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九年级数学期末复习每日一练
一．每日一练1（共4小题）
1．若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定
2．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC'，点C'在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B．
C． D．
3．计算：2cos30°﹣tan60°+4sin45°．
4．如图，测绘飞机在同一高度沿直线BC由B向C飞行，且飞行路线经过观测目标A的正上方．在第一观测点B处测得目标A的俯角为60°，航行1000米后在第二观测点C处测得目标A的俯角为75°，求第二观测点C与目标A之间的距离．
二．每日一练2（共4小题）
5．若抛物线y＝x2+ax+2的对称轴是y轴，则a的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
6．如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
7．计算：cos60°﹣2sin245°30°﹣sin30°．
8．在半径为的圆形纸片中，剪出一个圆心角为60°的扇形（图中的阴影部分）．
（1）求这个扇形的半径；
（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径．
三．每日一练3（共4小题）
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，，则sinB的值为 ．
10．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB＝100°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
11．解方程：
（1）x2﹣2x＝24；
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．
12．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：∠CBD＝∠BAD；
（2）求证：BD＝DE；
（3）若，，求BC的长．
四．每日一练4（共4小题）
13．如图，MN与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，且AB＝1，∠BAN＝30°，则⊙O的半径长为 ．
14．如图，C为⊙O上一点，AB是⊙O的直径，AB＝4，∠ABC＝30°，现将△ABC绕点B按顺时针方向旋转30°后得到△A'BC'，BC'交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
15．解方程
（1）2x2+3x﹣5＝0
（2）（x﹣3）2＝2x﹣6．
16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C．二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点（不与端点O，B重合）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，过点M作y轴的平行线l交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E，记△CEF的面积为S1，△BMF的面积为S2，当时，求点E的坐标；
（3）如图②，连接CM，过点M作CM的垂线l1，过点B作BC的垂线l2，l1与l2交于点G，试探究的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
九年级数学期末复习每日一练
题号 1 2 5 6 10 14
答案 A B C D B C
一．每日一练1（共4小题）
1．若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定
【思路点拔】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来判断，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵点A到圆心O的距离为3cm，小于⊙O的半径4cm，
∴点A在⊙O内．
故选：A．
2．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC'，点C'在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，
∴∠B′OC′＝60°，△BCO＝△B′C′O，
∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°，
∴∠B′OB＝120°，
∵AB＝2cm，
∴OB＝1cm，OC′cm，
∴B′C′（cm），
∴S扇形B′OB（cm2），
S扇形C′OC（cm2），
∴阴影部分面积＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC＝S扇形B′OB﹣S扇形C′OC（cm2）；
故选：B．
3．计算：2cos30°﹣tan60°+4sin45°．
【思路点拔】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝24
2
＝2．
4．如图，测绘飞机在同一高度沿直线BC由B向C飞行，且飞行路线经过观测目标A的正上方．在第一观测点B处测得目标A的俯角为60°，航行1000米后在第二观测点C处测得目标A的俯角为75°，求第二观测点C与目标A之间的距离．
【思路点拔】过C作CD⊥AB，可得∠DBC＝90°﹣∠B＝30°，米，米，根据三角形内角和定理得到∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝45°，根据∠A的正弦即可得到答案．
【解答】解：过C作CD⊥AB，垂足为D，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，∠DBC＝90°﹣∠B＝30°，
∴米，（米），
∵∠ACB＝75°，∠B＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝45°，
在Rt△ACD中，，
∴（米），
答：第二观测点C与目标A之间的距离为米．
二．每日一练2（共4小题）
5．若抛物线y＝x2+ax+2的对称轴是y轴，则a的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【思路点拔】根据抛物线的对称轴公式，列出关于a的方程即可解答．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+ax+2的对称轴是y轴，
∴，
解得：a＝0，
故选：C．
6．如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
【思路点拔】y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，利用数形结合思想，把不等式的解集转化为图象的交点问题求解．
【解答】解：∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，
∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称，
如图所示：
∵A（﹣3，y1），B（1，y2），
∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2），
根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，
故选：D．
7．计算：cos60°﹣2sin245°30°﹣sin30°．
【思路点拔】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可．
【解答】解：
．
8．在半径为的圆形纸片中，剪出一个圆心角为60°的扇形（图中的阴影部分）．
（1）求这个扇形的半径；
（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径．
【思路点拔】（1）连接BC，OB，OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，得到∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，根据垂径定理，求得BC＝2BD，判定△ABC是等边三角形，计算即可．
（2）设圆锥底面圆的半径为r，根据题意，得，计算即可．
【解答】解：（1）如图，连接BC，OB，OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∵∠BAC＝60°，，AB＝AC，
