中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版9上期末一诊备考——培优必刷60题
一．几何最值（共13小题）
1．如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E是边AD上一个动点，过点E作AC的垂线，交直线BC于点F，则AF+FE+EC的最小值为 ．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，当AE取得最小值时，BD的长为 ．
3．如图，在菱形ABCD中，AB，∠BAD＝120°，G为CD边上一动点，作GF⊥BD于点F，GH⊥AC于点H，当HF+FG取得最小值时，DG＝ ．
4．如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠ABO＝∠CDO，E为OA的中点，OA＝4，OB＝6．将△COD绕点O旋转，直线AC，BD交于点F，连接EF，则EF的最小值是 ．
5．如图，在三角形△ABC中，∠BAC＝50°，AB＝AC，BD⊥AC于D，M，N分别是线段BD，BC上的动点，BM＝CN，当AM+AN最小时，∠MAD＝ ．
6．已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝8，点E、F分别是边AB、CD的中点，点P为AD边上动点，过点P作与AB平行的直线交AF于点G，连接PE，点M是PE中点，连接MG，则MG的最小值＝ ．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，动点E从点A出发沿AD运动，同时，点F从点B出发沿BC运动．连接EF，过点D作DG⊥EF于点G，连接BG，若点F的运动速度是点E的2.5倍，则在点F从点B运动到点C的过程中，线段BG的最小值是 ．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为边CD上一动点，连接AP交对角线BD于点E，过点E作EF⊥AP，EF交BC于点F，连接AF交BD于点G，在点P的运动过程中，△AEG面积的最小值为 ．
9．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（点E不与B，C重合），连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，点G是点C关于直线BF的对称点，连接AG，DG，GF，则当GF取得最小值时，△AGD的面积是 ．
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝30°，P为AD边上一动点，将△PCD沿CP折叠为△PCD′，E为AB边上一点，BE＝CE，则D′E的最小值为 ．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E是BC上的动点，点F是BE的中点，AE，FD相交于点G，则AG的最小值为 ．
12．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E和F分别为AD、AB上的动点，且AE＝BF，以EF为底边在右侧构造等腰△EFG且满足，连接CG，则CG的最小值为 ．
13．如图，在四边形ABDC中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DC＝3，BC＝5，若点M，点N分别在AB边和CD边上运动，且AM＝DN，连接MN，则MN的最小值为 ．
二．反比例函数（共10小题）
14．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC∥x轴，分别交y（x＞0），y（x＜0）的图象于B，C两点，若△ABC的面积是3，则k的值为 ．
15．如图，反比例函数的图象过点A，反比例函数的图象与直线OA交于点B，C，已知OB：OA＝1：3，过点A分别作y轴和x轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点D和E，连接CD交y轴于G，连接CE交x轴于点F，当△CFG的面积为1时，a+b＝ ．
16．如图，正比例函数y1x与反比例函数y2（x＞0）的图象交于点A，另有一次函数yx+b与y1、y2图象分别交于B、C两点（点C在直线OA的上方），且OB2﹣BC2，则k＝ ．
17．如图，直线y＝﹣x与双曲线y（k＜0）相交于A，B两点（点A在B的左侧），点C是位于点A左侧的双曲线上任意一点．直线AC，BC分别交x轴于D，E两点，则 ．
18．如图，已知正比例函数yx与反比例函数y交于A、B两点，点C是第三象限反比例函数上一点，且点C在点A的左侧，线段BC交y轴的正半轴于点P，若△PAC的面积是12，则点C的坐标是 ．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与矩形OABC相交于D，E两点，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的纵坐标为3，点D的横坐标为1．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接DE，OB，DE与OB相交于点F．i）求证：DF＝EF；
ii）连接OD，当△ODF是直角三角形时，求此时OF的长．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+2与反比例函数的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，m）．
（1）求反比例函数的函数表达式和点B的坐标．
（2）若A′是A点关于原点的对称点，连接AA′，BA′，求△A′AB的面积．
（3）连接OA，将线段OA绕点O顺时针旋转45°交反比例函数的图象于点C，D是x轴上一点，是否存在这样的点D，使得以O、C、D为顶点，OC为腰的等腰三角形？若存在，请写点D的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+7的图象与反比例函数y（x＞0）的图象相交于A（1，6），B两点，P（0，﹣1）是y轴上的一个定点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）H是线段AB上的一点，当△PAB的面积被线段PH分成面积比为2：3的两部分时，求点H的坐标；
（3）在（2）的条件下，请在x轴上找点M，平面内找点N，使得四边形PHMN为矩形，求M，N两点的坐标．（直接写出答案）
22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，在第一象限内以OA为边作 OABC，点C在反比例函数的图象上，D是边AB的中点，点C的横坐标为2．
（1）如图1，若点D的纵坐标为，求反比例函数的解析式；
（2）如图2，若点D在反比例函数图象上且△OCD∽△CDB，求 OABC的面积．
（3）如图3，在（1）的条件下，将直线l1：yx向上平移得到直线l2，直线l2与双曲线交于M1，M2两点，点P为M1M2的中点，过点M1作M1N⊥l1于点N．试探究的值是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．
23．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b过定点P（2，3），与双曲线y交于第一象限的A，B两点．
（1）如图1，当直线AB解析式为y＝﹣x+5时，求A，B两点的坐标；
（2）如图1，若点P是AB的中点，求直线y＝kx+b的解析式；
（3）在（1）的条件下，如图2，过原点的直线l与线段AB交于点Q，与双曲线分别交于点M，N．记△ABN的面积为S1，△ABM的面积为S2，当时，求点Q的坐标．
三．一二次函数综合（共9小题）
24．如图，已知A（1，2），B（7，1），C（3.75，7.5），直线l：y＝kx+b经过点（5，0），点O关于直线l的对称点O′落在三角形ABC内（不含边界），则b的取值范围是 ．
25．已知二次函数y＝﹣x2+x+2及一次函数y＝x+m，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝x+m与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是 ．
26．如图1，在平面直角坐标系xOy点中，A（﹣3，0），点B在y轴正半轴上且BOAO．直线AC：yx的图象交y轴于点C，且射线AC平分∠BAO，点P是射线AC上一动点．
（1）求直线AB的表达式和点C的坐标；
（2）连接BP、OP，当S△ABP＝2S△OCP时，求点P的坐标；
（3）如图2，过点P作PQ⊥AB交x轴于点Q，连接CQ，当△ABC与以点P、Q、C为顶点的三角形相似时，求点P的坐标．
27．抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣3与x轴负半轴交于A、B（点A在点B的左边）两点，与y轴负半轴交于点C．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）如图1，连接AC，过点B作BD∥AC，交抛物线于点D，直线AD、BC交于点P，求△PAC的面积；
（3）如图2，在（2）的条件下，点M是抛物线BC上一动点（不含C点），作MN∥AC交抛物线于另一点N，直线AN，CM交于点E，若S△ACE＝h，求点E的坐标（用含h的式子表示）．
28．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．
（1）求a的值及点A，B的坐标；
（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；
（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
30．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣6，0），OA＝3OBOC，D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DG⊥AC于G．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求△ACD面积的最大值；
（3）连接BC，是否存在点D，使得△CDG中有一个角与∠BCO相等？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
31．如图，直线y＝﹣x﹣4分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点B作BD∥AC交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线AC下方抛物线上的一动点，连接PD交AC于点E，连接EB，求S△PEB的最大值及最大值时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线y＝﹣2x与新抛物线交于O，G两点，点H是线段OG的中点，过H作直线RQ（不与OG重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线GR与直线OQ交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由．
32．如图，二次函数y＝mx2+（m2﹣m）x﹣2m+1的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1．
（1）求二次函数的表达式及A、B的坐标；
（2）如图2，过B、C两点作直线BC，连接AC，点P为直线BC上方的抛物线上一点，PF∥y轴交线段BC于F点，过点F作FE⊥AC于E点．设m＝PFFE，求m的最大值及此时P点坐标；
（3）将原抛物线x轴的上方部分沿x轴翻折到x轴的下方得到新的图象G，当直线y＝kx+k﹣6与新图象G有4个公共点时，求k的取值范围．
四．圆综合（共4小题）
33．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝ ．
34．如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，，CE＝1，EB＝3，弦AD，BC相交于点E．
（1）求⊙O的半径；
（2）过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．
35．如图，已知AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连接OD，BD，C为AB延长线上一点，连接CD，且∠BDC∠BOD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，CD，求BC和BD的长．
36．如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE是⊙O的切线．
（1）求证：FE＝FP；
（2）若⊙O的半径为4，sin∠F，求AG的长．
五．几何综合（共18小题）
37．如图，正方形ABCD，AB＝2，点E为AD上一动点，将三角形ABE沿BE折叠，点A落在点F处，连接DF并延长，与边AB交于点G，若点G为AB中点，则AE＝ ．
38．如图，在矩形ABCD中．AB＝6，BC＝12，点P是DC上一点，且DP＝5，点E，F分别是AD，BC上的动点，连接EF，AP，始终满足EF⊥AP．连接AF，PF，PE，记四边形AEPF的面积为S1，记△ABF的面积为S2，记△FCP的面积为S3，记△EDP的面积为S4. ．
39．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD，点E为边AD上一动点，点F为EC的中点，连接BE，点G在BE上，且EF＝GF，在点E从点D运动到点A的过程中，点G运动的路径长为 ．
40．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A（﹣1，1）．C（1，﹣1），已知线段MN的端点M，N的坐标分别为M（3，3），N（，），平移线段MN，使得平移后的线段的两个端点均落在正方形ABCD的边上，此时正方形ABCD被该线段分为两部分，其中三角形部分的面积为 ；已知线段PQ的端点坐标分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，PQ＝2．平移线段PQ，使得平移后的线段P′Q′的两个端点均落在正方形ABCD的边上，且线段P′Q′将正方形的ABCD面积分为6：19部分，取P′Q′的中点H，连接OH，则OH的长为 ．
41．如图，点A的坐标为（，3），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（k，4），则k的值为 ．
42．如图（1），△ABC中，∠ACB＝90°，射线CD⊥AB于点D．点P是射线CD上一动点，连接AP并在AP边右侧作△APQ使得∠PAQ＝∠CAB且，连接BQ．
（1）求证：BA平分∠CBQ；
（2）当AQ∥BC时，延长AP交BC边于点E，求证：CE BC＝AD AB；
（3）若AC＝3，BC＝4，点P在运动的过程中，直线PQ交边AB于点F，当△BQF是等腰三角形时，求线段AP的长．
43．如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点H，连接DE．∠AEB的平分线EF交AB于点F，连接DF交BE于点G．
（1）求证：∠DBG＝∠DAE；
（2）试探究线段AE，BE，DE之间的数量关系；
（3）若CDAF，BE＝6，求GH的长．
44．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是AD边上一动点，连接BE，将射线EB绕点E逆时针旋转60°，分别交边CD于点F，交对角线BD于点G．
（1）试判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）若AB＝3，AE＝1，求DG及EG的长；
（3）若，求的值．
45．在Rt△ABC中，AC＝1，∠C＝90°，D为BC边上一动点，且（n为正整数），在直线BC上方作△ADE，使得△ADE∽△ACB．
（1）如图1，在点D运动过程中，△ACD与△ABE始终保持相似关系，请说明理由；
