上海市闵行区华东师范大学第二附属中学附属初级中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题
1．（2024九上·闵行开学考）将分式中的x、y的值同时扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小到原来的
C．保持不变 D．扩大9倍
2．（2024九上·闵行开学考）若一元二次方程 的一个根为0，则k的值为（ ）
A． B．
C． D． 或
3．（2024九上·闵行开学考）“x的3倍与y的和不小于2”用不等式可表示为( )
A． B． C． D．
4．（2024九上·闵行开学考）已知一组数据70，80，80，85，85，85，则它的众数和中位数分别为（ ）
A．85，80 B．85，85 C．85，82.5 D．80，80
5．（2024九上·闵行开学考）将四个相同的矩形（长是宽的3倍），用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得的大矩形面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
6．（2024九上·闵行开学考）已知b＜0时，二次函数的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
7．（2024九上·闵行开学考）4的算术平方根是 ．
8．（2024九上·闵行开学考）已知，则点是的黄金分割点， ．
9．（2024九上·闵行开学考）在实数范围内因式分解：
10．（2024九上·闵行开学考）某班有6名女生和4名男生报名参加学校组织的进博会志愿者活动，现从中任选1人，则选中男生的可能性是 ．
11．（2024九上·闵行开学考）某人在高为15米的建筑物顶部测得地面一观察点的俯角为，那么这个观察点到建筑物的距离为 ．
12．（2024九上·闵行开学考）抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为 ．
13．（2024九上·闵行开学考）如图，＝3，G为AF的中点，则＝ ．
14．（2024九上·闵行开学考）如图，，与的周长之比是，那么点A到的距离与点E到的距离之比是 ．
15．（2024九上·闵行开学考）在等腰中，当顶角A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也确定了，我们把这个比值记作T（A），即.例：T（60）=1，那么T（120）= ；
16．（2024九上·闵行开学考）我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点 和点 为一对“关联点对”．如果反比例函数 在第一象限内的图像上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为 ，那么这对“关联点对”中，距离 轴较近的点的坐标为 ．
17．（2024九上·闵行开学考）勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形EFGH组成的．若小正方形的边长是1，每个直角三角形的短的直角边长是3，则大正方形ABCD的面积是 ．
18．（2024九上·闵行开学考）定义：如图1，对于线段的内分点和外分点，如果满足，那么称是“调和点列”．如图2，在中，点在上，点在的延长线上，联结，射线与射线交于点，若是调和点列，且，则的值是 ．
图1 图2
19．（2024九上·闵行开学考）计算：．
20．（2024九上·闵行开学考）求不等式组的非负整数解
21．（2024九上·闵行开学考）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
22．（2024九上·闵行开学考）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．
（1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
（2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
23．（2024九上·闵行开学考）如图，已知直线与坐标轴交于，两点，直线与坐标轴交于，两点，两直线的交点为．
（1）求，，的值；
（2）连接，试说明（表示面积）；
（3）轴上存在点，使得，求出此时点的坐标．
24．（2024九上·闵行开学考）
如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等； 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数．
已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．抛物线上有一点，以点为顶点的抛物线经过点（点与点不重合），抛物线和形状相同，开口方向相反．
（1）当抛物线经过点时，求抛物线的表达式；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）当时，设抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与轴的交点为，联结、、，求证：平分．
25．（2024九上·闵行开学考）解图形往往与图形的性质密切相关
（1）由已学的全等判定：可知
结论1：判定两三角形全等的必要元素是___________；
结论2：解三角形时至少需要知道一条边的原因是_____________；
（2）如图，在锐角中至少有两个锐角，始终为锐角，设长为a，请用三个角的三角比和a的代数式表示的周长；
（3）在解各种形状的梯形的过程中，我们最多需要______个条件，最少需要______个条件，最少条件时需要知道的元素可以为_________．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵中的x、y的值同时扩大3倍，
∴
所以分式的值保持不变．
故选：C．
【分析】根据x、y的值同时扩大3倍，得出扩大后的分式，根据分式的性质进行化简即可求解.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】把 代入方程得：
解得
∵一元二次方程
∴
∴
∴
故答案为：C．
【分析】将x=0代入方程得到求出k的值，再根据即可确定k的值。
3．【答案】C
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故选：C．
【分析】根据题干中的不等关系用不等式表示出来即可求解.
