广东省广州市铁一中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2024九上·广州开学考）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·广州开学考）方程的二次项系数和常数项分别为（ ）
A．， B．， C．1，3 D．，
3．（2024九上·广州开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·广州开学考）一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
5．（2024九上·广州开学考）用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·广州开学考）关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象过点
B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到
C．随着的增大而增大
D．图象经过第一、二、四象限
7．（2024九上·广州开学考）如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．（2024九上·广州开学考）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
9．（2024九上·广州开学考）如图，中，，，，是上的一点，，垂足为，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．3
10．（2024九上·广州开学考）如图，是正内一点，，，，将线段BO以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为5；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（ ）
A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（2024九上·广州开学考）点关于原点对称点的坐标为 ．
12．（2024九上·广州开学考）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 .
13．（2024九上·广州开学考）如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，2小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若C，B两岛相距100海里，乙船的速度是 海里/时．
14．（2024九上·广州开学考）如图，在中，，，将绕点按顺时针方向旋转至的位置，点恰好落在BC的中点处，则的长为 ．
15．（2024九上·广州开学考）已知，是关于的方程的两个实数根，且，则的值等于 ．
16．（2024九上·广州开学考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，点D在边BC上，BD＝2CD，把△ABC绕点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，则m＝ .
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤）
17．（2024九上·广州开学考）用适当方法解下列方程：．
18．（2024九上·广州开学考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点，过点作，过点作，与CP相交于点，求证：四边形BPCO是矩形．
19．（2024九上·广州开学考）利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图．
（1）作出关于原点对称的中心对称图形．
（2）若绕点顺时针旋转得到，则线段AB扫过的面积为 ．
20．（2024九上·广州开学考）已知关于x的一元二次方程．
（1）试说明不论实数m取何值，方程总有实数根；
（2）如果当时，α、β为方程的两个根，求的值．
21．（2024九上·广州开学考）数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．如图，在等腰中，．
（1）尺规作图：作关于直线AC对称的（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接BD，交AC于点，若，四边形ABCD周长为，求四边形ABCD的面积．
22．（2024九上·广州开学考）一家水果店以每斤3元的价格购进“官地洼”甜瓜若干斤，然后以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤．
（1）若将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低元，则每天的销售量是 斤（用含的代数式表示）；
（2）销售这批“官地洼”甜瓜要想每天盈利300，且保证每天至少售出280斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？
23．（2024九上·广州开学考）如图①，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，正比例函数的图象与直线AB交于点．
（1）求的值并直接写出正比例函数的解析式；
（2）如图②，点在线段OC上，且与点O，C不重合，过点作轴于点，交线段CB于点，点的横坐标为4．若是直线OC上的一点，的面积为面积的3倍，求点的坐标．
24．（2024九上·广州开学考）给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）以下四边形中，是勾股四边形的为 （填序号即可）；
①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为的菱形．
（2）如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到．
①连接AD，当，时，求证：四边形ABCD是勾股四边形．
②如图2，将DE绕点顺时针方向旋转得到EF，连接BF，BF与AE交于点，连接CP，若，，，求AC的长度．
25．（2024九上·广州开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点，与轴交于点，，满足，直线AC经过轴负半轴上的点，且．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）平移直线AC，平移后的直线与直线AB交于点，与轴交于点．
①已知平面内有一点，连接CD，MD，当的值最小时，求t的值；
②若平移后的直线与轴交于点，是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故A不符合题意
B、是中心对称图形，故B不符合题意
C、是中心对称图形，故C不符合题意
D、不是中心对称图形，故D符合题意
故答案为：D.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转180度后能够与自身重合，这样的图形是中心对称图形，而ABC具有这种性质，但D不具有这种性质，因此D不是中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：的二次项系数，一次项系数，常数项依次为1，-3，3
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0的二次项系数，一次项系数，常数项依次为a，b，c.
3．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故A正确.
B、，故B错误.
C、，不能合并，故C错误.
D、，不能合并，故D不正确.
故答案为：A.
【分析】A、先把化为最简二次根式得：=2，再合并同类项即可.
B、根据进行计算即可.
C、不是同类项，不能合并.
D、不是同类项，不能合并.
4．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解： 一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，
原数据的平均数为：
原数据的方差为：
新数据的平均数为：
新数据的方差为：
因此 一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，方差发生了变化
故答案为：B.
【分析】根据以下公式进行计算即可：
众数：指一组数据中出现次数最多的数
中位数是指把一组数据进行排序后，处于中间位置的一个数或两个数的平均数.
5．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
所以 。
故答案为：D。
【分析】将常数项移到方程的右边，左右两边同时加上一次项系数一半的平方16，左边凑成一个完全平方式利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可。
6．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A、∵当时，，∴图象不经过点，此选项不符合题意；
B、∵的图象向下平移2个单位长度，∴得到函数的解析式为，此选项不符合题意；
C、∵，∴随的增大而减小，此选项不符合题意；
D、∵k=-3＜0，∴直线经过二、四象限，∵b=2＞0，∴直线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴直线图象经过一、二、四象限，此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】A、由题意，把点（1，1）代入一次函数的解析式计算即可判断求解；
B、根据直线平移的性质计算即可求解；
C、根据一次函数的性质“当k＜0时，y随x的增大而减小”即可判断求解；
D、根据一次函数的性质“当k＜0时，直线经过二、四象限，b＞0时，直线与y轴的交点在y轴的正半轴”即可判断求解．
7．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，
∴∠BAE=∠CAD，AC=AD，
∴∠ADC=∠DCA=65°，
∴∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA=50°，
∴∠BAE=50°．
故选：C．
【分析】先根据平行线的性质得∠DCA=∠CAB=65°，再根据旋转的性质得∠BAE=∠CAD，AC=AD，则根据等腰三角形的性质得∠ADC=∠DCA=65°，然后根据三角形内角和定理计算出∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA=50°，于是有∠BAE=50°．
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设 邀请的参赛队数是 x组
∴，解得x1=7，x2=-6(舍去)
∴邀请的参赛队数是7组.