（2）如图2，若n＝2，M为AB中点，当点E在射线CM上时，求CD的长；
（3）如图3，设AE的中点为P，求点D从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径长（用含n的代数式表示）．
46．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点M为边AD上一点，连接CM．
（1）将△CDM沿直线CM翻折，得到对应的△CD′M．
（i）如图1，延长CD′交边AD于点E，若点E恰为边AD中点，求线段MD的长；
（ii）如图2，连接BD′，若BD′＝BC，求线段MD的长；
（2）如图3，若DM＝DC，点P为边BC上一动点（点P不与B，C两点重合），过点P作PF⊥PA交线段CM于点F，在点P的运动过程中，线段CF的长是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由．
47．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，点P，Q分别是AB，AD上的动点，且BP＝AQ，连接PQ，CP，EQ，CD．
（1）当EQ⊥AD时（如图1），求BP的长；
（2）当PQ∥CD时（如图2），求BP的长；
（3）是否存在点P，Q，使四边形PCDQ的面积为7.4cm2？若存在，请求出BP的长；若不存在，请说明理由．
48．已知△ABC，分别以AB、AC为直角边作Rt△ABP和Rt△ACQ，且∠BAP＝∠CAQ．
（1）如图1，若，AC＝8，求线段AQ的长度；
（2）如图2，点Q关于AC的对称点是点R，若R在射线PB上，且，求；
（3）如图3，连接PC、BQ，若△PBC的面积比△QBC的面积大10，且，求△ABP的面积．
49．如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞l），点E是AD边上一动点（点E不与A，D重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H．
[尝试初探]
（1）在点E的运动过程中，△ABE与△CBF始终保持相似关系，请说明理由；
[深入探究]
（2）随着E点位置的变化，H点的位置也随之发生变化，当B，C，G共线时，连接CG，求CG，AB，CH的数量关系；
[拓展延伸]
（3）连接CG，DG，当AB的长度为a时，求CG的最小值（用含n和a的代数式表示）．
50．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AC平分∠BAD，点E为BC边上一动点，连接AE，将△ABE沿AE翻折，点B对应点为B′，．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若∠BAD＝150°，点F为CD边上一点，且DF＝AF，求B′F的最小值．
（3）若∠BAD＝135°，将△AEB′沿AB′折叠，点E对应点为E′，当AE′与菱形的边垂直时，求EE′的长．
51．如图1，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝3，BC＝5．点P是线段AC上的一动点，将△ABP沿着BP折叠，点A落在A'处．
（1）求点A到直线BC的距离；
（2）如图2，点Q是线段AC上的一动点，将△CBQ沿着BQ折叠，使得边BC折叠后与BA'重合．若PA'∥BQ，求证：AP QC＝PQ2；
（3）如图3，连接A'C，过A'作AC的平行线，与直线BC交于点M．当∠BA'C＝90°时，求A'M的长．
52．如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝30°，点E是AD边上一动点，连接BE，在BE右侧作菱形EBGF使得菱形ABCD∽菱形EBGF，连接FG交BC于点R，连接CG．
【尝试初探】
（1）求证：△ABE≌△CBG；
【深入探究】
（2）若R为BC中点，求sin∠ABE的值；
【拓展延伸】
（3）①若DC＝3，△BRG是等腰三角形，求BR的值；
②若D，F，G三点共线，连接DB，求的值．
53．【问题背景】如图1，在矩形ABCD中，点M，N分别在边BC，AD上．且，连接BN，点P在BN上，连接PM并延长至点Q，使，连接CQ．
【尝试初探】求证：CQ∥BN；
【深入探究】若AN＝BM＝AB，m＝2，点P为BN中点，连接NC，NQ，求证：NC＝NQ；
【拓展延伸】如图2，在正方形ABCD中，点P为对角线BD上一点，连接PC并延长至点Q．使（n＞1），连接DQ．若n2BP2+DQ2＝（n2+1）AB2，求的值（用含n的代数式表示）．
54．如图1，已知正方形ABCD的边长为4，点E是射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B顺时针旋转90°得BE'，将AB沿BE翻折得A′B，连接A′E．
（1）求证：∠AEB＝∠A'BE'；
（2）在点E运动过程中，△A′BE′的面积是否发生变化？若不变，请求出△A′BE′的面积；若变化，请说明理由；
（3）如图2，点M，N分别为A'B，A′E′的中点，连接EM，MN，EN．当A'E'时，求△EMN的面积．
六．开放性题（共6小题）
55．如图，线段AB＝1，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），C1是线段AC的黄金分割点C1（AC1＞C1C），C2是线段AC1的黄金分割点，以此类推…，则A m＝ ．
56．若两个正整数x，y满足且x≤y，则称x，y是一组“美丽数”，记为（x，y），则美丽数一共有 组．
57．在平面直角坐标系xOy中，定义：直线y＝kx+b的伴随点为（k，b）．例如直线y＝3x的伴随点为（3，0）．特别的，直线y＝b的伴随点为（0，b）．如图，平面上的三条直线l1：y＝2x，l2：y＝4，l3：y＝kx（k＜﹣1）两两相交且不交于同一点．三个交点分别为A，B，C，且l1，l2，l3各自的伴随点分别为A'，B'，C'，若△ABC与△A'B'C'相似，则k的值为 ．
58．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x＝n（n为常数）对称，则把该函数称之为“X（n）函数“．
（1）在下列关于x的函数中，是“X（n）函数”的是 （填序号）；
①；②y＝|4x|；③y＝x2﹣2x﹣5．
（2）若关于x的函数y＝|x﹣h|（h为常数）是“X（3）函数”，与（m为常数，m＞0）相交于A（xA，yA）、B（xB，yB）两点，A在B的左边，xB﹣xA＝5，则m＝ ．
59．[阅读理解]
在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b）（其中a＞0，b＞0），点P为平面内一点，现给出如下定义：将点P先向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度，得到点P'，点P'关于直线OM的对称点为Q．那么我们称点Q为点P关于点M的“平对点”．
[迁移运用]
在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b）（其中a＞0，b＞0），点P为平面内一点，点Q为点P关于点M的“平对点”．完成下列各题：
（1）当a＝1，b＝2时．
ⅰ）如图1，若点P的坐标为（﹣2，1），请在图中画出点Q；
ⅱ）如图2，若点P的坐标为（﹣2，2），连接PQ，求PQ的长；
（2）当点P在直线OM左侧时，连接PQ，OP，若直线PQ与直线OM相交所形成的锐角为45°，求线段OP的长的最小值（用含a，b的代数式表示）．
60．定义：由无数个小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点即为格点，顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．在格点三角形中，其内部（包含边界）的完整小正方形的个数与这个格点三角形的面积的比叫做这个格点三角形的“方正系数”．如图，在4×6的网格中，格点△ABC的面积为9，其内部有4个完整的小正方形，所以格点△ABC的“方正系数”是．若该4×6网格中另有一格点P，连接PA，PB，则格点△ABP的“方正系数”的最大值为 ．中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版9上期末一诊备考——培优必刷60题
一．几何最值（共13小题）
1．如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E是边AD上一个动点，过点E作AC的垂线，交直线BC于点F，则AF+FE+EC的最小值为 ．
【思路点拔】如图，过点E作EH⊥BC于点H．利用相似三角形的性质求出FH，EF，再过点C作CC′∥EF，使得CC′＝EF，连接C′F，得四边形EFC′C是平行四边形，根据勾股定理求出AC′，根据AF+EC＝AF+FC′≥AC′，即可AF+EF+CE的最小值．
【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于点H，交AC于点O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝∠BHE＝90°，
∴四边形ABHE是矩形，
∴EH＝AB＝5，
∵BC＝AD＝10，
∴AC＝5，
∵EF⊥AC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EFH+∠ACB＝90°，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠EFH＝∠BAC，
∴△EHF∽△CBA，
∴，
∴，
∴FH，EF，
过点C作CC′∥EF，使得CC′＝EF，连接C′F，AC′，
∵EF＝CC′，EF∥CC′，
∴四边形EFC′C是平行四边形，
∴EC＝FC′，
∵EF⊥AC，
∴AC⊥CC′，
∴∠ACC′＝90°，
∵AC′，
∴AF+EC＝AF+FC′≥AC′，
∴AF+EF+CE的最小值为．
故答案为：．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，当AE取得最小值时，BD的长为 2 ．
【思路点拔】过点E作EH⊥AC于H，由四边形DEFB是正方形，得∠BDE＝90°＝∠C，DE＝BD，可证明△BDC≌△DEH（AAS），即有EH＝CD，DH＝BC＝4，从而AH＝AC﹣DH﹣CD＝4﹣CD，而AE2＝AH2+EH2＝（4﹣CD）2+CD2＝2（CD﹣2）2+8，根据二次函数性质可得AE取得最小值时，CD＝2，即可得到答案．
【解答】解：过点E作EH⊥AC于H，如图：
∵四边形DEFB是正方形，
∴∠BDE＝90°＝∠C，DE＝BD，
∴∠EDA+∠BDC＝90°，∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠DBC＝∠EDA，且DE＝BD，∠DHE＝∠C＝90°，
∴△BDC≌△DEH（AAS）
∴EH＝CD，DH＝BC＝4，
∴AH＝AC﹣DH﹣CD＝8﹣4﹣CD＝4﹣CD，
∵AE2＝AH2+EH2＝（4﹣CD）2+CD2＝2（CD﹣2）2+8，
∵2＞0，
∴当CD＝2时，AE2最小，AE也最小，
此时BD2，
故答案为：2．
3．如图，在菱形ABCD中，AB，∠BAD＝120°，G为CD边上一动点，作GF⊥BD于点F，GH⊥AC于点H，当HF+FG取得最小值时，DG＝ ．
【思路点拔】在DC的下方作射线DE，使得∠CDE＝CDO，过点G作GT⊥DE于点T．证明FH＝OG，GF＝GT，推出FH+FG＝OG+GT，当O，G，T共线时，FH+FG的值最小．
【解答】解：在DC的下方作射线DE，使得∠CDE＝CDO，过点G作GT⊥DE于点T．
∵GF⊥DF，GT⊥DT，∠GDO＝∠GDT，
∴GF＝GT，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵GH⊥AC，
∴∠GHO＝∠HOF＝∠GFO＝90°，
∴四边形OHGF是矩形，
∴FH＝OG，
∴FH+FG＝OG+GT，
∴当O，G，T共线时，FH+FG的值最小，
∵AB∥CD，∠BAD＝120°，
∴∠ADC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ADB＝∠CDO＝∠CDT＝30°，
∴∠ODT＝60°，
∵AB＝AD，
∴OD＝AD cos30°，
∴DT＝OD cos60°，
∴DG．
故答案为：
4．如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠ABO＝∠CDO，E为OA的中点，OA＝4，OB＝6．将△COD绕点O旋转，直线AC，BD交于点F，连接EF，则EF的最小值是 3 ．
【思路点拔】当E、S、F共线时，EF取最小值等于FS﹣ES，由题意可知，△AOB∽△COD，进而可得△DOB∽△COA，所以∠OBD＝∠OAC，根据四边形内角和可得∠AOB＝∠AFB＝90°，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出FS的长，根据中位线定理可得ES的长，由此可得结论．
【解答】解：如图，取AB的中点S，连接ES、FS，
则FS﹣ES≤FE≤ES+FS．
∵∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，
∴AB＝2，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠ABO＝∠CDO，
∴△AOB∽△COD，
∴OB：OD＝OA：OC，
∴△DOB∽△COA，
∴∠OBD＝∠OAC．
∵∠OBD+∠FBO＝180°，
∴∠OAC+∠FBO＝180°，∠AOB+∠AFB＝180°，
∴∠AFB＝∠AOB＝90°，
又∵S为AB的中点，
∴FSAB．
∵E为OA的中点，S为AB的中点，
∴ESOB＝3，
∴EF的最小值为3．
故答案为：3．
5．如图，在三角形△ABC中，∠BAC＝50°，AB＝AC，BD⊥AC于D，M，N分别是线段BD，BC上的动点，BM＝CN，当AM+AN最小时，∠MAD＝ 12.5° ．
【思路点拔】在BC下方作△CNA'，使△CNA'≌△BMA，连接AA'，则AM+AN最小值为AA'，此时A、N、A'三点在同一直线上，推出∠A'AC＝∠A'37.5°，所以∠BAM＝37.5°，即可得到∠MAD＝∠BAC﹣∠BAM＝50°﹣37.5°＝12.5°．
【解答】解：在BC下方作△CNA'，使△CNA'≌△BMA，连接AA'．
则∠NCA'＝∠MBA，AM＝A'N．
∴AM+AN＝A'N+AN≥AA'，
即AM+AN最小值为AA'，此时A、N、A'三点在同一直线上．
∵∠BAC＝50°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝65°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠NCA'＝40°，
∴∠ACA'＝65°+40°＝105°，
∴∠A'AC＝∠A'37.5°，
∴∠BAM＝37.5°，
∴∠MAD＝∠BAC﹣∠BAM＝50°﹣37.5°＝12.5°，
故答案为：12.5°．
6．已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝8，点E、F分别是边AB、CD的中点，点P为AD边上动点，过点P作与AB平行的直线交AF于点G，连接PE，点M是PE中点，连接MG，则MG的最小值＝ ．
【思路点拔】方法一：如图，过点M作MN⊥PG于点N，取AP的中点H，连接MH，EF，设AP＝x，则AH＝PHx，利用矩形性质和三角形中位线定理可得：MHAE＝2，再证明四边形MNPH是矩形，可得：PN＝MH＝2，MN＝PHx，再证得△APG是等腰直角三角形，得出PG＝AP＝x，推出NG＝PG﹣PN＝x﹣2，运用勾股定理可得MG2＝MN2+NG2＝（x）2+（x﹣2）2（x）2，再运用二次函数性质即可求得答案．
方法二：如图，以点D为原点，直线CD为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系，设P（0，t），运用中点坐标公式可得M（﹣2，），利用待定系数法求得直线AG的解析式为y＝x+4，进而可得G（t﹣4，t），再运用两点间距离公式即可求得答案．
【解答】解：方法一：如图，过点M作MN⊥PG于点N，取AP的中点H，连接MH，EF，