4．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：70，80，80，85，85，85，
最中间的两个数是80，85
则中位数是=82.5；
在这组数据中出现次数最多的是85，
则众数是85；
∴众数和中位数分别为85，82.5
故选：C．
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，即可得出众数是85，根据中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），求出中位数是=82.5.
5．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；矩形的性质
【解析】【解答】解：设小矩形的宽为，则长为，分四种情况：
（1）如图①，矩形的周长为：；
（2）如图②，矩形的周长为：；
（3）如图③，矩形的周长为：；
（4）如图④，矩形的周长为：；
因此大矩形的周长为、或，共三种情况，
故选：C．
【分析】设小矩形的宽为，则长为，根据四种拼接方法，分别求出矩形的周长，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由图可知，第1、2两个图形的对称轴为y轴，所以，
解得b=0，与b＜0相矛盾，
第3个图，抛物线开口向上，a＞0，经过坐标原点，a2－1=0，解得a1=1，a2=－1（舍去）．
对称轴，解得：b＜0，符合题意，故a=1．
第4个图，抛物线开口向下，a＜0，经过坐标原点，a2－1=0，解得a1=1（舍去），a2=－1．
对称轴，解得：b＞0，不符合题意，
综上所述，a的值等于1．
故选：C．
【分析】根据抛物线的对称轴，可得出第1、2图不符合题意，根据抛物线经过原点，结合抛物线的开口方向求出a的值，结合抛物线的对称轴，进一步判断出b的取值范围，即可确定a的值.
7．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
8．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是的黄金分割点，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据黄金割点的定义，结合题意可得，将AP=2代入即可求出HP的值，根据AH=AP-HP，即可求解.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】将2看作，根据平方差公式：进行因式分解即可求解.
10．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：某班有6名女生和4名男生报名参加学校组织的进博会志愿者活动，现从中任选1人，共有19种情况，其中男生被选中的有4种结果，
选中男生的可能性是，
故答案为：．
【分析】根据概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率，进行计算即可求解.
11．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：，米，
，
，
米，
故答案为：．
【分析】先根据题意画出示意图，结合题意可得，根据锐角三角函数的定义得出BC的长度，即可求解.
12．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
∵点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点，
∴点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点．
故答案为：．
【分析】先根据抛物线的解析式求出顶点坐标为，根据顶点坐标的平移方式得出抛物线的平移方式为向右平移1个单位，向上平移2个单位，根据平移规律即可求出点P平移到点Q时的坐标.
13．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作FH∥AC交BG于点H，
∵∠FHG＝∠AEG，∠FGH＝∠AGE，FG＝AG，
∴△FGH≌△AGE（AAS），
∴，
设GH＝GE＝m，则HE＝2m，
∵FH∥AC，
∴△BFH∽△BCE，
∵，
∴，
∴
∴BH＝6m，
∴BG＝BH+GH＝6m+m＝7m，BE＝BH+HE＝6m+2m＝8m，
∴，
故答案为：．
【分析】作FH∥AC交BG于点H，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明△FGH≌△AGE，根据全等三角形的对应边相等得出得，设GH＝GE＝m，则HE＝2m，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可证明△BFH∽△BCE，根据相似三角形的对应边之比相等得出，可推导出BH＝6m，BG＝7m，BE＝8m，即可求解.
14．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：，，
，
与的周长之比是，
点A到的距离与点E到的距离之比是，
故答案为：．
【分析】根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解.
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：作AD⊥BC于D，
∵ ∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠BAD=60°， ∠B=30°，
设AD=1，
则AB=2，
故，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴，
则T（120）=.
故答案为：.
