阶段检测（一）
集合与常用逻辑用语
考试范围：集合、常用逻辑用语；考试时间：120分钟；
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共8小题）
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为或，
所以或，
所以．
故选：．
2．若集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为
A． B． C． D．
【解答】解：，
或，
，
则图中阴影部分表示的集合为．
故选：．
3．已知，，则
A．，， B．，
C．， D．，，
【解答】解：，
，
则，，．
故选：．
4．对于非空实数集，记，．设非空实数集合，若时，则．现给出以下命题：
①对于任意给定符合题设条件的集合、，必有；
②对于任意给定符合题设条件的集合、，必有；
③对于任意给定符合题设条件的集合、，必有；
④对于任意给定符合题设条件的集合、，必存在常数，使得对任意的，恒有，
其中正确的命题是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解答】解：由已知，为不小于集合中最大值的所有数构成的集合．
①因为，设集合和中最大值分别为和，则，故有，正确；
②设，则，故，错误；
③设，则，故，错误；
④令，则对任意的，，故恒有，正确．
故选：．
5．已知全集U＝A B＝{x∈N|x≤6}，A （ UB）＝{1，3，5}，则B中元素个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：全集U＝A B＝{x∈N|x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，
A （ UB）＝{1，3，5}，
∴B＝{1，3，5}，{1，3，5} A，
B＝{0，2，4，6}，
则B中元素个数为4．
故选：B．
6．已知集合，集合，则
A．， B． C． D．
【解答】解：由，解得，
由，解得，
故．
故选：．
7．全集，，，3，5，，，3，7，，则
A．，3，7， B．，7， C．，7， D．，
【解答】解：，，2，3，4，5，6，7，8，，，3，5，，
，4，7，8，，
，．
故选：．
8．已知集合，，，则
A． B．
C． D．
【解答】解：，，
，故错；
，故对；
或，故错；
或，故错．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．已知，都是正数，若，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
【解答】解：，都是正数，，
则，当且仅当时，即时，等号成立，
故，故正确；
，当且仅当时，等号成立，故正确；
，当且仅当，即时，等号成立，
故，故错误；
，都是正数，，
则，，
，
，故正确．
故选：．
10．已知，，，且，则
A． B．若，则
C． D．若，则
【解答】解：对于，当时，，故错误；
对于，因为，所以，则，故，故正确；
对于，因为，所以，则，
当且仅当时，等号成立，显然，所以，故正确；
对于，当时，，故错误．
故选：．
11．已知，是正数，且满足，则下列叙述正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：，，，
，当且仅当，即时取等号，正确；
，当且仅当时取等号，，，错误；
，，，，，，，正确；
，，，且，成立，正确．
故选：．
12．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是
A．
B．的解集为
C．
D．的解集为
【解答】解：不等式的解集为或，
，
即，，
故选项正确；
可化为，
即，
故的解集为，故选项正确；
，故选项错误；
可化为，
即，
故不等式的解集为，选项正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．已知集合，，2，3，4，，则 ，2， ．
【解答】解：集合，
，2，3，4，，
则，2，．
故答案为：，2，．
14．已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ．
【解答】解：因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以是方程的两根，且，
则，解得，
所以关于的不等式，即，化简得，解得，
则关于的不等式的解集为．
故答案为：．
15．已知，，均为正实数，且，则的最小值为 18 ．
【解答】解：由条件知
，
当且仅当，，
又因为，即，，时，的最小值为18．
故答案为：18．
16．设命题，．若是假命题，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：是假命题，是真命题，
命题，，
，，，
设，则，在，上单调递增，
，
，
实数的取值范围是，．
故答案为：，．
四．解答题（共6小题）
17．若集合具有以下性质，则称集合是“好集”：① ，；②若、，则，且时，．
（1）分别判断集合，0，，有理数集是否是“好集”，并说明理由；
（2）设集合是“好集”，求证：若、，则；
（3）对任意的一个“好集” ，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若、，则必有．
【解答】解：（1）集合不是“好集“，理由是：，，而；
不是“好集”；
有理数集是“好集”，理由是：
，；
对任意，，有，且时，；
有理数集是“好集，
（2）因为集合是“好集”，所以，
若、，则，即，所以，即；
（3）对任意一个“好集” ，任取、，若、中有0和1时，显然，
下设、均不含0，1，由定义得，，，
所以，所以，
由（2）得，同理，
若，或．显然，
若，且，则，可得，所以，
由（2）得，
所以，
综上，．
18．已知函数，．
（1）若（1），且，求的最小值；