设AP＝x，则AH＝PHx，
∵四边形ABCD是矩形，且AB＝2AD＝8，
∴AB＝CD＝8，AD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，AB∥CD，
∵PG∥AB，
∴PG∥CD，
∴∠APG＝∠D＝90°，
∵点E、F分别是边AB、CD的中点，AB＝2AD＝8，
∴AE＝AD＝DF＝4，
∵点M是PE中点，点H是AP的中点，
∴MH∥AB，MHAE＝2，
∴∠PHM＝∠BAD＝90°，
∵MN⊥PG，
∴∠MNP＝∠MNG＝90°＝∠PHM＝∠APG，
∴四边形MNPH是矩形，
∴PN＝MH＝2，MN＝PHx，
∵AD＝DF，∠D＝90°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠AFD＝45°，
∵PG∥CD，
∴∠AGP＝∠AFD＝45°，
∵∠APG＝90°，
∴△APG是等腰直角三角形，
∴PG＝AP＝x，
∴NG＝PG﹣PN＝x﹣2，
在Rt△MNG中，MG2＝MN2+NG2＝（x）2+（x﹣2）2（x）2，
∵0，
∴当x时，MG2取得最小值，
∵MG，
∴MG的最小值为，
故答案为：．
方法二：如图，以点D为原点，直线CD为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系，
∵四边形ABCD是矩形，且AB＝2AD＝8，
∴A（0，4），B（﹣8，4），C（﹣8，0），D（0，0），
∵点E、F分别是边AB、CD的中点，
∴E（﹣4，4），F（﹣4，0），
设P（0，t），
∵点M是PE中点，
∴M（﹣2，），
设直线AG的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴直线AG的解析式为y＝x+4，
∵PG∥x轴交AF于G，
∴G（t﹣4，t），
∴MG2＝[（t﹣4）﹣（﹣2）]2+（t）2t2﹣6t+8（t）2，
∵0，
∴MG2有最小值，
∵MG＞0，
∴MG的最小值为，
故答案为：．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，动点E从点A出发沿AD运动，同时，点F从点B出发沿BC运动．连接EF，过点D作DG⊥EF于点G，连接BG，若点F的运动速度是点E的2.5倍，则在点F从点B运动到点C的过程中，线段BG的最小值是 2 ．
【思路点拔】延长FE交BA的延长线于M，连接DM，设DM的中点为N，过点N作NH⊥BM，以N为圆心，BM为直径作圆，连接NG，BN，根据题意可得点G在以DM为直径的圆上运动，由图可知，当B，N，G三点共线时，BG取得最小值，最小值为BN﹣NG，由题意不难证明，以此求得MA＝4，根据勾股定理可求得DM，则NG，由题意不难证明HN为△MAD的中位线，以此得出NH＝4，BH＝8，根据勾股定理可求得BN，最后求出BN﹣NG即可解答．
【解答】解：如图，延长FE交BA的延长线于M，连接DM，设DM的中点为N，过点N作NH⊥BM，以N为圆心，DM为直径作圆，连接NG，BN，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，AD＝8，
∴AD∥BC，
∴△MAE∽△MBF，
∴，
∵点F的运动速度是点E的2.5倍，点E，F分别从点A，B同时出发，
∴，
∴，
∴MA＝4，
∴DM，
∵DG⊥EF，
∴点G在以DM为直径的圆上运动，
∴NG，
由图可知，当B，N，G三点共线时，BG取得最小值，最小值为BN﹣NG，
∵NH⊥BM，且点N为DM的中点，
∴HN∥AD，
∴HN为△MAD的中位线，
∴，NH，
∴BH＝AB+AH＝8，
∴，
∴线段BG的最小值是BN﹣NG．
故答案为：．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为边CD上一动点，连接AP交对角线BD于点E，过点E作EF⊥AP，EF交BC于点F，连接AF交BD于点G，在点P的运动过程中，△AEG面积的最小值为 ．
【思路点拔】设BF＝x．想办法用x表示出EG，根据一元二次方程，利用根的判别式，求出EG的最小值，可得结论．
【解答】解：设BF＝x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABF＝∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，AD∥CB，
∵AB＝3，
∴AF，BD5，
∵AD∥BF，
∴，
∴AG ，DG5，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠ABF＝90°，
∴A，B，F，E四点共圆，
∴∠FAE＝∠FBE，
∵∠ADB＝∠FBD，
∴∠GAE＝∠ADG，
∵∠AGE＝∠AGD，
∴△AGE∽△DGA，
∴，
∴AG2＝GE GD，
∴EG，
令EG＝y，
则有5yx+20y＝4x2+36，
∴4x2﹣5yx+36﹣20y＝0，
由题意（5y）2﹣4×4×（36﹣20y）≥0，
∴25y2+320y﹣16×36≥0，
∴（5y﹣8）（5y+72）≥0，
解得y或y，
∴EG的最小值为，
过点A作AH⊥BD于点H．
∵ BD AH AB AD，
∴AH，
∴△AEG的面积的最小值为．
解法二：如图，作△AEG的外接圆O，过点A作AH⊥BD一点H，过点O作OM⊥BD于点M，连接OE，OG．
由题意∠GOM＝∠EOM＝∠EAG＝∠DBC，
∴tan∠GOM＝tan∠DBC，
设GM＝3m，OM＝4m，则GE＝6m，OA＝OG＝5m，
∵OA+OM≥AH，
∴5m+4m，
∴m，
GE＝6m，
∴S△AEG AH EG，
∴△AEG的面积的最小值为．
故答案为：．
9．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（点E不与B，C重合），连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，点G是点C关于直线BF的对称点，连接AG，DG，GF，则当GF取得最小值时，△AGD的面积是 8 ．
【思路点拔】由BF⊥AE，可知F点在以AB为直径的半圆上，连接CG，延长BF交CG于点M，再由点G是点C关于直线BF的对称点，可得CF＝FG，则当O、F、C三点共线时，CF取最小值，此时FG也取最小值；连接OC，取BE的中点N，可得ON∥AE，再由，求出BE＝22，AE2＝40﹣8，连接CG交BF的延长线于点M，可证明△ABF≌△BCM（AAS），则BF＝CM，由对称性可知，MG＝CM，可得CG＝2BF，过点G作GK⊥BC交于点K，由cos∠BAE，求出GK，则G点AD的距离为4，再求S△AGD＝8即可．
【解答】解：∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∴F点在以AB为直径的半圆上，
连接CG，延长BF交CG于点M，
∵点G是点C关于直线BF的对称点，
∴CF＝FG，
当O、F、C三点共线时，CF取最小值，此时FG也取最小值，
连接OC，取BE的中点N，
∴ON∥AE，
∴，即，
∵BC＝4，
∴OB＝2，OF＝2，
∴OC＝2，
∴，
解得EN1，
∴BE＝22，
∴AE2＝40﹣8，
∵∠BFA＝90°，
∴BF，
连接CG交BF的延长线于点M，
∴∠BMC＝90°，
∵∠CBM＝∠BAE，AB＝BC，
∴△ABF≌△BCM（AAS），
∴BF＝CM，
由对称性可知，MG＝CM，
∴CG＝2BF，
过点G作GK⊥BC交于点K，
∵cos∠BAE，
∴GK，
∴G点AD的距离为4，
∴S△AGD4×（4）＝8，
故答案为：8．
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝30°，P为AD边上一动点，将△PCD沿CP折叠为△PCD′，E为AB边上一点，BE＝CE，则D′E的最小值为 ．
【思路点拔】作EF⊥BC于点F，由菱形的性质得BC＝CD＝AB＝2，因为BE＝CE，所以BF＝CF＝1，而∠B＝30°，则BE＝2EF，所以BFEF＝1，求得EF，则BE＝CE＝2EF，由折叠得CD′＝CD＝2，因为D′E+CE≥CD′，所以D′E2，则D′E，即可求得D′E的最小值为，于是得到问题的答案．
【解答】解：作EF⊥BC于点F，则∠CFE＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠B＝30°，
∴BC＝CD＝AB＝2，
∵BE＝CE，
∴BF＝CFBC＝1，
∵∠B＝30°，
∴BE＝2EF，
∴BFEF＝1，
∴EF，
∴BE＝CE＝2EF＝2，
由折叠得CD′＝CD＝2，
∵D′E+CE≥CD′，
∴D′E2，
∴D′E，
∴D′E的最小值为，
故答案为：．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E是BC上的动点，点F是BE的中点，AE，FD相交于点G，则AG的最小值为 ．
【思路点拔】令MB＝x，MG＝y，BF＝a，由相似三角形的性质推出y＝3x，由勾股定理得到AG2关于x的二次函数关系式，求出AG2的最小值，从而求出AG的最小值．
【解答】解：作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，
令MB＝x，MG＝y，BF＝a，
∵F是BE中点，
∴FE＝BF＝a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，AB＝DC＝4，AD∥BC，AB∥DC，
∴△AMG∽△ABE，
∴，
同理：，
∴，，
∴y＝3x，
在Rt△AMG中，
∵AG2＝AM2+MG2，
∴AG2＝（4﹣x）2+（3x）2＝10x2﹣8x+16＝10，
∴当x时，AG2有最小值，
∴AG的最小值是．
故答案为：．
12．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E和F分别为AD、AB上的动点，且AE＝BF，以EF为底边在右侧构造等腰△EFG且满足，连接CG，则CG的最小值为 ．
【思路点拔】过点G作GH⊥EF于H，过点H作PQ∥AB与过点G作GQ⊥PQ交于点Q，根据中位线定理设PE＝x，则AE＝BF＝2x，根据推出，再证明△HEP∽△GHQ得出HQ＝2x，GQ＝4﹣2x，过点G作GT⊥BC于T，利用勾股定理表示出CG的长即可得出结果．
【解答】解：如图，过点G作GH⊥EF于H，过点H作PQ∥AB与过点G作GQ⊥PQ交于点Q，
∵EG＝FG，GH⊥EF，
∴H为EF的中点，
设PE＝x，则AE＝BF＝2x，
∴AF＝4﹣2x，
∴PH＝2﹣x，
∵，
∴，
∴，
∵∠PHE+∠PEH＝∠PHE+∠GHQ＝90°，
∴∠PEH＝∠GHQ，
又∵∠HPE＝∠HQG，
∴△HEP∽△GHQ，
∴HQ＝2x，GQ＝4﹣2x，
过点G作GT⊥BC于T，
则BT＝x+4﹣2x＝4﹣x，
∴CT＝x，GT＝4﹣（2﹣x+2x）＝2﹣x，
∴CG，
当x＝1时，CG有最小值为，
故答案为：．
13．如图，在四边形ABDC中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DC＝3，BC＝5，若点M，点N分别在AB边和CD边上运动，且AM＝DN，连接MN，则MN的最小值为 ．
【思路点拔】作∠BAC的平分线交BC于点O，连接DO，AD，OM，ON，AD交BC于点F．通过证明三角形全等、相似，利用全等三角形、相似三角形的性质及勾股定理，最后得结果．
【解答】解：如图：作∠BAC的平分线交BC于点O，连接DO，AD，OM，ON，AD交BC于点F．
则∠BAO＝∠OAC∠BAC＝45°，
在Rt△ABC和Rt△DBC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DBC（HL），
∴∠ACB＝∠DCB，
在△AOC和△DOC中，
，
∴△AOC≌△DOC（SAS），
∴AO＝DO，∠OAC＝∠ODC＝45°，
∴∠BAO＝∠ODC，
在△OMA和△OND中，
，
∴△OMA≌△OND（SAS），
∴OM＝ON，∠AOM＝∠DON，
∵∠MON＝∠AOM+∠AON，∠AOD＝∠AON+∠DON，
∴∠MON＝∠AOD，
又∵，
∴△MON∽△AOD，
∴，
∴MN，
过点O作OE⊥AB于E，
则OE∥AC，
∴△OEB∽△CAB，
∴，
∴，
∵tan∠BAO1，
∴OE＝AE，
∵AB4，
∴，
∴OE＝AE，
∴OA，
在△ACF和△DCF中，
，
∴△ACF≌△DCF（SAS），
∴∠AFC＝∠DFC，AF＝DF，
∵∠AFC+∠DFC＝180°，
∴∠AFC＝90°，
∴AF⊥BC，
∵S△ABCAB AC＝6，
S△ABCAF＝6，
∴AF＝DF，
∴AD＝AF+DF，
∴MN OM，
∴当OM取最小值时MN的值最小，
∵点O为定点，
∴当OM⊥AB时OM的值最小，
∵OE⊥AB，
∴O M的最小值为OE的值，
∴MN，
∴MN的最小值为，
故答案为：．
二．反比例函数（共10小题）
14．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC∥x轴，分别交y（x＞0），y（x＜0）的图象于B，C两点，若△ABC的面积是3，则k的值为 ﹣4 ．
【思路点拔】连接OC、OB，如图，由于BC∥x轴，根据三角形面积公式得到S△ACB＝S△OCB，再利用反比例函数系数k的几何意义得到 |2| |k|＝3，然后解关于k的绝对值方程可得到满足条件的k的值．
【解答】解：连接OC、OB，如图，
∵BC∥x轴，
∴S△ACB＝S△OCB，
而S△OCB |2| |k|，
∴ |2| |k|＝3，
而k＜0，
∴k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
15．如图，反比例函数的图象过点A，反比例函数的图象与直线OA交于点B，C，已知OB：OA＝1：3，过点A分别作y轴和x轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点D和E，连接CD交y轴于G，连接CE交x轴于点F，当△CFG的面积为1时，a+b＝ ．
【思路点拔】延长AD交x轴于点N，过点B作BM⊥x轴于点M，证明△BOM∽△AON，得出，求出a＝9b，设点且m＞0，则，，求出点B的坐标为，从而得出点C的坐标为，求出直线CE的解析式为，得出，求出直线CD的解析式为，得出，根据S△CFG＝S△COG+S△COF﹣S△OFG＝1，求出，得出，最后求出结果即可．
【解答】解：延长AD交x轴于点N，过点B作BM⊥x轴于点M，如图所示：
∵AD∥y轴，
∴AN⊥x轴，
∴，
∵BM⊥x轴，
∴，
∵∠OMB＝∠ONA＝90°，∠BOM＝∠AON，
∴△BOM∽△AON，
∴，
∴，
即，
∴a＝9b，
设点且m＞0，则，，
∵△BOM∽△AON，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
∵B、C两点是正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点，
∴B与C关于原点对称，
∴点C的坐标为，
设直线CE的解析式为y＝kx+t，把，代入得：，
解得：，
∴直线CE的解析式为，
把y＝0代入得：，
解得：，
∴，
设直线CD的解析式为y＝k'x+t'，把，代入得：，
解得：，
∴直线CD的解析式为，
把x＝0代入得：，
∴，
∵S△CFG＝S△COG+S△COF﹣S△OFG＝1，
∴，
即，
解得：
∴，
∴．
故答案为：．
16．如图，正比例函数y1x与反比例函数y2（x＞0）的图象交于点A，另有一次函数yx+b与y1、y2图象分别交于B、C两点（点C在直线OA的上方），且OB2﹣BC2，则k＝ ．
【思路点拔】设直线BC与y轴交于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥BE于点F，由此可得△OBD是等腰三角形，△BCF含30°的直角三角形，设BF＝t，则可表达点C的坐标，根据题干条件，建立方程，再根据点C在反比例函数上，可得出结论．
【解答】解：如图，设直线BC与y轴交于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，
令x＝0，
∴y＝b，
∴D（0，b），
令yxx+b，
∴xb，
∴B（b，b），
∴DE＝OEb，
∴△OBD是等腰三角形，
∵OEb，BEb，
∴OBb，
∴∠BOE＝∠BDE＝30°，
∴∠EBD＝∠ABE＝60°，