【分析】作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质可得∠BAD=60°， ∠B=30°， 设AD=1，根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半得出AB=2，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出BD的值，根据等腰三角形的性质得出BC的值，结合题意，即可求解.
16．【答案】（5，2）或（﹣5，﹣2）．
【知识点】点的坐标；定义新运算
【解析】【解答】解：设反比例函数y＝ 在第一象限内的图象上一对“关联点对”为A（a，b），B（b，a）且a＞b，
∴ab＝10，
∵这两个点之间的距离为3 ，
∴AB＝ ＝3 ，
∴a﹣b＝3，
由 解得 或 ，
∴A（5，2），B（2，5）或A（﹣5，﹣2），B（﹣2，﹣5），
∴距离x轴较近的点的坐标为（5，2）或（﹣5，﹣2），
故答案为（5，2）或（﹣5，﹣2）．
【分析】先求出ab＝10，再求出AB=3 ，最后计算求解即可。
17．【答案】25
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵EF=1，BE=3，
∴BF=BE+EF=4，
∴ .
故答案为：25.
【分析】先求出BF=BE+EF=4，根据“ 大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形EFGH组成的 ”即可求出正方形ABCD的面积.
18．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵是调和点列，且，
∴，
∴，
即，
解得：（负值舍去），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据题意得出，即，代入求出BD=1，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等得出，故，即可求解.
19．【答案】解：原式
.
【知识点】分数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据有理数的乘方，分数指数幂，绝对值的性质，二次根式的性质，二次根式的运算法则进行计算即可.
20．【答案】解：，解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，最后写出不等式组的非负整数解，即可.
21．【答案】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
AD是△ABC的中线，
，
，即：，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；三角形的中线
22．【答案】（1）解：设总共生产了袋手工汤圆，
依题意得，
解得：，
经检验是原方程的解，
故总共生产了袋手工汤圆.
（2）解：设促销时每袋应降价元，当刚好10天全部卖完时，依题意得，
整理得：
，
∴方程无解，
∴10天不能全部卖完，
∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为
∴依题意得，
解得（舍去），
∵要促销，
∴，
即促销时每袋应降价3元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设总共生产了袋手工汤圆，根据“计划用21天的时间生产袋装手工汤圆，每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉 ”列出方程，解方程求出a的值即可；
（2）设促销时每袋应降价元，若刚好10天全部卖完，据此列出方程，根据方程的解可得10天不能全部卖完，故第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为，据此列出方程，解方程求出x=4或3，结合实际，即可得出促销时每袋应降价3元.
（1）设总共生产了袋手工汤圆，
依题意得，
解得，
经检验是原方程的解，
答：总共生产了袋手工汤圆
（2）设促销时每袋应降价元，
当刚好10天全部卖完时，
依题意得，
整理得：
，
∴方程无解
∴10天不能全部卖完
∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为
∴依题意得，
解得（舍去）
∵要促销
∴
即促销时每袋应降价3元．
23．【答案】（1）解：∵直线和直线的交点为，
∴，
∴；
又直线与坐标轴交于，
∴，解得：；
（2）解：由（1）知：，；当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或；
∴或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先把代入，求出的值，根据待定系数法一次函数解析式即可求出a和b的值；
（2）根据题意分别求出两直线与坐标轴的交点，求出A、B、D的坐标，结合图形，分别求出，，，即可求解；
（3）设，则，根据，列式计算求出m的值，即可求解出点T的坐标.