故答案为：B.
【分析】根据题意，设邀请的参赛队数是 x组，每个可以参赛（x-1）次，x个球队可以参赛，可列方程为：，解出x即可.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：，
∵，
∴在Rt BED中，，
故答案为：A．
【分析】在中，用勾股定理求出的长，根据相似三角形的判定定理“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的性质可得比例式“”求出的长，由线段的构成BD=AB-AD求出BD的值，在Rt BED中，用勾股定理计算即可求解．
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解： ① 由题意知：AB=BC，OB=OB'，∠O'BO=∠ABC=60°
∴∠O'BA=∠OBC
∴△AO'B≌△OBC（SAS）
故①正确
② 如图：连接OO'
由旋转可知：OB=OB'，∠O'BO=60°
∴△OBO'为等边三角形
∴O'O=OB=4，故②错误
③由 ① 知：△AO'B≌△OBC（SAS）
∴OC=O'A=5
由 ② 知：O'O=4，△OBO'为等边三角形
∵OA=3，∠BOO'=60°
∴AO2+O'O2=O'A2
∴∠AOO'=90°
∠AOB=∠AOO'+∠BOO'=150°
故③正确
④
∴ 四边形面积 =
故④ 正确
如图2将△AOC绕着点A顺时针旋转60°到△AO'B，连接OO'
∴△AOC≌△AO'B
∴OC=O'B=5，OA=O'A=3，∠O'AO=∠AOO'=60°
∴△O'OA是等边三角形
∴OO'=AO=3
∴
由 ③可知：
∵∠AOO'=60°
∴∠O'OB=90°
∴
∴
故 ⑤ 正确
故答案为：C.
【分析】①根据旋转性质可得：AB=BC，OB=OB'，∠O'BO=∠ABC=60°，可得：∠O'BA=∠OBC，因此可得：△AO'B≌△OBC（SAS）.
② 由旋转可知：OB=OB'，∠O'BO=60°，△OBO'为等边三角形.
③由 ①可证△OBO'为等边三角形.
再根据勾股定理的逆定理可得：AO2+O'O2=O'A2因此可得∠AOO'=90°，这样可证：
∠AOB=∠AOO'+∠BOO'=150°.
④根据等边三角形的面积公式可得：，再根据直角三角形的 面积公式可得：，再根据割补法可得： 四边形面积 =.
⑤ 将△AOC绕着点A顺时针旋转60°到△AO'B，连接OO'，再同 ③ 分别证明△AO'O是等边三角形，△O'OB是直角三角形，再分别求出：，
再根据割补法可得：.
11．【答案】(3，-5)
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点关于原点对称点的坐标为 （3，-5）
故答案为：（3，-5）.
【分析】点p（a，b）关于原点对称的点的坐标为（-a，-b）.
12．【答案】k＜1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴△ ，
∴ .
故答案为：k＜1.
【分析】由于一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此解答即可.
13．【答案】40
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：∠CAB=180°-35°－55°=90°
甲船所走的路程为：30×2=60（海里）
∴在Rt△ABC中，（海里）
∴乙船的速度为：80÷2=40（海里/小时）
故答案为：40.
【分析】先根据题意求出∠CAB=180°-35°－55°=90°，甲船所走的路程为：30×2=60（海里），在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：（海里），再根据速度=路程÷时间可得乙船的速度.
14．【答案】2
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图：
∵ 点是BC的中点，
∴BC=2AB1=4
∴
由旋转可知：AB=AB1=2，AC=AC1，∠C1AC=∠B1AB
∴BB1=B1A=BA=2
∴△BB1A为等边三角形
∴∠B1AB=60°
∴∠C1AC=60°
∵，AC=AC1
∴△CC1A为等边三角形
∴=AC=2
故答案为：2.
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得BC=2AB1=4，再根据勾股定理可以得到：，由旋转性质可得：△BB1A和△CC1A为等边三角形，从而得出=AC=2.
15．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意知：
∴
∴
∴-m-2+4=5
∴m=-3
故答案为：-3.
【分析】先根据韦达定理求出，再把展开得到：，再代入数值进行计算即可.
16．【答案】100°或120°
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：
①当点B落在AB边上时，
∵DB＝DB1，
∴∠B＝∠DB1B＝40°，
∴m＝∠BDB1＝180°﹣2×40°＝100°，
②当点B落在AC上时，
在Rt△DCB2中，
∵∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD，
∴∠CB2D＝30°，
∴m＝∠C+∠CB2D＝120°，
综上所述，m的值为100°或120°.
故答案为：100°或120°.
【分析】如图：①当点B落在AB边上时，根据旋转的性质得出DB＝DB1，根据等边对等角得出∠B＝∠DB1B＝40°，进而根据三角形的内角和由m＝∠BDB1＝180°-∠B-∠BB1D即可算出答案；②当点B落在AC上时，在Rt△DCB2中，根据含30°直角三角形的边之间的关系判断出∠CB2D＝30°，进而由m＝∠C+∠CB2D即可算出答案，综上所述即可得出答案.