过点C作CF⊥BE于点F，
∴∠BCF＝30°，
设BF＝t，则CFt，BC＝2t，
∴C（b﹣t，bt），
∵OB2﹣BC2，
∴（b）2﹣4t2，
则t2b2，
∵点C（b﹣t，bt）在反比例函数y上，
∴k＝（b﹣t）（bt）（b2﹣3t2）；
故答案为：．
17．如图，直线y＝﹣x与双曲线y（k＜0）相交于A，B两点（点A在B的左侧），点C是位于点A左侧的双曲线上任意一点．直线AC，BC分别交x轴于D，E两点，则 2 ．
【思路点拔】作AG⊥x轴于G，CH⊥AG于H，BQ⊥CH，交CH的延长线于Q，两解析式联立成方程组，解方程组求得A、B的坐标，设C（a，），利用平行线分线段成比例定理得 1，同理得 1，即可得出答案．
【解答】解：作AG⊥x轴于G，CH⊥AG于H，BQ⊥CH，交CH的延长线于Q，
解得或，
∴A（，），B（，），
设C（a，），
∵CH∥DG，
∴1，
同理得，1，
则1（1）＝2．
故答案为：2．
18．如图，已知正比例函数yx与反比例函数y交于A、B两点，点C是第三象限反比例函数上一点，且点C在点A的左侧，线段BC交y轴的正半轴于点P，若△PAC的面积是12，则点C的坐标是 （﹣6，﹣1） ．
【思路点拔】解析式联立成方程组，解方程组求得A、B的坐标，设C（m，），利用待定系数法求得直线BC为yx+3，过A作y轴的平行线交BC于点Q，则，即可求得AQ＝6，则根据S△APCAQ（xP﹣xC）＝12，得到关于m的方程，解方程求得m＝﹣6，即可求得点C（﹣6，﹣1）．
【解答】解：联立，
解得或，
∴A（﹣2，﹣3），B（2，3），
设C（m，），
设直线BC为y＝kx+b，则，
解得k，b＝3，
∴直线BC为yx+3，
过A作y轴的平行线交BC于点Q，则，
∴AQ＝6，
∴S△APCAQ（xP﹣xC）＝12，即：，
解得，m＝﹣6，
∴C（﹣6，﹣1）．
故答案为：（﹣6，﹣1）．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与矩形OABC相交于D，E两点，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的纵坐标为3，点D的横坐标为1．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接DE，OB，DE与OB相交于点F．i）求证：DF＝EF；
ii）连接OD，当△ODF是直角三角形时，求此时OF的长．
【思路点拔】（1）由点B的纵坐标为3，点D的横坐标为1，得D（1，3），将D（1，3）代入y，求得k＝3，则反比例函数的表达式为y；
（2）设A（x，0）（x＞0），则E（x，），B（x，3），所以BD＝x﹣1，BE＝3，
i）可证明1，而∠DBE＝∠OAB＝90°，则△DBE∽△OAB，得∠DEB＝∠OBA，再根据“等角的补角相等”证明∠EDB＝∠OBD，即可证明DF＝EF＝BF；
ii）分两种情况，一是△ODF是直角三角形，且∠OFD＝90°，则OB垂直平分DE，所以BD＝BE，于是有x﹣1＝3；二是△ODF是直角三角形，且∠ODF＝90°，可证明△BDE∽△COD，根据“相似三角形的对应边成比例”推导出BD BE＝3BE，于是有x﹣1＝3（3），求出相应的符合题意的x的值，再分别求出AO、BD、BE的值，进而求出OB、BF的值，即可求出相应的OF的长．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，
∴BC∥x轴，AB∥y轴，
∵点B的纵坐标为3，点D的横坐标为1，
∴D（1，3），
∵反比例函数y的图象经过点D（1，3），
∴k＝xy＝1×3＝3，
∴反比例函数的表达式为y．
（2）设A（x，0）（x＞0），则E（x，），B（x，3），
∴BD＝x﹣1，BE＝3，
i）证明：如图1，∵1，1，
∴，
∵∠DBE＝∠OAB＝90°，
∴△DBE∽△OAB，
∴∠DEB＝∠OBA，
∵∠EDB+∠DEB＝90°，∠OBD+∠OBA＝90°，
∴∠EDB＝∠OBD，
∴DF＝EF＝BF．
ii）当△ODF是直角三角形，且∠OFD＝90°，如图2，
∵DF＝EF，OB⊥DE，
∴BD＝BE，
∴x﹣1＝3，
解得x1＝3，x2＝1（不符合题意，舍去），
∴AO＝AB＝3，BD＝BE＝3﹣1＝2，
∴OB3，DE2，
∴BFDE，
∴OF＝OB﹣BF＝32；
当△ODF是直角三角形，且∠ODF＝90°，如图3，
∵∠DBE＝∠OCD＝90°，
∴∠BDE＝∠COD＝90°﹣∠CDO，
∴△BDE∽△COD，
∴，
∵CO＝AB＝3，CD＝1，
∴BD BE＝3BE，
∴x﹣1＝3（3），
解得x1＝9，x2＝1（不符合题意，舍去），
∴AO＝9，BE＝3，BD＝9﹣1＝8，
∴OB3，DE，
∴BFDE，
∴OF＝OB﹣BF＝3，
综上所述，OF的长为2或．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+2与反比例函数的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，m）．
（1）求反比例函数的函数表达式和点B的坐标．
（2）若A′是A点关于原点的对称点，连接AA′，BA′，求△A′AB的面积．
（3）连接OA，将线段OA绕点O顺时针旋转45°交反比例函数的图象于点C，D是x轴上一点，是否存在这样的点D，使得以O、C、D为顶点，OC为腰的等腰三角形？若存在，请写点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）先求出m值，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出直线与x轴的交点E的坐标，再依据S△A′AB＝2S△AOB＝2（S△AOE+S△BOE）代入数据计算即可；
（3）利用半角模型求出直线OC解析式，联立方程组求出点C坐标，根据等腰三角形性质直接写出符合题意的点D坐标即可．
【解答】解：（1）∵点A（1，m）在一次函数y＝x+2的图象上，
∴m＝1+2＝3，
∴A（1，3），
∴反比例函数解析式为y，
联立方程组得，解得，，
∴B（﹣3，﹣1）．
（2）如图1，连接BO，延长AO交反比例函数图象于点A′，直线AB交x轴于点E，
∵A′是A点关于原点的对称点，
∴A′（﹣1，﹣3），
在直线y＝x+2中，当y＝0时，x＝﹣2，
∴E（﹣2，0），即OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOE+S△BOE4，
根据反比例函数的图象关于原点成中心对称图形，
∴OA＝OA′，
∴S△A′AB＝2S△AOB＝2×4＝8．
（3）如图2，存在这样的点D，点D位置有三处：
∵线段OA绕点O顺时针旋转45°交反比例函数的图象于点C，
∴α+β＝45°，
∵tanα，
∴tanβ，
直线OC解析式为y，
，解得，
∴C（，），
∴OC，
∴D1（，0），D2（，0），D3（2，0）．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+7的图象与反比例函数y（x＞0）的图象相交于A（1，6），B两点，P（0，﹣1）是y轴上的一个定点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）H是线段AB上的一点，当△PAB的面积被线段PH分成面积比为2：3的两部分时，求点H的坐标；
（3）在（2）的条件下，请在x轴上找点M，平面内找点N，使得四边形PHMN为矩形，求M，N两点的坐标．（直接写出答案）
【思路点拔】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式可得出k的值；联立反比例函数与一次函数的解析式，可得出点B的坐标；
（2）由点B，P的坐标可得出直线BP的解析式，分别过点A，H作y轴的平行线，与BP交于点M，N，设点H的横坐标为t，根据三角形的面积公式，建立关于t的方程，解之可得点H的坐标；
（3）由题意可知，∠PHM＝90°，分别表达PH，HM，PM，根据勾股定理建立方程，可求出点M的横坐标，再根据矩形的性质可得出点N的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（1，6）在反比例函数y（x＞0）的图象上，
∴k＝1×6＝6；
∴反比例函数的解析式为：y；
令x+7，得x＝1或x＝6，
∴B（6，1）；
（2）∵B（6，1），P（0，﹣1），
∴直线BP的解析式为：yx﹣1；
如图，连接PH，分别过点A，H作y轴的平行线，与BP交于点M，N，设点H的横坐标为t，
∴H（t，﹣t+7），M（1，），N（t，t﹣1），
∴AM＝6﹣（）；HN＝﹣t+7﹣（t﹣1）t+8；
∴S△BPH（xB﹣xA） HN（6﹣0）×（t+8）＝﹣4t+24；
S△OAB（xB﹣xA） AM（6﹣0）20；
∵△PAB的面积被线段PH分成面积比为2：3的两部分，
∴S△BPH：S△OAB＝2：5或S△BPH：S△OAB＝3：5；
∴（﹣4t+24）：20＝2：5或（﹣4t+24）：20＝3：5，
解得t＝3或t＝4，
∴H（3，4）或（4，3）；
（3）∵四边形PHMN为矩形，
∴∠PHM＝90°，
∴PH2+HM2＝PM2；
设M（m，0），
当点H（3，4）时，PH2＝32+52＝34，PM2＝m2+1，HM2＝（m﹣3）2+16，
∴34+（m﹣3）2+16＝m2+1，
解得m；
∴M（，0），
由矩形的性质可知，N（，﹣5）；
当点H（4，3）时，PH2＝42+42＝32，PM2＝m2+1，HM2＝（4﹣m）2+9，
∴32+（4﹣m）2+9＝m2+1，
解得m＝7，
∴M（7，0），
由矩形的性质可知，N（3，﹣4）；
综上，若四边形PHMN为矩形，则M（，0），N（，﹣5）或M（7，0），N（3，﹣4）．
22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，在第一象限内以OA为边作 OABC，点C在反比例函数的图象上，D是边AB的中点，点C的横坐标为2．
（1）如图1，若点D的纵坐标为，求反比例函数的解析式；
（2）如图2，若点D在反比例函数图象上且△OCD∽△CDB，求 OABC的面积．
（3）如图3，在（1）的条件下，将直线l1：yx向上平移得到直线l2，直线l2与双曲线交于M1，M2两点，点P为M1M2的中点，过点M1作M1N⊥l1于点N．试探究的值是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．
【思路点拔】（1）设A（m，0），由题分别求出C（2，），B（2+m，），D（1+m，），再由点D的纵坐标为，得到方程，求出k的值即可确定函数的解析式；
（2）设A（m，0），由（1）可知C（2，），B（2+m，），D（1+m，），由D点在反比例函数上能求出m＝3，再由△OCD∽△CDB，可求k＝4，从而确定点C（2，2），则 OABC的面积＝3×26；
（3）设直线直线l1：yx向上平移b个单位长度，与y轴交于点E，与x轴交于G点，过点O作OF⊥l1交于点F，求出OF＝M1Nb，当x+b时，3x2﹣4bx+24＝0，x1+x2b，求出P（b，b），可得OPb，即可求得．
【解答】解：（1）∵C点的横坐标为2，
∴C（2，），
设A（m，0），
∵四边形OABC是平行四边形，
∴B（2+m，），
∵D是AB的中点，
∴D（1+m，），
∵点D的纵坐标为，
∴，
解得k＝6，
∴反比例函数的解析式为y；
（2）设A（m，0），
由（1）可知C（2，），B（2+m，），D（1+m，），
∵D点在反比例函数上，
∴k，
解得m＝3，
∴A（3，0），B（5，），D（4，），
∵△OCD∽△CDB，
∴，即4 ，
解得k＝±4，
∵k＞0，
∴k＝4，
∴C（2，2），
∴ OABC的面积＝3×26；
（3）的值为定值，理由如下：
设直线直线l1：yx向上平移b个单位长度，与y轴交于点E，与x轴交于G点，
∴直线l2的解析式为yx+b，
∴E（0，b），
过点O作OF⊥l1交于点F，
∵M1N⊥l1，
∴M1N＝OF，
当y＝0时，x，
∴G（，0），
∴sin∠EGO，
∵∠OEF＝∠EGO，
∴OF＝M1Nb，
当x+b时，3x2﹣4bx+24＝0，
∴x1+x2b，
∵点P为M1M2的中点，
∴P（b，b），
∴OPb，
∴．
23．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b过定点P（2，3），与双曲线y交于第一象限的A，B两点．
（1）如图1，当直线AB解析式为y＝﹣x+5时，求A，B两点的坐标；
（2）如图1，若点P是AB的中点，求直线y＝kx+b的解析式；
（3）在（1）的条件下，如图2，过原点的直线l与线段AB交于点Q，与双曲线分别交于点M，N．记△ABN的面积为S1，△ABM的面积为S2，当时，求点Q的坐标．
【思路点拔】（1）联立直线AB和反比例函数的解析式，解之即可得出结论；
（2）由直线过定点可得直线的解析式为：y＝k（x﹣2）+3，联立直线AB与反比例函数的解析式，根据根与系数的关系及中点坐标公式可得出结论；
（3）设过原点的直线l的表达式为y＝mx，联立可得点M和点N的坐标，进而表达三角形ABN和△ABM的面积，根据比例为1：9建立关于m的方程，解之即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+5与双曲线y交于第一象限的A，B两点，
∴令﹣x+5，
解得x＝1或x＝4，
∴A（1，4），B（4，1）；
（2）∵直线y＝kx+b过定点P（2，3），
∴3＝2k+b，即b＝3﹣2k，
∴y＝kx﹣2k+3，
令kx﹣2k+3，
整理得，kx2﹣（2k﹣3）x﹣4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2，
∵P（2，3）是AB的中点，
∴2，
解得k，
∴直线的解析式为：yx+6；
（3）如图2，过点N作NC∥y轴交AB于点C，过点M作MD∥y轴交AB于D；
设过原点的直线l的解析式为：y＝mx，
由（1）知，A（1，4），B（4，1），
令mx，
解得x或x，
∴M（，﹣2），N（，2），
∴D（，5），C（，5），
∴MD5+2，
NC5﹣2，
∵△ABN的面积为S1，△ABM的面积为S2，，
∴，
解得m＝1，
∴直线MN的解析式为：y＝x，
令x＝﹣x+5，解得x＝2.5，
∴Q（2.5，2.5）．
三．一二次函数综合（共9小题）
24．如图，已知A（1，2），B（7，1），C（3.75，7.5），直线l：y＝kx+b经过点（5，0），点O关于直线l的对称点O′落在三角形ABC内（不含边界），则b的取值范围是 b＜5 ．
【思路点拔】点O关于直线l的对称点O′落在三角形ABC内（不含边界），则O′在线段AB上方、线段AC下方，即临界点为C、B，据此分析O′与C重合，O′与B重合的中点坐标，再运用待定系数法求得临界时的解析式，进而得出答案．
【解答】解：设l与x轴交于点P，则P（5，0），
∵O和O'关于直线l对称，
∴PO＝PO'，
∴点O'在以P为圆心，5为半径的圆弧上运动，
∵A（1，2），C（3.75，7.5），
∴直线AC表达式为y＝2x，
当O'落在O1位置上时，
设O1坐标为（a，2a），
则PO15，
解得a1＝0（舍去），a2＝2，
∴O1（2，4），
∴OO1中点坐标为（1，2），此时与A点重合，
∴直线PA表达式为yx，此时b；
∵B（7，1），C（3.75，7.5），
∴直线BC的表达式为y＝﹣2x+15，
当O'落在O2位置上时，
设O2坐标为（a，﹣2a+15），
则PO25，
解得a1＝9（舍去），a2＝5，
∴O2（5，5），
∴OO2中点坐标为（，），
此时l表达式为y＝﹣x+5，即b＝5；
故答案为：b＜5．
25．已知二次函数y＝﹣x2+x+2及一次函数y＝x+m，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝x+m与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是 ﹣3＜m＜﹣2 ．
【思路点拔】如图所示，过点B作直线y＝x+m1，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y＝x+m在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解．
【解答】解：如图所示，过点B作直线y＝x+m1，将直线向下平移到恰在点C处相切，
则一次函数y＝x+m在两条直线之间时，两个图象有4个交点，
