重庆市第一中学校2024-2025学年九年级上学期期初检测数学试题
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请把答题卡上正确答案的标号涂黑．
1．（2024九上·重庆市开学考）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2024九上·重庆市开学考）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·重庆市开学考）在反比例函数图象的每一支曲线上，y的值都随x值的增大而减小，则常数k的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2024九上·重庆市开学考）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为点，且相似比为．若的周长为6，则的周长为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
5．（2024九上·重庆市开学考）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年第一季度新产品的研发资金y（万元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024九上·重庆市开学考）估计 的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
7．（2024九上·重庆市开学考）若且，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
8．（2024九上·重庆市开学考）下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形 中共有n个小三角形，这里的（ ）
A．110 B．112 C．114 D．116
9．（2024九上·重庆市开学考）如图，在正方形中，点M在上，点N在的延长线上，且，连接﹐点G为的中点，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·重庆市开学考）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，，，下列说法：
①；
②；
③对于任意正整数k，都有成立．
其中正确的个数是（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
11．（2024九上·重庆市开学考）计算： ．
12．（2024九上·重庆市开学考）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则 ．
13．（2024九上·重庆市开学考）一个不透明的箱子里装有n个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回．大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出n的值为 ．
14．（2024九上·重庆市开学考）一个多边形的内角和为，则从该多边形的一个顶点出发所引出的对角线条数是 ．
15．（2024九上·重庆市开学考）如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，BA、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为 ．
16．（2024九上·重庆市开学考）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ．
17．（2024九上·重庆市开学考）如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，连接，交于点G，则的长为 ．
18．（2024九上·重庆市开学考）若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数6149，因为，所以6149是“和方数”；又如：四位数3562，因为，所以3562不是“和方数”．最小的“和方数”为 ；已知为“和方数”，A去掉千位数字后所得的三位数记为，记，，在能被11整除的情况下，当取得最大值时，满足条件的“和方数”A等于 ．
三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
19．（2024九上·重庆市开学考）（1）解不等式组；
（2）解方程：
20．（2024九上·重庆市开学考）先化简，再求值：，其中x=．
21．（2024九上·重庆市开学考）学行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他们的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据以上思路完成下列作图和填空：
（1）用直尺和圆规，过点B作的角平分线，交AC于点F，连接BE、DF．（只保留作图痕迹）
（2）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，DE平分，交AC于点E，BF平分，交AC于点F，连接BE、DF．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴， ▲
∴．
∵DE平分，BF平分，
∴．
∵
∴ ▲ ，
∴
∴ ▲ ，．
∴﹐
∴四边形BEDF是平行四边形．
同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所 ▲ ．
22．（2024九上·重庆市开学考）为了培养学生的体能素养，某校分别从七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们一周的运动时间，运动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：；B组：；C组：；D组：；E组：），将数据进行分析，得到如下统计：
①八年级B组学生一周运动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80．
②八年级100名学生一周运动时间频数分布统计表：
分组 A B C D E
频数 14 b 27 13 6
③七、八年级各100名学生一周运动时间的平均数、中位数、众数如下表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 81.3 79.5 82
八年级 81.3 c 83
④七年级100名学生一周运动时间分布扇形统计图
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）_________，_______，______；
（2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生一周运动情况更好，请说明理由：（写出一条理由即可）
（3）该校七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计该校七、八年级一周运动时间不低于80分钟的学生一共有多少人？
23．（2024九上·重庆市开学考）如图，在四边形ABCD中，，连接BD，，动点P从点A出发，沿折线方向以每秒1个单位的速度运动到点C停止运动，点Q为BD中点．设动点P运动时间为x秒，面积为．
（1）请直接写出关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出的一条性质；
（3）若函数，根据图象直接写出当时x的取值范围．
24．（2024九上·重庆市开学考）某水果店商家购进了一批哈密瓜和脆桃．商家用1600元购买哈密瓜，800元购买脆桃，每斤哈密瓜比每斤脆桃的进价贵6元，且购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍．
（1）求商家购买每斤哈密瓜和每斤脆桃的进价；
（2）商家在销售过程中发现，当哈密瓜的售价为每斤14元，脆桃的售价为每斤5元时，平均每天可售出20斤哈密瓜，40斤脆桃．调查，哈密瓜的售价每降低0.5元平均每天可多售出5斤，且降价幅度不低于．商家在保证脆桃的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使哈密瓜和胞桃平均每天的总获利为270元，则每斤哈密瓜的售价为多少元？
25．（2024九上·重庆市开学考）如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，且与x轴、y轴分别交于点B、C，其中．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）如图2，点P为反比例函数图象在第一象限上的一点，且在点A的左侧，满足，作轴交直线AC于点M，点N为直线PA上一动点，连接CN、MN，求周长的最小值；
（3）在第（2）问的条件下，x轴上有一动点E，平面内有一动点F，当以点A、M、E、F为顶点的四边形是矩形时，直接写出所有符合条件的点F的坐标．
26．（2024九上·重庆市开学考）在等边中，，垂足为D，点E是线段AD上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转到CF，连接EF交AC于点G．
（1）如图1，若FE的延长线恰好过点B，且，求AB的长度：
（2）如图2，在AD上取一点H，使，在AB的延长线上取一点K，连接KH，且满足，求证：；
（3）如图3，，点M为平面内任意一点，连接BM、DM，将沿BM所在直线翻折至所在平面内，得到，连接CN，点T是线段CN中点，将线段TC绕点T逆时针旋转到TS，点P为线段CD中点，连接SC、SP，直线SP与直线AB交于点Q，当SP取最大值时，请直接写出此时的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，A不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，B不符合题意；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，C符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：沿着某一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，逐项进行判断，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、，方程有两个不相等的实数解，所以A选项不符合题意；
B、，方程没有实数解，所以B选项不符合题意；
C、，方程有两个不相等的实数解，所以C选项不符合题意；
D、，方程有两个相等的实数解，所以D选项符合题意．
故选：D．
【分析】根据一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，逐项求出每个方程中的值，即可求解.