17．【答案】解：∵
∴
∴（x-1）（x-4）=0
∴x1=1，x2=4.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先移项，把方程化为一般形式可得：，再把方程左边进行因式分解得：（x-1）（x-4）=0，因此可得x-1=0或x-4=0，即可得：x1=1，x2=4.
18．【答案】证明：∵，
∴四边形ABCD是平行四边形
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∴∠BOC=90°
∴平行四边形ABCD是矩形.
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】先根据，得到四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的性质，可得：∠BOC=90°，再依据有一个角为90度的平行四边形为矩形，得出：平行四边形ABCD是矩形.
19．【答案】（1）解： 如图，△A1B1C1即为所求．
（2）解：如图，
AB扫过的面积为5π；
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）关于原点O对称的点的坐标特点是横、纵坐标都互为相反数；已知A(-2，5)，B(-4，1)，C(-1，3)，则A1(2，-5)，B1(4，-1)，C1(1，-3)；在图中画出即可；
（2）将绕点A顺时针旋转90°得到；根据网格线，A(-2，5)，B(-4，1)利用两点间距离公式AB=；以A为圆心，AB为半径的90°扇形面积S=×π×()2=4×π×20=5π；所以线段AB扫过的面积为5π；
20．【答案】（1）证明：，
∴a=1，b=-2（m+1），c=m(m+2)，
∴ =b2-4ac=[-2(m+1)]2-4×1×m(m+2)=4＞0，
不论实数m取何值，方程总有实数根；
（2）解：当时，原方程为：，
α、β为方程的两个根，
，，
．
答：代数式α2-5α+β的值为-2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由题意，先找出a、b、c的值，然后计算b2-4ac的值，根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”即可判断求解；
（2）当时，其方程为，由方程根的定义可求得，根据一元二次方程的根于系数的关系可得，再将所求代数式变形为α2-5α+β=α2-6α+α+β，再整体代换计算即可求解．
（1），
，
不论实数m取何值，方程总有实数根；
（2）当时，其方程为，
α、β为方程的两个根，
，，
．
21．【答案】（1）解：如图：
∴△ADC为所求作的三角形.
（2）解：由作图可知：AB=BC=CD=DA，OD=BO
∴ 四边形ABCD 为菱形
∵四边形ABCD周长为
∴AB=
∵
∴BO=1
∴
∴AC=2AO=4
∴ 四边形ABCD的面积 为：.
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定；作图﹣轴对称；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）先作AC的垂直平分线，再截取OD=OB，连接AD，CD即可
（2）由作图可知：四边形ABCD 为菱形，依据菱形的性质可得：BO==1，再根据四边形ABCD周长为，求出AB=，然后根据勾股定理可得：，从而求出AC的长，最后再根据菱形的性质等于对角线乘积的一半，可得菱形的面积为.
22．【答案】（1）100+200x
（2）解设 水果店需将每斤的售价降低x元
∴(5-3-x)(100+200x)=300，解得
∵100+200x>280，解得x>0.9
∴x=1
∴水果店需将每斤的售价降低1元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）∵ 这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤
∴ 甜瓜每斤的售价降低元，则可以多售200x
则每天的销售量 为(100+200x)斤
故答案为100+200x.
【分析】（1）根据这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤，得出甜瓜每斤的售价降低元，则可以多售200x，因此甜瓜的销量为(100+200x)斤.
（2）设 水果店需将每斤的售价降低x元，根据等量关系：每斤的利润×销量=总利润，可得：(5-3-x)(100+200x)=300，解得，再根据 每天至少售出280斤， 列出不等式100+200x>280，解得x>0.9，因此可得x=1.
23．【答案】（1）解：把 点 代入中得：
，解得m=6
∴点C的坐标为（6，3）
把（6，3）代入中得：6k=3，解得k=
∴.
（2）解：设点P的坐标为（x，x）
∵ 点的横坐标为4
把x=4代入直线y=x中得：y=2
∴点的坐标为(4，2)
同理：把x=4代入得：y=4
∴点F的坐标为(4，4)
∴DF=2
∵点C的坐标为（6，3）
∴点C到直线EF的距离h为2
∴
∵的面积为面积的3倍
∴的面积为6
∴
∴，解得x=10或x=-2
当x=10时，y=x=5
∴P的坐标为（10，5）
当x=-2时，y=x=-1
∴P的坐标为（-2，-1）
综上所述，点P的坐标为（10，5）或（-2，-1）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）先把点 代入中得：，解得m=6，从而求出点C的坐标为（6，3），再把点C的坐标代入中得：6k=3，解得k=即可.
（2）设点P的坐标为（x，x），把x=4分别代入直线y=x，中得出点D，F的坐标，再根据三角形的面积公式求出，从而求出的面积为6，列出方程，解得x=10或x=-2，再分别求出当当x=10时，y=x=5，P的坐标为（10，5）当x=-2时，y=x=-1，P的坐标为（-2，-1）即可.