（1）解：∵直线和直线的交点为，
∴，
∴；
又直线与坐标轴交于，
∴，解得：；
（2）由（1）知：，；
当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）设，
∴
∵，
∴，
∴，
∴或；
∴或．
24．【答案】（1）解：将点代入抛物线，
得，解得：，
得抛物线得表达式为；
（2）解：由抛物线和形状相同，开口方向相反，设抛物线得表达式为，
把代入抛物线，得，
则抛物线得表达式为，
由点在抛物线上，设点的坐标为，
由点是抛物线的顶点，得，解得，
得点的坐标为，
即抛物线的对称轴为直线；
（3）证明：由点是抛物线的顶点，得，
过点作轴，轴，垂足分别为点，，交轴于点，如下图所示，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，即，
设直线表达式为，
代入，，得，
直线表达式为，
把代入，得，
得点的坐标为，
，
，，
，
，
平分．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先将点A的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值，即可求解；
（2）通过题意设抛物线得表达式为，先将点B的坐标代入抛物线的解析式，求出c=6，设点的坐标为，根据抛物线的顶点坐标公式，可列出方程组，解方程组求出m和b的值，即可得出点P的坐标，即可求出抛物线的对称轴；
（3）根据抛物线的顶点坐标公式得出，过点作轴，轴，垂足分别为点，，交轴于点，结合点Q的坐标得出，根据等腰直角三角形的定义得出是等腰直角三角形，推得，待定系数法求出直线PQ的解析式，进一步求出点E的坐标，得出OE=OF，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应角相等得出，即可证明平分．
（1）将点代入抛物线，
得，解得，
得抛物线得表达式为；
（2）由抛物线和形状相同，开口方向相反，设抛物线得表达式为，
把代入抛物线，得，
则抛物线得表达式为，
由点在抛物线上，设点的坐标为，
由点是抛物线的顶点，得，解得，
得点的坐标为，
即抛物线的对称轴为直线；
（3）由点是抛物线的顶点，得，
过点作轴，轴，垂足分别为点，，交轴于点，如下图所示，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，即，
设直线表达式为，
代入，，得，
直线表达式为，
把代入，得，
得点的坐标为，
，
，，
，
，
平分．
25．【答案】（1）一条边对应相等；确定一个形状大小固定的三角形一定需要知道一条边的数值
（2）解：当和为锐角时，如图所示，过点A作于D，
在中，，，
在中，，，
∴，
∴的周长为；
当和是锐角时，过点B作于D，
在中，，，
在中，，，
∴，
∴的周长为；
综上所述，当和为锐角时，的周长为；当和是锐角时，的周长为；
（3）5；3；三边或两边一角或两角一边
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰梯形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（1）解：由题意得，判定两三角形全等的必要元素是一条边对应相等，解三角形时至少需要知道一条边的原因是确定一个形状大小固定的三角形一定需要知道一条边的数值；
故答案为：一条边对应相等；确定一个形状大小固定的三角形一定需要知道一条边的数值.
（3）解：当梯形是直角梯形时，需要知道三条边的长或两条边和其中一个角，或两个角和一条边，故最小需要3个条件，当梯形不是特殊梯形（不是等腰梯形，直角梯形时）需要知道四条边和一个角或三边和两个角等共5个条件，故最多需要5个条件；
故答案为：5；3；三边或两边一角或两角一边．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可求解；
（2）当和为锐角时，过点A作于D，根据锐角三角函数求出，，即可得出，，根据BC=BD+CD求出BC的值，即可求解，当和是锐角时，过点B作于D，根据锐角三角函数求出，，即可得出，，根据AC=AD+CD求出AC的值，即可求解
（3）根据梯形的性质得出是直角梯形或等腰梯形时，最小需要3个条件，是其他非特殊梯形时，最多需要5个条件，即可求解.
（1）解：由题意得，判定两三角形全等的必要元素是一条边对应相等，解三角形时至少需要知道一条边的原因是确定一个形状大小固定的三角形一定需要知道一条边的数值；
（2）解：当和为锐角时，如图所示，过点A作于D，
在中，，，
在中，，，
∴，
∴的周长为；
当和是锐角时，过点B作于D，
在中，，，
在中，，，
∴，
∴的周长为；
综上所述，当和为锐角时，的周长为；当和是锐角时，的周长为；
（3）解：当梯形是直角梯形时，需要知道三条边的长或两条边和其中一个角，或两个角和一条边，故最小需要3个条件，当梯形不是特殊梯形（不是等腰梯形，直角梯形时）需要知道四条边和一个角或三边和两个角等共5个条件，故最多需要5个条件；
故答案为：5；3；三边或两边一角或两角一边．
1 / 1上海市闵行区华东师范大学第二附属中学附属初级中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题
1．（2024九上·闵行开学考）将分式中的x、y的值同时扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小到原来的
C．保持不变 D．扩大9倍
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵中的x、y的值同时扩大3倍，
∴
所以分式的值保持不变．
故选：C．
【分析】根据x、y的值同时扩大3倍，得出扩大后的分式，根据分式的性质进行化简即可求解.