3．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数图像的每一支曲线上，y的值都随x值的增大而减小，
∴k-3>0，
∴k>3，
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的增减性：当k>0时，反比例函数图象的每一支曲线上，y的值都随x值的增大而减小；当k<0时，反比例函数图象的每一支曲线上，y的值都随x值的增大而增大，即可求解.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；位似图形的概念
5．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴二月份的研发资金为10（1+x），
∴三月份的研发资金为10（1+x）2，
∴该厂今年第一季度新产品的研发资金y关于x的函数关系式为y=10+10（1+x）+10（1+x）2，
故答案为：B.
【分析】根据题意得二月份的研发资金为10（1+x），从而得三月份的研发资金为10（1+x）2，进而可得y关于x的函数关系式.
6．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=6+，
∵9<15<16，
∴3<<4，
∴9<6+<10，
即 的值和10之间.
故答案为：B.
【分析】先进行二次根式的混合运算将原式化简，然后根据二次根式的性质求出3<<4，从而求出的值所在的范围，即可解答.
7．【答案】D
【知识点】分式的化简求值-设参数法
【解析】【解答】解：∵，
∴b=3a，d=3c，f=3e，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据题意得b=3a，d=3c，f=3e，代入所求分式得.
8．【答案】D
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：设图形中三角形的个数是为正整数），
，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】根据列出部分图形中三角形的个数，找出变化规律，进行计算即可求解.
9．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，，令与交于点，
在正方形中，，，则，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，即：，
又∵，
∴，
故选：A．
【分析】先根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形证明，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出，， 根据等腰直角三角形的定义得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出，根据直角三角形的斜边删的中线是斜边的一半求出，根据三遍对应相等得两个三角形是全等三角形得出，根据全等三角形的对应角相等得出，然后根据三角形的内角和定理即可求解．
10．【答案】A
【知识点】探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：①∵a1=x，
∴，
∴，
∴，
∴，
......
∴每3个一循环，
∴，①错误；
②根据题意，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
......
∴每6个一循环，，
∵2024÷6=337......2，
∴，②错误；
③根据题意，得，，
∴，
当k为奇数时，由①②可知：，
∴，
，
∴对于任意正整数k，，③错误；
故答案为：A.
【分析】根据题意，得的值，从而找到相应规律：每3个一循环，判断出①错误；然后根据题意求出的值，从而找到相应规律：每6个一循环，，判断②错误；接下来求出的值，当k为奇数时，由①②可知：，从而求出，判断③错误.
11．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据负整数指数幂、零指数幂以及有理数的加法进行计算，即可求解.
12．【答案】1
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是，
∴，
解得：m=-1，
∴m2=1，
故答案为：1.
【分析】将x的值代入方程中，得关于m的一元一次方程，从而解方程得m的值，进而代入进行计算即可.
13．【答案】20
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵大量重复实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，
∴任意摸出一个球为红球的概率为0.25，
∵红球有5个，
∴，
解得：n=20，
故答案为：20.
【分析】用频率估算概率，得任意摸出一个球为红球的概率为0.25，从而有，进而求出n的值.
14．【答案】10
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，
则，
解得，
从十三边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数：，
故答案为：10．
【分析】根据题意边形的内角和等于求出多边形的边数，根据从边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数是即可求解.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，
∴OD=a，，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为：，
故答案为：.
【分析】设，得OD、OE的值，从而得，进而有BE的值，根据矩形的性质得AB∥CD，由平行线分线段成比例定理得，从而求出EF、OF的值，接下来利用三角形面积公式求出阴影部分的面积即可.
16．【答案】4
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为，
∴，即，
解分式方程
方程两边同时乘以，得，
解得：且，即，
∵分式方程的解为非负整数，即：为非负整数，且，，
∴，，3，5，
则所有满足条件的整数的值之和为，
故答案为：4．
【分析】先按照不等式组的性质解不等式，结合不等式组的解集，进而确定取值范围；再解出分式方程，用含m的代数式表示出分式方程的解，找到分式方程的非负整数解，进而求出的值，最后求和即可.
17．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取为的中点，
∵菱形的边长为4，，
∴，，，
∵F为的中点，H为的中点，
∴，是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【分析】取为的中点，根据菱形的四条边都相等，对边平行，对角相等得出，，，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得，，根据平行线的性质得出， 根据直角三角形的性质得出， 根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方得出， 则， 根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
18．【答案】1425；2781
【知识点】因式分解的应用；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设为“和方数”，
则 ，，即，
要使得越小，只需，，，越小即可，
当时，
若时，，不符合题意，
若，此时，则，不符合题意，
若，此时，，则，，
即：最小的“和方数”为1425；
∵为“和方数”，则，
∴，
则，
∵能被11整除，即：能被33整除，
∴能被33整除，
∵，
∴，
令，则为33的倍数，，则，
当时，解得，不符合题意；
当时，解得，不符合题意；
当时，解得，符合题意（不符合题意，舍去）；
∴，，
∴，，
则，
当时，取得最大值，此时，
则此时“和方数”等于2781，
故答案为：1425，2781．
【分析】先设为“和方数”，根据题意可得 ，，即，要使得越小，只需，，，越小即可，再根据“和方数”的定义进行计算即可求解；由题意求出， 代入求出，得出，根据能被11整除，得能被33整除，根据“和方数”的定义可知， 令， 则为33的倍数， 求出， 即，得出，，根据，推得当时，取得最大值，此时，即可求解．
19．【答案】（1）解：，
解不等式①，得x≤-1，
解不等式②，得x>-4，
∴不等式组的解集为-4（2）解：方程两边同乘2（x-2），得2（1-x）=x-2（x-2），
解得：x=-2，
检验：当x=-2时，2（x-2）≠0，
∴原分式方程的解为x=-2.
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）先分别解不等式①、②，再根据口诀：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集；
（2）先去分母，将分式方程化为整式方程，然后解整式方程得x的值，接下来检验x的值是否为分式方程的增根，即可求解.
