2024-2025学年广东省广州市某中学高二（上）期末数学模拟试卷（一）（PDF版，含解析）

2024-2025 学年广东省广州市某中学高二（上）期末数学模拟试卷（一）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在公差为2的等差数列{ }中， 3 2 5 = 4，则 4 2 7 =( )
A. 4 B. 2 C. 6 D. 8
2.圆： 2 + 2 4 + 6 = 0的圆心坐标和半径分别为( )
A. ( 2,3)，13 B. ( 2,3)，√ 13 C. (2, 3)，√ 13 D. (2, 3)，13
3.设 ， ∈ ，向量 = ( , 1,0)， = (2, , 2)， = (1, 2,1)，且 ⊥ ， // ，则| + | =( )
A. √ 14 B. √ 10 C. √ 29 D. 2√ 7
4.已知{ , , }是空间的一个基底，下列不能与 = ， = 构成空间的另一个基底的是( )
A. B. + C. + D. + +
5.已知圆 ： 2 + 2 +2 1 = 0，直线 ： 3 = 0，点 在直线 上运动，直线 ， 分别与圆 相
切于点 ， ，当切线长 最小时，弦 的长度为( )
√ 6
A. B. √ 6 C. 2√ 6 D. 4√ 6
2
1 1
6.已知数列{ }，满足 +1 = ，若 1 = ，则 2019 =( ) 1 2
1 1
A. 2 B. C. 1 D.
2 2
7.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，准线为 .点 在 上，直线 交 轴于点 ，若 = 3 ，则点 到准
线 的距离为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2 2
8.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)和抛物线
2 = 2 ( > 0)有相同的焦点 2(1,0)，两曲线相交于 ，
两点，若△ 1( 1为双曲线的左焦点)为直角三角形，则双曲线的离心率为( )
A. √ 2 B. √ 2 + 1 C. √ 3 D. √ 3+ 1
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. “ = 1”是“直线 2 + 1 = 0与直线 2 = 0互相垂直”的充要条件
3
B. 直线 + +2 = 0的倾斜角 的取值范围是[0, ] ∪ [ , )
4 4

C. 过( 1 , 1)，( 2 , 2)两点的所有直线的方程为
1 = 1
2 1 2 1
D. 经过点(1,1)且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为 + 2 = 0
第 1 页，共 18 页
10.如图，在三棱柱 1 1 1中， ， 分别是 1 ， 1 1上的点，
且 = 2 1 ， 1 = 2 1 .设 = ， = ， 1 = .若∠ = 90°，
∠ 1 = ∠ 1 = 60°， = = 1 = 1，则下列说法中正确的是( )
1 1A. = +
1
+
3 3 3
√ 5
B. | | =
3
C. 直线 1和直线 1相互垂直
1
D. 直线 1和直线 1所成角的余弦值为 6
3
11.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，过 的直线 交抛物线 于点 ， ，且 ( , )，| | = .下
4 2
列结论正确的是( )
A. = 4 B. = ±√ 2
3√ 2
C. = 3 D. △ 的面积为
2
12.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中，后人称为“三角
垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第 层有 个球，
从上往下 层球的总数为 ，记 = ( 1)
( +1 )，则( )
A. +1 = +1 B. 1 + 2 + + 20 = 20
( +1) 3
C. 1 = ， ≥ 2 D.

1的最大值为 2 2 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2 2 2
13.椭圆 + 2 = 1( > 0)与双曲线
2 = 1有公共的焦点，则 =______．
25 8
14.圆 ：( + 3)2 + ( 4)2 = 1关于直线 + 2 = 0对称的圆 的方程是______．
1
15.在等比数列{ }中，若 1 = 1， 4 = ，则数列{ +1}的公比为 ． 8
2 2
16.已知动点 ( , )在椭圆 + = 1上，过点 作圆( 3)2 + 2 = 1的切线，切点为 ，则 的最小值
25 16
是 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第 2 页，共 18 页
17.(本小题10分)
已知{ }是等差数列，其前 项和为 .若 1 = 2， 7 = 4( 2 + 5).
(1)求{ }的通项公式；
(2)设 = 2 + 2
，数列{ }的前 项和为 ，求 ．
18.(本小题12分)
已知圆 的方程为( 3)2 + 2 = 2．
(1)求过点 (2,1)的圆 的切线方程；
(2)若直线过点(2,3)，且直线 与圆 相交于两点 、 ，使得∠ = 90°，求直线 的方程．
19.(本小题12分)
如图，四棱锥 的底面是矩形， ⊥底面 ， = = 1， 为 中点，且 ⊥ ．
(1)求 ；
(2)求二面角 的正弦值．
20.(本小题12分)
已知等比数列{ }的公比为 ，与数列{