2．（2024九上·闵行开学考）若一元二次方程 的一个根为0，则k的值为（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】把 代入方程得：
解得
∵一元二次方程
∴
∴
∴
故答案为：C．
【分析】将x=0代入方程得到求出k的值，再根据即可确定k的值。
3．（2024九上·闵行开学考）“x的3倍与y的和不小于2”用不等式可表示为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故选：C．
【分析】根据题干中的不等关系用不等式表示出来即可求解.
4．（2024九上·闵行开学考）已知一组数据70，80，80，85，85，85，则它的众数和中位数分别为（ ）
A．85，80 B．85，85 C．85，82.5 D．80，80
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：70，80，80，85，85，85，
最中间的两个数是80，85
则中位数是=82.5；
在这组数据中出现次数最多的是85，
则众数是85；
∴众数和中位数分别为85，82.5
故选：C．
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，即可得出众数是85，根据中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），求出中位数是=82.5.
5．（2024九上·闵行开学考）将四个相同的矩形（长是宽的3倍），用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得的大矩形面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；矩形的性质
【解析】【解答】解：设小矩形的宽为，则长为，分四种情况：
（1）如图①，矩形的周长为：；
（2）如图②，矩形的周长为：；
（3）如图③，矩形的周长为：；
（4）如图④，矩形的周长为：；
因此大矩形的周长为、或，共三种情况，
故选：C．
【分析】设小矩形的宽为，则长为，根据四种拼接方法，分别求出矩形的周长，即可求解.
6．（2024九上·闵行开学考）已知b＜0时，二次函数的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由图可知，第1、2两个图形的对称轴为y轴，所以，
解得b=0，与b＜0相矛盾，
第3个图，抛物线开口向上，a＞0，经过坐标原点，a2－1=0，解得a1=1，a2=－1（舍去）．
对称轴，解得：b＜0，符合题意，故a=1．
第4个图，抛物线开口向下，a＜0，经过坐标原点，a2－1=0，解得a1=1（舍去），a2=－1．
对称轴，解得：b＞0，不符合题意，
综上所述，a的值等于1．
故选：C．
【分析】根据抛物线的对称轴，可得出第1、2图不符合题意，根据抛物线经过原点，结合抛物线的开口方向求出a的值，结合抛物线的对称轴，进一步判断出b的取值范围，即可确定a的值.
7．（2024九上·闵行开学考）4的算术平方根是 ．
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
8．（2024九上·闵行开学考）已知，则点是的黄金分割点， ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是的黄金分割点，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据黄金割点的定义，结合题意可得，将AP=2代入即可求出HP的值，根据AH=AP-HP，即可求解.
9．（2024九上·闵行开学考）在实数范围内因式分解：
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】将2看作，根据平方差公式：进行因式分解即可求解.
10．（2024九上·闵行开学考）某班有6名女生和4名男生报名参加学校组织的进博会志愿者活动，现从中任选1人，则选中男生的可能性是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：某班有6名女生和4名男生报名参加学校组织的进博会志愿者活动，现从中任选1人，共有19种情况，其中男生被选中的有4种结果，
选中男生的可能性是，
故答案为：．
【分析】根据概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率，进行计算即可求解.
11．（2024九上·闵行开学考）某人在高为15米的建筑物顶部测得地面一观察点的俯角为，那么这个观察点到建筑物的距离为 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：，米，
，
，
米，
故答案为：．
【分析】先根据题意画出示意图，结合题意可得，根据锐角三角函数的定义得出BC的长度，即可求解.