20．【答案】解：原式
当x=时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先对括号内的分式进行通分，再进行分式的加减运算，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别因式分解，并将除法转变为乘法，接着利用分式的乘法法则化简得到最简分式，再代入x的值求的分式的值.
21．【答案】（1）解：如图所示，BF、DF、BE即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∴∠DAC=∠BCA，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBA，
∴，
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠ADE=∠CBF，
∴，
∴DE=BF，∠DEA=∠BFC，
∴DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
故答案为：AD∥CB，∠ADE=∠CBF，DE=BF，围成的四边形是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据题意先作∠ABC的平分线BF交AC于F，再连接DF、BE即可；
（2）根据平行四边形的性质得AD=CB，AD∥CB，得∠DAC=∠BCA，然后根据角平分线的定义得∠ADE=∠CBF，从而证出，根据全等三角形的性质得DE=BF，∠DEA=∠BFC，从而有DE∥BF，进而根据平行四边形的判定得证四边形BEDF是平行四边形；类比可知：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的四边形是平行四边形.
22．【答案】（1）10，40，80.5
（2）解：八年级的较好，理由：八年级学生一周运动的中位数、众数均比七年级的大；
（3）解：（人），
故七、八年级一周运动在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有724人．
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据扇形统计图可知，“B组”所占的百分比为，
所以“A组”所占的百分比为，
即；
；
八年级的中位数在B组，将100名学生的运动时间从大到小排列，处在中间位置的两个数的平均数为，
即；
故答案为：10，40，80.5.
【分析】（1）先求出在扇形统计图中“B组”所占的百分比，进一步求出“A组”所占的百分比，确定a的值，根据八年级的频数之和等于100可求出b的值，再根据中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）求出c的值；
（2）根据中位数、众数的大小比较，即可求解；
（3）求出七年级、八年级一周运动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生总人数即可求解.
（1）解：根据扇形统计图可知，“B组”所占的百分比为，
所以“A组”所占的百分比为，
即；
；
八年级的中位数在B组，将100名学生的运动时间从大到小排列，处在中间位置的两个数的平均数为，
即；
故答案为：10，40，80.5；
（2）八年级的较好，理由：八年级学生一周运动的中位数、众数均比七年级的大；
（3）（人），
答：七、八年级一周运动在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有724人．
23．【答案】（1）解：关于x的函数关系为：；
（2）解：如图，
性质：当0（3）解：如图，画出函数y2的图像，
联立，，
解得：，，
∵，
∴x的取值范围是.
【知识点】三角形的面积；一次函数的性质；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（1）∵BD=4，Q是BD中点，
∴BQ=2，
∵BD⊥BC，AD∥BC，
∴∠PDB=∠DBC=90°，
∵BC=3，
∴根据勾股定理得：CD=5，
①当P在AD上时，则AP=x，
∵AD=2，
∴DP=2-x，
∴，
∴关于x的函数关系为：；
②当P在CD上时，设P到BQ的距离为h，
根据题意得PD=x-2，
∵，
∴，
∴，
∴关于x的函数关系为：；
综上所述，关于x的函数关系为：；
【分析】（1）先求出BQ=2，∠PDB=∠DBC=90°，利用勾股定理求出CD=5，然后进行分类讨论：①当P在AD上时，则AP=x，从而求出DP=2-x，进而利用三角形面积公式求出；②当P在CD上时，设P到BQ的距离为h，根据题意得PD=x-2，然后解直角三角形得h的值，利用三角形面积公式求出；
（2）由（1）中的函数解析式画出函数图象，再根据一次函数的性质进行求解；
（3）画出函数y2的图像，联立方程组求出两函数的交点坐标，由，得函数y1的图像在y2的下方，即可求解.
24．【答案】（1）解：设商家购买每斤哈密瓜的进价是元，则购买每斤脆桃进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
故商家购买每斤哈密瓜的进价是8元，购买每斤脆桃进价是2元；
（2）解：设每斤哈密瓜的售价为元，则每斤哈密瓜的销售利润为元，每天可售出斤，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
故每斤哈密瓜的售价为11元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设商家购买每斤哈密瓜的进价是元，则购买每斤脆桃进价是元，根据“购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍”，列出分式方程，解方程，并经检验，即可求解；
（2）设每斤哈密瓜的售价为元，则每斤哈密瓜的销售利润为元，每天可售出斤，根据“总利润每斤哈密瓜的销售利润日销售量每斤脆桃的销售利润日销售量”，列出一元二次方程，解方程求得出y=11或13，分别求出y=11和y=13时，降价的幅度，结合降价幅度不低于，即可求解.
（1）解：设商家购买每斤哈密瓜的进价是元，则购买每斤脆桃进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：商家购买每斤哈密瓜的进价是8元，购买每斤脆桃进价是2元；
（2）解：设每斤哈密瓜的售价为元，则每斤哈密瓜的销售利润为元，每天可售出斤，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：每斤哈密瓜的售价为11元．
25．【答案】（1）解：∵一次函数与y轴交于点C，
∴C（0，-2），
∴OC=2，
∵OB=2OC，
∴OB=4，
∴B（4，0），代入，得0=4k-2，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
将A（a，1）代入，得，
解得：a=6，
∴A（6，1），代入，得m=6，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：如图，作点C关于直线PA的对称点C'，连接C'M交直线PA于点N'，连接CN'，设直线PA交y轴于点D，交x轴于点E，连接C'D，
∴周长为：CM+CN+MN=CM+C'N+MN，
当N、M、C’三点共线时，C'N+MN取得最小值为C'M，此时点N与点N'重合，
∴周长的最小值为：CM+C'M，
∵A（6，1），C（0，-2），，
∴，
设P点坐标为，则M点坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴P（1，6），，
设直线PA的表达式为：，
将A（6，1）、P（1，6）代入表达式，得，
解得：，
∴直线PA的表达式为，
∴D（0，7），E（7，0），
∴OD=OE=7，
∴是等腰直角三角形，
∵点C、C'关于直线PA对称，
∴∠ODE=∠C'DE=45°，CD=C'D，
∴∠ODC'=90°，C'D=CD=2+7=9，
∴C'（9，7），
∵C（0，-2），，
∴，，
∴周长的最小值为：；
（3）解：点F的坐标为或或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数-动态几何问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（3）解：设E（a，0），F（b，c），
由（2）得A（6，1），，
①当AE是矩形对角线时，有AE=MF，即AE2=MF2，
∴，
解得：，
∴；
②当AF为矩形对角线时，有AF=ME，即AF2=ME2，
∴，
解得：，
∴；
③当AM为矩形对角线时，有AM=EF，即AM2=EF2，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，点F的坐标为或或.