令y＝﹣x2+x+2＝0，解得：x＝﹣1或2，即点B坐标（2，0），
翻折抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，
将一次函数与二次函数表达式联立并整理得：x2﹣2x﹣2﹣m＝0，
由Δ＝b2﹣4ac＝4+4（2+m）＝0，解得：m＝﹣3，
当一次函数过点B时，
将点B坐标代入：y＝x+m得：0＝2+m，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣3＜m＜﹣2．
26．如图1，在平面直角坐标系xOy点中，A（﹣3，0），点B在y轴正半轴上且BOAO．直线AC：yx的图象交y轴于点C，且射线AC平分∠BAO，点P是射线AC上一动点．
（1）求直线AB的表达式和点C的坐标；
（2）连接BP、OP，当S△ABP＝2S△OCP时，求点P的坐标；
（3）如图2，过点P作PQ⊥AB交x轴于点Q，连接CQ，当△ABC与以点P、Q、C为顶点的三角形相似时，求点P的坐标．
【思路点拔】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点P作PF⊥AB交于F点，过点P作PE⊥x轴交于点E，分别求出S△ABPPF×AB，S△CPOAO×PEAO×CO，由题意可得PF×AB＝|2AO×PE﹣2AO×CO|，从而求出PE＝9，则可求P（15，9）或（，）；
（3）过点P作PH⊥x轴交于点H，由题意可得∠PQA＝∠ABO，又由tan∠ABO，设PH＝3x，则QH＝4x，因为tan∠CAO，则可求OH＝6x﹣3，QO＝10x﹣3，P（6x﹣3，3x），由于△ABC∽△QCP，得到，求出x的值即可求P点坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∵BOAO，
∴BO＝4，
∴B（0，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴yx+4，
当x＝0时，y，
∴C（0，）；
（2）过点P作PF⊥AB交于F点，过点P作PE⊥x轴交于点E，
∵AP平分∠BAO，
∴PE＝PF，
∵A（﹣3，0），B（0，4），
∴AB＝5，
∴S△ABPPF×AB，S△CPO＝|AO×PEAO×CO|，
∵S△ABP＝2S△OCP，
∴PF×AB＝|2AO×PE﹣2AO×CO|，
∴PE＝9或PE，
∴P（15，9）或（，）；
（3）过点P作PH⊥x轴交于点H，
∵PQ⊥AB，
∴∠BAQ+∠PQA＝90°，
∵∠BAQ+∠ABO＝90°，
∴∠PQA＝∠ABO，
∵tan∠ABO，
∴，
设PH＝3x，则QH＝4x，
∵tan∠CAO，
∴AH＝6x，
∴OH＝6x﹣3，QO＝10x﹣3，
∴P（6x﹣3，3x），Q（10x﹣3，0），
当△ABC∽△QCP时，
∴，即，
解得x（舍）或x，
∴P（，）；
当△ABC∽△CQP时，
∴，即，
解得x，
∴P（，）．
27．抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣3与x轴负半轴交于A、B（点A在点B的左边）两点，与y轴负半轴交于点C．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）如图1，连接AC，过点B作BD∥AC，交抛物线于点D，直线AD、BC交于点P，求△PAC的面积；
（3）如图2，在（2）的条件下，点M是抛物线BC上一动点（不含C点），作MN∥AC交抛物线于另一点N，直线AN，CM交于点E，若S△ACE＝h，求点E的坐标（用含h的式子表示）．
【思路点拔】（1）当y＝0时，﹣x2﹣4x﹣3＝0解方程即可；
（2）分别求直线AC，BD，AD，BC的表达式，再求出点P的坐标，过点P作PE⊥x轴于点E，由S△APC＝S△APB+S△ABC即可求解；
（3）设M（m，﹣m2﹣4m﹣3），设lMN：y＝﹣x+t可求lMN：y＝﹣x﹣m2﹣3m﹣3，联立 ，可得N（﹣m﹣3，﹣m2﹣2m），求出 lAN：y＝（m+2）x+3m+6，同理可求得lCM：y＝﹣（m+4）x﹣3，联立，求得点，过点E作EF⊥x轴交 AC于点F，则，由S△AEC＝S△AEF+S△EFC，得，即，解得，则可表示出点E的坐标．
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2﹣4x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1，
∴A（﹣3，0），B（﹣1，0）；
（2）当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设lAC：y＝k1x+b1，代入A、C，得，
解得：，
∴lAC：y＝﹣x﹣3，
∵BD∥AC，
∴设lBD：y＝﹣x+m，代入点B，得m+1＝0，
∴m＝﹣1，
∴lBD：y＝﹣x﹣1，
联立 ，
解得：x＝﹣2或x＝﹣1（舍），
∴D（﹣2，1），
同理可求lAD：y＝x+3，lBC：y＝﹣3x﹣3，
联立 ，
解得，
∴，
过点P作PE⊥x轴于点E，
∴S△APC＝S△APB+S△ABC，
∴，
∴△PAC的面积为；
（3）设M（m，﹣m2﹣4m﹣3），
∵lAC：y＝﹣x﹣3，MN∥AC，
∴设lMN：y＝﹣x+t，
代入点M得﹣m2﹣4m﹣3＝﹣m+t，
∴t＝﹣m2﹣3m﹣3，
∴，
联立 得﹣x2﹣4x﹣3＝﹣x﹣m2﹣3m﹣3，
整理得（x﹣m）（x+m+3）＝0，
∴x1＝m，x2＝﹣m﹣3，
∴N（﹣m﹣3，﹣m2﹣2m），
设lAN：y＝k2x+b2，
代入点A、N得，
解得，
∴lAN：y＝（m+2）x+3m+6，
同理可求lCM：y＝﹣（m+4）x﹣3，
联立，
解得，
∴点，
过点E作EF⊥x轴交AC于点F，
∴，
∵S△AEC＝S△AEF+S△EFC，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
28．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【思路点拔】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）由PD∥OC，可得∠PEF＝∠ACO＝45°，故△PEF是等腰直角三角形，如图1，过点F作FH⊥PE于点H，则FHPE，可得：S△PEFPE×FHPE2，当PE最大时，S△PEF最大，利用待定系数法求得直线AC的解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（t，t+3），可得PE＝﹣（t）2，运用二次函数的性质求得PE的最大值即可得出答案；
（3）分两种情形：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，证得△PQG≌△ACO（AAS），根据点P到对称轴的距离为3，建立方程求解即可；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，则M（，），设点P的横坐标为x，根据中点公式建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴设y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入，得：3＝a×（0+3）×（0﹣1），
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC＝3，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，OC⊥AB，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
如图1，过点F作FH⊥PE于点H，
则FHPE，
∴S△PEFPE×FHPE2，
当PE最大时，S△PEF最大，
设直线AC的解析式为y＝kx+d，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（t，t+3），
∴PE＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t）2，
∵﹣1＜0，
∴当t时，PE取得最大值，
∴S△PEFPE2（）2，
∴△PEF的面积的最大值为；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（x，y），则|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
当x＝2时，y＝﹣5，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（，），
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此时y＝3，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．
（1）求a的值及点A，B的坐标；
（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；
（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
【思路点拔】（1）把点C代入抛物线解析式即可求出a，令y＝0，列方程即可求出点A、B坐标．
（2）先求出四边形ABCD面积，分两种情形：①当直线l边AD相交于点M1时，根据10＝3，求出点M1坐标即可解决问题．②当直线l边BC相交于点M2时，同理可得点M2坐标．
（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y＝kx+b，得到b＝k，利用方程组求出点M坐标，求出直线DN解析式，再利用方程组求出点N坐标，列出方程求出k，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，）．
∴a﹣3，解得：a，
∴y（x+1）2﹣3
当y＝0时，有（x+1）2﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（2，0）．
（2）∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，），D（﹣1，﹣3）
∴S四边形ABCD＝S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC3×3（3）×1210．
从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：
①当直线l边AD相交于点M1时，则10＝3，
∴3×（）＝3
∴2，点M1（﹣2，﹣2），过点H（﹣1，0）和M1（﹣2，﹣2）的直线l的解析式为y＝2x+2．
②当直线l边BC相交于点M2时，同理可得点M2（，﹣2），过点H（﹣1，0）和M2（，﹣2）的直线l的解析式为yx．
综上所述：直线l的函数表达式为y＝2x+2或yx．
（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y＝kx+b，
∴﹣k+b＝0，
∴b＝k，
∴y＝kx+k．
由，
∴（k）xk＝0，
∴x1+x2＝﹣2+3k，y1+y2＝kx1+k+kx2+k＝3k2，
∵点M是线段PQ的中点，
根据中点坐标公式得M（，），
∴点M（k﹣1，k2）．
假设存在这样的N点如图，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y＝kx+k﹣3
由，解得：x1＝﹣1，x2＝3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）
∵四边形DMPN是菱形，
∴DN＝DM，
∴（3k）2+（3k2）2＝（）2+（）2，
整理得：3k4﹣k2﹣4＝0，
∵k2+1＞0，
∴3k2﹣4＝0，
解得k＝±，
∵k＜0，
∴k，
∴P（﹣31，6），M（1，2），N（﹣21，1）
∴PM＝DN＝2，
∵PM∥DN，
∴四边形DMPN是平行四边形，
∵DM＝DN，
∴四边形DMPN为菱形，
∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣21，1）．
30．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣6，0），OA＝3OBOC，D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DG⊥AC于G．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求△ACD面积的最大值；
（3）连接BC，是否存在点D，使得△CDG中有一个角与∠BCO相等？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S△ACD＝S△ADF+S△CDF，即可求解；
（3）①当∠BCO＝∠DCG，即∠1＝∠2时，证明△QMA∽△AOC，得到，进而求解；②当∠BCO＝∠CDG，即∠1＝∠3时，同理可解．
【解答】解：（1）∵OA＝3OBOC＝6，
故点B（2，0）、点C（0，﹣4），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），
即﹣12a＝﹣4，
解得：a，
∴yx2x﹣4；
（2）过点D作DE⊥x轴于点E，交AC于点F．
∵A（﹣6，0），C（0，﹣4），
设直线AC的表达式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
则直线AC的表达式为：yACx﹣4，
设D（x，x2x﹣4），则F（x，x﹣4），
则DF＝（x﹣4）﹣（x2x﹣4）x﹣2x，
则S△ACD＝S△ADF+S△CDFDF |xC﹣xA|6×（x﹣2x）＝﹣（x+3）2+9≤9，
∴当x＝﹣3时，△ACD面积的最大值为9；
（3）过点A作AC垂线交CD延长线于点Q，过点Q作QM⊥x轴于点M．
①当∠BCO＝∠DCG，即∠1＝∠2时，
∵∠5+∠6＝∠6+∠4＝90°，
∴∠5＝∠4，又∠QMA＝∠AOC＝90°，
∴△QMA∽△AOC，
∴，
又tan∠2tan∠1，
∴，
∴QM＝3，MA＝2，
∴Q（﹣8，﹣3）又C（0，﹣4），
∴直线QC的表达式：yx﹣4，
联立得：，
解得：x＝0或x，
∴x；
②当∠BCO＝∠CDG，即∠1＝∠3时，
由①可知△QMA∽△AOC，
∴，
又∵DG⊥AC，QA⊥AC，
∴DG∥AQ，
∴∠3＝∠AQC，
∴tan∠AQCtan∠3＝tan∠1，
∴2，
∴QM＝12，MA＝8，
∴Q（﹣14，﹣12），
又∵C（0，﹣4），
∴直线QC的表达式：yx﹣4，
联立得：，
解得：x＝0或x，
∴x，
综上，存在，点D的横坐标为：或．
31．如图，直线y＝﹣x﹣4分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点B作BD∥AC交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线AC下方抛物线上的一动点，连接PD交AC于点E，连接EB，求S△PEB的最大值及最大值时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线y＝﹣2x与新抛物线交于O，G两点，点H是线段OG的中点，过H作直线RQ（不与OG重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线GR与直线OQ交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由．
【思路点拔】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由S△PBDPL×（xB﹣xD）（m2m+9）×5m2﹣2m，S△EBD＝S△CBDCD×OB，S△PEB＝S△PBD﹣S△EBDm2﹣2m，即可求解；
（3）确定﹣mn＝5（m+n）+50，求出点P的坐标为：（，），即可求解．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x﹣4分别交x轴，y轴于A，C两点，则点A、C的坐标分别为：（﹣4，0）、（0，﹣4），
则，解得：，
则抛物线的表达式为：yx2x﹣4；
（2）令yx2x﹣4＝0，则x＝5或﹣4，
即点B（5，0），