}满足 = 3 ( ∈ )
(1)证明数列{ }为等差数列；
(2)若 8 = 3，且数列{ }的前3项和 3 = 39，求{ }的通项，
(3)在(2)的条件下，求 = | 1|+ | 2| + + | |
21.(本小题12分)
已知在长方形 中， = 2 = 2√ 2，点 是 的中点，沿 折起平面 ，使平面 ⊥平面
(1)求证：在四棱锥 中， ⊥ ；
√ 5
(2)在线段 上是否存在点 ，使二面角 的余弦值为 ？若存在，找出点 的位置；若不存在，
5
说明理由．
第 3 页，共 18 页
22.(本小题12分)
2 2 3
已知点 ， 分别为椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左，右顶点，点 (0, 2)，直线 交 于点 ， = 2
且△ 是等腰直角三角形．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)设过点 的动直线 与 相交于 ， 两点，当坐标原点 位于以 为直径的圆外时，求直线 斜率的取值
范围．
第 4 页，共 18 页
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：∵公差为2的等差数列{ }中， 3 2 5 = 4，
∴ 1 +2 × 2 2( 1 + 4 × 2) = 4，
解得 1 = 16．
则 4 2 7 = 16 + 4 × 2 2( 17 + 6 × 2) = 2，
故选： ．
公差为2的等差数列{ }中， 3 2 5 = 4，可得 1 + 2 × 2 2( 1 +4 × 2) = 4，解得 1 .再利用通项公式即
可得出．
本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2.【答案】
【解析】解：圆： 2 + 2 4 +6 = 0，即圆：( 2)2 + ( + 3)2 = 13，
故圆心坐标和半径分别为(2, 3)，√ 13，
故选： ．
把所给的圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标和半径．
本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：∵ ， ∈ ，向量 = ( , 1,0)， = (2, , 2)， = (1, 2,1)，且 ⊥ ， // ，
2 2
∴可得2 + = 0， = = ，解得 = 2， = 4，
1 2 1
则 + = (4, 3,2)，
则| + | = √ 42 + ( 3)2 + 22 = √ 29．
故选： ．
利用空间向量的垂直与共线，列出方程组求解 ， 的值，从而可得 + 的坐标，再利用模的运算公式求解
即可．
本题考查空间向量的垂直与共线的性质，向量的模的求法，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
第 5 页，共 18 页
本题考查了空间向量的共面定理的应用问题，属于基础题．
根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论．
【解答】
解：由 = ， = ，两式相加可得 + = ( )+ ( ) = ，
所以得 与 ， 是共面向量，
故 不能与 = ， = 构成空间的另一个基底．
故本题选 A．
5.【答案】
【解析】解：由圆的方程知：圆心 ( 1,0)，半径√ 2，
则当| |最小时，| |最小，
| 1 0 3|
点 到直线 的距离| | = = 2√ 2，所以| | = √ 8 2 = 6， √ 2 √
1 1 1
| | √ 2 = | | | |，可得| | = 6．
2 2 2 √
故选： ．
求解圆的圆心与半径，结合点到直线的距离公式，通过三角形的面积，转化求解即可．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
6.【答案】
1 1
【解析】解：数列{ }，满足 +1 = ，若 1 = ， 1 2
1
可得 2 = 2， 3 = 1， 4 = ， 2
所以数列的周期为3，
则 2019 = 671×3+3 = 3 = 1．
故选： ．
求出数列的前几项，得到数列的周期然后求解 2019．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列的周期性，考查计算能力．
7.【答案】
第 6 页，共 18 页
【解析】【分析】
本题考查抛物线的性质，属于中档题．
过点 作 轴的垂线，垂足为 ，根据 = 3 得| | = 4，再结合抛物线定义即可得到答案．
【解答】
解：如图，点 作 轴的垂线，垂足为 ，
由题知， (0,1)，即| | = 1，
| |
1因为 = 3 ，所以
|
= = ，
| 4
所以| | = 4，
所以点 到准线的距离为| | + 1 = 5．
故选 B．
8.【答案】