【分析】（1）先求出点C坐标，从而得OC的值，进而得OB的值，即可求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式，则求出点A坐标，接下来再次利用待定系数法求出反比例函数的解析式；
（2）作点C关于直线PA的对称点C'，连接C'M交直线PA于点N'，连接CN'，设直线PA交y轴于点D，交x轴于点E，连接C'D，根据轴对称的性质将周长转化为CM+C'N+MN，可知当N、M、C’三点共线时，C'N+MN取得最小值为C'M，此时点N与点N'重合，即周长的最小值为CM+C'M，然后利用三角形面积公式求出，设P点坐标为，则M点坐标为，从而求出PM的值，由，利用三角形面积公式求出，解方程得x的值，进而得P、M的坐标，利用待定系数法求出直线PA的表达式，即可证出是等腰直角三角形，从而由等腰直角三角形的性质、轴对称的性质求出点C'的坐标，进而根据坐标系中两点距离公式求出CM+C'M的值，即可求解；
（3）设E（a，0），F（b，c），然后进行分类讨论：当AE、AF、AM分别是矩形对角线时，根据矩形的性质、利用中点坐标及坐标系中两点距离公式得关于a、b、c的方程组，解方程组即可得点F的坐标.
26．【答案】（1）解：如图，过点E作EH⊥AB于H，
∴∠AHE=∠BHE=90°，
∵是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=30°，BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵将CE绕点C顺时针旋转120°到CF，
∴CE=CF，∠ECF=120°，
∴∠FEC=30°，
∴∠EBC=15°，
∴∠HBE=45°，
∴∠HEB=∠HBE=45°，
∴HB=HE，
又∵AE=2，∠BAD=30°，
∴HE=1，
∴HB=1，，
∴；
（2）证明：如图，连接AF，过点C作CI∥AB交AD延长线于点I，
∴∠BAC+∠ACI=180°，
由（1）得∠BAC=60°，∠DAC=∠BAD=30°，∠ECF=120°，EC=FC，
∴∠ACI=180°-60°=120°，
∴∠I=180°-∠ACI-∠DAC=30°，
∴∠I=∠DAC，
∴AC=IC，
∵∠ACI=∠ECI+∠ACE=120°，∠ECF=∠ACE+∠ACF=120°，
∴∠ECI=∠ACF，
在和中，
，
∴，
∴∠FAC=∠I=30°，EI=AF，
∴∠AGF+∠AFG=150°，
又∵∠K+∠AGF=150°，
∴∠K=∠AFG，
∵∠BAD=30°，∠FAC=30°，
∴∠BAD=∠FAC，即∠KAH=∠FAG，
在和中，
，
∴，
∴AK=AF，
∴AK=EI，
∴AE+AK=AE+EI=AI，
∵AC=CI，AD⊥BC，
∴AI=2AD，∠ADC=90°，
∵∠DAC=30°，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴AC=BC，
∴；
（3）解：∵是等边三角形，AB=8，
∴AB=BC=AC=8，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=4，
∵将沿BM所在直线翻折至所在平面内，得到，
∴BN=BD=4，
如图①，在AD上取一点O，使得OD=CD=4，连接OC、OS、OP、TD，
∵点T是CN中点，
∴，
∵将线段TC绕点T逆时针旋转90°到TS，
∴TC=TS，∠STC=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴∠TCS=45°，，
∵AD⊥BC，OD=CD，
∴是等腰直角三角形，
∴∠DCO=45°，，
∴，
∵∠SCO+∠SCB=∠SCB+∠TCD=45°，
∴∠SCO=∠TCD，
∴，
∴，即，
∴，
又∵点P为CD中点，
∴，
∴，
根据三角形三边关系可知：，当S在PO的延长线上时取等，此时SP有最大值为，
如图②，过点Q作QY⊥AD于Y，
∵AD⊥BC，
∴∠QYO=∠ODP=90°，
∵∠QOY=∠POD，
∴，
∴，
∴，
∴OY=2QY，
由（2）得，
∴，
∵∠BAD=30°，
∴AQ=2QY，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；旋转的性质；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）过点E作EH⊥AB于H，根据等边三角形的性质得∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC，∠BAD=∠CAD=30°，BE=CE，然后由旋转的性质得CE=CF，∠ECF=120°，从而得∠FEC=30°，进而得∠EBC=15°，则∠HEB=∠HBE=45°，接下来利用含30°的直角三角形的性质求出HB=HE=1，由勾股定理得AH的值，即可求出AB的值；
（2）连接AF，过点C作CI∥AB交AD延长线于点I，先求出∠I=∠DAC，∠ECI=∠ACF，然后证出，根据全等三角形的性质得∠FAC=∠I=30°，EI=AF，从而求出∠K=∠AFG，进而证出，得AK=AF=EI，即有AE+AK=AI，接下来利用”三线合一“、含30°的直角三角形的性质、勾股定理求出、AD的值，从而得AI的值，进而得证结论；
（3）先根据等边三角形的性质、翻折的性质求出BD=CD=BN=4，如图①，在AD上取一点O，使得OD=CD=4，连接OC、OS、OP、TD，证出、是等腰直角三角形，从而根据等腰直角三角形的性质得，进而证出，得，求出SO的值，利用勾股定理求出OP的值，由三角形三边关系可知当S在PO的延长线上时取等，此时SP有最大值为，如图②，过点Q作QY⊥AD于Y，先证出，得，从而求出OY=2QY，然后求AD、OA的值，利用勾股定理求QY的值，接下来根据，利用三角形面积公式代入数值进行计算即可求解.
