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北师大版9上期末一诊备考——中等生必刷60题
一．代数应用（方程不等式）（共19小题）
1．已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b的值是 9 ．
【思路点拨】由已知得a＝b+3，代入所求代数式，利用完全平方公式计算．
【解答】解：∵a﹣b＝3，
∴a＝b+3，
∴a2﹣b2﹣6b＝（b+3）2﹣b2﹣6b＝b2+6b+9﹣b2﹣6b＝9．
故答案为：9．
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根是2，则它的另一个根为 ﹣3 ．
【思路点拨】利用根与系数之间的关系求解．
【解答】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m×2＝﹣6，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
3．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2（m+2）x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1+x2＝2m，则m的值是 2 ．
【思路点拨】由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围，根据根与系数的关系得到2m，解分式方程即可求得m＝2．
【解答】解：由已知得：m≠0且Δ＝[﹣2（m+2）]2﹣4m2＝16m+16＞0，
则m的范围为m≠0且m＞﹣1，
∵关于x的一元二次方程mx2﹣2（m+2）x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴x1+x2，
∵x1+x2＝2m，
∴2m，
∵m≠0，
∴m2﹣m﹣2＝0，
解得m＝2或﹣1，
∵m＞﹣1，
∴m＝2，
故答案为2．
4．已知一元二次方程x2﹣3x﹣2023＝0的两个根为x1，x2，则的值为 ．
【思路点拨】利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝3，x1x2＝﹣2023，将其代入中，即可求出结论．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣2023＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣2023，
∴．
故答案为：．
5．若x＝m时，代数式x2﹣2x﹣3的值为0，则代数式2m2﹣4m﹣3＝ 3 ．
【思路点拨】把x＝m代入已知方程，可以求得m2﹣2m＝3，然后整体代入所求的代数式计算即可．
【解答】解：∵x＝m时，代数式x2﹣2x﹣3的值为0，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
∴2m2﹣4m﹣3＝2（m2﹣2m）﹣3＝2×3﹣3＝3．
故答案为：3．
6．已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0的两根分别是x1，x2，且满足3，则k的值是 2 ．
【思路点拨】找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．
【解答】解：∵x2﹣6x+k＝0的两个解分别为x1、x2，
∴x1+x2＝6，x1x2＝k，
3，
解得：k＝2，
故答案为：2．
7．已知m，n是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，则n2+n+2m的值为 5 ．
【思路点拨】先根据一元二次方程解的定义得到n2＝n+3，则n2+n+2m可化为2（m+n）+3，再根据根与系数的关系得到m+n＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵n是方程x2﹣x﹣3＝0的根，
∴n2﹣n﹣3＝0，
∴n2＝n+3，
∴n2+n+2m＝n+3+n+2m＝2（m+n）+3，
∵m，n是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，
∴m+n＝1，
∴n2+n+2m＝2×1+3＝5．
故答案为：5．
8．若，则代数式（x﹣1）2+4（x﹣1）+4＝ 2 ．
【思路点拨】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：原式＝[（x﹣1）+2]2
＝（x﹣1+2）2
＝（x+1）2，
当x1时，
原式＝（1+1）2
＝2．
故答案为：2
9．若关于x的一元二次方程x2﹣（m2﹣1）x+6m＝0的两根之和为8，则m＝ ﹣3 ．
【思路点拨】根据根与系数的关系得到m2﹣1＝8，解得m＝±3，而当m＝3时，方程可化为x2﹣8x+18＝0，然后根据根的判别式可判断方程没有实数解，由此得到m＝﹣3．
【解答】解：根据题意得m2﹣1＝8，解得m＝±3，
当m＝3时，方程为x2﹣8x+18＝0，
则Δ＝64﹣4×18＜0，方程没有实数解，
m＝﹣3时，方程为x2﹣8x﹣18＝0，
则Δ＝64﹣4×（﹣18）＞0，方程有两个不相等的实数解，
所以m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
10．已知a，b是一元二次方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，则3a2+8a﹣b的值是 27 ．
【思路点拨】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+3a＝8，a+b＝﹣3，再将其代入3a2+8a﹣b＝3（a2+3a）﹣（a+b）中即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，
∴a2+3a＝8，a+b＝﹣3，
∴3a2+8a﹣b＝3（a2+3a）﹣（a+b）＝3×8﹣（﹣3）＝27．
故答案为：27．
11．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为α、β，则αβ﹣α﹣β的值为 ﹣2 ．
【思路点拨】根据根与系数的关系得到α+β＝3，αβ＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得到α+β＝3，αβ＝1，
所以αβ﹣α﹣β＝αβ﹣（α+β）＝1﹣3＝﹣2．
12．设x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣m＝0的两个根，且2x1＝x2，则m＝ ﹣2 ．
【思路点拨】根据一元二次方程根与系数的关系，列方程即可解答．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣m＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣3，x1 x2＝﹣m，
∵2x1＝x2，
∴x1+2x1＝﹣3，解得x1＝﹣1，
∴x2＝﹣2，
∴﹣m＝x1 x2＝2，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
13．设a，b是方程x2+x﹣5＝0的两个实数根，则a2+3a+2b的值为 3 ．
【思路点拨】先利用一元二次方程解的定义得到a2+2a＝20，再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2+x﹣5＝0的实数根，
∴a2+a﹣5＝0，
∴a2+a＝5，
∵a，b是方程x2+x﹣5＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
∴a2+3a+2b＝a2+a+2a+2b＝5+2×（﹣1）＝3．
故答案为：3．
14．关于x的不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 ﹣2＜a≤﹣1 ．
【思路点拨】求出每个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数得出关于a的不等式，解之可得答案．
【解答】解：解不等式x﹣a≥0，得：x≥a，
解不等式5﹣2x＞3，得：x＜1，
∵不等式组有2个整数解，
∴﹣2＜a≤﹣1，
故答案为：﹣2＜a≤﹣1．
15．估算：若ab，且a，b为连续的正整数，则a＝ 8 ，b＝ 9 ．
【思路点拨】估算无理数的大小即可．
【解答】解：∵，即89，且ab，且a，b为连续的正整数，
∴a＝8，b＝9，
故答案为：8，9．
16．是无限不循环小数，由整数部分和小数部分组成，其中小数部分为 7 ．
【思路点拨】估算无理数的大小，即可得出无理数的小数部分．
【解答】解：∵49＜51＜64，
∴78，
∴整数部分为7，小数部分为7．
故答案为：7．
17．已知非零实数x，y满足，则的值等于 1 ．
【思路点拨】首先判断出xy与x﹣y的关系，再整体代入到代数式中求值即可．
【解答】解：∵，
∴x（y+1）＝y，
xy+x＝y，
xy＝y﹣x，
∴x﹣y＝﹣xy，
∴原式1．
故答案为：1．
18．在一次函数y＝kx+2中，y的值随着x值的增大而增大，则点P（3，k）在第 一 象限．
【思路点拨】因为在正比例函数y＝kx+2中，y的值随着x值的增大而增大，所以k＞0，再根据象限的坐标特征可得答案．
【解答】解：∵在正比例函数y＝kx+2中，y的值随着x值的增大而增大，
∴k＞0，
∴点P（3，k）在第一象限．
故答案为：一．
19．若一次函数y＝（3﹣m）x+2的图象经过第一、二、三象限，那么m的取值范围是 m＜3 ．