【解析】解：∵ 1(1,0)是抛物线的焦点，∴ = 1，解得： = 2，∴抛物线方程为：
2 = 4 ；
2
由对称性可知：| 1| = | 1|，∠ 1 = 90°，
设 为第一象限内的点，则 = 11 ，∴直线 1方程为 = + 1，
将 = + 1代入抛物线方程可得 (1,2)，
由双曲线定义可知：2 = | 1| | 2 | = 2√ 2 2，解得： = √ 2 1，
第 7 页，共 18 页
1
又 = = 1，∴双曲线离心率 = = = √ 2 + 1， 2 √ 2 1
故选： ．
由焦点坐标可求得抛物线方程，根据对称性可求得直线 1方程，与抛物线方程联立可求得 点坐标，根据
双曲线定义可求得 ，结合 = 1可求得离心率．
本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线的方程，直线垂直的充要条件，直线的倾斜角和斜率之间的关系，主要考查学生的运算能
力和转换能力及思维能力，属于中档题．
直接利用直线的垂直的充要条件和直线的倾斜角和斜率之间的关系，直线的两点式的使用条件和直线截距
相等的直线方程的应用判定 、 、 、 的结论．
【解答】
解：对于 ：当 = 1时，“直线 2 +1 = 0与直线 2 = 0互相垂直”，
当直线 2 + 1 = 0与直线 2 = 0互相垂直时，解得 = 0或 1，
故“ = 1”是“直线 2 +1 = 0与直线 2 = 0互相垂直”的充分不必要条件，故 A 错误．
对于 ：直线 + +2 = 0的倾斜角 ，则 = ∈ [ 1,1]，
3
所以倾斜角 的取值范围是[0, ] ∪ [ , )，故 B 正确；
4 4
1 对于 ：过( , )，( , )(且 ≠ ， ≠ )两点的所有直线的方程为 = 11 1 2 2 1 2 1 2 ，故 C错误． 2 1 2 1
对于 ：经过点(1,1)且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为：
①：经过原点的直线为 = 0，

②设在坐标轴上的截距为 ，设直线方程为 + = 1，

1 1
所以 + = 1，解得 = 2，故 + 2 = 0，故 D 错误．

故选： ．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题的真假判断与应用，考查利用空间向量求解空间距离与空间角，考查运算求解能力，是中档
题．
第 8 页，共 18 页
利用空间向量的加减运算求得 判断 ；求出向量的模判断 ；由向量数量积判断 ；由数量积求夹角判断
．
【解答】
1
解：由图形知 = 1 + 1 1 + 1 = 1
1
+ + 1 3 3 1
1 1 1 1 1 1
= ( ) + + ( ) = ( + + ) = + + ，故 A 正确；
3 3 3 3 3 3
2
∵ ( +
2 2
+ )2 = + + + 2 + 2 + 2 = 1+ 1 + 1 + 0 +1 + 1 = 5；
√ 5
∴ | + + | = √ 5，| | = ，故 B 正确；
3
1 = + 1 = + ， 1 = + 1 = + 1 = + ，

2 2
1 1 = ( + ) ( + ) = + + +
2 2 1 1
= + + = = 1× 1× = ≠ 0，∴直线 1和直线 1不垂直，故 C错误； 2 2
2 2 1| 1 | = √ ( + )
2 = √ + + 2 = √ 1+ 1 + 2 × 1 × 1 × = √ 3，
2
2
| | = √ ( + )2 √
2 2
1 = + + + 2 2 2
√ 1 1= 1 + 1 + 1 +2 × 1 × 1 × 2 × 1 × 1 × = √ 3．
2 2
1 1
∴ cos < 1 1 21 , 1 >= = = ，故 D 正确． | || 1 1| √ 3×√ 3 6
故选 ABD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的定义，涉及到求三角形的面积问题，属于基础题．
由抛物线的定义以及| |的值即可求出 的值，进而可以判定各个选项是否正确．
【解答】
3
解：由抛物线的定义可得： + = = 2，故 A 错误；
4 2 2
1
点 ( , )在抛物线 2 = 4 上，故求得 = ±√ 2，B 正确；
2
不妨设 方程为 = ( 1)，联立 2 = 4 ，得 2 2 (2 2 + 4) + 2 = 0，
1
则 = 1，可知点 的横坐标为2，所以 = 2 ( 1) = 3，故 C正确； 2
2√ 2
不妨设直线 的倾斜角为 ，则 = = ±2√ 2，则 = ， 3
第 9 页，共 18 页
2 4 3√ 2
△ = = = ，故 D 正确． 2 2√ 22× 2
3
故选： ．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的前 项和公式，考查归纳推理能力，属于中档题．
根据题意由归纳推理和数列求和的知识，逐项分析即可．
【解答】
解： 1 = 1， 2 1 = 2， 3 2 = 3， ， 1 = ， +1 = +1，故 A 正确；
因为 +1 = + 1，所以 = ( 1) ( +1 ) = ( 1)
( + 1)，
则 1 + 2 + + 20 = 2 + 3 4 + 5 6 + 7 + 19 20 +21 = 10，故 B 错误；
( +1)
= 1 + 2 + 3 + 4+ + = ， 2
( +1)
1 = = ( ≥ 2)，故 C正确； 2
( +1) ( +1) ( 1) 2+3 ( 3)
令 =