24．【答案】（1）②③
（2）解： ①证明：如图1中，连接AE．
∵△ABC绕点C顺时针旋转了60°到△DCE，
∴AC=BC，∠ACE=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=AC，∠ACE=60°，
∵∠DCB=60°，∠BAD=30°，
∴∠ABC+∠ADC=270°，
∴∠ADC+∠CDE=170°，
∴∠ADE=90°，
在Rt△DAE 中，AD2+DE2=AE2，
∵DE=AB，AC=AE，
∴AD2+AB2=AC2，
∴四边形ABCD是勾股四边形；
②如图2中，延长BC交FE的延长线于H．
∵∠DCH=180°-n°=（180-n）°∠DEF=（180-n）°，
∴∠DEF=∠DCH，
∵∠DEF+∠DEH=180°，
∴∠DEH+∠DCH=180°，
∴∠CDE+∠H=180°，
∵∠ABC=∠CDE，
∴∠ABC+∠H=180°，
∴AB∥FH，
∴∠F=∠ABP，
∵DE=EF=AB，∠EPF=∠APB，
∴△FPE≌△BPA（AAS），
∴PE=PA，
∵AE=PE+PA=8，
∴PE=PA=4，
∵CA=CE，
∴CP⊥AE，
∴∠APC=90°，
∴AC=.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；解直角三角形；旋转的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】（1）∵一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方
∴此四边形的内角中至少有一个角为直角
①：平行四边形的内角不一定有直角
∴平行四边形不一定是勾股四边形
②∵矩形的四个角都为直角
∴矩形是勾股四边形
③：有一个角为直角的任意凸四边形
∴此四边形为勾股四边形
④：有一个角为60°的菱形
∴菱形的四个内角分别为60°120°，60°，120°
∴有一个角为60°的菱形不是勾股四边形
故答案为：②③.
【分析】（1）解题关键在于对勾股四边形定义的理解，能够判断出矩形符合相邻两边平方和等于对角线平方，根据这一条件逐一判断即可。
（2）①只要证明ADAE是直角三角形，再利用勾股定理，旋转的性质即可解决问题；当旋转n=60°时，通过旋转性质得到△BCD是等边三角形，进而得到相关角度，通过计算四边形内角和验证其为勾股四边形。
②如图2中，延长BC交FE的延长线于H.由推出PE=PA=5，由CA=CE，推出CP⊥AE，推出∠APC=90°，根据计算即可.
25．【答案】（1）解：∵
∴4+a=0，b-2=0，解得a=-4，b=2
∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，2）
∴AO=4
∵
∴OC=OA=4
∴点C的坐标为（0，-4）
设直线AC的表达式为y=kx-4
把A（-4，0）点代入得：-4k-4=0，解得k=-1
∴直线AC的表达式为y=-x-4.
（2）解： ① 由（1）知：A(-4，0)，B(0，2)
设直线AB的解析式为y=kx十2
把点A代入得：-4k+2=0，解得k=0.5
∴y=0.5x十2
∵点D在直线AB上
∴设D(m，0.5m + 2)
由平移可知：AC∥EF，F(0，t)
∴可设直线EF的解析式为y=-x +t
当点C，D，M三点共线，CD+MD的值最小时
设直线CM的解析式为y= ax -4
把点M（5，6）代入得：5a-4=6，解得a=2
∴直线CM的解析式为y=2x-4
∵点C，D，M三点共线
∴把D(m，-m+2)代入y=2x-4得：-m+2=2m-4，解得m=4
∴D(4，4)
∵点D在直线EF上
把D(4，4)代入y=-x+t得：4=-4+t解得t=8.
② 点F的坐标为（0，8）或（0，-16）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】 解：（2）② 存在，理由如下：
设点E(n，0)，由平移可知：AC∥EF
∵以点A、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形
∴AC，DE只能是边
由 ① 可知：D(m，0.5m+2)，C（0，-4），A（-4，0）
当AE为对角线时，由中点坐标公式得：
，解得
∴D(4，4)E(8，0)
∴设直线DE的解析式为y=kx+b
，解得
∴直线DE的解析式为y=-x+8
当x=0时，y=8
∴点F的坐标为（0，-8）
同理：当AD为对角线时
，解得：
∴直线DE解析式为y=-x-16
∴当x=0时，y=-16
∴F(0，-16)
综上所述：F(0，-16)或（0，-8）.
【分析】（1）先根据平方和算术平方根具有非负性，可得4+a=0，b-2=0，解得a=-4，b=2，点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，2），再根据等腰三角形的性质得出点C的坐标为（0，-4），再根据待定系数法设直线AC的表达式为y=kx-4，把A（-4，0）点代入得：-4k-4=0，解得k=-1即可.
（2）先根据A(-4，0)，B(0，2)，求出直线AB的解析式为y=0.5x十2，因为点在直线AB上设D(m，0.5m + 2)，再根据AC∥EF，F(0，t)，可设直线EF的解析式为y=-x +t又因为当CD+MD的值最小时，点C，D，M三点共线，利用待定系数法求出直线CM的解析式为y=2x-4，再把点D(m，-m+2)代入y=2x-4得：-m+2=2m-4，解得m=4，得出点D的坐标D(4，4)，再点D在直线EF上，把D(4，4)代入y=-x+t得：4=-4+t解得t即可.
（3）设点E(n，0)，由平移可知：AC∥EF，由 ① 可知：D(m，0.5m+2)，C（0，-4），A（-4，0）
当AE为对角线时，由中点坐标公式得：，解得，得出点D(4，4)E(8，0)，利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=-x+8，令x=0，得出y=8，从而得出点F的坐标为（0，-8），同理：当AD为对角线时，，解得：，再求出直线DE解析式为y=-x-16，当x=0时，y=-16，从而得出点F的坐标为（0，-16）.