【思路点拨】根据一次函数y＝（3﹣m）x+2的图象经过第一、二、三象限，可得：3﹣m＞0，据此求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（3﹣m）x+2的图象经过第一、二、三象限，
∴3﹣m＞0，
解得，m＜3．
故答案为：m＜3．
二．概率统计（共10小题）
20．有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式有解的概率为 ．
【思路点拨】由关于x的不等式组有解，可求得a＞3.5，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：解得：2≤x，
∵关于x的不等式组有解，
∴2，
解得：a＞3.5，
∴使关于x的不等式组有解的概率为：．
故答案为：．
21．我市某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士支援县医院．若随机选一位医生和一名护士，则恰好选中医生甲和护士A的概率是 ．
【思路点拨】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中医生甲和护士A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，恰好选中医生甲和护士A的只有1种情况，
∴恰好选中男生甲和女生A的概率为：．
故答案为：．
22．有五张正面分别标有数﹣2，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程有正整数解的概率为 ．
【思路点拨】求出分式方程的解，根据给出的5个数，找出能使分式方程有整数解的情况，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：，解得x，
∵分式方程的解为正整数，
∴a+1＞0，
∴a＞﹣1，
∵x的值为正整数，且x≠1，
∴a+1＝2或a+1＝1，
∴a＝1或0，
当a＝0时，x＝4，符合题意，
当a＝1时，x＝2，符合题意，
∴a＝1，
∴使关于x的方程有正整数解的概率为，
故答案为：．
23．投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么方程x2+ax+b＝0有解的概率是 ．
【思路点拨】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的有19种，
∴方程x2+ax+b＝0有解的概率是，
故答案为：．
24．一个口袋中有红球，白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球，估计这个口袋中红球的数量为 12 个．
【思路点拨】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．
【解答】解：估计这个口袋中红球的数量为2012（个），
故答案为：12．
25．学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是 ．
【思路点拨】画树状图，共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：转盘B红色部分圆心角为240°，相当于2个蓝色部分，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，
∴小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是．
26．已知ai≠0（i＝1，2，…，2022）满足，则反比例函数（i＝1，2，…，2022）的图象在第一、三象限的概率是 ．
【思路点拨】根据题意确定：ai有22个是负数，2000个是正数，利用概率公式求解即可．
【解答】解：∵的值不是1就是﹣1，
且ai≠0（i＝1，2 ，2022）满足，
∴2022﹣1978＝44，44÷2＝22，22+1978＝2000．
∴ai有22个是负数，2000个是正数，
∵ai＞0时反比例函数（i＝1，2，…，2022）的图象在第一、三象限，
∴使反比例函数（i＝1，2，…，2022）的图象在第一、三象限的ai概率是．
故答案为：．
27．在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是BC边上的中线，记AD＝m且m为正整数．则m使关于x的分式方程有正整数解的概率为 ．
【思路点拨】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC＝BE＝4，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出m的取值范围，解分式方程即可得到结论．
【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5，
即1＜m＜5，
∴m＝2，3，4，
解分式方程得，x，
∵x为正整数，
∴m﹣4＜0，
∴m＝2，3，
∴m使关于x的分式方程有正整数解的概率为，
故答案为：．
28．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A'B'C'O与正方形ABCD的边长相等，若两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为，则正方形A'B'C'O的面积为 4 ．
【思路点拨】根据正方形的性质得出OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，推出∠A'OB＝∠COC'，证出△OBM≌△OCN可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，
∴∠A'OB＝∠COC'．
在△OBM与△OCN中，
，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴四边形OMBN的面积等于三角形BOC的面积，
即重叠阴影部分面积不变，总是等于正方形ABCD和正方形A'B'C'O面积的，
∴正方形A'B'C'O的面积为4．
故答案为：4．
．
29．从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3这7个数中任意选择一个数作为a的值，则使关于y的分式方程有非负整数解的概率为 ．
【思路点拨】直接利用分式方程有解的意义得出a可能的取值，进而得出答案．
【解答】解：，
解得，y，
∵y为非负整数，y﹣2为分母，
∴y﹣2≠0，
∴a≠2，且a为偶数，
∵﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3这7个数中偶数有3个，非负整数3个，
∴a可以取的值为：﹣2，0，
∴概率为：，
故答案为：
三．三角函数（共4小题）
30．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tanA，则AC的长为 8 ．
【思路点拨】根据正切的定义得到BCAC，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，tanA，
∴BCAC，
由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，即102＝AC2+（AC）2，
解得：AC＝8，
故答案为：8．
31．如图所示，在一次数学活动课上，初三1班的同学们利用长杆来测量某段城墙的倾斜角α，把一根长为6.6米的长杆AC斜靠在城墙旁，量出杆长2米处在地面投影AE的长约为1米，长杆的底端与墙角的距离AB约为2.7米，则倾斜角α的正切值约为 9.52 ．（结果精确到0.01，参考数据1.73）
【思路点拨】过点C作CF⊥AB于点F，先利用Rt△ADE求出∠A＝60°，再利用Rt△ACF求出AF、CF，BF，即可判断出tanα．
【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，
在Rt△ADE中，AD＝2，AE＝1，
∴cosA，
∴∠A＝60°，
在Rt△ACF中，∠ACF＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴AF3.3，CF
∴BF＝3.3﹣2.7＝0.6
∴tanα9.52．
故倾斜角α的正切值约为9.52．
故答案为9.52．
32．阳春三月，春暖花开，学校组织学生户外踏青，小王负责班级拍照工作，期间要使用无人机进行航拍，在航拍时，小王在C处测得无人机A的仰角为45°，登上斜坡DG的D处测得无人机A的仰角为31°，若小王所在斜坡CD的坡比为1：3，铅垂高度DG＝1米（点A，B，C在同一水平线上），求此时无人机的高度AB．（sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，结果精确到1米）
【思路点拨】过点D作DH⊥AB于点H，由题意可知：∠ADH＝31°，∠ACB＝45°，然后设CB＝x，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，由题意可知：∠ADH＝31°，∠ACB＝45°，
∴四边形DHBG是矩形，
∴DG＝BH＝1（米），DH＝GB，
在Rt△CDG中，，
∴CG＝3（米），
设CB＝x（米），
∵∠ACB＝∠CAB，
∴CB＝AB＝x（米），
∴DH＝GB＝（x+3）（米），
AH＝AB﹣BH＝（x﹣1）（米），
在Rt△ADH中，tan31°，
∴0.6，
解得：x≈7（米），
答：此时无人机的高度AB≈7米．
33．某社团的同学使用卷尺和自制测角仪测量观景台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观景台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进15m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．求观景台最高点A距离地面的高度（结果精确到1m，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）．