1 / 1重庆市第一中学校2024-2025学年九年级上学期期初检测数学试题
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请把答题卡上正确答案的标号涂黑．
1．（2024九上·重庆市开学考）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，A不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，B不符合题意；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，C符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：沿着某一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，逐项进行判断，即可求解.
2．（2024九上·重庆市开学考）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、，方程有两个不相等的实数解，所以A选项不符合题意；
B、，方程没有实数解，所以B选项不符合题意；
C、，方程有两个不相等的实数解，所以C选项不符合题意；
D、，方程有两个相等的实数解，所以D选项符合题意．
故选：D．
【分析】根据一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，逐项求出每个方程中的值，即可求解.
3．（2024九上·重庆市开学考）在反比例函数图象的每一支曲线上，y的值都随x值的增大而减小，则常数k的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数图像的每一支曲线上，y的值都随x值的增大而减小，
∴k-3>0，
∴k>3，
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的增减性：当k>0时，反比例函数图象的每一支曲线上，y的值都随x值的增大而减小；当k<0时，反比例函数图象的每一支曲线上，y的值都随x值的增大而增大，即可求解.
4．（2024九上·重庆市开学考）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心为点，且相似比为．若的周长为6，则的周长为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；位似图形的概念
5．（2024九上·重庆市开学考）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年第一季度新产品的研发资金y（万元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴二月份的研发资金为10（1+x），
∴三月份的研发资金为10（1+x）2，
∴该厂今年第一季度新产品的研发资金y关于x的函数关系式为y=10+10（1+x）+10（1+x）2，
故答案为：B.
【分析】根据题意得二月份的研发资金为10（1+x），从而得三月份的研发资金为10（1+x）2，进而可得y关于x的函数关系式.
6．（2024九上·重庆市开学考）估计 的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=6+，
∵9<15<16，
∴3<<4，
∴9<6+<10，
即 的值和10之间.
故答案为：B.
【分析】先进行二次根式的混合运算将原式化简，然后根据二次根式的性质求出3<<4，从而求出的值所在的范围，即可解答.
7．（2024九上·重庆市开学考）若且，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的化简求值-设参数法
【解析】【解答】解：∵，
∴b=3a，d=3c，f=3e，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据题意得b=3a，d=3c，f=3e，代入所求分式得.
8．（2024九上·重庆市开学考）下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形 中共有n个小三角形，这里的（ ）
A．110 B．112 C．114 D．116
【答案】D
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：设图形中三角形的个数是为正整数），
，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】根据列出部分图形中三角形的个数，找出变化规律，进行计算即可求解.
9．（2024九上·重庆市开学考）如图，在正方形中，点M在上，点N在的延长线上，且，连接﹐点G为的中点，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，，令与交于点，
在正方形中，，，则，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，即：，
又∵，
∴，
故选：A．
【分析】先根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形证明，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出，， 根据等腰直角三角形的定义得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出，根据直角三角形的斜边删的中线是斜边的一半求出，根据三遍对应相等得两个三角形是全等三角形得出，根据全等三角形的对应角相等得出，然后根据三角形的内角和定理即可求解．
10．（2024九上·重庆市开学考）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，，，下列说法：
①；
②；
③对于任意正整数k，都有成立．
其中正确的个数是（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：①∵a1=x，
∴，
∴，
∴，
∴，
......
∴每3个一循环，
∴，①错误；
②根据题意，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
......
∴每6个一循环，，
∵2024÷6=337......2，
∴，②错误；
③根据题意，得，，
∴，
当k为奇数时，由①②可知：，
∴，
，
∴对于任意正整数k，，③错误；
故答案为：A.
【分析】根据题意，得的值，从而找到相应规律：每3个一循环，判断出①错误；然后根据题意求出的值，从而找到相应规律：每6个一循环，，判断②错误；接下来求出的值，当k为奇数时，由①②可知：，从而求出，判断③错误.
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
11．（2024九上·重庆市开学考）计算： ．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据负整数指数幂、零指数幂以及有理数的加法进行计算，即可求解.
12．（2024九上·重庆市开学考）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则 ．
【答案】1
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是，
∴，
解得：m=-1，
∴m2=1，
故答案为：1.
【分析】将x的值代入方程中，得关于m的一元一次方程，从而解方程得m的值，进而代入进行计算即可.
13．（2024九上·重庆市开学考）一个不透明的箱子里装有n个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回．大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出n的值为 ．
【答案】20
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵大量重复实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，
∴任意摸出一个球为红球的概率为0.25，
∵红球有5个，
∴，
解得：n=20，
故答案为：20.
【分析】用频率估算概率，得任意摸出一个球为红球的概率为0.25，从而有，进而求出n的值.
14．（2024九上·重庆市开学考）一个多边形的内角和为，则从该多边形的一个顶点出发所引出的对角线条数是 ．
【答案】10
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，
则，
解得，
从十三边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数：，
故答案为：10．
【分析】根据题意边形的内角和等于求出多边形的边数，根据从边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数是即可求解.
15．（2024九上·重庆市开学考）如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，BA、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，
∴OD=a，，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为：，
故答案为：.
【分析】设，得OD、OE的值，从而得，进而有BE的值，根据矩形的性质得AB∥CD，由平行线分线段成比例定理得，从而求出EF、OF的值，接下来利用三角形面积公式求出阴影部分的面积即可.
16．（2024九上·重庆市开学考）若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ．
【答案】4
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为，
∴，即，
解分式方程
方程两边同时乘以，得，
解得：且，即，
∵分式方程的解为非负整数，即：为非负整数，且，，
∴，，3，5，
则所有满足条件的整数的值之和为，
故答案为：4．
【分析】先按照不等式组的性质解不等式，结合不等式组的解集，进而确定取值范围；再解出分式方程，用含m的代数式表示出分式方程的解，找到分式方程的非负整数解，进而求出的值，最后求和即可.
