重庆市第一中学校2024-2025学年九年级上学期期初检测数学试题
1．（2024九上·沙坪坝开学考）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·沙坪坝开学考）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·沙坪坝开学考）在反比例函数图象的每一支曲线上y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·沙坪坝开学考）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为点，且相似比为．若的周长为6，则的周长为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
5．（2024九上·沙坪坝开学考）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024九上·沙坪坝开学考）估计 的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
7．（2024九上·沙坪坝开学考）若且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·沙坪坝开学考）下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形 中共有n个小三角形，这里的（ ）
A．110 B．112 C．114 D．116
9．（2024九上·沙坪坝开学考）如图，在正方形中，点M在上，点N在的延长线上，且，连接﹐点G为的中点，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·沙坪坝开学考）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，，，下列说法：
①；
②；
③对于任意正整数k，都有成立．
其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．（2024九上·沙坪坝开学考）计算： ．
12．（2024九上·沙坪坝开学考）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则 ．
13．（2024九上·沙坪坝开学考）一个不透明的箱子里装有a个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同.每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出a的值为 .
14．（2024九上·沙坪坝开学考）一个多边形的内角和为，则从该多边形的一个顶点出发所引出的对角线条数是 ．
15．（2024九上·沙坪坝开学考）如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为 ．
16．（2024九上·沙坪坝开学考）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ．
17．（2024九上·沙坪坝开学考）如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，连接，交于点G，则的长为 ．
18．（2024九上·沙坪坝开学考）若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数6149，因为，所以6149是“和方数”；又如：四位数3562，因为，所以3562不是“和方数”．最小的“和方数”为 ；已知为“和方数”，A去掉千位数字后所得的三位数记为，记，，在能被11整除的情况下，当取得最大值时，满足条件的“和方数”A等于 ．
19．（2024九上·沙坪坝开学考）（1）解不等式组；
（2）解方程：．
20．（2024九上·沙坪坝开学考）先化简，再求值：，其中x=．
21．（2024九上·沙坪坝开学考）学行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他们的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据以上思路完成下列作图和填空：
（1）用直尺和圆规，过点B作的角平分线，交于点F，连接、．（只保留作图痕迹）
（2）已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，平分，交于点E，平分，交于点F，连接、．
求证：四边形是平行四边形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，①
∴．
∵平分，平分，
∴．
∵
∴② ，
∴
∴③ ，．
∴，
∴四边形是平行四边形．
同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所④ ．
22．（2024九上·沙坪坝开学考）为了培养学生的体能素养，某校分别从七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们一周的运动时间，运动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：；B组：；C组：；D组：；E组：），将数据进行分析，得到如下统计：
①八年级B组学生一周运动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80．
②八年级100名学生一周运动时间频数分布统计表：
分组 A B C D E
频数 14 b 27 13 6
③七、八年级各100名学生一周运动时间的平均数、中位数、众数如下表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 81.3 79.5 82
八年级 81.3 c 83
④七年级100名学生一周运动时间分布扇形统计图
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）_________，_______，______；
（2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生一周运动情况更好，请说明理由：（写出一条理由即可）
（3）该校七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计该校七、八年级一周运动时间不低于80分钟的学生一共有多少人？
23．（2024九上·沙坪坝开学考）如图，在四边形中，，连接，，动点P从点A出发，沿折线方向以每秒1个单位的速度运动到点C停止运动，点Q为中点．设动点P运动时间为x秒，面积为．
（1）请直接写出关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出的一条性质；
（3）若函数，根据图象直接写出当时x的取值范围．
24．（2024九上·沙坪坝开学考）某水果店商家购进了一批哈密瓜和脆桃．商家用1600元购买哈密瓜，800元购买脆桃，每斤哈密瓜比每斤脆桃的进价贵6元，且购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍．
（1）求商家购买每斤哈密瓜和每斤脆桃的进价；
（2）商家在销售过程中发现，当哈密瓜的售价为每斤14元，脆桃的售价为每斤5元时，平均每天可售出20斤哈密瓜，40斤脆桃．调查，哈密瓜的售价每降低0.5元平均每天可多售出5斤，且降价幅度不低于．商家在保证脆桃的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使哈密瓜和胞桃平均每天的总获利为270元，则每斤哈密瓜的售价为多少元？
25．（2024九上·沙坪坝开学考）如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，且与轴、轴分别交于点，其中．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）如图2，点为反比例函数图象在第一象限上的一点，且在点A的左侧，满足，作轴交直线于点，点为直线上一动点，连接，求周长的最小值；
（3）在第（2）问的条件下，轴上有一动点，平面内有一动点，当以点为顶点的四边形是矩形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
26．（2024九上·沙坪坝开学考）在等边中，，垂足为D，点E是线段上一点，连接，将绕点C顺时针旋转到，连接交于点G．
（1）如图1，若的延长线恰好过点B，且，求的长度：
（2）如图2，在上取一点H，使，在的延长线上取一点K，连接，且满足，求证：；
（3）如图3，，点M为平面内任意一点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，点T是线段中点，将线段绕点T逆时针旋转到，点P为线段中点，连接、，直线与直线交于点Q，当取最大值时，请直接写出此时的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：C．
【分析】可以找出一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的是轴对称图形，能找出一个点旋转180°后，与原来的图形重合的据此是中心对称图形；据此即可求解.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、，方程有两个不相等的实数解，所以A选项不符合题意；
B、，方程没有实数解，所以B选项不符合题意；
C、，方程有两个不相等的实数解，所以C选项不符合题意；
D、，方程有两个相等的实数解，所以D选项符合题意．
故选：D．
【分析】根据一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，逐项求出每个方程中的值，即可求解.