∵BD∥AC，
则直线BD的表达式为：y＝﹣x+5，即点D（0，5），
过点P作LP∥y轴交BD于点L，
设点P（m，m2m﹣4），则点L（m，﹣m+5），
则PL＝﹣m+5﹣（m2m﹣4）m2m+9，
则S△PBDPL×（xB﹣xD）（m2m+9）×5m2﹣2m，
∵BD∥AC，
则S△EBD＝S△CBDCD×OB（5+4）×5，
则S△PEB＝S△PBD﹣S△EBDm2﹣2m，
∵0，
故S△PEB有最大值2，此时m＝﹣2，点P的坐标（﹣2，）；
（3）在定直线，理由：
如图2，点P在一条定直线上．
由题意知抛物线C2：yx2，
∵直线OG的解析式为y＝﹣2x，
∴G（﹣10，20）．
∵H是OG的中点，
∴H（﹣5，10）．
设 Q（m，m2），R（n，n2），直线MN的解析式为y＝k1x+b1．
由点Q、R的坐标得：直线RQ的解析式为y（m+n）xmn．
∵直线MN经过点H，
则10（m+n）×5mn．
∴﹣mn＝5（m+n）+50．
同理，直线GR的解析式为y（n﹣10）x﹣2n；直线GO的解析式为ymx．
联立上述两个函数表达式得：（n﹣10）x﹣2nmx，
解得：x，
则点P的坐标为：（，），
设点P在直线y＝kx+b上，
则kb
整理得，﹣100﹣10m﹣10n＝bm+n（10k﹣b）+10b
比较系数，得：b＝﹣10，k＝﹣2，
∴当k＝﹣2，b＝﹣10时，无论m，n为何值时，都符合题设条件．
∴点P在定直线y＝﹣2x﹣10上．
32．如图，二次函数y＝mx2+（m2﹣m）x﹣2m+1的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1．
（1）求二次函数的表达式及A、B的坐标；
（2）如图2，过B、C两点作直线BC，连接AC，点P为直线BC上方的抛物线上一点，PF∥y轴交线段BC于F点，过点F作FE⊥AC于E点．设m＝PFFE，求m的最大值及此时P点坐标；
（3）将原抛物线x轴的上方部分沿x轴翻折到x轴的下方得到新的图象G，当直线y＝kx+k﹣6与新图象G有4个公共点时，求k的取值范围．
【思路点拔】（1）由顶点D的横坐标为1列方程即可得到答案；
（2）过B作BH⊥AC于H，过F作FG⊥y轴于G，设P（n，﹣n2+2n+3），用n的代数式表示m，再求最大值即可；
（3）直线y＝kx+k﹣6过定点（﹣1，﹣6），可知与新图象G有4个公共点k＞0，求出刚好过B时的k，再求出直线y＝kx+k﹣6与沿x轴翻折后的抛物线有两个交点时k的范围，数形结合即可得到答案．
【解答】解：（1）y＝mx2+（m2﹣m）x﹣2m+1顶点D的横坐标为1，
∴1，解得m＝﹣1，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）过B作BH⊥AC于H，过F作FG⊥y轴于G，如图：
∵二次函数y＝﹣x2+2x+3与y轴交点C（0，3），
且A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，OC＝3，AC，BC＝3，
∵S△ABCAB OCAC BH，
∴BH，
Rt△BHC中，sin∠HCB，
Rt△EFC中，EF＝CF sin∠HCBCF，
∴FE CFCF，
设P（n，﹣n2+2n+3），
由B（3，0），C（0，3）得BC解析式为y＝﹣x+3，
∴△BCO是等腰直角三角形，F（n，﹣n+3），
∴△GFC是等腰直角三角形，GF＝n，
∴CFGFn，
∴CF＝2n，即FE＝2n，
∴m＝PFFE＝PF+2n＝（﹣n2+2n+3）﹣（﹣n+3）+2n＝﹣n2+5n，
∴当n时，m最大，最大为﹣（）2+5，
此时P（，）；
（3）直线y＝kx+k﹣6总过（﹣1，﹣6），k＜0时，它和新图象G不可能有4个公共点，如图：
k＞0时，若二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3刚好经过B（3，0），由（﹣1，﹣6），B（3，0）可得直线解析式为yx，
此时直线yx与新图象G有3个交点，
∴直线y＝kx+k﹣6与新图象G有4个公共点，需满足k，
而抛物线y＝﹣x2+2x+3关于x轴对称的抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
若直线y＝kx+k﹣6与抛物线y＝x2﹣2x﹣3有两个交点，即是有两组解，
∴x2﹣（2+k）x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即[﹣（2+k）]2﹣4（3﹣k）＞0，
解得k＞﹣4+2或k＜﹣4﹣2（小于0，舍去），
∴k＞﹣4+2，
因此，直线y＝kx+k﹣6与新图象G有4个公共点，﹣4+2k．
四．圆综合（共4小题）
33．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝ ．
【思路点拔】首先作直径AE，连接CE，易证得△ABH∽△AEC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得⊙O半径．
【解答】解：作直径AE，连接CE，
∴∠ACE＝90°，
∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝90°，
∴∠ACE＝∠AHB，
∵∠B＝∠E，
∴△ABH∽△AEC，
∴，
∴AB，
∵AC＝24，AH＝18，AE＝2OC＝26，
∴AB，
故答案为：．
34．如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，，CE＝1，EB＝3，弦AD，BC相交于点E．
（1）求⊙O的半径；
（2）过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．
【思路点拔】（1）由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠OBC＝∠CBD，即可证；通过证明△ACE∽△BCA，可得，可得AC＝2，由勾股定理可求AB的长，即可求⊙O的半径；
（2）过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，通过证明△APC∽△CPB，可得，可求PA，即可求PO的长，通过证明△PHO∽△BCA，
可求PH，OH的长，由勾股定理可求HQ的长，即可求PQ的长．
【解答】解：（1）∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD，
∴∠OBC＝∠CBD，
∴，
∵CE＝1，EB＝3，
∴BC＝4，
∵，
∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴，
∴AC2＝CB CE＝4×1，
∴AC＝2，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB2，
∴⊙O的半径为；
（3）如图，过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，
∵PC是⊙O切线，
∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°，
∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA，
∴△APC∽△CPB，
∴，
∴PC＝2PA，PC2＝PA PB，
∴4PA2＝PA×（PA+2），
∴PA，
∴PO，
∵PQ∥BC，
∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90°，
∴△PHO∽△BCA，
∴，
即，
∴PH，OH，
∴HQ，
∴PQ＝PH+HQ．
35．如图，已知AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连接OD，BD，C为AB延长线上一点，连接CD，且∠BDC∠BOD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，CD，求BC和BD的长．
【思路点拔】（1）由BO＝OD得∠OBD＝∠ODB，由∠BOD+∠OBD+∠ODB＝180°得∠BOD+∠ODB＝90°，进而得∠ODC＝90°便可；
（2由勾股定理求得OC，便可得BC，证明△CBD∽△CDA得到BD：AD，再由勾股定理求得BD．
【解答】（1）证明：∵BO＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠BOD+∠OBD+∠ODB＝180°，
∴∠BOD+∠ODB＝90°，
∵∠BDC∠BOD，
∴∠BDC+∠ODB＝90°，
即∠ODC＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵OB＝OD＝2，CD，∠ODC＝90°，
∴OC，
∴BC＝OC﹣OB＝3﹣2＝1；
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A，
∵∠BOD＝∠A+∠ODA，
∴∠A∠BOD＝∠BDC，
∵∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CDA，
∴，即，
设BDx，则AD＝5x，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD2+BD2＝AB2，即，
解得x，
∴BD．
36．如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE是⊙O的切线．
（1）求证：FE＝FP；
（2）若⊙O的半径为4，sin∠F，求AG的长．
【思路点拔】（1）连接OE，因为FE与⊙O相切于点E，CD⊥AB于点H，所以∠OEF＝∠AHP＝90°，由OE＝OA得∠OEA＝∠OAE，根据等角的余角相等证明∠FEP＝∠FPE，则FE＝FP；
（2）由∠GHF＝∠GEO＝90°得∠GOE＝∠F＝90°﹣∠G，则sin∠GOE＝sin∠F，设GE＝3m，OG＝5m，根据勾股定理可求得OE＝4m＝4，则m＝1，所以OG＝5，即可求出AG的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵FE与⊙O相切于点E，
∴FE⊥OE，
∴∠OEF＝90°，
∴∠FEP+∠OEA＝90°，
∵CD⊥AB于点H，
∴∠AHP＝90°，
∴∠APH+∠OAE＝90°，
∵∠APH＝∠FPE，
∴∠FPE+∠OAE＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠FEP＝∠FPE，
∴FE＝FP．
（2）解：∵∠GHF＝∠GEO＝90°，
∴∠GOE＝∠F＝90°﹣∠G，
∴sin∠GOE＝sin∠F，
设GE＝3m，OG＝5m，则OE4m，
∵OA＝OE＝4，
∴4m＝4，
∴m＝1，
∴OG＝5×1＝5，
∴AG＝OA+OG＝4+5＝9；
∴AG的长为9．
五．几何综合（共18小题）
37．如图，正方形ABCD，AB＝2，点E为AD上一动点，将三角形ABE沿BE折叠，点A落在点F处，连接DF并延长，与边AB交于点G，若点G为AB中点，则AE＝ ．
【思路点拔】过点F作MN∥AB，分别交AD，BC于点M，N，根据点G为AB中点可得AG＝1，不难推出四边形ABNM为矩形，△DMF∽△DAG，则，设MF＝x，则DM＝2x，AM＝2﹣2x，NF＝2﹣x，BN＝AM＝2﹣2x，根据折叠的性质可得AE＝EF，AB＝BF＝2，根据勾股定理得BF2＝BN2+NF2，以此得出，，设AE＝y，则EF＝y，EM＝AD﹣DM﹣AE＝2，再根据勾股定理得EF2＝EM2+MF2，以此列出方程求解即可．
【解答】解：过点F作MN∥AB，分别交AD，BC于点M，N，如图，
，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝90°，AB＝AD＝2，四边形ABNM为矩形，
∴AM＝BN，AB＝MN＝2，
∵点G为AB中点，
∴1，
∵MN∥AB，
∴△DMF∽△DAG，
∴，
即DM＝2MF，
设MF＝x，则DM＝2x，AM＝2﹣2x，NF＝2﹣x，
∴BN＝AM＝2﹣2x，
根据折叠的性质得，AE＝EF，AB＝BF＝2，
在Rt△BNF中，
根据勾股定理得，BF2＝BN2+NF2，
∴22＝（2﹣2x）2+（2﹣x）2，
整理得，5x2﹣12x+4＝0，
解得：或2（舍去），
∴，，
设AE＝y，则EF＝y，EM＝AD﹣DM﹣AE＝2，
在Rt△EMF中，
由勾股定理得，EF2＝EM2+MF2，
∴，
∴y，
∴AE．
故答案为：．
38．如图，在矩形ABCD中．AB＝6，BC＝12，点P是DC上一点，且DP＝5，点E，F分别是AD，BC上的动点，连接EF，AP，始终满足EF⊥AP．连接AF，PF，PE，记四边形AEPF的面积为S1，记△ABF的面积为S2，记△FCP的面积为S3，记△EDP的面积为S4. ．
【思路点拔】作F作FH⊥AD于H，FH交AP于G，设EF交AP于M，证明△HEF∽△DPA，可得，HE，设BF＝AH＝m，即有S2AB BF6m＝3m，S3CF CP（12﹣m）×（6﹣5）＝6m，S4DP DE5×（m）m，S2+S3+S4＝3m+6mm，从而S1，即可得到答案．
【解答】解：作F作FH⊥AD于H，FH交AP于G，设EF交AP于M，如图：
∵四边形ABCD是矩形，FH⊥AD，
∴四边形ABFH是矩形，
∵EF⊥AP，FH⊥AD，
∴∠AHG＝90°＝∠GMF，
∵∠AGH＝∠FGM，
∴∠HAG＝∠HFE，
∵∠FHE＝90°＝∠D，
∴△HEF∽△DPA，
∴，
∵HF＝AB＝6，AD＝BC＝12，DP＝5，
∴，
∴HE，
设BF＝AH＝m，则CF＝12﹣m，DE＝12﹣AH﹣HE＝12﹣mm，
∴S2AB BF6m＝3m，S3CF CP（12﹣m）×（6﹣5）＝6m，S4DP DE5×（m）m，
∴S2+S3+S4＝3m+6mm，
∴S1＝6×12，
∴，
故答案为：．
39．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD，点E为边AD上一动点，点F为EC的中点，连接BE，点G在BE上，且EF＝GF，在点E从点D运动到点A的过程中，点G运动的路径长为 ．
【思路点拔】连接DF、CG，取BC的中点为H，连接GH，根据直角三角形斜边上中线的性质得FD＝FE＝FC＝FG，可知点C、D、E、G在以F为圆心，EF为半径的圆上，得∠CGE＝90°，从而得出点G在以H为圆心，2为半径的圆上运动，从而解决问题．
【解答】解：连接DF、CG，取BC的中点为H，连接GH，
∵∠ADC＝90°，点F为CE的中点，
∴DF＝EF＝CF，
∵EF＝FG，
∴FD＝FE＝FC＝FG，
∴点C、D、E、G在以F为圆心，EF为半径的圆上，
∴∠CGE＝90°，
∵H为BC的中点，BC＝4，
∴点G在以H为圆心，2为半径的圆上运动，
当点E与D重合时，
∵tan∠CBD，
∴∠DBC＝30°，
∵HB＝HG，
∴∠BHG＝120°，
∴点G的运动路径长为，
故答案为：．
40．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A（﹣1，1）．C（1，﹣1），已知线段MN的端点M，N的坐标分别为M（3，3），N（，），平移线段MN，使得平移后的线段的两个端点均落在正方形ABCD的边上，此时正方形ABCD被该线段分为两部分，其中三角形部分的面积为 ；已知线段PQ的端点坐标分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，PQ＝2．平移线段PQ，使得平移后的线段P′Q′的两个端点均落在正方形ABCD的边上，且线段P′Q′将正方形的ABCD面积分为6：19部分，取P′Q′的中点H，连接OH，则OH的长为 ．
【思路点拔】作ME∥x轴，作NE⊥ME，MN平移后对应FG，可求得ME3，EN＝3，进而求得三角形部分的面积；不妨设P′D＝x，DQ′＝y，（x＜y），可得，
从而求得x，y进而得出H点坐标，进一步得出OH的长．
【解答】解：如图1，
作ME∥x轴，作NE⊥ME，MN平移后对应FG，
∵M（3，3），N（，），
∴ME3，EN＝3，
∴S△FDG＝S△MEN，
如图2，
不妨设P′D＝x，DQ′＝y，（x＜y），
∵A（﹣1，1）．C（1，﹣1），
∴AD＝BC＝2，
∴S方形ABCD＝4，△P′DQ′的面积为：4，
由题意得，
，
∴，
∴DP′，DQ，
∴P′（，1），Q（1，），
∴H（，），
∴OH，