17．（2024九上·重庆市开学考）如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，连接，交于点G，则的长为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取为的中点，
∵菱形的边长为4，，
∴，，，
∵F为的中点，H为的中点，
∴，是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【分析】取为的中点，根据菱形的四条边都相等，对边平行，对角相等得出，，，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得，，根据平行线的性质得出， 根据直角三角形的性质得出， 根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方得出， 则， 根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
18．（2024九上·重庆市开学考）若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数6149，因为，所以6149是“和方数”；又如：四位数3562，因为，所以3562不是“和方数”．最小的“和方数”为 ；已知为“和方数”，A去掉千位数字后所得的三位数记为，记，，在能被11整除的情况下，当取得最大值时，满足条件的“和方数”A等于 ．
【答案】1425；2781
【知识点】因式分解的应用；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设为“和方数”，
则 ，，即，
要使得越小，只需，，，越小即可，
当时，
若时，，不符合题意，
若，此时，则，不符合题意，
若，此时，，则，，
即：最小的“和方数”为1425；
∵为“和方数”，则，
∴，
则，
∵能被11整除，即：能被33整除，
∴能被33整除，
∵，
∴，
令，则为33的倍数，，则，
当时，解得，不符合题意；
当时，解得，不符合题意；
当时，解得，符合题意（不符合题意，舍去）；
∴，，
∴，，
则，
当时，取得最大值，此时，
则此时“和方数”等于2781，
故答案为：1425，2781．
【分析】先设为“和方数”，根据题意可得 ，，即，要使得越小，只需，，，越小即可，再根据“和方数”的定义进行计算即可求解；由题意求出， 代入求出，得出，根据能被11整除，得能被33整除，根据“和方数”的定义可知， 令， 则为33的倍数， 求出， 即，得出，，根据，推得当时，取得最大值，此时，即可求解．
三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
19．（2024九上·重庆市开学考）（1）解不等式组；
（2）解方程：
【答案】（1）解：，
解不等式①，得x≤-1，
解不等式②，得x>-4，
∴不等式组的解集为-4（2）解：方程两边同乘2（x-2），得2（1-x）=x-2（x-2），
解得：x=-2，
检验：当x=-2时，2（x-2）≠0，
∴原分式方程的解为x=-2.
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）先分别解不等式①、②，再根据口诀：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集；
（2）先去分母，将分式方程化为整式方程，然后解整式方程得x的值，接下来检验x的值是否为分式方程的增根，即可求解.
20．（2024九上·重庆市开学考）先化简，再求值：，其中x=．
【答案】解：原式
当x=时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先对括号内的分式进行通分，再进行分式的加减运算，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别因式分解，并将除法转变为乘法，接着利用分式的乘法法则化简得到最简分式，再代入x的值求的分式的值.
21．（2024九上·重庆市开学考）学行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他们的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据以上思路完成下列作图和填空：
（1）用直尺和圆规，过点B作的角平分线，交AC于点F，连接BE、DF．（只保留作图痕迹）
（2）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，DE平分，交AC于点E，BF平分，交AC于点F，连接BE、DF．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴， ▲
∴．
∵DE平分，BF平分，
∴．
∵
∴ ▲ ，
∴
∴ ▲ ，．
∴﹐
∴四边形BEDF是平行四边形．
同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所 ▲ ．
【答案】（1）解：如图所示，BF、DF、BE即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∴∠DAC=∠BCA，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBA，
∴，
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠ADE=∠CBF，
∴，
∴DE=BF，∠DEA=∠BFC，
∴DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
故答案为：AD∥CB，∠ADE=∠CBF，DE=BF，围成的四边形是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据题意先作∠ABC的平分线BF交AC于F，再连接DF、BE即可；
（2）根据平行四边形的性质得AD=CB，AD∥CB，得∠DAC=∠BCA，然后根据角平分线的定义得∠ADE=∠CBF，从而证出，根据全等三角形的性质得DE=BF，∠DEA=∠BFC，从而有DE∥BF，进而根据平行四边形的判定得证四边形BEDF是平行四边形；类比可知：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的四边形是平行四边形.
22．（2024九上·重庆市开学考）为了培养学生的体能素养，某校分别从七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们一周的运动时间，运动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：；B组：；C组：；D组：；E组：），将数据进行分析，得到如下统计：
①八年级B组学生一周运动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80．
②八年级100名学生一周运动时间频数分布统计表：
分组 A B C D E
频数 14 b 27 13 6
③七、八年级各100名学生一周运动时间的平均数、中位数、众数如下表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 81.3 79.5 82
八年级 81.3 c 83
④七年级100名学生一周运动时间分布扇形统计图
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）_________，_______，______；
（2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生一周运动情况更好，请说明理由：（写出一条理由即可）
（3）该校七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计该校七、八年级一周运动时间不低于80分钟的学生一共有多少人？
【答案】（1）10，40，80.5
（2）解：八年级的较好，理由：八年级学生一周运动的中位数、众数均比七年级的大；
（3）解：（人），
故七、八年级一周运动在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有724人．
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据扇形统计图可知，“B组”所占的百分比为，
所以“A组”所占的百分比为，
即；
；
八年级的中位数在B组，将100名学生的运动时间从大到小排列，处在中间位置的两个数的平均数为，
即；
故答案为：10，40，80.5.
【分析】（1）先求出在扇形统计图中“B组”所占的百分比，进一步求出“A组”所占的百分比，确定a的值，根据八年级的频数之和等于100可求出b的值，再根据中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）求出c的值；
（2）根据中位数、众数的大小比较，即可求解；
（3）求出七年级、八年级一周运动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生总人数即可求解.
（1）解：根据扇形统计图可知，“B组”所占的百分比为，
所以“A组”所占的百分比为，
即；
；
八年级的中位数在B组，将100名学生的运动时间从大到小排列，处在中间位置的两个数的平均数为，
即；
故答案为：10，40，80.5；
（2）八年级的较好，理由：八年级学生一周运动的中位数、众数均比七年级的大；
（3）（人），
答：七、八年级一周运动在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有724人．
23．（2024九上·重庆市开学考）如图，在四边形ABCD中，，连接BD，，动点P从点A出发，沿折线方向以每秒1个单位的速度运动到点C停止运动，点Q为BD中点．设动点P运动时间为x秒，面积为．
（1）请直接写出关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出的一条性质；
（3）若函数，根据图象直接写出当时x的取值范围．
【答案】（1）解：关于x的函数关系为：；
（2）解：如图，
性质：当0（3）解：如图，画出函数y2的图像，
联立，，
解得：，，
∵，
∴x的取值范围是.