3．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数图象的每一支曲线上 ，y都随x的增大而减小
∴
.
故选：A．
【分析】
根据反比例函数y=的增减性：当K>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小
当K<0时，在每个象限内，y随x的增大而增大.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；位似图形的概念
5．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可得：
故选：B．
【分析】根据增长率公式：，其中，a是原来的数，b是后来的量，n是变化的次数，分别写出一月份，二月份，三月份分别的为：10，，，然后把一月份，二月份，三月份相加即可.
6．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=6+，
∵9<15<16，
∴3<<4，
∴9<6+<10，
即 的值和10之间.
故答案为：B.
【分析】先进行二次根式的混合运算将原式化简，然后根据二次根式的性质求出3<<4，从而求出的值所在的范围，即可解答.
7．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴b=3a，d=3c，f=3e，
又，
∴
故选：D．
【分析】先根据分式的基本性质得出b=3a，d=3c，f=3e，然后代入，结合分式的基本性质即可求解.
8．【答案】D
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：设图形中三角形的个数是为正整数），
，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】根据列出部分图形中三角形的个数，找出变化规律，进行计算即可求解.
9．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，，令与交于点，
在正方形中，，，则，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，即：，
又∵，
∴，
故选：A．
【分析】先根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形证明，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出，， 根据等腰直角三角形的定义得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出，根据直角三角形的斜边删的中线是斜边的一半求出，根据三遍对应相等得两个三角形是全等三角形得出，根据全等三角形的对应角相等得出，然后根据三角形的内角和定理即可求解．
10．【答案】A
【知识点】分式的加减法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，，，
即：这列数以，，，每三个为一个循环，
，
∴，，故①不正确；
∵
∴，
，
，
，
，
，
∴，
∵，
，故②不正确；
由①②可得、分别是以3和6为周期的数列，
当为奇数时，则，，，
，
，
∴，故③不正确；
故选：A．
【分析】先求出前面几个a的值，得出这列数每三个为一个循环，即可求出a15的值，即可判断①，先求出前面几个T的值，得出是每六个为一个循环，即可判断②，结合①②可得、分别是以3和6为周期的数列，进行计算，即可判断③.
11．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据负整数指数幂、零指数幂以及有理数的加法进行计算，即可求解.
12．【答案】1
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程的一个根是2∴把代入得：，解得
∴
故答案为：1．
【分析】
根据方程根的定义，把x=2代入，列出方程，解出m即可.
13．【答案】20
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为，
，
解得，
经检验：是原方程的解，
故答案为：20.
【分析】根据频率估计概率的知识结合题意可得：摸到红球的概率为0.25，然后根据概率公式进行计算.
14．【答案】10
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，
则，
解得，
从十三边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数：，
故答案为：10．
【分析】根据题意边形的内角和等于求出多边形的边数，根据从边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数是即可求解.
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：设点A的坐标为（a，），a＞0，则OD=a，OE=，
∴点B的纵坐标为，
∴点B的横坐标为-，
∴OC=，
∴BE=，
∵AB∥CD，
∴，
∴EF=OE=，OF=OE=，
∴S△BEF=EF BE=××=，
S△ODF=OD OF=×a×=，
∴S阴影=S△BEF+S△ODF=+=．
故答案为：．
【分析】设A（a，），a＞0，进一步求出点B的纵坐标为，点B的横坐标为-，根据两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例可得EF=OE=，OF=OE=，根据三角形的面积公式即可求解.
16．【答案】4
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为，
∴，即，
解分式方程
方程两边同时乘以，得，
解得：且，即，
∵分式方程的解为非负整数，即：为非负整数，且，，
∴，，3，5，
则所有满足条件的整数的值之和为，
故答案为：4．
【分析】先按照不等式组的性质解不等式，结合不等式组的解集，进而确定取值范围；再解出分式方程，用含m的代数式表示出分式方程的解，找到分式方程的非负整数解，进而求出的值，最后求和即可.
17．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取为的中点，
∵菱形的边长为4，，
∴，，，
∵F为的中点，H为的中点，
∴，是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【分析】取为的中点，根据菱形的四条边都相等，对边平行，对角相等得出，，，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得，，根据平行线的性质得出， 根据直角三角形的性质得出， 根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方得出， 则， 根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
18．【答案】1425；2781
【知识点】因式分解的应用；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设为“和方数”，
则 ，，即，
要使得越小，只需，，，越小即可，
当时，
若时，，不符合题意，
若，此时，则，不符合题意，
若，此时，，则，，
即：最小的“和方数”为1425；
∵为“和方数”，则，
∴，
则，
∵能被11整除，即：能被33整除，
∴能被33整除，
∵，
∴，
令，则为33的倍数，，则，
当时，解得，不符合题意；
当时，解得，不符合题意；
当时，解得，符合题意（不符合题意，舍去）；
∴，，
∴，，
则，
当时，取得最大值，此时，
则此时“和方数”等于2781，
故答案为：1425，2781．
【分析】先设为“和方数”，根据题意可得 ，，即，要使得越小，只需，，，越小即可，再根据“和方数”的定义进行计算即可求解；由题意求出， 代入求出，得出，根据能被11整除，得能被33整除，根据“和方数”的定义可知， 令， 则为33的倍数， 求出， 即，得出，，根据，推得当时，取得最大值，此时，即可求解．
19．【答案】（1）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为；
（2）解：
方程两边同时乘以得，，
解得：，
经检验，是分式方程的解．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据解不等式组的步骤进行计算即可求解；
（2）根据解分式方程的步骤进行计算即可求解.