∴∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，△ABC是等边三角形，
∴，AB＝BC＝AC，
∴这个扇形的半径为3．
（2）设圆锥底面圆的半径为r，
根据题意，得，
解得．
故圆锥底面圆的半径为．
三．每日一练3（共4小题）
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，，则sinB的值为 ．
【思路点拔】根据勾股定理求出AC，根据正弦定义直接求解即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，
∵∠ACB＝90°，AB＝2，，
∴，
∴，
故答案为：．
10．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB＝100°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【思路点拔】利用圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵∠AOB＝100°，
∴，
故选：B．
11．解方程：
（1）x2﹣2x＝24；
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．
【思路点拔】（1）利用因式分解法求解可得．
（2）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝24，
x2﹣2x﹣24＝0，
（x﹣6）（x+4）＝0
∴x﹣6＝0或x+4＝0，
解得：x＝6或x＝﹣4；
（2）∵x（2x﹣5）＝2（2x﹣5），
∴x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
∴（2x﹣5）（x﹣2）＝0，
则2x﹣5＝0或x﹣2＝0，
解得：x或x＝2．
12．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：∠CBD＝∠BAD；
（2）求证：BD＝DE；
（3）若，，求BC的长．
【思路点拔】（1）根据AE平分∠BAC，可得∠BAD＝∠CAD，再由圆周角定理可得∠CBD＝∠CAD，即可；
（2）由直径所对圆周角为直角可知∠ADB＝90°．根据角平分线的性质可知∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE．根据同弧所对圆周角相等得出∠CAE＝∠CBD，最后由三角形外角性质结合题意即可证明∠BED＝∠EBD，得出BD＝ED，即说明△BDE为等腰直角三角形；
（3）连接OD，交BC于点F．由∠BAD＝∠CAD，说明，即可由垂径定理得出OD⊥BC．由（2）得△BDE为等腰直角三角形，，得出BD＝DE＝2，再由两次勾股定理建立方程得出，继续利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠CBD＝∠BAD；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE．
∵，
∴∠CAE＝∠CBD．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠EBD＝∠CBD+∠CBE，
∴∠BED＝∠EBD，
∴BD＝ED；
（3）解：如图，连接OD，交BC于点F．
∵∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC，BF＝CF．
∵，
∴，
由（2）得△BDE为等腰直角三角形，，
∴BD2+DE2＝BE2，
解得：BD＝DE＝2，
在Rt△OBF中，BF2＝OB2﹣OF2，
在Rt△BDF中，，
∴
解得：，
∴，
∴．
四．每日一练4（共4小题）
13．如图，MN与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，且AB＝1，∠BAN＝30°，则⊙O的半径长为 1 ．
【思路点拔】连接OA，OB，根据MN与⊙O相切于点A，得到∠OAN＝90°，结合∠BAN＝30°，得到∠OAB＝∠OAN﹣∠BAN＝90°﹣30°＝60°，根据OA＝OB，即可得到△OAB是等边三角形即可得到答案．
【解答】解：连接OA，OB，
∵MN与⊙O相切于点A，
∴∠OAN＝90°，
∵∠BAN＝30°，
∴∠OAB＝∠OAN﹣∠BAN＝90°﹣30°＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∵AB＝1，
∴r＝1，
故答案为：1．
14．如图，C为⊙O上一点，AB是⊙O的直径，AB＝4，∠ABC＝30°，现将△ABC绕点B按顺时针方向旋转30°后得到△A'BC'，BC'交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】连接OC，OD，根据∠ABC＝30°及旋转，得到∠ABC＝∠CBC'＝30°，∠DOB＝60°，从而得到△BOD是等边三角形，结合AB是⊙O的直径，即可得到∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，从而得到△AOC是等边三角形，即可得到OD⊥BC，∠BOC＝120°，根据扇形面积公式及三角形面积公式即可得到答案．
【解答】解：连接OC，OD，过O作OE⊥BD，
∵AB是⊙O的直径，∠ABC＝30°，
∴∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∵△ABC绕点B按顺时针方向旋转30°后得到△A'BC'，
∴∠ABC＝∠CBC'＝30°，
∴∠DOB＝60°，△BOD是等边三角形，
∴∠BOC＝120°，OD⊥BC，
∴Rt△OCF≌Rt△DBF（HL），
∴阴影部分的面积为：S扇COD，
故选：C．
15．解方程
（1）2x2+3x﹣5＝0
（2）（x﹣3）2＝2x﹣6．
【思路点拔】（1）利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得；
（2）利用提公因式法将方程因式分解，进一步求解可得．
【解答】解：（1）∵2x2+3x﹣5＝0，
∴（x﹣1）（2x+5）＝0，
则x﹣1＝0或2x+5＝0，
解得：x＝1或x；
（2）∵（x﹣3）2＝2（x﹣3），
∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x﹣5）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，
解得：x＝3或x＝5．
16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C．二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点（不与端点O，B重合）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，过点M作y轴的平行线l交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E，记△CEF的面积为S1，△BMF的面积为S2，当时，求点E的坐标；
（3）如图②，连接CM，过点M作CM的垂线l1，过点B作BC的垂线l2，l1与l2交于点G，试探究的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据坐标轴交点特点利用一次函数求出B，C两点坐标，代入抛物线解析式即可得到答案；
（2）连接OF，设点M坐标为M（m，0），根据题意写出点F，E的坐标，表示出S1，S2，根据列等式求出m即可得到答案；
（3）过G作GN⊥x轴，根据垂直易得△COB∽△BNG，△COM∽△MNG根据对应成比例即可得到答案．
【解答】解：（1）在一次函数中，
当y＝0时，x＝3，
当x＝0时，y＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
将B（3，0），C（0，3）代入抛物线得，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图①，连接OF，设点M坐标为M（m，0），
∵EM∥y轴，
∴点E的坐标为（m，﹣m2+2m+3），点F的坐标为（m，﹣m+3），
由题意可得：S1＝S△OME+S△OCE﹣S△COF﹣S△OMF，，
∵，
∴，
解得：m1＝1，（不符合题意舍去），
∴E的坐标为（1，4）；
（3）如图②，过G作GN⊥x轴，由题意可得，
∵GM⊥CM，GB⊥CB，GN⊥x轴，∠COB＝90°，
∴∠OMC＝∠NGM，∠OCM＝∠NMG，∠OCB＝∠NBG，∠OBC＝∠NGB，
∴△COB∽△BNG，△COM∽△MNG，
∴，，
∵B（3，0），C（0，3），
∴BN＝GN，OB＝OC，
∵CG2＝CM2+GM2，
∴，
设点G坐标为G（t+3，t），点M坐标为M（m，0），
可得，
解得：t＝m，
∴，
∴，
∴．