【思路点拨】过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，设AE＝CE＝x m，BE＝（15+x）m，由锐角三角函数定义求出x的值，即可求解．
【解答】解：过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝15m，DE＝CN＝BM＝1.6m，
∵∠AED＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x m，则BE＝（15+x）m，
∵∠ABE＝22°，
∴tan∠ABEtan22°≈0.40，
∴AE≈0.40BE，
即x≈0.40（15+x），
解得：x≈10（m），
∴AD＝AE+DE≈10+1.6≈12（m），
答：观景台最高点A距离地面的高度约为12m．
四．找规律（共2小题）
34．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有1个黑色三角形，第2个图案中有3个黑色三角形，第3个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，第 24 个图案中黑色三角形的个数为300．
【思路点拨】根据图形的变化规律总结出第n个图形黑色三角形的个数为n（n+1），即可求解．
【解答】解：由图形的变化规律知，①中黑三角形的个数为1，
②中黑三角形的个数为3＝1+2，
③中黑三角形的个数为6＝1+2+3
④中黑三角形的个数为1+2+3+4＝10，
……，
中黑三角形的个数为1+2+3+4+...+nn（n+1），
由题意，n（n+1）＝300，
解得，n＝24或﹣25，
∵n＞0，
∴n＝24．
故答案为：24．
35．如图，一段抛物线：y＝（x+2）（x﹣2）（﹣2≤x≤2），记为M1，它与x轴交于点A1，A2，将M1绕点A2旋转180°得M2，交x轴于点A3，则抛物线M2的解析式为y＝﹣（x﹣2）（x﹣6）将M2绕点A3旋转180°得M3，交x轴于点A4，则抛物线M3的解析式为 y＝（x﹣6）（x﹣10） ；…如此进行下去，直至得M23，若P（m，﹣2）在第23段抛物线M23上，则m＝ 88或88 ．
【思路点拨】观察图象，抛物线旋转后与x轴交点坐标的规律，即可用交点式写出解析式，从而解答本题．
【解答】解：观察图象，根据已知可得，抛物线Mn与x轴的左边交点坐标为（﹣6+4n，0），右边交点坐标为（﹣2+4n，0），当n为奇数时，抛物线Mn开口向上，a＝1；当n为偶数时，抛物线Mn开口向下，a＝﹣1；
∴抛物线M3的解析式为y＝（x﹣6）（x﹣10），抛物线M23的解析式为y＝（x﹣86）（x﹣90），
把（m，﹣2）代入y＝（x﹣86）（x﹣90）得：
﹣2＝（m﹣86）（m﹣90），
解得m＝88或m＝88，
故答案为：y＝（x﹣6）（x﹣10），88或88．
五．反比例函数（共7小题）
36．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于A（4，1），B（n，﹣4）两点，与y轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）将直线y＝kx+b向上平移，平移后的直线与反比例函数y在第一象限的图象交于点P，连接PA，PC，若△PAC的面积为12，求点P的坐标．
【思路点拨】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）设平移后的一次函数的解析式为y＝x﹣3+b，交y轴于Q，连接AQ，根据同底等高的三角形面积相等得到12，解方程求得b的值，即可求得平移后的一次函数的解析式，与反比例函数解析式联立成方程组，解方程组即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y的图象经过A（4，1），
∴m＝4×1＝4，
∵B（n，﹣4）在y上，
∴﹣4，
∴n＝﹣1，
∴B（﹣1，﹣4），
∵一次函数y＝kx+b的图象经过A，B，
∴，
解得，
∴一次函数与反比例函数的解析式分别为y和y＝x﹣3．
（2）设平移后的一次函数的解析式为y＝x﹣3+p，交y轴于Q，连接AQ，
令x＝0，则y＝p﹣3，
∴Q（0，p﹣3），
∵S△ACQ＝S△ACP＝12，
∴12，
解得p＝6，
∴平移后的一次函数的解析式为y＝x+3，
解得或，
∴P（1，4）．
37．如图，一次函数y＝x+m的图象与反比例函数y的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．
（1）求m及k的值；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）结合图象直接写出不等式组0＜x+m的解集．
【思路点拨】（1）把A点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；
（2）解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解，即可得出B点的坐标，求出C点的坐标，再根据三角形面积公式求即可；
（3）求出C的坐标，根据图形即可求出答案．
【解答】解：（1）∵点A（2，1）在函数y＝x+m的图象上，
∴2+m＝1，即m＝﹣1，
∵A（2，1）在反比例函数的图象上，
∴，
∴k＝2；
（2）∵一次函数解析式为y＝x﹣1，令y＝0，得x＝1，
∴点C的坐标是（1，0），
∴OC＝1，
解方程组得：或，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣2），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC；
（3）由图象可知不等式组的解集为1＜x≤2．
38．如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．
（1）分别求出反比例函数和一次函数y＝ax+b的表达式；
（2）将直线AB向上平移6个单位长度后与y轴交于点C，与反比例函数的图象在第四象限的交点为点D，连接CB，BD，求点D的坐标及△BCD的面积；
（3）在（2）的条件下，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．
【思路点拨】（1）先将点A坐标代入反比例函数解析式，求出k的值，再将B点坐标代入反比例函数解析式，求出m的值，再用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）先求解平移后的直线解析式，联立直线与反比例函数解析式，求出交点D的坐标，再分解平行线之间的距离相等，将△BCD的面积转化为△ECD的面积求解即可．
（3）先求出反比例函数与平移后的直线的另一个交点，再根据图象即可确定x的取值范围．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，3）代入反比例函数，
得k＝﹣6，
∴反比例函数解析式：，
将点B（1，m）代入反比例函数，
得m＝﹣6，
∴B（1，﹣6），
将A，B点坐标代入一次函数y＝ax+b，
得，
解得，
∴一次函数解析式为：y＝﹣3x﹣3．
（2）如图所示：
根据题意，CD的解析式为：y＝﹣3x﹣3+6＝﹣3x+3，
联立，
解得x＝2或x＝﹣1，
∵反比例函数的图象在第四象限的交点为点D，
∴D（2，﹣3），
设直线AB与y轴的交点为E，则E点坐标为（0，﹣3），
∵平移距离是6，
∴CE＝6，∵AB∥CD，
∴S△BCD＝S△ECD，
∵6，
∴S△BCD＝6．
（3）在（2）的条件下，反比例函数与直线CD的另一个交点坐标是（﹣1，6），
根据图象可知，反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围是：﹣1＜x＜0或x＞2．
39．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣3）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据函数的图象，直接写出不等式kx+b的解集；
（3）点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标．
【思路点拨】（1）利用待定系数法求出A，B的坐标即可解决问题．
（2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题．
（3）根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC，求出△OAB的面积，设P（m，0），构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵反比例函数y的图象经过点A（﹣1，m），B（n，﹣3），
∴﹣1×m＝﹣6，﹣3n＝﹣6，
解得m＝6，n＝2，
∴A（﹣1，6），B（2，﹣3），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣3x+3．
（2）观察图象，不等式kx+b的解集为：﹣1≤x＜0或x≥2．
（3）连接OA，OB，由题意C（0，3），
S△AOB＝S△AOC+S△BOC3×13×2，
设P（m，0），
由题意 |m| 32，
解得m＝±6，
∴P（6，0）或（﹣6，0）．
40．如图，矩形AOBC在平面直角坐标系xOy中，且．OB＝4，OA＝3．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y（k＞0）的图象与边AC交于点E．
（1）当点F运动到边BC的中点时，直接写出k的值；