1 / 1广东省广州市铁一中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2024九上·广州开学考）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故A不符合题意
B、是中心对称图形，故B不符合题意
C、是中心对称图形，故C不符合题意
D、不是中心对称图形，故D符合题意
故答案为：D.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转180度后能够与自身重合，这样的图形是中心对称图形，而ABC具有这种性质，但D不具有这种性质，因此D不是中心对称图形.
2．（2024九上·广州开学考）方程的二次项系数和常数项分别为（ ）
A．， B．， C．1，3 D．，
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：的二次项系数，一次项系数，常数项依次为1，-3，3
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0的二次项系数，一次项系数，常数项依次为a，b，c.
3．（2024九上·广州开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故A正确.
B、，故B错误.
C、，不能合并，故C错误.
D、，不能合并，故D不正确.
故答案为：A.
【分析】A、先把化为最简二次根式得：=2，再合并同类项即可.
B、根据进行计算即可.
C、不是同类项，不能合并.
D、不是同类项，不能合并.
4．（2024九上·广州开学考）一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解： 一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，
原数据的平均数为：
原数据的方差为：
新数据的平均数为：
新数据的方差为：
因此 一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，方差发生了变化
故答案为：B.
【分析】根据以下公式进行计算即可：
众数：指一组数据中出现次数最多的数
中位数是指把一组数据进行排序后，处于中间位置的一个数或两个数的平均数.
5．（2024九上·广州开学考）用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
所以 。
故答案为：D。
【分析】将常数项移到方程的右边，左右两边同时加上一次项系数一半的平方16，左边凑成一个完全平方式利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可。
6．（2024九上·广州开学考）关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象过点
B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到
C．随着的增大而增大
D．图象经过第一、二、四象限
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A、∵当时，，∴图象不经过点，此选项不符合题意；
B、∵的图象向下平移2个单位长度，∴得到函数的解析式为，此选项不符合题意；
C、∵，∴随的增大而减小，此选项不符合题意；
D、∵k=-3＜0，∴直线经过二、四象限，∵b=2＞0，∴直线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴直线图象经过一、二、四象限，此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】A、由题意，把点（1，1）代入一次函数的解析式计算即可判断求解；
B、根据直线平移的性质计算即可求解；
C、根据一次函数的性质“当k＜0时，y随x的增大而减小”即可判断求解；
D、根据一次函数的性质“当k＜0时，直线经过二、四象限，b＞0时，直线与y轴的交点在y轴的正半轴”即可判断求解．
7．（2024九上·广州开学考）如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，
∴∠BAE=∠CAD，AC=AD，
∴∠ADC=∠DCA=65°，
∴∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA=50°，
∴∠BAE=50°．
故选：C．
【分析】先根据平行线的性质得∠DCA=∠CAB=65°，再根据旋转的性质得∠BAE=∠CAD，AC=AD，则根据等腰三角形的性质得∠ADC=∠DCA=65°，然后根据三角形内角和定理计算出∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA=50°，于是有∠BAE=50°．
8．（2024九上·广州开学考）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设 邀请的参赛队数是 x组
∴，解得x1=7，x2=-6(舍去)
∴邀请的参赛队数是7组.
故答案为：B.
【分析】根据题意，设邀请的参赛队数是 x组，每个可以参赛（x-1）次，x个球队可以参赛，可列方程为：，解出x即可.
9．（2024九上·广州开学考）如图，中，，，，是上的一点，，垂足为，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：，
∵，
∴在Rt BED中，，
故答案为：A．
【分析】在中，用勾股定理求出的长，根据相似三角形的判定定理“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的性质可得比例式“”求出的长，由线段的构成BD=AB-AD求出BD的值，在Rt BED中，用勾股定理计算即可求解．
10．（2024九上·广州开学考）如图，是正内一点，，，，将线段BO以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为5；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（ ）
A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解： ① 由题意知：AB=BC，OB=OB'，∠O'BO=∠ABC=60°
∴∠O'BA=∠OBC
∴△AO'B≌△OBC（SAS）
故①正确
② 如图：连接OO'
由旋转可知：OB=OB'，∠O'BO=60°
∴△OBO'为等边三角形
∴O'O=OB=4，故②错误
③由 ① 知：△AO'B≌△OBC（SAS）
∴OC=O'A=5
由 ② 知：O'O=4，△OBO'为等边三角形
∵OA=3，∠BOO'=60°
∴AO2+O'O2=O'A2
∴∠AOO'=90°
∠AOB=∠AOO'+∠BOO'=150°
故③正确
④
∴ 四边形面积 =
故④ 正确
如图2将△AOC绕着点A顺时针旋转60°到△AO'B，连接OO'
∴△AOC≌△AO'B
∴OC=O'B=5，OA=O'A=3，∠O'AO=∠AOO'=60°
∴△O'OA是等边三角形
∴OO'=AO=3
∴
由 ③可知：
∵∠AOO'=60°
∴∠O'OB=90°
∴
∴
故 ⑤ 正确
故答案为：C.
【分析】①根据旋转性质可得：AB=BC，OB=OB'，∠O'BO=∠ABC=60°，可得：∠O'BA=∠OBC，因此可得：△AO'B≌△OBC（SAS）.
② 由旋转可知：OB=OB'，∠O'BO=60°，△OBO'为等边三角形.
③由 ①可证△OBO'为等边三角形.