【知识点】三角形的面积；一次函数的性质；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（1）∵BD=4，Q是BD中点，
∴BQ=2，
∵BD⊥BC，AD∥BC，
∴∠PDB=∠DBC=90°，
∵BC=3，
∴根据勾股定理得：CD=5，
①当P在AD上时，则AP=x，
∵AD=2，
∴DP=2-x，
∴，
∴关于x的函数关系为：；
②当P在CD上时，设P到BQ的距离为h，
根据题意得PD=x-2，
∵，
∴，
∴，
∴关于x的函数关系为：；
综上所述，关于x的函数关系为：；
【分析】（1）先求出BQ=2，∠PDB=∠DBC=90°，利用勾股定理求出CD=5，然后进行分类讨论：①当P在AD上时，则AP=x，从而求出DP=2-x，进而利用三角形面积公式求出；②当P在CD上时，设P到BQ的距离为h，根据题意得PD=x-2，然后解直角三角形得h的值，利用三角形面积公式求出；
（2）由（1）中的函数解析式画出函数图象，再根据一次函数的性质进行求解；
（3）画出函数y2的图像，联立方程组求出两函数的交点坐标，由，得函数y1的图像在y2的下方，即可求解.
24．（2024九上·重庆市开学考）某水果店商家购进了一批哈密瓜和脆桃．商家用1600元购买哈密瓜，800元购买脆桃，每斤哈密瓜比每斤脆桃的进价贵6元，且购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍．
（1）求商家购买每斤哈密瓜和每斤脆桃的进价；
（2）商家在销售过程中发现，当哈密瓜的售价为每斤14元，脆桃的售价为每斤5元时，平均每天可售出20斤哈密瓜，40斤脆桃．调查，哈密瓜的售价每降低0.5元平均每天可多售出5斤，且降价幅度不低于．商家在保证脆桃的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使哈密瓜和胞桃平均每天的总获利为270元，则每斤哈密瓜的售价为多少元？
【答案】（1）解：设商家购买每斤哈密瓜的进价是元，则购买每斤脆桃进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
故商家购买每斤哈密瓜的进价是8元，购买每斤脆桃进价是2元；
（2）解：设每斤哈密瓜的售价为元，则每斤哈密瓜的销售利润为元，每天可售出斤，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
故每斤哈密瓜的售价为11元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设商家购买每斤哈密瓜的进价是元，则购买每斤脆桃进价是元，根据“购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍”，列出分式方程，解方程，并经检验，即可求解；
（2）设每斤哈密瓜的售价为元，则每斤哈密瓜的销售利润为元，每天可售出斤，根据“总利润每斤哈密瓜的销售利润日销售量每斤脆桃的销售利润日销售量”，列出一元二次方程，解方程求得出y=11或13，分别求出y=11和y=13时，降价的幅度，结合降价幅度不低于，即可求解.
（1）解：设商家购买每斤哈密瓜的进价是元，则购买每斤脆桃进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：商家购买每斤哈密瓜的进价是8元，购买每斤脆桃进价是2元；
（2）解：设每斤哈密瓜的售价为元，则每斤哈密瓜的销售利润为元，每天可售出斤，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：每斤哈密瓜的售价为11元．
25．（2024九上·重庆市开学考）如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，且与x轴、y轴分别交于点B、C，其中．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）如图2，点P为反比例函数图象在第一象限上的一点，且在点A的左侧，满足，作轴交直线AC于点M，点N为直线PA上一动点，连接CN、MN，求周长的最小值；
（3）在第（2）问的条件下，x轴上有一动点E，平面内有一动点F，当以点A、M、E、F为顶点的四边形是矩形时，直接写出所有符合条件的点F的坐标．
【答案】（1）解：∵一次函数与y轴交于点C，
∴C（0，-2），
∴OC=2，
∵OB=2OC，
∴OB=4，
∴B（4，0），代入，得0=4k-2，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
将A（a，1）代入，得，
解得：a=6，
∴A（6，1），代入，得m=6，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：如图，作点C关于直线PA的对称点C'，连接C'M交直线PA于点N'，连接CN'，设直线PA交y轴于点D，交x轴于点E，连接C'D，
∴周长为：CM+CN+MN=CM+C'N+MN，
当N、M、C’三点共线时，C'N+MN取得最小值为C'M，此时点N与点N'重合，
∴周长的最小值为：CM+C'M，
∵A（6，1），C（0，-2），，
∴，
设P点坐标为，则M点坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴P（1，6），，
设直线PA的表达式为：，
将A（6，1）、P（1，6）代入表达式，得，
解得：，
∴直线PA的表达式为，
∴D（0，7），E（7，0），
∴OD=OE=7，
∴是等腰直角三角形，
∵点C、C'关于直线PA对称，
∴∠ODE=∠C'DE=45°，CD=C'D，
∴∠ODC'=90°，C'D=CD=2+7=9，
∴C'（9，7），
∵C（0，-2），，
∴，，
∴周长的最小值为：；
（3）解：点F的坐标为或或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数-动态几何问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（3）解：设E（a，0），F（b，c），
由（2）得A（6，1），，
①当AE是矩形对角线时，有AE=MF，即AE2=MF2，
∴，
解得：，
∴；
②当AF为矩形对角线时，有AF=ME，即AF2=ME2，
∴，
解得：，
∴；
③当AM为矩形对角线时，有AM=EF，即AM2=EF2，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，点F的坐标为或或.