1 = ， 1 = 1 = = ， 2 2 2 2 2 2
当1 ≤ ≤ 3， 1 < 2 ≤ 3，
3
当 ≥ 4，数列{ }单调递减，所以 3的值最大，最大值为 ，故 D 正确． 2
故本题选 ACD．
13.【答案】4
2
【解析】解：双曲线 2 = 1的焦点为(±3,0)，
8
由题意可得25 2 = 9，得 2 = 16，则 = 4．
故答案为：4．
求得双曲线的焦点坐标，可得25 2 = 9，解方程可得 的值．
本题考查椭圆和双曲线的焦点坐标，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
14.【答案】( + 2)2 + ( 5)2 = 1
【解析】解：圆 ：( + 3)2 + ( 4)2 = 1，圆心( 3,4)，半径1，
关于直线 + 2 = 0对称的圆半径不变，
3 +4
+ 2 = 0
设对称圆的圆心为( , )，则{ 2 2 ，
4
= 1
+3
第 10 页，共 18 页
= 2
解得{ ，
= 5
所求圆的标准方程为( + 2)2 + ( 5)2 = 1．
故答案为：( + 2)2 + ( 5)2 = 1．
先求圆心和半径，再去求对称圆的圆心坐标，可得到对称圆的标准方程．
本题考查圆的方程，考查点关于直线对称点的求法，比较基础．
1
15.【答案】
4
【解析】【分析】
本题考查等比数列的通项公式，公比 的求解，是基础题．
1
利用等比数列通项公式求出 = ，再由数列{ +1}的公比为
2，能求出结果．
2
【解答】
1
解：∵等比数列{ }中， 1 = 1， 4 = ， 8
3 1 1∴ = ，解得 = ，
8 2
2 1∴数列{ +1}的公比为 = ． 4
1
故答案为： ．
4
16.【答案】√ 3
【解析】【分析】
本题考查了圆与椭圆的综合应用，椭圆标准方程与圆的标准方程的综合应用，圆的切线的几何性质的运用，
椭圆上的点到焦点的最小值的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
首先确定椭圆的右焦点即为圆的圆心，然后利用切线的几何性质，得到要求解 的最小值，即求解 的最
小值，利用椭圆上的点到焦点的最小值为 ，即可得到答案．
【解答】
2 2
解：椭圆 + = 1的右焦点为 (3,0)，
25 16
圆( 3)2 + 2 = 1的圆心为 (3,0)，半径为 = 1，
因为 为圆的切点，
所以 = √ 2 2 = √ 2 1，
要求解 的最小值，即求解 的最小值，
2 2
因为点 在椭圆 + = 1上，点 为椭圆的右焦点，
25 16
第 11 页，共 18 页
所以 的最小值为 = 5 3 = 2，
故 的最小值为√ 22 1 = √ 3．
故答案为：√ 3．
17.【答案】解：(1)设等差数列{ }的公差为 ．
∵ 7 = 4( 2 + 5)，
7×6
∴ 7 1 + = 4( 1 + + 1 + 4 )， 2
∴ 1 = ，∵ 1 = 2，
∴ = 2，
∴ = 2 + ( 1) × 2 = 2 ．
∴ { }的通项公式为 = 2 ，
(2)由(1)可知 = 2 + 2 = 4 + 22 = 4 +4
，
∵ = 1 + 2 + 3+ + ．
∴ 1 2 = 4(1+ 2 + 3 + + ) + (4 + 4 + +4
)
4 (1+ ) 4×(1 4 ) 4
= + = 2 ( + 1) + (4 1)，
2 1 4 3
4
∴ = 2 ( + 1)+ (4
1)．
3
【解析】本题考查数列的通项公式及数列求和，属于一般题．
(1)利用等差数列通项公式及前 项和求出公差，即可求出；
(2)先求数列{ } 的通项公式，再利用分组求和法求解．
18.【答案】解：(1) ∵ (2 3)2 + 12 = 2，∴点 在圆上，则 ⊥ ，
1 0
∵ = = 1，∴ 2 3 = 1．
则直线 的方程为 1 = 1 ( 2)，即 1 = 0；
(2)圆 的方程为( 3)2 + 2 = 2，则圆 的圆心坐标为(3,0)，半径为√ 2．
记圆心到直线 的距离为 ，则 = √ 2 45° = 1．
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 = 2， = 3 2 = 1，满足条件；
当直线 的斜率存在时，设直线方程为 3 = ( 2)，即 + 3 2 = 0．
|3+ | 4
则 = = 1，解得 = ．
√ 2 3 1+
此时直线 的方程为4 + 3 17 = 0．
综上，直线 的方程为 = 2或4 + 3 17 = 0．
第 12 页，共 18 页
【解析】(1)由题意可知，点 在圆上，求出 所在直线当斜率，可得切线斜率，再由直线方程的点斜式得
答案；
(2)由已知求出圆心到直线的距离，然后分直线的斜率存在与不存在求解．
本题考查圆的切线方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档
题．
19.【答案】解：(1)连结 ，
因为 ⊥底面 ，且 平面 ，
则 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，则 ⊥ ，
所以∠ + ∠ = 90°，
又∠ + ∠ = 90°，
则有∠ = ∠ ，
所以 △ ∽ △ ，
1
则 = ，所以 2 = 1，解得 = √ 2； 2
(2)因为 ， ， 两两垂直，故以点 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
第 13 页，共 18 页
则 (√ 2, 0,0)， (√ 2, 1,0)，
√ 2
( , 1,0)， (0,0,1)，
2
所以 = ( √ 2, 0,1)，
√ 2
= ( , 1,0)，
√ 2
= ( , 0,0)， = ( √ 2, 1,1)，
2 2
设平面 的法向量为 = ( , , )，