再根据勾股定理的逆定理可得：AO2+O'O2=O'A2因此可得∠AOO'=90°，这样可证：
∠AOB=∠AOO'+∠BOO'=150°.
④根据等边三角形的面积公式可得：，再根据直角三角形的 面积公式可得：，再根据割补法可得： 四边形面积 =.
⑤ 将△AOC绕着点A顺时针旋转60°到△AO'B，连接OO'，再同 ③ 分别证明△AO'O是等边三角形，△O'OB是直角三角形，再分别求出：，
再根据割补法可得：.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（2024九上·广州开学考）点关于原点对称点的坐标为 ．
【答案】(3，-5)
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点关于原点对称点的坐标为 （3，-5）
故答案为：（3，-5）.
【分析】点p（a，b）关于原点对称的点的坐标为（-a，-b）.
12．（2024九上·广州开学考）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 .
【答案】k＜1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴△ ，
∴ .
故答案为：k＜1.
【分析】由于一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此解答即可.
13．（2024九上·广州开学考）如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，2小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若C，B两岛相距100海里，乙船的速度是 海里/时．
【答案】40
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：∠CAB=180°-35°－55°=90°
甲船所走的路程为：30×2=60（海里）
∴在Rt△ABC中，（海里）
∴乙船的速度为：80÷2=40（海里/小时）
故答案为：40.
【分析】先根据题意求出∠CAB=180°-35°－55°=90°，甲船所走的路程为：30×2=60（海里），在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：（海里），再根据速度=路程÷时间可得乙船的速度.
14．（2024九上·广州开学考）如图，在中，，，将绕点按顺时针方向旋转至的位置，点恰好落在BC的中点处，则的长为 ．
【答案】2
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图：
∵ 点是BC的中点，
∴BC=2AB1=4
∴
由旋转可知：AB=AB1=2，AC=AC1，∠C1AC=∠B1AB
∴BB1=B1A=BA=2
∴△BB1A为等边三角形
∴∠B1AB=60°
∴∠C1AC=60°
∵，AC=AC1
∴△CC1A为等边三角形
∴=AC=2
故答案为：2.
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得BC=2AB1=4，再根据勾股定理可以得到：，由旋转性质可得：△BB1A和△CC1A为等边三角形，从而得出=AC=2.
15．（2024九上·广州开学考）已知，是关于的方程的两个实数根，且，则的值等于 ．
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意知：
∴
∴
∴-m-2+4=5
∴m=-3
故答案为：-3.
【分析】先根据韦达定理求出，再把展开得到：，再代入数值进行计算即可.
16．（2024九上·广州开学考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，点D在边BC上，BD＝2CD，把△ABC绕点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，则m＝ .
【答案】100°或120°
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：
①当点B落在AB边上时，
∵DB＝DB1，
∴∠B＝∠DB1B＝40°，
∴m＝∠BDB1＝180°﹣2×40°＝100°，
②当点B落在AC上时，
在Rt△DCB2中，
∵∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD，
∴∠CB2D＝30°，
∴m＝∠C+∠CB2D＝120°，
综上所述，m的值为100°或120°.
故答案为：100°或120°.
【分析】如图：①当点B落在AB边上时，根据旋转的性质得出DB＝DB1，根据等边对等角得出∠B＝∠DB1B＝40°，进而根据三角形的内角和由m＝∠BDB1＝180°-∠B-∠BB1D即可算出答案；②当点B落在AC上时，在Rt△DCB2中，根据含30°直角三角形的边之间的关系判断出∠CB2D＝30°，进而由m＝∠C+∠CB2D即可算出答案，综上所述即可得出答案.
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤）
17．（2024九上·广州开学考）用适当方法解下列方程：．
【答案】解：∵
∴
∴（x-1）（x-4）=0
∴x1=1，x2=4.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先移项，把方程化为一般形式可得：，再把方程左边进行因式分解得：（x-1）（x-4）=0，因此可得x-1=0或x-4=0，即可得：x1=1，x2=4.
18．（2024九上·广州开学考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点，过点作，过点作，与CP相交于点，求证：四边形BPCO是矩形．
【答案】证明：∵，
∴四边形ABCD是平行四边形
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∴∠BOC=90°
∴平行四边形ABCD是矩形.
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】先根据，得到四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的性质，可得：∠BOC=90°，再依据有一个角为90度的平行四边形为矩形，得出：平行四边形ABCD是矩形.
19．（2024九上·广州开学考）利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图．
（1）作出关于原点对称的中心对称图形．
（2）若绕点顺时针旋转得到，则线段AB扫过的面积为 ．
【答案】（1）解： 如图，△A1B1C1即为所求．
（2）解：如图，
AB扫过的面积为5π；
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）关于原点O对称的点的坐标特点是横、纵坐标都互为相反数；已知A(-2，5)，B(-4，1)，C(-1，3)，则A1(2，-5)，B1(4，-1)，C1(1，-3)；在图中画出即可；
（2）将绕点A顺时针旋转90°得到；根据网格线，A(-2，5)，B(-4，1)利用两点间距离公式AB=；以A为圆心，AB为半径的90°扇形面积S=×π×()2=4×π×20=5π；所以线段AB扫过的面积为5π；
20．（2024九上·广州开学考）已知关于x的一元二次方程．
（1）试说明不论实数m取何值，方程总有实数根；
（2）如果当时，α、β为方程的两个根，求的值．
【答案】（1）证明：，
∴a=1，b=-2（m+1），c=m(m+2)，
∴ =b2-4ac=[-2(m+1)]2-4×1×m(m+2)=4＞0，
不论实数m取何值，方程总有实数根；
（2）解：当时，原方程为：，
α、β为方程的两个根，
，，
．
答：代数式α2-5α+β的值为-2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由题意，先找出a、b、c的值，然后计算b2-4ac的值，根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”即可判断求解；
（2）当时，其方程为，由方程根的定义可求得，根据一元二次方程的根于系数的关系可得，再将所求代数式变形为α2-5α+β=α2-6α+α+β，再整体代换计算即可求解．
（1），
，
不论实数m取何值，方程总有实数根；
（2）当时，其方程为，
α、β为方程的两个根，
，，
．
21．（2024九上·广州开学考）数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．如图，在等腰中，．
（1）尺规作图：作关于直线AC对称的（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接BD，交AC于点，若，四边形ABCD周长为，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）解：如图：
∴△ADC为所求作的三角形.