20．【答案】解：原式
当x=时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先对括号内的分式进行通分，再进行分式的加减运算，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别因式分解，并将除法转变为乘法，接着利用分式的乘法法则化简得到最简分式，再代入x的值求的分式的值.
21．【答案】（1）解：如图，点即为所作；
（2）①；②；③；④形成的四边形是平行四边形
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∵
∴，
∴．
∴，．
∴，
∴四边形是平行四边形．
故答案为：①；②；③；④形成的四边形是平行四边形.
【分析】（1）根据过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则形成的四边形是平行四边形可得作的平分线，其中交于即可；
（2）根据平行四边形的对应边平行且相等得出，，根据平行线的性质得出，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，，推得，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的性对应边相等，对应角相等得出，．根据平行线的判定得出，根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形即可证明.
（1）解：如图，点即为所作；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∵
∴，
∴．
∴，．
∴，
∴四边形是平行四边形．
命题：
过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则形成的四边形是平行四边形．
故答案为：①；②；③；④形成的四边形是平行四边形．
22．【答案】（1）10，40，80.5
（2）解：八年级的较好，理由：八年级学生一周运动的中位数、众数均比七年级的大；
（3）解：（人），
故七、八年级一周运动在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有724人．
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据扇形统计图可知，“B组”所占的百分比为，
所以“A组”所占的百分比为，
即；
；
八年级的中位数在B组，将100名学生的运动时间从大到小排列，处在中间位置的两个数的平均数为，
即；
故答案为：10，40，80.5.
【分析】（1）先求出在扇形统计图中“B组”所占的百分比，进一步求出“A组”所占的百分比，确定a的值，根据八年级的频数之和等于100可求出b的值，再根据中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）求出c的值；
（2）根据中位数、众数的大小比较，即可求解；
（3）求出七年级、八年级一周运动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生总人数即可求解.
（1）解：根据扇形统计图可知，“B组”所占的百分比为，
所以“A组”所占的百分比为，
即；
；
八年级的中位数在B组，将100名学生的运动时间从大到小排列，处在中间位置的两个数的平均数为，
即；
故答案为：10，40，80.5；
（2）八年级的较好，理由：八年级学生一周运动的中位数、众数均比七年级的大；
（3）（人），
答：七、八年级一周运动在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有724人．
23．【答案】（1）解：；
（2）解：图象如图所示，
当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；
（3）解：．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；勾股定理；相似三角形的判定与性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）解：∵，，，，，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
当点在上运动时，即时，，则，
∴，
当点在上运动时，即时，，则，过点作，则
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，；
（3）解：当时，，解得：，
当时，，解得：，
即：与的交点为，，
根据图象可知，时自变量的取值范围为．
【分析】（1）分和两种情况求出解析式即可；
（2）根据自变量的范围画出函数图象，并写出一条性质即可；
（3）求出函数图象的交点坐标，根据图象的位置写出答案即可．
（1）解：∵，，，，，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
当点在上运动时，即时，，则，
∴，
当点在上运动时，即时，，则，过点作，则
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，；
（2）图象如图所示，
当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；
（3）当时，，解得：，
当时，，解得：，
即：与的交点为，，
根据图象可知，时自变量的取值范围为．
24．【答案】（1）解：设商家购买每斤哈密瓜的进价是元，则购买每斤脆桃进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
故商家购买每斤哈密瓜的进价是8元，购买每斤脆桃进价是2元；
（2）解：设每斤哈密瓜的售价为元，则每斤哈密瓜的销售利润为元，每天可售出斤，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
故每斤哈密瓜的售价为11元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设商家购买每斤哈密瓜的进价是元，则购买每斤脆桃进价是元，根据“购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍”，列出分式方程，解方程，并经检验，即可求解；
（2）设每斤哈密瓜的售价为元，则每斤哈密瓜的销售利润为元，每天可售出斤，根据“总利润每斤哈密瓜的销售利润日销售量每斤脆桃的销售利润日销售量”，列出一元二次方程，解方程求得出y=11或13，分别求出y=11和y=13时，降价的幅度，结合降价幅度不低于，即可求解.