2 + = 0
则有{
= 0 √，即{ ，

√ 2
= 0 + = 0
2
令 = √ 2，则 = 1， = 2，故 = (√ 2, 1,2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
√ 2 = 0 = 0
则有{ ，即{ 2 ，
= 0 √ 2 + = 0
令 = 1，则 = 1， = 0，故 = (0,1,1)，
| | 3 3√ 14
所以|cos < , > | = = = ，
| || | √ 7×√ 2 14
设二面角 的平面角为 ，
则 3√ 14 √ 70 = √ 1 cos2 = √ 1 cos2 < , >= √ 1 ( )2 = ，
14 14
所以二面角 的正弦值为√ 70．
14
【解析】本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立
合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
(1)连结 ，利用线面垂直的性质定理证明 ⊥ ，从而可以证明 ⊥平面 ，得到 ⊥ ，证明
△ ∽ △ ，即可得到 的长度；
(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面的法向量，由向量的夹角
公式以及同角三角函数关系求解即可．
第 14 页，共 18 页
20.【答案】(12分)(1)证明：设{ }的公比为 ，
∵ = 3 ( ∈
)
∴ = log3 ( ∈
) …… (1分)

∴ +1 +1 = 3 +1 3 = 3 = 3 (与 无关的常数)
∴ { }为等差数列，公差为log3 .…… (3分)
= 3 8 = 3 +7 = 1 = 15
(2)解：∵ { 8 即{ 1 解出{ 1 ……(5分)
3 = 39 3 1 + 3 = 39 = 2
∴ = 15 2( 1) = 17 2 ………… (6分)
(3)由 = 17 2 ≥ 0得 ≤ 8， = 17 2 ≤ 0可得 ≥ 9
∴ { }的前8项均为正，从第9项开始为负 ………… (7分)
(15+17 2 )×
( )当 ≤ 8时， = | 1| + | 2| + + | | = 1 + 2 + + = = (16 ) =
2 +
2
16 ………… (9分)
( )当 ≥ 9时 = | 1|+ | 2| + + | |
= 1 + 2 + + 8 ( 9 + 10 + + )
= 2( 1 + 2 + + 8) ( 1 + 2 + + 8 + 9 + 10 + + )
(15 + 1)× 8
= 2 × ( 2 + 16 )
2
= 128 (16 )
= 2 16 + 128………… (11分)
2+16 ,( ≤8)
综上所述： = {
2 16 +128( ≥ 9)………… (12分)
【解析】(1)设出公比，利用等差数列的定义，转化求解即可．
(2)利用 8 = 3，且数列{ }的前3项和 3 = 39，求出数列的首项与公差，得到通项公式．
(3)求出数列变号的项，然后求解数列的和即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和以及通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力．
21.【答案】证明：(1)连接 ，∵ 为 的中点， = 2 = 2√ 2， = √ 2，
∵ 为长方形，∴ ⊥ 中， = = 2√ 2．
在△ 中， = √ 2 + 2 = √ 2 + 2 = 2，
同理 = 2， 2 + 2 = 2，∴ ⊥ ，
在折叠后的图形中：
第 15 页，共 18 页