12．（2024九上·闵行开学考）抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
∵点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点，
∴点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点．
故答案为：．
【分析】先根据抛物线的解析式求出顶点坐标为，根据顶点坐标的平移方式得出抛物线的平移方式为向右平移1个单位，向上平移2个单位，根据平移规律即可求出点P平移到点Q时的坐标.
13．（2024九上·闵行开学考）如图，＝3，G为AF的中点，则＝ ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作FH∥AC交BG于点H，
∵∠FHG＝∠AEG，∠FGH＝∠AGE，FG＝AG，
∴△FGH≌△AGE（AAS），
∴，
设GH＝GE＝m，则HE＝2m，
∵FH∥AC，
∴△BFH∽△BCE，
∵，
∴，
∴
∴BH＝6m，
∴BG＝BH+GH＝6m+m＝7m，BE＝BH+HE＝6m+2m＝8m，
∴，
故答案为：．
【分析】作FH∥AC交BG于点H，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明△FGH≌△AGE，根据全等三角形的对应边相等得出得，设GH＝GE＝m，则HE＝2m，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可证明△BFH∽△BCE，根据相似三角形的对应边之比相等得出，可推导出BH＝6m，BG＝7m，BE＝8m，即可求解.
14．（2024九上·闵行开学考）如图，，与的周长之比是，那么点A到的距离与点E到的距离之比是 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：，，
，
与的周长之比是，
点A到的距离与点E到的距离之比是，
故答案为：．
【分析】根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解.
15．（2024九上·闵行开学考）在等腰中，当顶角A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也确定了，我们把这个比值记作T（A），即.例：T（60）=1，那么T（120）= ；
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：作AD⊥BC于D，
∵ ∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠BAD=60°， ∠B=30°，
设AD=1，
则AB=2，
故，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴，
则T（120）=.
故答案为：.
【分析】作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质可得∠BAD=60°， ∠B=30°， 设AD=1，根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半得出AB=2，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出BD的值，根据等腰三角形的性质得出BC的值，结合题意，即可求解.
16．（2024九上·闵行开学考）我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点 和点 为一对“关联点对”．如果反比例函数 在第一象限内的图像上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为 ，那么这对“关联点对”中，距离 轴较近的点的坐标为 ．
【答案】（5，2）或（﹣5，﹣2）．
【知识点】点的坐标；定义新运算
【解析】【解答】解：设反比例函数y＝ 在第一象限内的图象上一对“关联点对”为A（a，b），B（b，a）且a＞b，
∴ab＝10，
∵这两个点之间的距离为3 ，
∴AB＝ ＝3 ，
∴a﹣b＝3，
由 解得 或 ，
∴A（5，2），B（2，5）或A（﹣5，﹣2），B（﹣2，﹣5），
∴距离x轴较近的点的坐标为（5，2）或（﹣5，﹣2），
故答案为（5，2）或（﹣5，﹣2）．
【分析】先求出ab＝10，再求出AB=3 ，最后计算求解即可。
17．（2024九上·闵行开学考）勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形EFGH组成的．若小正方形的边长是1，每个直角三角形的短的直角边长是3，则大正方形ABCD的面积是 ．
【答案】25
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵EF=1，BE=3，
∴BF=BE+EF=4，
∴ .
故答案为：25.
【分析】先求出BF=BE+EF=4，根据“ 大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形EFGH组成的 ”即可求出正方形ABCD的面积.
18．（2024九上·闵行开学考）定义：如图1，对于线段的内分点和外分点，如果满足，那么称是“调和点列”．如图2，在中，点在上，点在的延长线上，联结，射线与射线交于点，若是调和点列，且，则的值是 ．
图1 图2
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵是调和点列，且，
∴，
∴，
即，
解得：（负值舍去），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据题意得出，即，代入求出BD=1，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等得出，故，即可求解.
19．（2024九上·闵行开学考）计算：．
【答案】解：原式
.