（1）解：设商家购买每斤哈密瓜的进价是元，则购买每斤脆桃进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：商家购买每斤哈密瓜的进价是8元，购买每斤脆桃进价是2元；
（2）解：设每斤哈密瓜的售价为元，则每斤哈密瓜的销售利润为元，每天可售出斤，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：每斤哈密瓜的售价为11元．
25．【答案】（1）解：一次函数中，当时，，∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴在一次函数中，当时，，
解得，，
∴一次函数解析式为，
把点代入得，，
解得，，即，
∴反比例函数中，，
∴反比例函数解析式为：
（2）解：设点P的坐标为，则点M的坐标为，，
∵，
故，
∵，
即，
解得：n=1或n=-12（舍去）
故点P的坐标为（1，6），点M的坐标为，
设直线AP的表解析式为y=bx+c，
将A（6，1）和P（1，6）代入得：，
解得：，
故直线AP的表达式为：y=-x+7，
当x=0时，y=7，即直线AP与y轴交于点E（0，7），
当y=0时，x=7，即直线AP与x轴交于点（7，0），
即直线AP与x轴和y轴的夹角是45°，
∴CE=CO+OE=9，
过点C关于AP的对称点，连接，过点C作CD⊥OC，与AP交于点D，则四边形是边长为9的正方形，故点的坐标是（9，7），
连接交于点N，则此时，周长的最小，
∴，
即的周长的最小值为；
（3）解： 设点E（x，0）、F（m，n），由点A、M的坐标得， ，，
①当为对角线时，由中点坐标公式和得：
解得：，则点；
②当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
∴点或，
综上，或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；相似三角形的判定与性质；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点得出点C的坐标为，根据可得点B的坐标为，代入求出一次函数解析式，把点代入一次函数，求出，再代入反比例函数解析式，求出m的值；
（2）设点P的坐标为，则点M的坐标为，根据三角形的面积公式结合题意可求出点p的坐标，待定系数法求出直线AP的解析式，结合直线AP与坐标轴的交点，可得直线AP与x轴和y轴的夹角是45°，过点C关于AP的对称点，连接，过点C作CD⊥OC，与AP交于点D，则四边形是边长为9的正方形，故点的坐标是（9，7），连接交于点N，则此时，周长的最小，然后根据坐标系中两点间的距离公式求解即可；
（3） 设点E（x，0）、F（m，n），结合（2）中点A和点M的坐标，根据坐标系中两点间的距离公式求出AM2的值， 当AM为对角线时， 根据矩形的对角线相等得出EF=AM，结合坐标系内中点坐标的公式，列出方程组，解方程组求出m和n的值，即可求出点F的坐标， 当AE或AF为对角线时， 同理列出方程组，解方程组求出m和n的值，即可求出点F的坐标.
（1）解：一次函数中，当时，，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴在一次函数中，当时，，
解得，，
∴一次函数解析式为，
把点代入得，，
解得，，即，
∴反比例函数中，，
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：如图，取，过点Q作交反比例函数于点P，则此时，则点，
∵，
∴设直线的表达式为：，则有：，
∴，
联立上式和反比例函数的表达式得：，解得：（舍去）或1，即点，则点，
由点A、P的坐标得，直线的表达式为：，
作点C关于直线的对称点，
连接交于点N，则此时，周长的最小，
∴，即的周长的最小值为；
（3）解：设点，由点A、M的坐标得，，
①当为对角线时，由中点坐标公式和得：
解得：，则点；
②当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
∴点或，
综上，或或或．
26．【答案】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，即垂直平分，
∴，则，
由旋转可知，，，
∴，则，
∴，
∴，
过点作，交于，则，
∴，则，
∵，
∴，，
∴；
（2）证明：由（1）可知，，，，，
过点作交延长线于，连接，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，则，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由题意可知，，∵，
∴，
由翻折可知，，
连接，∵点是线段中点，
∴为的中位线，则，
由旋转可知，，，
∴，
在上取，则，，
则，，
∴，
∴，则，
∴，
连接，∵点为线段中点，
∴，则，
由三角形三边可知，，当点在的延长线时取等号，
如图，此时有最大值，
过点作交于，则，
∵，
∴，
∴，则，即：，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴
．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质得出，垂直平分，结合垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，由旋转可知，求出，得，过点作，交于，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半得出EX=1，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AX的值，即可求解；
（2）根据（1）得出，，，，过点作交延长线于，连接，根据两直线平行，同旁内角互补和内错角相等得出∠ACI=120°，∠I=30°，根据等边对等角得出AC=IC，推得，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出，，求得，推得，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等可得，结合等腰三角形的性质得出，，，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平可求出AD、AI的值，即可证明结论；
（3）根据等边三角形的性质可知，由翻折可知，，连接，可知为的中位线， 在上取，结合旋转的性质可证，得，连接，根据三角形三边关系可知，，当点在的延长线时取等号，此时有最大值，过点作交于，可证，利用相似三角形的性质及直角三角形中角所对的边是斜边的一半求得，再根据，即可求解．
（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，即垂直平分，
∴，则，
由旋转可知，，，
∴，则，
∴，
∴，
过点作，交于，则，
∴，则，
∵，
∴，，
∴；
（2）证明：由（1）可知，，，，，
过点作交延长线于，连接，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，则，
∴，
∵，
∴；
（3）由题意可知，，
∵，
∴，
由翻折可知，，
连接，∵点是线段中点，
∴为的中位线，则，
由旋转可知，，，
∴，
在上取，则，，
则，，
∴，
∴，则，
∴，
连接，∵点为线段中点，
∴，则，
由三角形三边可知，，当点在的延长线时取等号，
如图，此时有最大值，
过点作交于，则，
∵，
∴，
∴，则，即：，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴
．
1 / 1重庆市第一中学校2024-2025学年九年级上学期期初检测数学试题
1．（2024九上·沙坪坝开学考）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：C．
【分析】可以找出一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的是轴对称图形，能找出一个点旋转180°后，与原来的图形重合的据此是中心对称图形；据此即可求解.