（2）在（1）的条件下，求直线EF的解析式；
（3）若将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求G的坐标．
【思路点拨】（1）根据题意求出点F的坐标，进而求出k；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点E的坐标，利用待定系数法求出直线EF的解析式；
（3）过点E作EH⊥OB于H，根据反比例函数的性质得到，根据折叠性质得到，∠EGF＝∠C＝90°，证明△EHG∽△GBF，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：（1）∵OB＝4，OA＝3，
∴B（4，0），C（4，3），
∵F是BC的中点，
∴F（4，），
∵F在反比例函数y的图象上，
∴k＝46；
（2）设直线EF的解析式为：y＝mx+n，
由（1）可知，反比例函数的解析式为y，
∵E点的纵坐标为3，
∴点E的坐标为（2，3），
则，
解得：，
∴直线EF的解析式为：yx；
（3）过点E作EH⊥OB于H，
∵F点的横坐标为4，
∴F（4，），
∴CF＝BC﹣BF＝3，
∵E的纵坐标为3，
∴E（，3），
∴CE＝AC﹣AE＝4，
∴，
由折叠的性质可知，，∠EGF＝∠C＝90°，
∴∠EGH+∠BGF＝90°，
∵∠EHG＝90°，
∴∠EGH+∠HEG＝90°，
∴∠HEG＝∠BGF，
∵∠EHG＝∠GBF＝90°，
∴△EHG∽△GBF，
∴，即，
解得：BG，
∴OG＝OB﹣BG＝4，
∴G点的坐标为（，0）．
41．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，直线EM与FN交于点C．若（a，b为常数，且a＞b）．记△OEF的面积为S1，△CEF的面积为S2，则 （用含a，b的代数式表示）．
【思路点拨】先证明△FNA∽△EHA，可得FN：EH的值，再设FN＝b，EH＝a，则有ON，EM，CF＝a﹣b，CE，表示出S1和S2，即可求出比值．
【解答】解：过点E作EH⊥x轴于H，如图所示：
∵，
在△FNA和△EHA中，
∵∠FNA＝∠EHA，
∠FAN＝∠EAH，
∴△FNA∽△EHA，
∴FN：EH＝AF：AE，
不妨设FN＝b，EH＝a，
∵E，F分别在反比例函数，
可得ON，EM，CF＝a﹣b，CE，
∴，
，
∴．
故答案为：．
42．如图，已知直线y＝﹣x+m+1与反比例函数（x＞0，m＞0）的图象分别交于点A和点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D；
（1）如图1，当点A坐标为（1，3）时，
i）求直线AB的解析式；
ⅱ）若点P是反比例函数在第一象限直线AB上方一点，当△ABP面积为2时，求点P的坐标；
（2）将直线CD向右平移2个单位得到直线EF，将双曲线位于CD下方部分沿直线CD翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线EF有且只有一个公共点，求m的值．
【思路点拨】（1）i．将（1，3）代入求出m，进而求解．
ⅱ．过点P作AB的平行线交x轴于点M，作CF⊥PM于点F，由S△ABPAB CF可得CF的长，从而可得点M坐标，进而求解．
（2）根据一次函数与反比例函数的对称性，作直线y＝x，交双曲线于点M，交直线y＝﹣x+m+1于点N，交直线y＝﹣x+m+3于点P，可得N为点M，P的中点，进而求解．
【解答】解：（1）i．将（1，3）代入得3＝m，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+4．
ⅱ．∵m＝3，
∴y，
联立，
解得，，
∴点B坐标为（3，1），
∴AB2，
把x＝0代入y＝﹣x+4得y＝4，
把y＝0代入y＝﹣x+4得x＝4，
∴点D坐标为（0，4），点C坐标为（4，0），△DOC为等腰直角三角形，
过点P作AB的平行线交x轴于点M，作CF⊥PM于点F，
则S△ABPAB CF＝2，
∴CF，
∵∠DCO＝45°，∠BCF＝90°，PM∥AB，
∴∠FCM＝∠FMC＝45°，
∴△CFM为等腰直角三角形，
∴CMCF＝2，
∴点M坐标为（6，0），
设PM解析式为y＝﹣x+b，
将（6，0）代入y＝﹣x+b得0＝﹣x+b，
解得b＝6，
直线PM解析式为y＝﹣x+6，
令x+6，
解得x1＝3，x2＝3，
把x＝3代入y＝﹣x+6得y＝3，
把x＝3代入y＝﹣x+6得y＝3，
∴点P坐标为（3，3）或（3，3）．
（2）将直线y＝﹣x+m+1向右平移2个单位后解析式为y＝﹣（x﹣2）+m+1＝﹣x+m+3，
直线y＝﹣x+m+1，y＝﹣x+m+3，反比例函数关于直线y＝x对称，
如图，作直线y＝x，交双曲线于点M，交直线y＝﹣x+m+1于点N，交直线y＝﹣x+m+3于点P，
令x＝﹣x+m+1，
解得x，
∴点N坐标为（，），
令x＝﹣x+m+3，
解得x，
∴点P坐标为（，），
令x，
解得x（舍）或x，
∴点M坐标为（，），
由题意可得点M，P关于点N对称，即N为点M，P的中点，
∴2，
解得m1＝3﹣2，m2＝3+2．
∵m＞0，
∴m＝3+2或m＝3﹣2．
六．二次函数（共6小题）
43．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②若（，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2；③4a+2b+c＜0；④2a+b＝0，其中结论正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【思路点拨】由抛物线的开口方向、对称轴即与y轴交点的位置，可得出a＜0、b＞0、c＞0，即可判断①④；找出两点离对称轴的距离，比较后结合函数图象可得出y1＝y2，即可判断②；由抛物线的对称性可得出当x＝2时y＞0，即可判断③．
【解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，1，c＞0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴2a+b＝0，abc＜0，结论①错误，④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，且1﹣（），1，
∴y1＝y2，结论②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），
∴另一个交点坐标是（3，0），
∴当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，结论③错误；
综上所述：正确的结论是④，
故选：D．
44．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论正确的有 ①②③ .（填编号）
①3a+b＜0；
②a≤﹣1；
③对于任意实数m，a+b≥am2+bm恒成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n+5有两个不相等的实数根．
【思路点拨】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x1，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，b＞0，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，①正确．
∵抛物线经过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵抛物线与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间，
∴3≤c≤4，即3≤﹣3a≤4，
解得a≤﹣1，②正确．
∵x＝1时，y＝a+b+c为最大值，
∴对任意实数m，x＝m时，对应的函数值不大于a+b+c．
∴a+b+c≥am2+bm+c．
∴a+b≥am2+bm．
∴③正确．
∵直线y＝n+5在抛物线顶点上方，抛物线开口向下，
∴抛物线与直线y＝n+5没有交点．
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n+5没有实数解．
∴④错误．
故答案为：①②③．
45．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（0＜x＜20）元．
（1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出 （600﹣10x） 个台灯（用含x的代数式表示）；
（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？
【思路点拨】（1）根据原销售量结合售价每上涨1元销售量就将减少10个，即可得出售价上涨x元后的月销售量；
（2）根据总利润＝单台利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出（600﹣10x）个台灯．
故答案为：（600﹣10x）．
（2）依题意，得：（40﹣30+x）（600﹣10x）＝10000，
整理，得：x2﹣50x+400＝0，
解得：x1＝10，x2＝40（不合题意，舍去），
∴40+x＝50，600﹣10x＝500．
答：这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个．
46．一商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件4元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件） 6 7 8
