已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
7．如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1，S2，那么S1，S2的比值是（ ）
A．1：1 B．8：9 C．9：8 D．
8．△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加工成正方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）
9．在△ABC中，AD⊥BC，BC＝AD＝20cm，现有若干张长为5cm宽为3cm的矩形纸片，打算如图方向平铺在三角形内．（纸片均不能重叠和超出三角形ABC三边）
（1）如果纸片只平铺底层，最多能平铺几张完整的矩形纸片，说明理由；
（2）三角形内最多可以平铺几张完整的矩形纸片，说明理由．