2．（2024九上·沙坪坝开学考）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、，方程有两个不相等的实数解，所以A选项不符合题意；
B、，方程没有实数解，所以B选项不符合题意；
C、，方程有两个不相等的实数解，所以C选项不符合题意；
D、，方程有两个相等的实数解，所以D选项符合题意．
故选：D．
【分析】根据一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，逐项求出每个方程中的值，即可求解.
3．（2024九上·沙坪坝开学考）在反比例函数图象的每一支曲线上y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数图象的每一支曲线上 ，y都随x的增大而减小
∴
.
故选：A．
【分析】
根据反比例函数y=的增减性：当K>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小
当K<0时，在每个象限内，y随x的增大而增大.
4．（2024九上·沙坪坝开学考）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为点，且相似比为．若的周长为6，则的周长为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；位似图形的概念
5．（2024九上·沙坪坝开学考）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可得：
故选：B．
【分析】根据增长率公式：，其中，a是原来的数，b是后来的量，n是变化的次数，分别写出一月份，二月份，三月份分别的为：10，，，然后把一月份，二月份，三月份相加即可.
6．（2024九上·沙坪坝开学考）估计 的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=6+，
∵9<15<16，
∴3<<4，
∴9<6+<10，
即 的值和10之间.
故答案为：B.
【分析】先进行二次根式的混合运算将原式化简，然后根据二次根式的性质求出3<<4，从而求出的值所在的范围，即可解答.
7．（2024九上·沙坪坝开学考）若且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴b=3a，d=3c，f=3e，
又，
∴
故选：D．
【分析】先根据分式的基本性质得出b=3a，d=3c，f=3e，然后代入，结合分式的基本性质即可求解.
8．（2024九上·沙坪坝开学考）下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形 中共有n个小三角形，这里的（ ）
A．110 B．112 C．114 D．116
【答案】D
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：设图形中三角形的个数是为正整数），
，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】根据列出部分图形中三角形的个数，找出变化规律，进行计算即可求解.
9．（2024九上·沙坪坝开学考）如图，在正方形中，点M在上，点N在的延长线上，且，连接﹐点G为的中点，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，，令与交于点，
在正方形中，，，则，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，即：，
又∵，
∴，
故选：A．
【分析】先根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形证明，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出，， 根据等腰直角三角形的定义得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出，根据直角三角形的斜边删的中线是斜边的一半求出，根据三遍对应相等得两个三角形是全等三角形得出，根据全等三角形的对应角相等得出，然后根据三角形的内角和定理即可求解．
10．（2024九上·沙坪坝开学考）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，，，下列说法：
①；
②；
③对于任意正整数k，都有成立．
其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】分式的加减法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，，，
即：这列数以，，，每三个为一个循环，
，
∴，，故①不正确；
∵
∴，
，
，
，
，
，
∴，
∵，
，故②不正确；
由①②可得、分别是以3和6为周期的数列，
当为奇数时，则，，，
，
，
∴，故③不正确；
故选：A．
【分析】先求出前面几个a的值，得出这列数每三个为一个循环，即可求出a15的值，即可判断①，先求出前面几个T的值，得出是每六个为一个循环，即可判断②，结合①②可得、分别是以3和6为周期的数列，进行计算，即可判断③.
11．（2024九上·沙坪坝开学考）计算： ．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据负整数指数幂、零指数幂以及有理数的加法进行计算，即可求解.
12．（2024九上·沙坪坝开学考）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则 ．
【答案】1
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程的一个根是2∴把代入得：，解得
∴
故答案为：1．
【分析】
根据方程根的定义，把x=2代入，列出方程，解出m即可.
13．（2024九上·沙坪坝开学考）一个不透明的箱子里装有a个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同.每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出a的值为 .
【答案】20
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为，
，
解得，
经检验：是原方程的解，
故答案为：20.
【分析】根据频率估计概率的知识结合题意可得：摸到红球的概率为0.25，然后根据概率公式进行计算.
14．（2024九上·沙坪坝开学考）一个多边形的内角和为，则从该多边形的一个顶点出发所引出的对角线条数是 ．
【答案】10
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，
则，
解得，
从十三边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数：，
故答案为：10．
【分析】根据题意边形的内角和等于求出多边形的边数，根据从边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数是即可求解.
15．（2024九上·沙坪坝开学考）如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：设点A的坐标为（a，），a＞0，则OD=a，OE=，
∴点B的纵坐标为，
∴点B的横坐标为-，
∴OC=，
∴BE=，
∵AB∥CD，
∴，
∴EF=OE=，OF=OE=，
∴S△BEF=EF BE=××=，
S△ODF=OD OF=×a×=，
∴S阴影=S△BEF+S△ODF=+=．
故答案为：．
【分析】设A（a，），a＞0，进一步求出点B的纵坐标为，点B的横坐标为-，根据两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例可得EF=OE=，OF=OE=，根据三角形的面积公式即可求解.