【知识点】分数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据有理数的乘方，分数指数幂，绝对值的性质，二次根式的性质，二次根式的运算法则进行计算即可.
20．（2024九上·闵行开学考）求不等式组的非负整数解
【答案】解：，解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，最后写出不等式组的非负整数解，即可.
21．（2024九上·闵行开学考）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
【答案】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
AD是△ABC的中线，
，
，即：，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；三角形的中线
22．（2024九上·闵行开学考）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．
（1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
（2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
【答案】（1）解：设总共生产了袋手工汤圆，
依题意得，
解得：，
经检验是原方程的解，
故总共生产了袋手工汤圆.
（2）解：设促销时每袋应降价元，当刚好10天全部卖完时，依题意得，
整理得：
，
∴方程无解，
∴10天不能全部卖完，
∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为
∴依题意得，
解得（舍去），
∵要促销，
∴，
即促销时每袋应降价3元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设总共生产了袋手工汤圆，根据“计划用21天的时间生产袋装手工汤圆，每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉 ”列出方程，解方程求出a的值即可；
（2）设促销时每袋应降价元，若刚好10天全部卖完，据此列出方程，根据方程的解可得10天不能全部卖完，故第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为，据此列出方程，解方程求出x=4或3，结合实际，即可得出促销时每袋应降价3元.
（1）设总共生产了袋手工汤圆，
依题意得，
解得，
经检验是原方程的解，
答：总共生产了袋手工汤圆
（2）设促销时每袋应降价元，
当刚好10天全部卖完时，
依题意得，
整理得：
，
∴方程无解
∴10天不能全部卖完
∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为
∴依题意得，
解得（舍去）
∵要促销
∴
即促销时每袋应降价3元．
23．（2024九上·闵行开学考）如图，已知直线与坐标轴交于，两点，直线与坐标轴交于，两点，两直线的交点为．
（1）求，，的值；
（2）连接，试说明（表示面积）；
（3）轴上存在点，使得，求出此时点的坐标．
【答案】（1）解：∵直线和直线的交点为，
∴，
∴；
又直线与坐标轴交于，
∴，解得：；
（2）解：由（1）知：，；当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或；
∴或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先把代入，求出的值，根据待定系数法一次函数解析式即可求出a和b的值；
（2）根据题意分别求出两直线与坐标轴的交点，求出A、B、D的坐标，结合图形，分别求出，，，即可求解；
（3）设，则，根据，列式计算求出m的值，即可求解出点T的坐标.
（1）解：∵直线和直线的交点为，
∴，
∴；
又直线与坐标轴交于，
∴，解得：；
（2）由（1）知：，；
当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）设，
∴
∵，
∴，
∴，
∴或；
∴或．
24．（2024九上·闵行开学考）
如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等； 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数．
已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．抛物线上有一点，以点为顶点的抛物线经过点（点与点不重合），抛物线和形状相同，开口方向相反．
（1）当抛物线经过点时，求抛物线的表达式；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）当时，设抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与轴的交点为，联结、、，求证：平分．
【答案】（1）解：将点代入抛物线，
得，解得：，
得抛物线得表达式为；