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， ⊥ ，
∴ ⊥平面 ，
又 平面 ， ⊥ ，
又∵ ⊥ ， 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
∴ 1平面 ，
又 平面 ，
∴ ⊥ ，
(2)由(1)可知：△ 、△ 均为等腰直角三角形，过 点作底边 的高，交 于 点，以 为原点建立
空间直角坐标系，如图所示：
则 = (0,0,1)， = (1,0,0)， = ( 1,2,0)， = ( 1,0,0)，
则 = (1,0,1)， = ( 1,2, 1)， = (2,0,0)，
易知平面 的一个法向量为 = (0,1,0)，
假设在线段 上存在点 ，使二面角 的余弦值为√ 5 ，
5
设设 = ，则 = + = (1 , 2 , 1 )，
(1 2 ) + 2 + (1 ) = 0
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，∴ { = 0，∴ { ，
= 0 2 = 0
第 16 页，共 18 页
2 1 √ 5 1
取 = 1，则 = (0,1, )，∴ cos < ， >= = =∣
1
∣ ∣ ∣ √ 2 2 5
，解得 = ，
1+( ) 2
1
即当点 为线段 的中点时，二面角 的余弦值为√ 5．
5
【解析】(1)先在长方形中证明 ⊥ ；再根据面面垂直的性质定理证明 ⊥平面 ，得到 ⊥ ；
然后利用线面垂直的判定证明 ⊥平面 ，进而证明 ⊥ ；
(2)以 中点为坐标原点建立空间直角坐标系，设 = 表示出 ，再分别求出平面 、平面 的
法向量，然后利用向量形式表示二面角 的余弦值，进而求出 最终确定 的位置；
本题考查线线垂直及利用向量法解决空间二面角的问题，考查学生的综合能力，属于难题．
22.【答案】解：(Ⅰ)由题意知：△ 是等腰直角三角形， = 2， (2,0)，
设 ( , )，由
3
=
6 4
0 0 ，则 2 0 = , 0 = ， 5 5
代入椭圆方程，解得 2 = 1，
2
∴椭圆方程为 + 2 = 1.… (5分)
4
(Ⅱ)由题意可知，直线 的斜率存在，方程为 = 2，设 ( 1, 1)， ( 2 , 2)，
= 2
则{ 2 2 ，整理得：(1+ 4
2) 2 16 + 12 = 0，
+ = 1
4
16 12
由韦达定理可知： 1 + 2 = 2， 1 2 = 2，… (8分)
1+4 1+4
由直线 与 有两个不同的交点，则△> 0，
即( 16 )2
3
4 × 12× (1 + 4 2) > 0，解得： 2 > ，…①…(9分)
4
由坐标原点 位于以 为直径的圆外，则 > 0，即 1 2 + 1 2 > 0，
则 1 2 + 1 2 = 1 2 + ( 1 2)( 2 2)
= (1 + 2) 1 2 2 × ( 1 + 2)+ 4
12 16
= (1 + 2) 2 2 × 2 + 4 > 0，
1+4 1+4
解得： 2 < 4，…②…(11分)
3 √ 3 √ 3
综合①②可知： < 2 < 4，解得 < < 2或 2 < < ，
4 2 2
√ 3 √ 3
直线 斜率的取值范围( 2, ) ∪ ( , 2).… (12分)
2 2
3
【解析】(Ⅰ)由题意可知：由 = ，求得 点坐标，即可求得椭圆 的方程；
2
(Ⅱ)设直线 = 2，代入椭圆方程，由韦达定理，由△> 0，由坐标原点 位于以 为直径的圆外，则
第 17 页，共 18 页
> 0，由向量数量积的坐标公式，即可求得直线 斜率的取值范围．
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦
达定理，考查及算能力，属于中档题．
第 18 页，共 18 页