【分析】（1）先求出点C坐标，从而得OC的值，进而得OB的值，即可求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式，则求出点A坐标，接下来再次利用待定系数法求出反比例函数的解析式；
（2）作点C关于直线PA的对称点C'，连接C'M交直线PA于点N'，连接CN'，设直线PA交y轴于点D，交x轴于点E，连接C'D，根据轴对称的性质将周长转化为CM+C'N+MN，可知当N、M、C’三点共线时，C'N+MN取得最小值为C'M，此时点N与点N'重合，即周长的最小值为CM+C'M，然后利用三角形面积公式求出，设P点坐标为，则M点坐标为，从而求出PM的值，由，利用三角形面积公式求出，解方程得x的值，进而得P、M的坐标，利用待定系数法求出直线PA的表达式，即可证出是等腰直角三角形，从而由等腰直角三角形的性质、轴对称的性质求出点C'的坐标，进而根据坐标系中两点距离公式求出CM+C'M的值，即可求解；
（3）设E（a，0），F（b，c），然后进行分类讨论：当AE、AF、AM分别是矩形对角线时，根据矩形的性质、利用中点坐标及坐标系中两点距离公式得关于a、b、c的方程组，解方程组即可得点F的坐标.
26．（2024九上·重庆市开学考）在等边中，，垂足为D，点E是线段AD上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转到CF，连接EF交AC于点G．
（1）如图1，若FE的延长线恰好过点B，且，求AB的长度：
（2）如图2，在AD上取一点H，使，在AB的延长线上取一点K，连接KH，且满足，求证：；
（3）如图3，，点M为平面内任意一点，连接BM、DM，将沿BM所在直线翻折至所在平面内，得到，连接CN，点T是线段CN中点，将线段TC绕点T逆时针旋转到TS，点P为线段CD中点，连接SC、SP，直线SP与直线AB交于点Q，当SP取最大值时，请直接写出此时的面积．
【答案】（1）解：如图，过点E作EH⊥AB于H，
∴∠AHE=∠BHE=90°，
∵是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=30°，BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵将CE绕点C顺时针旋转120°到CF，
∴CE=CF，∠ECF=120°，
∴∠FEC=30°，
∴∠EBC=15°，
∴∠HBE=45°，
∴∠HEB=∠HBE=45°，
∴HB=HE，
又∵AE=2，∠BAD=30°，
∴HE=1，
∴HB=1，，
∴；
（2）证明：如图，连接AF，过点C作CI∥AB交AD延长线于点I，
∴∠BAC+∠ACI=180°，
由（1）得∠BAC=60°，∠DAC=∠BAD=30°，∠ECF=120°，EC=FC，
∴∠ACI=180°-60°=120°，
∴∠I=180°-∠ACI-∠DAC=30°，
∴∠I=∠DAC，
∴AC=IC，
∵∠ACI=∠ECI+∠ACE=120°，∠ECF=∠ACE+∠ACF=120°，
∴∠ECI=∠ACF，
在和中，
，
∴，
∴∠FAC=∠I=30°，EI=AF，
∴∠AGF+∠AFG=150°，
又∵∠K+∠AGF=150°，
∴∠K=∠AFG，
∵∠BAD=30°，∠FAC=30°，
∴∠BAD=∠FAC，即∠KAH=∠FAG，
在和中，
，
∴，
∴AK=AF，
∴AK=EI，
∴AE+AK=AE+EI=AI，
∵AC=CI，AD⊥BC，
∴AI=2AD，∠ADC=90°，
∵∠DAC=30°，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴AC=BC，
∴；
（3）解：∵是等边三角形，AB=8，
∴AB=BC=AC=8，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=4，
∵将沿BM所在直线翻折至所在平面内，得到，
∴BN=BD=4，
如图①，在AD上取一点O，使得OD=CD=4，连接OC、OS、OP、TD，
∵点T是CN中点，
∴，
∵将线段TC绕点T逆时针旋转90°到TS，
∴TC=TS，∠STC=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴∠TCS=45°，，
∵AD⊥BC，OD=CD，
∴是等腰直角三角形，
∴∠DCO=45°，，
∴，
∵∠SCO+∠SCB=∠SCB+∠TCD=45°，
∴∠SCO=∠TCD，
∴，
∴，即，
∴，
又∵点P为CD中点，
∴，
∴，
根据三角形三边关系可知：，当S在PO的延长线上时取等，此时SP有最大值为，
如图②，过点Q作QY⊥AD于Y，
∵AD⊥BC，
∴∠QYO=∠ODP=90°，
∵∠QOY=∠POD，
∴，
∴，
∴，
∴OY=2QY，
由（2）得，
∴，
∵∠BAD=30°，
∴AQ=2QY，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；旋转的性质；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）过点E作EH⊥AB于H，根据等边三角形的性质得∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC，∠BAD=∠CAD=30°，BE=CE，然后由旋转的性质得CE=CF，∠ECF=120°，从而得∠FEC=30°，进而得∠EBC=15°，则∠HEB=∠HBE=45°，接下来利用含30°的直角三角形的性质求出HB=HE=1，由勾股定理得AH的值，即可求出AB的值；
（2）连接AF，过点C作CI∥AB交AD延长线于点I，先求出∠I=∠DAC，∠ECI=∠ACF，然后证出，根据全等三角形的性质得∠FAC=∠I=30°，EI=AF，从而求出∠K=∠AFG，进而证出，得AK=AF=EI，即有AE+AK=AI，接下来利用”三线合一“、含30°的直角三角形的性质、勾股定理求出、AD的值，从而得AI的值，进而得证结论；
（3）先根据等边三角形的性质、翻折的性质求出BD=CD=BN=4，如图①，在AD上取一点O，使得OD=CD=4，连接OC、OS、OP、TD，证出、是等腰直角三角形，从而根据等腰直角三角形的性质得，进而证出，得，求出SO的值，利用勾股定理求出OP的值，由三角形三边关系可知当S在PO的延长线上时取等，此时SP有最大值为，如图②，过点Q作QY⊥AD于Y，先证出，得，从而求出OY=2QY，然后求AD、OA的值，利用勾股定理求QY的值，接下来根据，利用三角形面积公式代入数值进行计算即可求解.
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