16．（2024九上·沙坪坝开学考）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ．
【答案】4
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为，
∴，即，
解分式方程
方程两边同时乘以，得，
解得：且，即，
∵分式方程的解为非负整数，即：为非负整数，且，，
∴，，3，5，
则所有满足条件的整数的值之和为，
故答案为：4．
【分析】先按照不等式组的性质解不等式，结合不等式组的解集，进而确定取值范围；再解出分式方程，用含m的代数式表示出分式方程的解，找到分式方程的非负整数解，进而求出的值，最后求和即可.
17．（2024九上·沙坪坝开学考）如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，连接，交于点G，则的长为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取为的中点，
∵菱形的边长为4，，
∴，，，
∵F为的中点，H为的中点，
∴，是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【分析】取为的中点，根据菱形的四条边都相等，对边平行，对角相等得出，，，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得，，根据平行线的性质得出， 根据直角三角形的性质得出， 根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方得出， 则， 根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
18．（2024九上·沙坪坝开学考）若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数6149，因为，所以6149是“和方数”；又如：四位数3562，因为，所以3562不是“和方数”．最小的“和方数”为 ；已知为“和方数”，A去掉千位数字后所得的三位数记为，记，，在能被11整除的情况下，当取得最大值时，满足条件的“和方数”A等于 ．
【答案】1425；2781
【知识点】因式分解的应用；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设为“和方数”，
则 ，，即，
要使得越小，只需，，，越小即可，
当时，
若时，，不符合题意，
若，此时，则，不符合题意，
若，此时，，则，，
即：最小的“和方数”为1425；
∵为“和方数”，则，
∴，
则，
∵能被11整除，即：能被33整除，
∴能被33整除，
∵，
∴，
令，则为33的倍数，，则，
当时，解得，不符合题意；
当时，解得，不符合题意；
当时，解得，符合题意（不符合题意，舍去）；
∴，，
∴，，
则，
当时，取得最大值，此时，
则此时“和方数”等于2781，
故答案为：1425，2781．
【分析】先设为“和方数”，根据题意可得 ，，即，要使得越小，只需，，，越小即可，再根据“和方数”的定义进行计算即可求解；由题意求出， 代入求出，得出，根据能被11整除，得能被33整除，根据“和方数”的定义可知， 令， 则为33的倍数， 求出， 即，得出，，根据，推得当时，取得最大值，此时，即可求解．
19．（2024九上·沙坪坝开学考）（1）解不等式组；
（2）解方程：．
【答案】（1）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为；
（2）解：
方程两边同时乘以得，，
解得：，
经检验，是分式方程的解．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据解不等式组的步骤进行计算即可求解；
（2）根据解分式方程的步骤进行计算即可求解.
20．（2024九上·沙坪坝开学考）先化简，再求值：，其中x=．
【答案】解：原式
当x=时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先对括号内的分式进行通分，再进行分式的加减运算，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别因式分解，并将除法转变为乘法，接着利用分式的乘法法则化简得到最简分式，再代入x的值求的分式的值.
21．（2024九上·沙坪坝开学考）学行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他们的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据以上思路完成下列作图和填空：
（1）用直尺和圆规，过点B作的角平分线，交于点F，连接、．（只保留作图痕迹）
（2）已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，平分，交于点E，平分，交于点F，连接、．
求证：四边形是平行四边形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，①
∴．
∵平分，平分，
∴．
∵
∴② ，
∴
∴③ ，．
∴，
∴四边形是平行四边形．
同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所④ ．
【答案】（1）解：如图，点即为所作；
（2）①；②；③；④形成的四边形是平行四边形
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∵
∴，
∴．
∴，．
∴，
∴四边形是平行四边形．
故答案为：①；②；③；④形成的四边形是平行四边形.
【分析】（1）根据过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则形成的四边形是平行四边形可得作的平分线，其中交于即可；
（2）根据平行四边形的对应边平行且相等得出，，根据平行线的性质得出，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，，推得，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的性对应边相等，对应角相等得出，．根据平行线的判定得出，根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形即可证明.
（1）解：如图，点即为所作；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∵
∴，
∴．
∴，．
∴，
∴四边形是平行四边形．
命题：
过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则形成的四边形是平行四边形．
故答案为：①；②；③；④形成的四边形是平行四边形．
22．（2024九上·沙坪坝开学考）为了培养学生的体能素养，某校分别从七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们一周的运动时间，运动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：；B组：；C组：；D组：；E组：），将数据进行分析，得到如下统计：
①八年级B组学生一周运动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80．
②八年级100名学生一周运动时间频数分布统计表：
分组 A B C D E
频数 14 b 27 13 6
③七、八年级各100名学生一周运动时间的平均数、中位数、众数如下表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 81.3 79.5 82
八年级 81.3 c 83
④七年级100名学生一周运动时间分布扇形统计图
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）_________，_______，______；
（2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生一周运动情况更好，请说明理由：（写出一条理由即可）
（3）该校七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计该校七、八年级一周运动时间不低于80分钟的学生一共有多少人？
【答案】（1）10，40，80.5
（2）解：八年级的较好，理由：八年级学生一周运动的中位数、众数均比七年级的大；
（3）解：（人），
故七、八年级一周运动在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有724人．
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据扇形统计图可知，“B组”所占的百分比为，
所以“A组”所占的百分比为，
即；
；
八年级的中位数在B组，将100名学生的运动时间从大到小排列，处在中间位置的两个数的平均数为，
即；
故答案为：10，40，80.5.