故答案为：，．
41．如图，点A的坐标为（，3），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（k，4），则k的值为 ．
【思路点拔】过A点作AF⊥x轴于F，C作CD⊥x轴于点D，CE⊥AF于点E，则四边形DCEF是矩形，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，AB＝AC＝BC，由点A的坐标为（，3），C（k，4），有AC，而BD，FB，根据OF+BF+BD＝OD＝k，可得k，解方程可得答案．
【解答】解：过A点作AF⊥x轴于F，C作CD⊥x轴于点D，CE⊥AF于点E，则四边形DCEF是矩形，如图：
∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵点A的坐标为（，3），C（k，4），
∴CE＝kFD，CD＝4，AF＝3，
∴AE＝EF﹣AF＝CD﹣AF＝1，
∴ACBC＝AB，
在Rt△BCD中，BD，
在Rt△AOB中，FB，
∵OF+BF+BD＝OD＝k，
∴k，
设kx，则x，
化简变形得：3x4﹣46x2﹣49＝0，
解得x2＝﹣1（舍去）或x2，
∴x或x（不符合题意，舍去），
∴k，
∴k，
故答案为：．
42．如图（1），△ABC中，∠ACB＝90°，射线CD⊥AB于点D．点P是射线CD上一动点，连接AP并在AP边右侧作△APQ使得∠PAQ＝∠CAB且，连接BQ．
（1）求证：BA平分∠CBQ；
（2）当AQ∥BC时，延长AP交BC边于点E，求证：CE BC＝AD AB；
（3）若AC＝3，BC＝4，点P在运动的过程中，直线PQ交边AB于点F，当△BQF是等腰三角形时，求线段AP的长．
【思路点拔】（1）证明△CAP∽△BAQ，推出∠ACP＝∠ABQ，再证明∠ACP＝∠ABC，可得结论；
（2）证明△ACE∽△BCA，推出AC2＝CE CB，证明△ACD∽△ABC，推出AC2＝AD AB，可得结论；
（3）分两种情形，如图（3）中，当BF＝BQ时，连接AW，设射线BQ交CD于点W．证明AW＝PW＝3，可得结论．如图（4）中，当BQ＝FB时，根据对称性可得结论．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC，
∵∠PAQ＝∠CAB，，
∴∠PAC＝∠BAQ，，
∴△CAP∽△BAQ，
∴∠ACP＝∠ABQ，
∴∠ABC＝∠ABQ，
∴AB平分∠CBQ；
（2）证明：如图（2）中，
∵∠ACE＝∠ACB＝90°，∠CAE＝∠ABC，
∴△ACE∽△BCA，
∴，
∴AC2＝CE CB，
∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠ABC，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AD AB，
∴CE BC＝AD AB；
（3）解：如图（3）中，当BF＝BQ时，连接AW，设射线BQ交CD于点W．
∵∠ABC＝∠ABW，
∴点C，W关于AB对称，
∴AC＝AW＝3，∠AWB＝∠ACB＝90°，
∵∠PAQ＝∠CAB，，
∴△ACB∽△APQ，
∴∠APQ＝∠ACB＝90°，
∴∠APQ+∠AWQ＝180°，
∴A，P，Q，W四点共圆，
∴∠BQF＝∠WAP，
∵BF＝BQ，
∴∠BQF＝∠BFQ＝∠AFP，
∵∠APD+∠DPF＝90°，∠DPF+∠PFD＝90°，
∴∠APD＝∠AFP，
∴∠WAP＝∠APW，
∴AW＝PW＝3，
∵AC2＝AD AB，
∴AD，
∴DW，
∴DP＝PW﹣DW＝3，
∴AP．
如图（4）中，当点P在AB下方时，根据同法可得AP．
综上所述，满足条件的AP的值为或．
43．如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点H，连接DE．∠AEB的平分线EF交AB于点F，连接DF交BE于点G．
（1）求证：∠DBG＝∠DAE；
（2）试探究线段AE，BE，DE之间的数量关系；
（3）若CDAF，BE＝6，求GH的长．
【思路点拔】（1）先判断出∠DAE+∠C＝90°，再判断出∠DBG+∠C＝90°，即可得出结论；
（2）过点D作DM⊥DE交BE于M，判断出△DBM≌△DAE（ASA），得出BM＝AE，DM＝DE，再判断出MEDE，即可得出结论；
（3）先判断出∠AFE＝∠C，进而判断出△AEF∽△DEC，得出DEAE，进而求出AE＝2，DE＝2，过点D作DN⊥AC于N，判断出△AEH∽△AND，得出比例式求出EH＝1，根据勾股定理求出AH，再判断出△DNC∽△BEC，求出CN＝1，根据勾股定理求出CD，再求出AD＝2，再判断出△AFK∽△ABH，进而求出FK，AK，KH，进而根据勾股定理求出DH，最后判断出△DHG∽△DKF，得出比例式，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAE+∠C＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠DBG+∠C＝90°，
∴∠DBG＝∠DAE；
（2）解：线段AE，BE，DE之间的数量关系为：BE﹣AEDE；
理由：如图1，过点D作DM⊥DE交BE于M，
∴∠EDM＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠EDM＝90°，
∴∠BDM＝∠ADE，
在Rt△ABD中，∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°＝∠ABC，
∴BD＝AD，
由（1）知，∠DBG＝∠DAE，
∴△DBM≌△DAE（ASA），
∴BM＝AE，DM＝DE，
∴MEDE，
∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣AEDE；
（3）解：如图1，∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∵EF是∠AEB的角平分线，
∴∠AEF∠AEB＝45°，
在△AEF中，∠AFE＝180°﹣∠AEF﹣∠BAC＝180°﹣45°﹣∠BAC＝135°﹣∠BAC，
在△ABC中，∠ABC＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣45°﹣∠BAC＝135°﹣∠BAC，
∴∠AFE＝∠C，
由（2）知，DM＝DE，
∵∠EDM＝90°，
∴∠DEM＝45°，
∴∠CED＝∠BEC﹣∠DEM＝45°，
∴∠AEF＝∠DEC，
∴△AEF∽△DEC，
∴，
∵CDAF，
∴DEAE，
设AE＝x，则DEx，
由（2）知，BE﹣AEDE，
∵BE＝6，
∴6﹣xx，
∴x＝2，
∴AE＝2，DE＝2，
如图2，过点D作DN⊥AC于N，
在Rt△DNE中，∠DEC＝45°，
∴DN＝ENDE＝2，
∴AN＝AE+EN＝4，
∵DN⊥AC，BE⊥AC，
∴DN∥BE，
∴△AEH∽△AND，
∴，
∴，
∴EH＝1，
∴BH＝BE﹣EH＝5，
在Rt△AEH中，根据勾股定理得，AH，
∵DN∥BE，
∴△DNC∽△BEC，
∴，
∴，
∴CN＝1，
在Rt△DNC中，根据勾股定理得，CD，
在Rt△ADC中，AC＝AE+EN+CN＝5，
根据勾股定理得，AD2，
在Rt△ADB中，AD＝BD，
∴ABAD＝2，
∵CDAF，
∴AFCD，
过点F作FK∥BE交AD于K，
∴△AFK∽△ABH，
∴，
∴．
∴FK，AK，
∴KH＝AH﹣AK，
在Rt△BDH中，DH，
∴DK＝DH+KH．
∵BE∥FK，
∴△DHG∽△DKF，
∴，
∴，
∴GH．
44．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是AD边上一动点，连接BE，将射线EB绕点E逆时针旋转60°，分别交边CD于点F，交对角线BD于点G．
（1）试判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）若AB＝3，AE＝1，求DG及EG的长；
（3）若，求的值．
【思路点拔】（1）根据四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，得AB＝AD，∠A＝180°﹣∠ABC＝60°，故△ABD是等边三角形；
（2）过G作GH⊥AD于H，证明△ABE∽△DEG，得，即，可得DG，而HDDG，HGHD，即可得EG；
（3）过G作GH⊥AD于H，作GM⊥CD于M，连接BF，由∠BEF＝60°＝∠BDF，知B，E，D，F四点共圆，有∠AEB＝∠DFB，可证△AEB≌△DFB（AAS），AE＝DF，设DG＝4m，则BG＝21m，BD＝25m＝AB，同（2）可得，从而得AE＝5m或AE＝20m，当AE＝5m＝DF时，AB＝25m，同（2）可得DG＝4m，EG＝4m，又DMDG＝2m，GMDM＝2m，可得GFm，故4；当AE＝20m时，同理可得EGm，GF＝4m，．
【解答】解：（1）△ABD是等边三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴AB＝AD，∠A＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴△ABD是等边三角形；
（2）过G作GH⊥AD于H，如图：
∵∠BEF＝60°，∠ADB＝60°，
∴∠AEB＝120°﹣∠DEG＝∠DGE，
∵∠A＝∠EDG＝60°，
∴△ABE∽△DEG，
∴，
∵AB＝3，AE＝1，
∴DE＝AD﹣AE＝AB﹣AE＝2，
∴，
∴DG，
在Rt△DGH中，∠HDG＝60°，
∴∠HGD＝30°，
∴HDDG，HGHD，
∴EH＝DE﹣HD＝2，
∴EG；
（3）过G作GH⊥AD于H，作GM⊥CD于M，连接BF，如图：
∵∠BEF＝60°＝∠BDF，
∴B，E，D，F四点共圆，
∴∠AEB＝∠DFB，
∵∠A＝∠BDF＝60°，AB＝BD，
∴△AEB≌△DFB（AAS），
∴AE＝DF，
∵，
∴设DG＝4m，则BG＝21m，BD＝25m＝AB，
同（2）可得△ABE∽△DEG，
∴，即，
解得AE＝5m或AE＝20m，
当AE＝5m＝DF时，AB＝25m，
同（2）可得DG＝4m，EG＝4m，
在Rt△DGM中，DMDG＝2m，GMDM＝2m，
∴MF＝DF﹣DM＝3m，
∴GFm，
∴4；
当AE＝20m时，如图：
同理可得EGm，GF＝4m，
∴，
∴的值为4或．
45．在Rt△ABC中，AC＝1，∠C＝90°，D为BC边上一动点，且（n为正整数），在直线BC上方作△ADE，使得△ADE∽△ACB．
（1）如图1，在点D运动过程中，△ACD与△ABE始终保持相似关系，请说明理由；
（2）如图2，若n＝2，M为AB中点，当点E在射线CM上时，求CD的长；
（3）如图3，设AE的中点为P，求点D从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径长（用含n的代数式表示）．
【思路点拔】（1）由△ADE∽△ACB，得，∠EAD＝∠BAC，可推导出，∠DAC＝∠EAB，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ACD∽△ABE；
（2）作CG⊥AB于点G，则∠ACG＝∠ABC＝90°﹣∠BAC，由AC＝1，，n＝2，得BC＝nAC＝n＝2，则AB，求得AM＝BM，进而求得AGAC，CGAC，所以MG＝AM﹣AG，由相似三角形的性质得∠ACD＝∠ABE＝∠MGC＝90°，∠BME＝∠GMC，，则tan∠BME＝tan∠GMC，所以，则CDAC；
（3）取AB的中点L，连接PL，则PL∥EB，PLEB，所以∠ALP＝∠ABE＝90°，可知点P在经过AB中点且与AB垂直的直线PL上运动，根据勾股定理求得AB，当点D与点B重合时，PL的值最大，线段PL的长即为点P运动的路径长，由△ABE∽△ACB，得，求得EB，则PL，所以点P运动的路径长是．
【解答】解：（1）理由：如图1，∵△ADE∽△ACB，
∴，∠EAD＝∠BAC，
∴，∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，
∴∠DAC＝∠EAB，
∴△ACD∽△ABE．
（2）如图2，作CG⊥AB于点G，则∠AGC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACG＝∠ABC＝90°﹣∠BAC，
∵AC＝1，，
∴BC＝nAC＝n，
∵n＝2，
∴BC＝2，
∴AB，
∵M为AB中点，
∴AM＝BMAB，
∵sin∠ACG＝sin∠ABC，cos∠ACG＝cos∠ABC，
∴AGAC1，CGAC1，
∴MG＝AM﹣AG，
∵△ACD∽△ABE，
∴∠ACD＝∠ABE＝∠MGC＝90°，∠BME＝∠GMC，，
∴tan∠BME＝tan∠GMC，
∴，
∴，
∴CDAC1，
∴CD的长是．
（3）如图3，取AB的中点L，连接PL，
∵AE的中点为P，
∴PL∥EB，PLEB，
∴∠ALP＝∠ABE＝90°，
∴点P在经过AB中点且与AB垂直的直线PL上运动，
∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝n，
∴AB，
当点D与点C重合时，则点P与点L重合；
当点D与点B重合时，如图4，此时PL的值最大，
∴线段PL的长即为点P运动的路径长，
∵△ABE∽△ACB，
∴，
∴EB，
∴PLEB，
∴点P运动的路径长是．
46．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点M为边AD上一点，连接CM．
（1）将△CDM沿直线CM翻折，得到对应的△CD′M．
（i）如图1，延长CD′交边AD于点E，若点E恰为边AD中点，求线段MD的长；
（ii）如图2，连接BD′，若BD′＝BC，求线段MD的长；
（2）如图3，若DM＝DC，点P为边BC上一动点（点P不与B，C两点重合），过点P作PF⊥PA交线段CM于点F，在点P的运动过程中，线段CF的长是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）（i）设DM＝MD′＝x，利用勾股定理构建方程解决问题；
（ii）如图2中，过点B作BJ⊥CD′于点J，作∠CBJ的角平分线BH交CJ于点H，过点H作HK⊥BC于点K．解直角三角形求出BK，HK，再利用相似三角形的性质求出DM；
（2）过点F作FT⊥BC于点T．设TF＝TC＝m，则CFm，设PB＝n．利用相似三角形的性质构建一元二次方程，利用根的判别式转化为二次不等式解决问题．
【解答】解：（1）（i）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AD＝BC＝6，AB＝CD＝4，
∵AE＝ED＝3，
∴EC5，
由翻折变换的性质可知CD＝CD′＝4，
∴ED′＝CE﹣CD′＝5﹣4＝1，
设DM＝MD′＝x，则有（3﹣x）2＝x2+12，
∴x，
∴DM；
（ii）如图2中，过点B作BJ⊥CD′于点J，作∠CBJ的角平分线BH交CJ于点H，过点H作HK⊥BC于点K．
∵BC＝BD′，BJ⊥CD′，
∴CJ＝JD′＝2，
∴BJ4，
∵∠HBJ＝∠HBK，∠BJH＝∠BKH＝90°，BH＝BH，
∴△BHJ≌△BHK（AAS），
∴BK＝BJ＝4，JH＝HK，
设HJ＝HK＝y，则有（2﹣y）2＝y2+（6﹣4）2，
∴y＝1216，
∴HK＝1216，
∵∠JBC+∠JCB＝90°，∠DCD′+∠JCB＝90°，
∴∠DCD′＝∠CBJ，
∵∠DCM＝∠D′CM，∠CBH＝∠HBJ，
∴∠CBH＝∠DCM，
∵∠BKH＝∠D＝90°，
∴△CDM∽△BKH，
∴，
∴，
∴DM＝12﹣8；
（2）过点F作FT⊥BC于点T．
∵DM＝DC，∠D＝90°，
∴∠DCM＝∠DMC＝45°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠FCT＝45°，
∵FT⊥CB，
∴∠CFT＝∠FCT＝45°，
∴TF＝TC，
设TF＝TC＝m，则CFm，设PB＝n．
∵AP⊥PF，
∴∠APF＝90°，
∵∠B＝∠PTF＝90°，
∴∠APB+∠FPT＝90°，∠FPT+∠PFT＝90°，
∴∠APB＝∠PFT，
∴△ABP∽△PTF，
∴，
∴，
整理得n2+（m﹣6）n+4m＝0，
∵Δ≥0，
∴（m﹣6）2﹣16m≥0，
∴m2﹣28m+36≥0，
解得m≤14﹣4或m≥14+4（不符合题意舍去），
∴m的最大值为14﹣4，