y（件） 1000 900 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，求一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
【思路点拨】（1）先设出一次函数解析式，再根据待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据利润＝单价×销量列出函数关系，再根据函数的性质求函数最值即可．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣100x+1600；
（2）设该商场一周销售这种商品获得的利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣4）y
＝（x﹣4）（﹣100x+1600）
＝﹣100x2+2000x﹣6400
＝﹣100（x﹣10）2+3600，
∵﹣100＞0，
∴当x＝10时，w有最大值，最大值为3600，
∴一周该商场销售这种商品获得的最大利润为3600元，售价为10元．
47．生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任，已知某小区购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃圾桶花费了1000元，购买B型垃圾桶花费了750元，已知购买一个A型垃圾桶比购买一个B型垃圾桶少花10元，且购买的A型垃圾桶的数量是购买的B型垃圾桶的数量的2倍．
（1）求购买一个A型垃圾桶和一个B型垃圾桶各需多少元？
（2）根据上级部门的要求，小区还需要增加购买A型和B型垃圾桶共30个，若总费用不超过700元，求增加购买A型垃圾桶的数量至少是多少个？
【思路点拨】（1）设购买一个A型垃圾桶需要x元，则购买一个B型垃圾桶需要（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合购买的A型垃圾桶的数量是购买的B型垃圾桶的数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设增加购买A型垃圾桶m个，则增加购买B型垃圾桶（30﹣m）个，利用总价＝单价×数量，结合总费用不超过700元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一个A型垃圾桶需要x元，则购买一个B型垃圾桶需要（x+10）元，
依题意得：2，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝20+10＝30．
答：购买一个A型垃圾桶需要20元，购买一个B型垃圾桶需要30元．
（2）设增加购买A型垃圾桶m个，则增加购买B型垃圾桶（30﹣m）个，
依题意得：20m+30（30﹣m）≤700，
解得：m≥20．
答：增加购买A型垃圾桶的数量至少是20个．
48．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D（m，0）为线段OA上一个动点（与点A，O不重合），过点D作x轴的垂线与线段AC交于点P，与抛物线交于点Q，连接BP，与y轴交于点E．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求PQPC的最大值；
（3）连接CQ，当线段PE＝CQ时，求m的值．
【思路点拨】（1）根据二次函数解析式即可求出交点坐标；
（2）由直线AC和抛物线可知，当D为（m，0）时，点P坐标为（m，m+3），点Q坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），即可求出PQ＝﹣m2﹣3mPCm，从而得到PQPC关于m的二次函数解析式，再利用二次函数的性质
即可解决最值问题；
（3）PE＝QC有两种情况，①当 四边形QOEC为平行四边形时，②当四边形QOEC为等腰梯形时，依据图形性质分别用m表示出P、E、B坐标，根据点P、E、B三点在一条直线上，即可求解．
【解答】解：（1）在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3中，
令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A坐标为（﹣3，0），点B坐标（1，0），
令x＝0，则y＝3，
∴点C坐标为（0，3）；
（2）过点P作PF⊥CO于点F，
由（1）知，A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），
∴∠PAD＝45°，
∴AD＝PD，
∵D（m，0），
∴P（m，m+3），F（0，m+3），Q（m，﹣m2﹣2m+3），
∴PF＝﹣m，PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∵PF⊥CO，AO⊥CO，
∴PF∥AO，
∴∠CPF＝∠PAD＝45°，
∴在Rt△CPF中，PFPC，
∴PC＝﹣m，
∴PQPC＝﹣m2﹣3m+（﹣m）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∴当m＝﹣2时，PQPC的最大值为4；
（3）∵QO∥EC，当PE＝QC时，有两种情况
①当四边形QOEC为平行四边形时，则QP＝CE，如图：
∵D（m，0），点C为（0，3），
∴点P坐标为（m，m+3），点Q坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），
PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∵PQ＝CE，
∴E点坐标为（0，m2+3m+3），
因为点P、E、B三点在一条直线上，
∴设直线PB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点P、E、B代入得：
，
解得：m＝0（舍去）或m＝﹣1；
②当四边形QOEC为等腰梯形时，则点C、E关于PQ垂直平分线的对称，
即PQ、CE的中点纵坐标相同，如图：
∵D（m，0），点C为（0，3），
∴点P坐标为（m，m+3），点Q坐标为m．﹣m2﹣2m+3），E点坐标为（0，﹣m2﹣m+3）
因为点P、E、B三点在一条直线上，
∴设直线PB的解析式为y＝lo+b（k≠0），
将点P、E、B代入得：
，
解得：m＝0（不合题意，舍去）或m（不合题意，舍去）或m，
综上所述：当m＝﹣1或m时，PE＝QC．
七．圆综合（共5小题）
49．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．下图是其中的一个图形，六边形ABCDEF是⊙O的外切正六边形，现随机向该图形掷一枚小针，则针尖落在⊙O内的概率是 ．（结果不取近似值）．
【思路点拨】用⊙O的面积除以正六边形的面积即可．
【解答】解：设⊙O的半径为r，则正六边形的边长为，
∴正六边形的面积为：6r＝2r2，
∴随机向该图形掷一枚小针，则针尖落在⊙O内的概率是，
故答案为：．
50．如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE是⊙O的切线．
（1）求证：FE＝FP；
（2）若⊙O的半径为4，sin∠F，求AG的长．
【思路点拨】（1）连接OE，因为FE与⊙O相切于点E，CD⊥AB于点H，所以∠OEF＝∠AHP＝90°，由OE＝OA得∠OEA＝∠OAE，根据等角的余角相等证明∠FEP＝∠FPE，则FE＝FP；
（2）由∠GHF＝∠GEO＝90°得∠GOE＝∠F＝90°﹣∠G，则sin∠GOE＝sin∠F，设GE＝3m，OG＝5m，根据勾股定理可求得OE＝4m＝4，则m＝1，所以OG＝5，即可求出AG的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵FE与⊙O相切于点E，
∴FE⊥OE，
∴∠OEF＝90°，
∴∠FEP+∠OEA＝90°，
∵CD⊥AB于点H，
∴∠AHP＝90°，
∴∠APH+∠OAE＝90°，
∵∠APH＝∠FPE，
∴∠FPE+∠OAE＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠FEP＝∠FPE，
∴FE＝FP．
（2）解：∵∠GHF＝∠GEO＝90°，
∴∠GOE＝∠F＝90°﹣∠G，
∴sin∠GOE＝sin∠F，
设GE＝3m，OG＝5m，则OE4m，
∵OA＝OE＝4，
∴4m＝4，
∴m＝1，
∴OG＝5×1＝5，
∴AG＝OA+OG＝4+5＝9；
∴AG的长为9．
51．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）连接OE，求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF．
【思路点拨】（1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE＝∠OBE；而OB＝OE，就有∠OBE＝∠OEB，等量代换有∠OEB＝∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC；又∠C＝90°，所以∠AEO＝90°，即AC是⊙O的切线；
（2）连接DE，先根据AAS证明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD＝HF．
【解答】证明：（1）如图1，连接OE．
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴BF是圆O的直径．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）如图2，连接DE．
∵∠CBE＝∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC＝EH．
∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠HFE．
在△CDE与△HFE中，
，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD＝HF．
52．如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B两点，连接CD，过C作⊙O的切线交AB延长线于点F．直线DB⊥CF于点E．
（1）求证：∠ABD＝2∠BAC；
（2）连接BC，求证：BC2＝2BE BO；
（3）当BD，sin∠F时，求CD的长．
【思路点拨】（1）连接OC，先证明CO∥BD，可得∠ABD＝∠COB，由三角形外角的性质可知∠COB＝2∠BAC，进而可证结论成立；
（2）连接BC，根据切线的性质得圆周角定理可得∠ABC＝∠OCB，∠COB＝∠BCE，进而得△CBE∽△ABC，最后根据相似三角形性质即可得到结论；
（3）连接AD．如图所示：由圆周角定理得∠ADB＝90°，根据平行线性质得∠BAD＝∠F，通过解直角三角形得OF＝10，再根据勾股定理得到CF的长，根据平行线成比例得EF的长，最后由勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵OC⊥CF，DB⊥CF，
∴CO∥BD，
∴∠ABD＝∠COB，
∵∠COB＝2∠BAC，
∴∠ABD＝2∠BAC．
（2）证明：连接BC，如图，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥DB，
∴∠CEB＝∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∵OC⊥CF，
∴∠BCE+∠OCB＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠CAB＝∠BCE，
∴△CBE∽△ABC，
∴，
∴BC2＝AB BE，
∵AB＝2OB，
∴BC2＝2BE BO．
（3）解：如图，连接AD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴CF∥AD，
∴∠BAD＝∠F，
∴sin∠BAD＝sinF，
∴ABBD12，
∴OB＝OCAB＝6，
∵OC⊥CF，
∴∠OCF＝90°，
∴sinF，
∴OF＝10，
由勾股定理，得，CF8，
∵OC∥DB，
∴，即，
∴CE，
∴EF，
∵BF＝OF﹣OB＝10﹣6＝4，
∴BE，
∴DE＝BD+BE，
∴CD．
53．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C的切线与直径AB的延长线交于点D．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）若⊙O的半径为，，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，点E在直径AB下方的半圆上运动（不与点A，B重合），当CE与AB垂直于点M时，求CE的长．
【思路点拨】（1）连接OC，由AB为⊙O的直径及CD是⊙O的切线得到∠ACB＝∠OCD＝90°，由OA＝OC得到CAO＝∠ACO，从而得到∠ACB+∠CAO＝∠OCD+∠ACO即∠CBD＝∠ACD，从而得到相似；
（2）先利用相似得到tan∠CAD＝tan∠BCD，设CB＝x则AC＝2x，在Rt△ACB中利用勾股定理列方程即可得x的值，从而得到AC、BC、CM的值，再证△ABC∽△CBM，利用比例求出BM、OM，最后在Rt△OCM、Rt△ACB中，利用tan∠COM即可求出CD值；
（3）利用垂径定理即可求出．
【解答】证明：（1）连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CBD＝∠CAO+90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD＝90°+∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠CBD＝∠ACD，
又∵∠D＝∠D，
∴△ACD∽△CBD；
解：（2）∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ACD∽△CBD，
∴∠BCD＝∠CAD，
∴tan∠CAD＝tan∠BCD，
设BC＝x，AC＝2x，
在Rt△ACB中，，
∴x＝2，
∴AC＝4，BC＝2，
过点C作CE⊥AB，交AB于点M，交AB下方的半圆于点E，
∴∠CMD＝∠CMB＝90°，
∴，
∴CM，
∵∠ABC＝∠CBM，
∴△ABC∽△CBM，
∴，
∴BM，
∴OM，
在Rt△OCM中，tan∠COM，
在Rt△ACB中，tan∠COM，
∴CD；
（3）∵AB⊥CE，
∴CE＝2CM＝2．
八．几何（共7小题）
54．如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为 （1010） 米．
【思路点拨】由黄金分割点的定义得ACAB，再代入AB的长计算即可．
【解答】解：∵点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，AB＝20米，
∴ACAB20＝（1010）（米），
故答案为：（1010）．
55．如图，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB＝11，AC＝15，则FC的长为 13 ．
【思路点拨】过点B作BM∥AD交CA的延长线于点M，则△ABM为等腰三角形（AM＝AB），由点E为线段BC的中点可得出EF为△CBM的中位线，进而可得出FCCM，代入CM＝CA+AM＝CA+AB即可得出结论．
【解答】解：过点B作BM∥AD交CA的延长线于点M，如图所示，
∵BM∥AD，AD是∠BAC的平分线，
∴∠M＝∠CAD＝∠BAD＝∠ABM，
∴AM＝AB．
∵E是BC中点，BM∥AD，
∴EF为△CBM的中位线，
∴FCCM（CA+AM）（15+11）＝13．
故答案为：13．
56．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，将矩形纸片折叠，使点A与DC边的中点重合，则折痕的长度为 cm．
【思路点拨】根据矩形的性质求出AE，利用翻折的性质可得MN是AE的垂直平分线，然后利用勾股定理求出AM＝ME，过点M作MF⊥BC于点F，证明cos∠MAQ＝cos∠NMF，即可解决问题．
【解答】解：在矩形ABCD中，CD＝AB＝4cm，AD＝BC＝8cm，∠D＝90°，AD∥BC，
根据题意可知：E是CD的中点，
∴DE＝CECD＝2cm，
∴AE2（cm），
由折叠可知：MN是AE的垂直平分线，
∴AM＝EM，AQ＝EQAEcm，∠AQM＝90°，
∴DM＝AD﹣AM＝（8﹣ME）cm，
在Rt△DEM中，根据勾股定理得：ME2＝DM2+DE2，
∴ME2＝（8﹣ME）2+22，
∴ME，
∴AM＝ME，
如图，过点M作MF⊥BC于点F，
∴∠MFN＝∠AQM＝90°，得矩形ABFM，
∴MF＝AB＝4cm，
∵AD∥BC，
∴∠MFN＝∠AMF＝90°，
∴∠MAQ＝90°﹣∠AMQ＝∠NMF，
∴cos∠MAQ＝cos∠NMF，
∴，
∴，
∴MNcm．
故答案为：．
57．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，连接EF交BC于点G．
（1）求证：△CDE≌△CBF；
（2）当E是AD的中点时，求CG的长．
【思路点拨】（1）先判断出∠CBF＝90°，进而可以证明∠DCE＝∠BCF，即可得出结论；
（2）先求出AF，AE，再判断出△GBF∽△EAF，可求出BG，即可得出结论．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°，∠DCE+∠BCE＝∠DCB＝90°，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°，
∴∠BCF+∠BCE＝∠ECF＝90°，
∴∠DCE＝∠BCF，
在△CDE和△CBF中，
，
∴△CDE≌△CBF（ASA）；
（2）解：在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴△GBF∽△EAF，
∴，
由（1）知，△CDE≌△CBF，
∵E是AD的中点，正方形的边长为1，
∴BF＝DE，
∴AF＝AB+BF，AE，
∴，
∴BG，
∴CG＝BC﹣BG．
答：CG的长为．
58．已知四边形ABCD中，M，N两点分别在AB，BD上，且满足∠MCN＝∠BDC．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，
①求证：△ACM∽△DCN；
②求证：DN+BM＝CD；
（2）如图2，当四边形ABCD为菱形时，若∠BAD＝120°，试探究DN，BM，CD的数量关系．
【思路点拨】（1）利用四边形ABCD为正方形的特性，得到AC、BD对角线都是平分直角，根据已知相等角，求出需证明的三角形内部角度关系，问题即可解决．
（2）根据边形ABCD为菱形时，∠BAD＝120°，对角线AC⊥BD，找出相似条件，再根据相似比相等，找出求解线段之间的关系，即可解决问题．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD为正方形
∴∠ACD＝∠BDC＝∠BAC＝45°，
又∵∠MCN＝∠BDC，
∴∠MCN＝∠ACD＝45°，
∴∠MCA+∠ACN＝∠ACN+∠DCN，
∴∠MCA＝∠DCN，
∴△ACM∽△DCN．
②证明：由①可知：△ACM∽△DCN，
∴，
∴DN＝AM，
∴AM+BM＝AB＝CD，
∴DN+BM＝CD．
（2）解：如图所示：连接AC，在DN上取一点P使∠PCD＝∠PDC＝30°，过P作PQ⊥CD于Q，
∴∠PCD＝∠PDC＝30°，
∴∠NPC＝60°，