【分析】（1）先求出在扇形统计图中“B组”所占的百分比，进一步求出“A组”所占的百分比，确定a的值，根据八年级的频数之和等于100可求出b的值，再根据中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）求出c的值；
（2）根据中位数、众数的大小比较，即可求解；
（3）求出七年级、八年级一周运动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生总人数即可求解.
（1）解：根据扇形统计图可知，“B组”所占的百分比为，
所以“A组”所占的百分比为，
即；
；
八年级的中位数在B组，将100名学生的运动时间从大到小排列，处在中间位置的两个数的平均数为，
即；
故答案为：10，40，80.5；
（2）八年级的较好，理由：八年级学生一周运动的中位数、众数均比七年级的大；
（3）（人），
答：七、八年级一周运动在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有724人．
23．（2024九上·沙坪坝开学考）如图，在四边形中，，连接，，动点P从点A出发，沿折线方向以每秒1个单位的速度运动到点C停止运动，点Q为中点．设动点P运动时间为x秒，面积为．
（1）请直接写出关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出的一条性质；
（3）若函数，根据图象直接写出当时x的取值范围．
【答案】（1）解：；
（2）解：图象如图所示，
当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；
（3）解：．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；勾股定理；相似三角形的判定与性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）解：∵，，，，，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
当点在上运动时，即时，，则，
∴，
当点在上运动时，即时，，则，过点作，则
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，；
（3）解：当时，，解得：，
当时，，解得：，
即：与的交点为，，
根据图象可知，时自变量的取值范围为．
【分析】（1）分和两种情况求出解析式即可；
（2）根据自变量的范围画出函数图象，并写出一条性质即可；
（3）求出函数图象的交点坐标，根据图象的位置写出答案即可．
（1）解：∵，，，，，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
当点在上运动时，即时，，则，
∴，
当点在上运动时，即时，，则，过点作，则
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，；
（2）图象如图所示，
当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；
（3）当时，，解得：，
当时，，解得：，
即：与的交点为，，
根据图象可知，时自变量的取值范围为．
24．（2024九上·沙坪坝开学考）某水果店商家购进了一批哈密瓜和脆桃．商家用1600元购买哈密瓜，800元购买脆桃，每斤哈密瓜比每斤脆桃的进价贵6元，且购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍．
（1）求商家购买每斤哈密瓜和每斤脆桃的进价；
（2）商家在销售过程中发现，当哈密瓜的售价为每斤14元，脆桃的售价为每斤5元时，平均每天可售出20斤哈密瓜，40斤脆桃．调查，哈密瓜的售价每降低0.5元平均每天可多售出5斤，且降价幅度不低于．商家在保证脆桃的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使哈密瓜和胞桃平均每天的总获利为270元，则每斤哈密瓜的售价为多少元？
【答案】（1）解：设商家购买每斤哈密瓜的进价是元，则购买每斤脆桃进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
故商家购买每斤哈密瓜的进价是8元，购买每斤脆桃进价是2元；
（2）解：设每斤哈密瓜的售价为元，则每斤哈密瓜的销售利润为元，每天可售出斤，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
故每斤哈密瓜的售价为11元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设商家购买每斤哈密瓜的进价是元，则购买每斤脆桃进价是元，根据“购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍”，列出分式方程，解方程，并经检验，即可求解；
（2）设每斤哈密瓜的售价为元，则每斤哈密瓜的销售利润为元，每天可售出斤，根据“总利润每斤哈密瓜的销售利润日销售量每斤脆桃的销售利润日销售量”，列出一元二次方程，解方程求得出y=11或13，分别求出y=11和y=13时，降价的幅度，结合降价幅度不低于，即可求解.