（2）解：由作图可知：AB=BC=CD=DA，OD=BO
∴ 四边形ABCD 为菱形
∵四边形ABCD周长为
∴AB=
∵
∴BO=1
∴
∴AC=2AO=4
∴ 四边形ABCD的面积 为：.
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定；作图﹣轴对称；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）先作AC的垂直平分线，再截取OD=OB，连接AD，CD即可
（2）由作图可知：四边形ABCD 为菱形，依据菱形的性质可得：BO==1，再根据四边形ABCD周长为，求出AB=，然后根据勾股定理可得：，从而求出AC的长，最后再根据菱形的性质等于对角线乘积的一半，可得菱形的面积为.
22．（2024九上·广州开学考）一家水果店以每斤3元的价格购进“官地洼”甜瓜若干斤，然后以每斤5元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤．
（1）若将“官地洼”甜瓜每斤的售价降低元，则每天的销售量是 斤（用含的代数式表示）；
（2）销售这批“官地洼”甜瓜要想每天盈利300，且保证每天至少售出280斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？
【答案】（1）100+200x
（2）解设 水果店需将每斤的售价降低x元
∴(5-3-x)(100+200x)=300，解得
∵100+200x>280，解得x>0.9
∴x=1
∴水果店需将每斤的售价降低1元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）∵ 这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤
∴ 甜瓜每斤的售价降低元，则可以多售200x
则每天的销售量 为(100+200x)斤
故答案为100+200x.
【分析】（1）根据这种甜瓜每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤，得出甜瓜每斤的售价降低元，则可以多售200x，因此甜瓜的销量为(100+200x)斤.
（2）设 水果店需将每斤的售价降低x元，根据等量关系：每斤的利润×销量=总利润，可得：(5-3-x)(100+200x)=300，解得，再根据 每天至少售出280斤， 列出不等式100+200x>280，解得x>0.9，因此可得x=1.
23．（2024九上·广州开学考）如图①，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，正比例函数的图象与直线AB交于点．
（1）求的值并直接写出正比例函数的解析式；
（2）如图②，点在线段OC上，且与点O，C不重合，过点作轴于点，交线段CB于点，点的横坐标为4．若是直线OC上的一点，的面积为面积的3倍，求点的坐标．
【答案】（1）解：把 点 代入中得：
，解得m=6
∴点C的坐标为（6，3）
把（6，3）代入中得：6k=3，解得k=
∴.
（2）解：设点P的坐标为（x，x）
∵ 点的横坐标为4
把x=4代入直线y=x中得：y=2
∴点的坐标为(4，2)
同理：把x=4代入得：y=4
∴点F的坐标为(4，4)
∴DF=2
∵点C的坐标为（6，3）
∴点C到直线EF的距离h为2
∴
∵的面积为面积的3倍
∴的面积为6
∴
∴，解得x=10或x=-2
当x=10时，y=x=5
∴P的坐标为（10，5）
当x=-2时，y=x=-1
∴P的坐标为（-2，-1）
综上所述，点P的坐标为（10，5）或（-2，-1）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）先把点 代入中得：，解得m=6，从而求出点C的坐标为（6，3），再把点C的坐标代入中得：6k=3，解得k=即可.
（2）设点P的坐标为（x，x），把x=4分别代入直线y=x，中得出点D，F的坐标，再根据三角形的面积公式求出，从而求出的面积为6，列出方程，解得x=10或x=-2，再分别求出当当x=10时，y=x=5，P的坐标为（10，5）当x=-2时，y=x=-1，P的坐标为（-2，-1）即可.