又∵四边形ABCD为菱形且∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠NPC＝∠BAC，
又∵∠ACP＝∠ACD﹣∠PCD＝30°，∠MCN＝∠BDC＝30°，
∵∠MCN＝∠ACP，
∴∠MCA+∠ACN＝∠ACN+∠NCP，
∴∠MCA＝∠NCP，
∴△AMC∽△PNC，
∴，
∵，
∴CDCP，
∴，
∴AM，
∴AMPN，
∴AM+MB＝AB＝CD，
∴PN+MB＝CD，
∴（DN﹣DP）+MB＝CD，
∴（DNCD）+MB＝CD，
即DN﹣CD+MB＝CD，
∴DN+MB＝2CD．
59．如图，△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，点D在直线BC上运动，连接AD，在AD的右侧作△ADE∽△ABC，点F为AC中点，连接EF，则EF的最小值为 ．
【思路点拨】作射线CE，设AC交DE于点J，过点A作AH⊥BC于点H．利用相似三角形的判定和性质证明∠ACE＝60°，推出点E的运动轨迹是射线CE，当EF⊥CE时，EF的值最小，此时EF＝CF sin60°．
【解答】解：作射线CE，设AC交DE于点J，过点A作AH⊥BC于点H．
在Rt△ABH中，AH＝AB sin60°，
∵∠ACH＝45°，
∴AH＝CH，ACAH，
∴AF＝CF，
∵△ADE∽△ABC，
∴∠JCD＝∠AEJ，∠ABC＝∠ADE＝60°，
∵∠AJE＝∠DJC，
∴△AJE∽△DJC，
∴，
∴，
∵∠AJD＝∠EJC，
∴△AJD∽△EJC，
∴∠ADJ＝∠ACE＝60°，
∴点E的运动轨迹是射线CE，
∴当EF⊥CE时，EF的值最小，此时EF＝CF sin60°．
故答案为：．
60．如图，在平行四边形ABCD中，以点D为圆心作⊙D与对角线AC相切，点P是⊙D上一个动点，连接BP交AC于点E，则的最小值是 ．
【思路点拨】设以点D为圆心作⊙D与对角线AC相切，切点为F，连接DF，则DF⊥AC，过点P作PH⊥AC于点H，过点B作BG⊥AC于点G，连接DP，利用相似三角形的判定与性质得到11，利用垂线段最短，线段最短的性质，结合图形得到：PH≤PD+DF＝2DF，当点P，D，H在一条直线上时，取等号；利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质得到BG＝DF，将此结论代入运算即可得出结论．
【解答】解：设以点D为圆心作⊙D与对角线AC相切，切点为F，连接DF，则DF⊥AC，过点P作PH⊥AC于点H，过点B作BG⊥AC于点G，连接DP，如图，
∵PH⊥AC，BG⊥AC，
∴PH∥BG，
∴△PEH∽△BEG，
∴．
∴11．
∵点P是⊙D上一个动点，
∴由题意得：PH≤PD+DF＝2DF，当点P，D，H在一条直线上时，取等号，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAG＝∠DCF．
在△BAG和△DCF中，
，
∴△BAG≌△DCF（AAS），
∴BG＝DF．
∴111．
故答案为：．中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版9上期末一诊备考——中等生必刷60题
一．代数应用（方程不等式）（共19小题）
1．已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b的值是 ．
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根是2，则它的另一个根为 ．
3．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2（m+2）x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1+x2＝2m，则m的值是 ．
4．已知一元二次方程x2﹣3x﹣2023＝0的两个根为x1，x2，则的值为 ．
5．若x＝m时，代数式x2﹣2x﹣3的值为0，则代数式2m2﹣4m﹣3＝ ．
6．已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0的两根分别是x1，x2，且满足3，则k的值是 ．
7．已知m，n是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，则n2+n+2m的值为 ．
8．若，则代数式（x﹣1）2+4（x﹣1）+4＝ ．
9．若关于x的一元二次方程x2﹣（m2﹣1）x+6m＝0的两根之和为8，则m＝ ．
10．已知a，b是一元二次方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，则3a2+8a﹣b的值是 ．
11．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为α、β，则αβ﹣α﹣β的值为 ．
12．设x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣m＝0的两个根，且2x1＝x2，则m＝ ．
13．设a，b是方程x2+x﹣5＝0的两个实数根，则a2+3a+2b的值为 ．
14．关于x的不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 ．
15．估算：若ab，且a，b为连续的正整数，则a＝ ，b＝ ．
16．是无限不循环小数，由整数部分和小数部分组成，其中小数部分为 ．
17．已知非零实数x，y满足，则的值等于 ．
18．在一次函数y＝kx+2中，y的值随着x值的增大而增大，则点P（3，k）在第 象限．
19．若一次函数y＝（3﹣m）x+2的图象经过第一、二、三象限，那么m的取值范围是 ．
二．概率统计（共10小题）
20．有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式有解的概率为 ．
21．我市某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士支援县医院．若随机选一位医生和一名护士，则恰好选中医生甲和护士A的概率是 ．
22．有五张正面分别标有数﹣2，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程有正整数解的概率为 ．
23．投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么方程x2+ax+b＝0有解的概率是 ．
24．一个口袋中有红球，白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球，估计这个口袋中红球的数量为 个．
25．学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是 ．
26．已知ai≠0（i＝1，2，…，2022）满足，则反比例函数（i＝1，2，…，2022）的图象在第一、三象限的概率是 ．
27．在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是BC边上的中线，记AD＝m且m为正整数．则m使关于x的分式方程有正整数解的概率为 ．
28．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A'B'C'O与正方形ABCD的边长相等，若两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为，则正方形A'B'C'O的面积为 ．
29．从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3这7个数中任意选择一个数作为a的值，则使关于y的分式方程有非负整数解的概率为 ．
三．三角函数（共4小题）
30．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tanA，则AC的长为 ．
31．如图所示，在一次数学活动课上，初三1班的同学们利用长杆来测量某段城墙的倾斜角α，把一根长为6.6米的长杆AC斜靠在城墙旁，量出杆长2米处在地面投影AE的长约为1米，长杆的底端与墙角的距离AB约为2.7米，则倾斜角α的正切值约为 ．（结果精确到0.01，参考数据1.73）
32．阳春三月，春暖花开，学校组织学生户外踏青，小王负责班级拍照工作，期间要使用无人机进行航拍，在航拍时，小王在C处测得无人机A的仰角为45°，登上斜坡DG的D处测得无人机A的仰角为31°，若小王所在斜坡CD的坡比为1：3，铅垂高度DG＝1米（点A，B，C在同一水平线上），求此时无人机的高度AB．（sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，结果精确到1米）
33．某社团的同学使用卷尺和自制测角仪测量观景台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观景台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进15m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．求观景台最高点A距离地面的高度（结果精确到1m，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）．
四．找规律（共2小题）
34．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有1个黑色三角形，第2个图案中有3个黑色三角形，第3个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，第 个图案中黑色三角形的个数为300．