（1）解：设商家购买每斤哈密瓜的进价是元，则购买每斤脆桃进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：商家购买每斤哈密瓜的进价是8元，购买每斤脆桃进价是2元；
（2）解：设每斤哈密瓜的售价为元，则每斤哈密瓜的销售利润为元，每天可售出斤，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：每斤哈密瓜的售价为11元．
25．（2024九上·沙坪坝开学考）如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，且与轴、轴分别交于点，其中．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）如图2，点为反比例函数图象在第一象限上的一点，且在点A的左侧，满足，作轴交直线于点，点为直线上一动点，连接，求周长的最小值；
（3）在第（2）问的条件下，轴上有一动点，平面内有一动点，当以点为顶点的四边形是矩形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）解：一次函数中，当时，，∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴在一次函数中，当时，，
解得，，
∴一次函数解析式为，
把点代入得，，
解得，，即，
∴反比例函数中，，
∴反比例函数解析式为：
（2）解：设点P的坐标为，则点M的坐标为，，
∵，
故，
∵，
即，
解得：n=1或n=-12（舍去）
故点P的坐标为（1，6），点M的坐标为，
设直线AP的表解析式为y=bx+c，
将A（6，1）和P（1，6）代入得：，
解得：，
故直线AP的表达式为：y=-x+7，
当x=0时，y=7，即直线AP与y轴交于点E（0，7），
当y=0时，x=7，即直线AP与x轴交于点（7，0），
即直线AP与x轴和y轴的夹角是45°，
∴CE=CO+OE=9，
过点C关于AP的对称点，连接，过点C作CD⊥OC，与AP交于点D，则四边形是边长为9的正方形，故点的坐标是（9，7），
连接交于点N，则此时，周长的最小，
∴，
即的周长的最小值为；
（3）解： 设点E（x，0）、F（m，n），由点A、M的坐标得， ，，
①当为对角线时，由中点坐标公式和得：
解得：，则点；
②当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
∴点或，
综上，或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；相似三角形的判定与性质；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点得出点C的坐标为，根据可得点B的坐标为，代入求出一次函数解析式，把点代入一次函数，求出，再代入反比例函数解析式，求出m的值；
（2）设点P的坐标为，则点M的坐标为，根据三角形的面积公式结合题意可求出点p的坐标，待定系数法求出直线AP的解析式，结合直线AP与坐标轴的交点，可得直线AP与x轴和y轴的夹角是45°，过点C关于AP的对称点，连接，过点C作CD⊥OC，与AP交于点D，则四边形是边长为9的正方形，故点的坐标是（9，7），连接交于点N，则此时，周长的最小，然后根据坐标系中两点间的距离公式求解即可；
（3） 设点E（x，0）、F（m，n），结合（2）中点A和点M的坐标，根据坐标系中两点间的距离公式求出AM2的值， 当AM为对角线时， 根据矩形的对角线相等得出EF=AM，结合坐标系内中点坐标的公式，列出方程组，解方程组求出m和n的值，即可求出点F的坐标， 当AE或AF为对角线时， 同理列出方程组，解方程组求出m和n的值，即可求出点F的坐标.
（1）解：一次函数中，当时，，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴在一次函数中，当时，，
解得，，
∴一次函数解析式为，
把点代入得，，
解得，，即，
∴反比例函数中，，
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：如图，取，过点Q作交反比例函数于点P，则此时，则点，
∵，
∴设直线的表达式为：，则有：，
∴，
联立上式和反比例函数的表达式得：，解得：（舍去）或1，即点，则点，
由点A、P的坐标得，直线的表达式为：，
作点C关于直线的对称点，
连接交于点N，则此时，周长的最小，
∴，即的周长的最小值为；
（3）解：设点，由点A、M的坐标得，，
①当为对角线时，由中点坐标公式和得：
解得：，则点；
②当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
∴点或，
综上，或或或．
26．（2024九上·沙坪坝开学考）在等边中，，垂足为D，点E是线段上一点，连接，将绕点C顺时针旋转到，连接交于点G．
（1）如图1，若的延长线恰好过点B，且，求的长度：
（2）如图2，在上取一点H，使，在的延长线上取一点K，连接，且满足，求证：；
（3）如图3，，点M为平面内任意一点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，点T是线段中点，将线段绕点T逆时针旋转到，点P为线段中点，连接、，直线与直线交于点Q，当取最大值时，请直接写出此时的面积．
【答案】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，即垂直平分，
∴，则，
由旋转可知，，，
∴，则，
∴，
∴，
过点作，交于，则，
∴，则，
∵，
∴，，
∴；
（2）证明：由（1）可知，，，，，
过点作交延长线于，连接，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，则，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由题意可知，，∵，
∴，
由翻折可知，，
连接，∵点是线段中点，
∴为的中位线，则，
由旋转可知，，，
∴，
在上取，则，，
则，，
∴，
∴，则，
∴，
连接，∵点为线段中点，
∴，则，
由三角形三边可知，，当点在的延长线时取等号，
如图，此时有最大值，
过点作交于，则，
∵，
∴，
∴，则，即：，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴
．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质得出，垂直平分，结合垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，由旋转可知，求出，得，过点作，交于，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半得出EX=1，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AX的值，即可求解；
（2）根据（1）得出，，，，过点作交延长线于，连接，根据两直线平行，同旁内角互补和内错角相等得出∠ACI=120°，∠I=30°，根据等边对等角得出AC=IC，推得，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出，，求得，推得，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等可得，结合等腰三角形的性质得出，，，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平可求出AD、AI的值，即可证明结论；
（3）根据等边三角形的性质可知，由翻折可知，，连接，可知为的中位线， 在上取，结合旋转的性质可证，得，连接，根据三角形三边关系可知，，当点在的延长线时取等号，此时有最大值，过点作交于，可证，利用相似三角形的性质及直角三角形中角所对的边是斜边的一半求得，再根据，即可求解．
（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，即垂直平分，
∴，则，
由旋转可知，，，
∴，则，
∴，
∴，
过点作，交于，则，
∴，则，
∵，
∴，，
∴；
（2）证明：由（1）可知，，，，，
过点作交延长线于，连接，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，则，
∴，
∵，
∴；
（3）由题意可知，，
∵，
∴，
由翻折可知，，
连接，∵点是线段中点，
∴为的中位线，则，
由旋转可知，，，
∴，
在上取，则，，
则，，
∴，
∴，则，
∴，
连接，∵点为线段中点，
∴，则，
由三角形三边可知，，当点在的延长线时取等号，
如图，此时有最大值，
过点作交于，则，
∵，
∴，
∴，则，即：，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴
．
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