（2）解：由抛物线和形状相同，开口方向相反，设抛物线得表达式为，
把代入抛物线，得，
则抛物线得表达式为，
由点在抛物线上，设点的坐标为，
由点是抛物线的顶点，得，解得，
得点的坐标为，
即抛物线的对称轴为直线；
（3）证明：由点是抛物线的顶点，得，
过点作轴，轴，垂足分别为点，，交轴于点，如下图所示，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，即，
设直线表达式为，
代入，，得，
直线表达式为，
把代入，得，
得点的坐标为，
，
，，
，
，
平分．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先将点A的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值，即可求解；
（2）通过题意设抛物线得表达式为，先将点B的坐标代入抛物线的解析式，求出c=6，设点的坐标为，根据抛物线的顶点坐标公式，可列出方程组，解方程组求出m和b的值，即可得出点P的坐标，即可求出抛物线的对称轴；
（3）根据抛物线的顶点坐标公式得出，过点作轴，轴，垂足分别为点，，交轴于点，结合点Q的坐标得出，根据等腰直角三角形的定义得出是等腰直角三角形，推得，待定系数法求出直线PQ的解析式，进一步求出点E的坐标，得出OE=OF，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应角相等得出，即可证明平分．
（1）将点代入抛物线，
得，解得，
得抛物线得表达式为；
（2）由抛物线和形状相同，开口方向相反，设抛物线得表达式为，
把代入抛物线，得，
则抛物线得表达式为，
由点在抛物线上，设点的坐标为，
由点是抛物线的顶点，得，解得，
得点的坐标为，
即抛物线的对称轴为直线；
（3）由点是抛物线的顶点，得，
过点作轴，轴，垂足分别为点，，交轴于点，如下图所示，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，即，
设直线表达式为，
代入，，得，
直线表达式为，
把代入，得，
得点的坐标为，
，
，，
，
，
平分．
25．（2024九上·闵行开学考）解图形往往与图形的性质密切相关
（1）由已学的全等判定：可知
结论1：判定两三角形全等的必要元素是___________；
结论2：解三角形时至少需要知道一条边的原因是_____________；
（2）如图，在锐角中至少有两个锐角，始终为锐角，设长为a，请用三个角的三角比和a的代数式表示的周长；
（3）在解各种形状的梯形的过程中，我们最多需要______个条件，最少需要______个条件，最少条件时需要知道的元素可以为_________．
【答案】（1）一条边对应相等；确定一个形状大小固定的三角形一定需要知道一条边的数值
（2）解：当和为锐角时，如图所示，过点A作于D，
在中，，，
在中，，，
∴，
∴的周长为；
当和是锐角时，过点B作于D，
在中，，，
在中，，，
∴，
∴的周长为；
综上所述，当和为锐角时，的周长为；当和是锐角时，的周长为；
（3）5；3；三边或两边一角或两角一边
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰梯形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（1）解：由题意得，判定两三角形全等的必要元素是一条边对应相等，解三角形时至少需要知道一条边的原因是确定一个形状大小固定的三角形一定需要知道一条边的数值；
故答案为：一条边对应相等；确定一个形状大小固定的三角形一定需要知道一条边的数值.
（3）解：当梯形是直角梯形时，需要知道三条边的长或两条边和其中一个角，或两个角和一条边，故最小需要3个条件，当梯形不是特殊梯形（不是等腰梯形，直角梯形时）需要知道四条边和一个角或三边和两个角等共5个条件，故最多需要5个条件；
故答案为：5；3；三边或两边一角或两角一边．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可求解；
（2）当和为锐角时，过点A作于D，根据锐角三角函数求出，，即可得出，，根据BC=BD+CD求出BC的值，即可求解，当和是锐角时，过点B作于D，根据锐角三角函数求出，，即可得出，，根据AC=AD+CD求出AC的值，即可求解
（3）根据梯形的性质得出是直角梯形或等腰梯形时，最小需要3个条件，是其他非特殊梯形时，最多需要5个条件，即可求解.
（1）解：由题意得，判定两三角形全等的必要元素是一条边对应相等，解三角形时至少需要知道一条边的原因是确定一个形状大小固定的三角形一定需要知道一条边的数值；
（2）解：当和为锐角时，如图所示，过点A作于D，
在中，，，
在中，，，
∴，
∴的周长为；
当和是锐角时，过点B作于D，
在中，，，
在中，，，
∴，
∴的周长为；
综上所述，当和为锐角时，的周长为；当和是锐角时，的周长为；
（3）解：当梯形是直角梯形时，需要知道三条边的长或两条边和其中一个角，或两个角和一条边，故最小需要3个条件，当梯形不是特殊梯形（不是等腰梯形，直角梯形时）需要知道四条边和一个角或三边和两个角等共5个条件，故最多需要5个条件；
故答案为：5；3；三边或两边一角或两角一边．
1 / 1