∴CF的最大值为148．
47．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，点P，Q分别是AB，AD上的动点，且BP＝AQ，连接PQ，CP，EQ，CD．
（1）当EQ⊥AD时（如图1），求BP的长；
（2）当PQ∥CD时（如图2），求BP的长；
（3）是否存在点P，Q，使四边形PCDQ的面积为7.4cm2？若存在，请求出BP的长；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）由cos∠BAC＝cos∠DAE，求出AQ，即可求BP；
（2）过点C作CM⊥AD交于点M，证明△ABC∽△CAM，求出AMcm，DMcm，CMcm，再证明△APQ∽△MCD，求出AQcm，即可求BP；
（3）过点P作PN⊥BC交于N点，由（2）可知，CMcm，由PN∥AC，可得PNBP，则S△BCPBP，再由S四边形PCDQ＝S四边形ABCD﹣S△PBC﹣S△APQBP2BP+14＝7.4，解得BP＝3cm或BPcm．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，
∴AB＝5cm，
∴cos∠BAC，
由旋转可知，∠DAE＝∠BAC，AE＝AC＝4，
∵EQ⊥AD，
∴，
∴AQcm，
∵AQ＝BP，
∴BPcm；
（2）过点C作CM⊥AD交于点M，
由旋转可知∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，
∵∠B+∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠CAD，
∵∠CMA＝∠ACB＝90°，
∴△ABC∽△CAM，
∴，即，
∴AMcm，
∵AD＝5cm，
∴DMcm，
在Rt△ACM中，CMcm，
∵PQ∥CD，
∴∠AQP＝∠ADC，
∵∠PAQ＝∠CMD＝90°，
∴△APQ∽△MCD，
∴，即，
∴AQcm，
∴BPcm；
（3）存在点P，Q，使四边形PCDQ的面积为7.4cm2，理由如下：
过点P作PN⊥BC交于N点，
由（2）可知，CMcm，
∴S△ACD58cm2，
∵S△ABC4×3＝6cm2，
∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝14cm2，
∵PN⊥BC，AC⊥BC，
∴PN∥AC，
∴，即，
∴PNBP，
∴S△BCP3BPBP，
∴S四边形PCDQ＝S四边形ABCD﹣S△PBC﹣S△APQ
＝14BP（5﹣BP）×BP
BP2BP+14，
∵四边形PCDQ的面积为7.4cm2，
∴BP2BP+14＝7.4，
解得BP＝3cm或BPcm．
48．已知△ABC，分别以AB、AC为直角边作Rt△ABP和Rt△ACQ，且∠BAP＝∠CAQ．
（1）如图1，若，AC＝8，求线段AQ的长度；
（2）如图2，点Q关于AC的对称点是点R，若R在射线PB上，且，求；
（3）如图3，连接PC、BQ，若△PBC的面积比△QBC的面积大10，且，求△ABP的面积．
【思路点拔】（1）证明△ABP∽△ACQ，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）由（1）可知：△ABP∽△ACQ，推出，推出，可得△ABC∽△APR，推出，设AP＝5k，AB＝4k，求出PB＝3k，可得结论；
（3）如图3中，过点C作CM⊥AP于点M，过点B作BN⊥AQ于点N．证明△CMA∽△BNA，推出，推出，推出AP CM＝AQ BN，推出SPAC＝SBAQ，可得S△PBC+S△PAC＝S△PAB+S△ABC ①，S△QBC+S△ABQ＝S△ACQ+S△ABC ②，①﹣②，得：S△PBC﹣S△QBC＝S△ABP﹣S△ACQ＝10，由此可得结论．
【解答】解：（1）∵∠BAP＝∠CAQ，∠ABP＝∠ACQ＝90°，
∴△ABP∽△ACQ，
∴，
∵AC＝8，
∴AQ＝10；
（2）∵点Q关于AC的对称点是点R，
∴延长QC，过点R，连接AR．
则AR＝AQ，∠RAC＝∠CAQ＝∠PAB，
∴∠PAB+∠RAB＝∠RAC+∠RAB，即∠PAR＝∠BAC．
由（1）可知：△ABP∽△ACQ，
∴，
∴，
∴△ABC∽△APR，
∴，
∴设AP＝5k，AB＝4k，
∴PB3k，
∴PR＝AB＝4k，BR＝k，
∴；
（3）如图3中，过点C作CM⊥AP于点M，过点B作BN⊥AQ于点N．
∵∠PAB＝∠CAQ，
∴∠PAC＝∠BAQ，
∴△CMA∽△BNA，
∴，
∴，
∴AP CM＝AQ BN，
∴S△PAC＝S△BAQ，
∵S△PBC+S△PAC＝S△PAB+S△ABC ①，
S△QBC+S△ABQ＝S△ACQ+S△ABC ②，
∴①﹣②，得：S△PBC﹣S△QBC＝S△ABP﹣S△ACQ＝10，
又∵，
∴，
∴S△ABP＝18．
49．如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞l），点E是AD边上一动点（点E不与A，D重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H．
[尝试初探]
（1）在点E的运动过程中，△ABE与△CBF始终保持相似关系，请说明理由；
[深入探究]
（2）随着E点位置的变化，H点的位置也随之发生变化，当B，C，G共线时，连接CG，求CG，AB，CH的数量关系；
[拓展延伸]
（3）连接CG，DG，当AB的长度为a时，求CG的最小值（用含n和a的代数式表示）．
【思路点拔】（1）由∠ABC＝∠EBF＝90°得出∠ABE＝∠CBF，进一步得出结果；
（2）作GT⊥AD交AD的延长线于T，连接BD，可证得△ABE∽ADB，△ETG≌△DAB，进而得出AE＝DT＝CG，从而表示出CG和CH，进而得出结果；
（3）作GT⊥AD于T，由（2）得出DT＝AE，从而，从而，点G在直线DG上运动，且tan∠GDT＝n，作CG′⊥DG于G′，解Rt△DCG′得出结果．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD∽矩形EBFG，
∴，∠ABC＝∠EBF＝90°，
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBF﹣∠EBC，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE∽△CBF；
（2）如图1，
作GT⊥AD交AD的延长线于T，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，四边形EBFG是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝∠BEG＝90°，∠EGB＝∠ADB，
∴∠TEG＝∠BGE，∠ABE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠TGE＝90°，
∴∠ABE＝∠GET＝∠EGB，
∵∠A＝∠A，∠A＝∠T＝90°，AB＝CD＝GT，
∴△ABE∽ADB，△ETG≌△DAB（AAS），
∴，ET＝AD，
∴CG＝DT＝AE，
∴，
∴AB＝nCG，
∵tan∠EGB，
∴CH，
∴CG2＝AB CH；
（3）如图2，
作GT⊥AD于T，
由上可知，DT＝AE，，
∴，
∴点G在直线DG上运动，且tan∠GDT＝n，
作CG′⊥DG于G′，
在Rt△DCG′中，sin∠CDG，CD＝AB＝a，
∴CG′a，
∴CG的最小值为a．
50．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AC平分∠BAD，点E为BC边上一动点，连接AE，将△ABE沿AE翻折，点B对应点为B′，．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若∠BAD＝150°，点F为CD边上一点，且DF＝AF，求B′F的最小值．
（3）若∠BAD＝135°，将△AEB′沿AB′折叠，点E对应点为E′，当AE′与菱形的边垂直时，求EE′的长．
【思路点拔】（1）由题意可证四边形ABCD是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的定义可证AD＝CD，由菱形的判定可得结论；
（2）由菱形的性质可得∠D＝30°，AD＝AB＝2，由等腰三角形的性质可得∠D＝∠FAH＝30°，DH＝AH，可求AF的长，由折叠的性质可得AB＝AB'＝2，则点B'在以A为圆心，2为半径的圆上运动，即当点B'在AF的延长线上时，B'F有最小值，即可求解；
（3）分AE'⊥BC和AE'⊥CD两种情况讨论，由折叠的性质可求∠BAE的度数，由直角三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠ACB＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：如图，过点F作FH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝150°，
∴∠D＝30°，AD＝AB＝2，
∵DF＝AF，FH⊥AD，
∴∠D＝∠FAH＝30°，DH＝AH，
∴FHAH，AF＝2FH＝2，
∵将△ABE沿AE翻折，
∴AB＝AB'＝2，
∴点B'在以A为圆心，2为半径的圆上运动，
∴当点B'在AF的延长线上时，B'F有最小值，
∴B'F的最小值为22；
（3）如图，当AE'⊥BC时，设AE'与BC交于点H，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝135°，
∴∠B＝45°，
又∵AE'⊥BC，
∴△AHB是等腰直角三角形，
∴AH＝BHAB＝2，∠BAH＝45°，
∵将△ABE沿AE翻折，
∴∠BAE＝∠B'AE，
∵将△AEB′沿AB′折叠，
∴∠EAB'＝∠B'AE'，AE＝AE'，
∴∠EAB'＝∠B'AE'＝∠BAE＝15°，
∴∠EAE'＝30°，
∴AHHE＝2，AE＝2EH，
∴HE＝2，AE＝4＝AE'，
∴E'H＝4﹣2，
∴E'E22；
如图，当AE'⊥CD时，过点E作EN⊥AB于N，
∵AE'⊥CD，AB∥CD，
∴∠E'AB＝90°，
∵将△ABE沿AE翻折，
∴∠BAE＝∠B'AE，
∵将△AEB′沿AB′折叠，
∴∠EAB'＝∠B'AE'，AE＝AE'，
∴∠EAB'＝∠B'AE'＝∠BAE＝30°，
∴∠EAE'＝60°，
∴△AEE'是等边三角形，
∴EE'＝AE，
∵EN⊥AB，∠B＝45°，
∴∠B＝∠NEB＝45°，
∴EN＝NB，
∵∠BAE＝30°，
∴AE＝2EN，ANEN，
∵AB＝2BN+AN＝ENEN，
∴EN＝3，
∴AE＝62，
∴EE'＝62．
综上所述：EE'的长为22或62．
51．如图1，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝3，BC＝5．点P是线段AC上的一动点，将△ABP沿着BP折叠，点A落在A'处．
（1）求点A到直线BC的距离；
（2）如图2，点Q是线段AC上的一动点，将△CBQ沿着BQ折叠，使得边BC折叠后与BA'重合．若PA'∥BQ，求证：AP QC＝PQ2；
（3）如图3，连接A'C，过A'作AC的平行线，与直线BC交于点M．当∠BA'C＝90°时，求A'M的长．
【思路点拔】（1）过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，根据含30°角的直角三角形的性质即可求点A到直线BC的距离；
（2）连接PQ，证明△BPQ是等边三角形，可得BP＝BQ＝PQ，再证△APB∽△BQC，根据相似三角形的性质即可得出结论；
（3）如图3，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，过点A′作A′E⊥BC于E，利用勾股定理求出AC7，则sin∠ACD，利用面积法求出A′E，根据平行线的性质得∠M＝∠ACD，则sinM，即可求解．
【解答】（1）解：过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABD＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝30°，
∴BDAB，
∴ADBD，
∴点A到直线BC的距离为；
（2）证明：连接PQ，
由折叠得∠ABP＝∠A′BP，∠A＝∠PA′B，∠C＝∠C′，∠CBQ＝∠A′BQ，
∵∠ABC＝120°，
∴∠A′BP+∠A′BQ＝∠ABP+∠CBQ＝60°，∠A+∠C＝60°，
∵PA'∥BQ，
∴∠PA′B＝∠A′BQ，
∴∠A＝∠CBQ，∠C+∠CBQ＝∠A+∠C＝60°，
∴∠PQB＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP＝BQ＝PQ，
∵∠C+∠CBQ＝60°，∠ABP+∠CBQ＝60°，
∴∠C＝∠ABP，
∵∠A＝∠CBQ，
∴△APB∽△BQC，
∴，
∴AP QC＝PB BQ＝PQ2；
（3）解：如图3，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，过点A′作A′E⊥BC于E，
由（1）知BDAB，ADBD，
∴CD＝BC+BD＝5，
∴AC7，
∴sin∠ACD，
由折叠得A′B＝AB＝3，
∵∠BA'C＝90°，
∴A′C4，
∴S△A′BCA′B A′CBC A′E，
∴3×4＝5A′E，
∴A′E，
∵A′M∥AC，
∴∠M＝∠ACD，
∴sinM，
∴，
∴A'M．
52．如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝30°，点E是AD边上一动点，连接BE，在BE右侧作菱形EBGF使得菱形ABCD∽菱形EBGF，连接FG交BC于点R，连接CG．
【尝试初探】
（1）求证：△ABE≌△CBG；
【深入探究】
（2）若R为BC中点，求sin∠ABE的值；
【拓展延伸】
（3）①若DC＝3，△BRG是等腰三角形，求BR的值；
②若D，F，G三点共线，连接DB，求的值．
【思路点拔】（1）利用菱形的性质和全等三角形的判定定理解答即可；
（2）利用菱形的性质和全等三角形的性得到∠BCG＝∠A，∠BGR＝∠A，则∠BCG＝∠BGR，利用相似三角形的判定与性质得到BG2＝BR BC；设BR＝x，则BC＝2x，，过点R作RH⊥BG于点H，设RH＝y，则有，利用勾股定理得到y与x的关系式，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；
（3）①利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：当∠BRG＝∠BGR＝30°时，此种情况不符合题意；当∠RBG＝∠BGR＝30°时，△BRG 是等腰三角形，则有∠RBG＝∠BCG＝30°，利用等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质得到BR+CR＝BC＝AD＝3，则结论可求；当∠RBG＝∠BRG时，此时点D、E重合，点F、R重合，过点R作RM⊥CG于点M，RM＝x，则有，CR＝2x，GM＝RM＝x，列出关于x的方程解答即可得出结论；
②设菱形ABCD的边长为m，则线段BD的长就为定值，根据同弧所对圆周角相等可知点B、G、C、D四点共圆，作出该圆，利用圆周角定理和菱形的性质，三角形的内角和定理和等腰三角形的判定定理得到BD＝DR，过点B作BN⊥DG于点N，利用等腰三角形的三线合一的性质，直角三角形的边角关系定理求得DN＝GN＝BD cos∠BDGBD，则，，最后利用三角形的面积公式解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD，EBGF都是菱形，
∴AB＝CB，BE＝BG，
∵菱形ABCD∽菱形EBGF，
∴∠ABC＝∠EBG，
∴∠ABE＝∠CBG，
在△ABE和△CBG中，
，
∴△ABE≌△CBG（SAS）；
（2）解：由（1）可知：△ABE≌△CBG，
∵∠A＝30°，
∴∠BCG＝∠A＝30°，
∵菱形ABCD∽菱形EBGF，
∴∠BGR＝∠A＝30°，
∴∠BCG＝∠BGR，
∵∠CBG＝∠GBR，
∴△BCG∽△BGR，
∴，
∴BG2＝BR BC．
∵R为BC中点，
∴，
∴设BR＝x，则BC＝2x，
∴BG2＝2x2，
∴，
过点R作RH⊥BG于点H，如图，
设RH＝y，则有，
∴，
∴在Rt△BHR中，
由勾股定理可