24．（2024九上·广州开学考）给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）以下四边形中，是勾股四边形的为 （填序号即可）；
①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为的菱形．
（2）如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到．
①连接AD，当，时，求证：四边形ABCD是勾股四边形．
②如图2，将DE绕点顺时针方向旋转得到EF，连接BF，BF与AE交于点，连接CP，若，，，求AC的长度．
【答案】（1）②③
（2）解： ①证明：如图1中，连接AE．
∵△ABC绕点C顺时针旋转了60°到△DCE，
∴AC=BC，∠ACE=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=AC，∠ACE=60°，
∵∠DCB=60°，∠BAD=30°，
∴∠ABC+∠ADC=270°，
∴∠ADC+∠CDE=170°，
∴∠ADE=90°，
在Rt△DAE 中，AD2+DE2=AE2，
∵DE=AB，AC=AE，
∴AD2+AB2=AC2，
∴四边形ABCD是勾股四边形；
②如图2中，延长BC交FE的延长线于H．
∵∠DCH=180°-n°=（180-n）°∠DEF=（180-n）°，
∴∠DEF=∠DCH，
∵∠DEF+∠DEH=180°，
∴∠DEH+∠DCH=180°，
∴∠CDE+∠H=180°，
∵∠ABC=∠CDE，
∴∠ABC+∠H=180°，
∴AB∥FH，
∴∠F=∠ABP，
∵DE=EF=AB，∠EPF=∠APB，
∴△FPE≌△BPA（AAS），
∴PE=PA，
∵AE=PE+PA=8，
∴PE=PA=4，
∵CA=CE，
∴CP⊥AE，
∴∠APC=90°，
∴AC=.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；解直角三角形；旋转的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】（1）∵一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方
∴此四边形的内角中至少有一个角为直角
①：平行四边形的内角不一定有直角
∴平行四边形不一定是勾股四边形
②∵矩形的四个角都为直角
∴矩形是勾股四边形
③：有一个角为直角的任意凸四边形
∴此四边形为勾股四边形
④：有一个角为60°的菱形
∴菱形的四个内角分别为60°120°，60°，120°
∴有一个角为60°的菱形不是勾股四边形
故答案为：②③.
【分析】（1）解题关键在于对勾股四边形定义的理解，能够判断出矩形符合相邻两边平方和等于对角线平方，根据这一条件逐一判断即可。
（2）①只要证明ADAE是直角三角形，再利用勾股定理，旋转的性质即可解决问题；当旋转n=60°时，通过旋转性质得到△BCD是等边三角形，进而得到相关角度，通过计算四边形内角和验证其为勾股四边形。
②如图2中，延长BC交FE的延长线于H.由推出PE=PA=5，由CA=CE，推出CP⊥AE，推出∠APC=90°，根据计算即可.
25．（2024九上·广州开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点，与轴交于点，，满足，直线AC经过轴负半轴上的点，且．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）平移直线AC，平移后的直线与直线AB交于点，与轴交于点．
①已知平面内有一点，连接CD，MD，当的值最小时，求t的值；
②若平移后的直线与轴交于点，是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵
∴4+a=0，b-2=0，解得a=-4，b=2
∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，2）
∴AO=4
∵
∴OC=OA=4
∴点C的坐标为（0，-4）
设直线AC的表达式为y=kx-4
把A（-4，0）点代入得：-4k-4=0，解得k=-1
∴直线AC的表达式为y=-x-4.
（2）解： ① 由（1）知：A(-4，0)，B(0，2)
设直线AB的解析式为y=kx十2
把点A代入得：-4k+2=0，解得k=0.5
∴y=0.5x十2
∵点D在直线AB上
∴设D(m，0.5m + 2)
由平移可知：AC∥EF，F(0，t)
∴可设直线EF的解析式为y=-x +t
当点C，D，M三点共线，CD+MD的值最小时
设直线CM的解析式为y= ax -4
把点M（5，6）代入得：5a-4=6，解得a=2
∴直线CM的解析式为y=2x-4
∵点C，D，M三点共线
∴把D(m，-m+2)代入y=2x-4得：-m+2=2m-4，解得m=4
∴D(4，4)
∵点D在直线EF上
把D(4，4)代入y=-x+t得：4=-4+t解得t=8.
② 点F的坐标为（0，8）或（0，-16）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】 解：（2）② 存在，理由如下：
设点E(n，0)，由平移可知：AC∥EF
∵以点A、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形
∴AC，DE只能是边
由 ① 可知：D(m，0.5m+2)，C（0，-4），A（-4，0）
当AE为对角线时，由中点坐标公式得：
，解得
∴D(4，4)E(8，0)
∴设直线DE的解析式为y=kx+b
，解得
∴直线DE的解析式为y=-x+8
当x=0时，y=8
∴点F的坐标为（0，-8）
同理：当AD为对角线时
，解得：
∴直线DE解析式为y=-x-16
∴当x=0时，y=-16
∴F(0，-16)
综上所述：F(0，-16)或（0，-8）.
【分析】（1）先根据平方和算术平方根具有非负性，可得4+a=0，b-2=0，解得a=-4，b=2，点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，2），再根据等腰三角形的性质得出点C的坐标为（0，-4），再根据待定系数法设直线AC的表达式为y=kx-4，把A（-4，0）点代入得：-4k-4=0，解得k=-1即可.
（2）先根据A(-4，0)，B(0，2)，求出直线AB的解析式为y=0.5x十2，因为点在直线AB上设D(m，0.5m + 2)，再根据AC∥EF，F(0，t)，可设直线EF的解析式为y=-x +t又因为当CD+MD的值最小时，点C，D，M三点共线，利用待定系数法求出直线CM的解析式为y=2x-4，再把点D(m，-m+2)代入y=2x-4得：-m+2=2m-4，解得m=4，得出点D的坐标D(4，4)，再点D在直线EF上，把D(4，4)代入y=-x+t得：4=-4+t解得t即可.
（3）设点E(n，0)，由平移可知：AC∥EF，由 ① 可知：D(m，0.5m+2)，C（0，-4），A（-4，0）
当AE为对角线时，由中点坐标公式得：，解得，得出点D(4，4)E(8，0)，利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=-x+8，令x=0，得出y=8，从而得出点F的坐标为（0，-8），同理：当AD为对角线时，，解得：，再求出直线DE解析式为y=-x-16，当x=0时，y=-16，从而得出点F的坐标为（0，-16）.
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