35．如图，一段抛物线：y＝（x+2）（x﹣2）（﹣2≤x≤2），记为M1，它与x轴交于点A1，A2，将M1绕点A2旋转180°得M2，交x轴于点A3，则抛物线M2的解析式为y＝﹣（x﹣2）（x﹣6）将M2绕点A3旋转180°得M3，交x轴于点A4，则抛物线M3的解析式为 ；…如此进行下去，直至得M23，若P（m，﹣2）在第23段抛物线M23上，则m＝ ．
五．反比例函数（共7小题）
36．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于A（4，1），B（n，﹣4）两点，与y轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）将直线y＝kx+b向上平移，平移后的直线与反比例函数y在第一象限的图象交于点P，连接PA，PC，若△PAC的面积为12，求点P的坐标．
37．如图，一次函数y＝x+m的图象与反比例函数y的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．
（1）求m及k的值；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）结合图象直接写出不等式组0＜x+m的解集．
38．如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．
（1）分别求出反比例函数和一次函数y＝ax+b的表达式；
（2）将直线AB向上平移6个单位长度后与y轴交于点C，与反比例函数的图象在第四象限的交点为点D，连接CB，BD，求点D的坐标及△BCD的面积；
（3）在（2）的条件下，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．
39．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣3）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据函数的图象，直接写出不等式kx+b的解集；
（3）点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标．
40．如图，矩形AOBC在平面直角坐标系xOy中，且．OB＝4，OA＝3．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y（k＞0）的图象与边AC交于点E．
（1）当点F运动到边BC的中点时，直接写出k的值；
（2）在（1）的条件下，求直线EF的解析式；
（3）若将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求G的坐标．
41．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，直线EM与FN交于点C．若（a，b为常数，且a＞b）．记△OEF的面积为S1，△CEF的面积为S2，则 （用含a，b的代数式表示）．
42．如图，已知直线y＝﹣x+m+1与反比例函数（x＞0，m＞0）的图象分别交于点A和点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D；
（1）如图1，当点A坐标为（1，3）时，
i）求直线AB的解析式；
ⅱ）若点P是反比例函数在第一象限直线AB上方一点，当△ABP面积为2时，求点P的坐标；
（2）将直线CD向右平移2个单位得到直线EF，将双曲线位于CD下方部分沿直线CD翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线EF有且只有一个公共点，求m的值．
六．二次函数（共6小题）
43．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②若（，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2；③4a+2b+c＜0；④2a+b＝0，其中结论正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
44．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论正确的有 .（填编号）
①3a+b＜0；
②a≤﹣1；
③对于任意实数m，a+b≥am2+bm恒成立；
④关于x的方程ax2+bx+c＝n+5有两个不相等的实数根．
45．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（0＜x＜20）元．
（1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出 个台灯（用含x的代数式表示）；
（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？
46．一商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件4元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件） 6 7 8
y（件） 1000 900 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，求一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
47．生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任，已知某小区购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃圾桶花费了1000元，购买B型垃圾桶花费了750元，已知购买一个A型垃圾桶比购买一个B型垃圾桶少花10元，且购买的A型垃圾桶的数量是购买的B型垃圾桶的数量的2倍．
（1）求购买一个A型垃圾桶和一个B型垃圾桶各需多少元？
（2）根据上级部门的要求，小区还需要增加购买A型和B型垃圾桶共30个，若总费用不超过700元，求增加购买A型垃圾桶的数量至少是多少个？
48．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D（m，0）为线段OA上一个动点（与点A，O不重合），过点D作x轴的垂线与线段AC交于点P，与抛物线交于点Q，连接BP，与y轴交于点E．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求PQPC的最大值；
（3）连接CQ，当线段PE＝CQ时，求m的值．
七．圆综合（共5小题）
49．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．下图是其中的一个图形，六边形ABCDEF是⊙O的外切正六边形，现随机向该图形掷一枚小针，则针尖落在⊙O内的概率是 ．（结果不取近似值）．
50．如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE是⊙O的切线．
（1）求证：FE＝FP；
（2）若⊙O的半径为4，sin∠F，求AG的长．
51．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）连接OE，求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF．
52．如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B两点，连接CD，过C作⊙O的切线交AB延长线于点F．直线DB⊥CF于点E．
（1）求证：∠ABD＝2∠BAC；
（2）连接BC，求证：BC2＝2BE BO；
（3）当BD，sin∠F时，求CD的长．
53．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C的切线与直径AB的延长线交于点D．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）若⊙O的半径为，，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，点E在直径AB下方的半圆上运动（不与点A，B重合），当CE与AB垂直于点M时，求CE的长．
八．几何（共7小题）
54．如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为 米．
55．如图，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB＝11，AC＝15，则FC的长为 ．
56．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，将矩形纸片折叠，使点A与DC边的中点重合，则折痕的长度为 cm．
57．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，连接EF交BC于点G．
（1）求证：△CDE≌△CBF；
（2）当E是AD的中点时，求CG的长．
58．已知四边形ABCD中，M，N两点分别在AB，BD上，且满足∠MCN＝∠BDC．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，
①求证：△ACM∽△DCN；
②求证：DN+BM＝CD；
（2）如图2，当四边形ABCD为菱形时，若∠BAD＝120°，试探究DN，BM，CD的数量关系．
59．如图，△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，点D在直线BC上运动，连接AD，在AD的右侧作△ADE∽△ABC，点F为AC中点，连接EF，则EF的最小值为 ．
60．如图，在平行四边形ABCD中，以点D为圆心作⊙D与对角线AC相切，点P是⊙D上一个动点，连接BP交AC于点E，则的最小值是 ．