（2）若（1），求关于的不等式的解集．
【解答】（1）解：因为，，（1），
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为4．
（2）（1），可得，则，
，则，
解不等式可得或．
因此，不等式的解集为或．
19．已知实数，，，满足．
（1）试比较和的大小；
（2）利用（1）的结论，比较与的大小．
【解答】解：（1），，
，
当且仅当，即时取等号，
．
（2）由题意知，，
，，
令，，则，
则，，
令，，
，
，
当且仅当，且，即，时取等号，
．
20．已知集合，．求：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），，
；
（2），，
，
则或．
21．已知集合，，，且．
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围．
【解答】解：（1）集合，，，且．
当时，，
故．
（2），所以，
所以：或，
解得或．
故实数的取值范围为，，．
22．已知函数在区间，上是单调函数
（1）求实数的所有取值组成的集合；
（2）试写出在区间，上的最大值；
（3）设，令，对任意，都有成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）对称轴为，图象开口向上，
则或即或，
所以，，；
（2）由（1）知，或，
当时，函数在，上递减，所以；
当时，函数在，上递增，所以（2），
所以；
（3）由，，得，
所以，
问题转化为当时，．
①当时，单调递减，
所以，（a），
由，解得无解；
②当时，在上递减，在，上递增，
所以，
而，，
则，
由，解得无解；
③当时，在上递减，在，上递增，在，上递减，
而，
所以，，
由解得，
④当时，
在上递减，在，上递增，在，上递减，在，上递增，
又，
所以，（a），
由，解得，
综上可知：．阶段检测（一）
集合与常用逻辑用语
考试范围：集合、常用逻辑用语；考试时间：120分钟；
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共8小题）
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．若集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为
A． B． C． D．
3．已知，，则
A．，， B．，
C．， D．，，
4．对于非空实数集，记，．设非空实数集合，若时，则．现给出以下命题：
①对于任意给定符合题设条件的集合、，必有；
②对于任意给定符合题设条件的集合、，必有；
③对于任意给定符合题设条件的集合、，必有；
④对于任意给定符合题设条件的集合、，必存在常数，使得对任意的，恒有，
其中正确的命题是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．已知全集U＝A B＝{x∈N|x≤6}，A （ UB）＝{1，3，5}，则B中元素个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．已知集合，集合，则
A．， B． C． D．
7．全集，，，3，5，，，3，7，，则
A．，3，7， B．，7， C．，7， D．，
8．已知集合，，，则
A． B．
C． D．
二．多选题（共4小题）
9．已知，都是正数，若，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
10．已知，，，且，则
A． B．若，则
C． D．若，则
11．已知，是正数，且满足，则下列叙述正确的是
A． B．
C． D．
12．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是
A．
B．的解集为
C．
D．的解集为
三．填空题（共4小题）
13．已知集合，，2，3，4，，则 ．
14．已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ．
15．已知，，均为正实数，且，则的最小值为 ．
16．设命题，．若是假命题，则实数的取值范围是 ．
四．解答题（共6小题）
17．若集合具有以下性质，则称集合是“好集”：① ，；②若、，则，且时，．
（1）分别判断集合，0，，有理数集是否是“好集”，并说明理由；
（2）设集合是“好集”，求证：若、，则；
（3）对任意的一个“好集” ，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若、，则必有．
18．已知函数，．
（1）若（1），且，求的最小值；
（2）若（1），求关于的不等式的解集．
19．已知实数，，，满足．
（1）试比较和的大小；
（2）利用（1）的结论，比较与的大小．
20．已知集合，．求：
（1）；
（2）．
21．已知集合，，，且．
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围．
22．已知函数在区间，上是单调函数
（1）求实数的所有取值组成的集合；
（2）试写出在区间，上的最大值；
（3）设，令，对任意，都有成立，求实数的取值范围．重难点突破01：集合中的新定义问题
以集合为载体的新定义题，既强化了集合的相关知识，也考察了学生运用所学知识处理问题的能力，符合高考中以能力立意命题的指导思想，故而是高考的常备题型．求解此类问题的关键是准确理解新定义的含义，再正确运用集合的一些概念和性质就能破题．
一．选择题（共13小题）
1．定义集合且．已知集合，4，，，，则中元素的个数为
A．6 B．5 C．4 D．7
【解答】解：根据题意，因为，4，，，，
所以，3，5，．
故选：．
2．对于数集，，定义，，，，，若集合，，则集合中所有元素之和为
A． B． C． D．
【解答】解：，，
或2，
，，，3，，
，3，4，1，，
元素之和为，
故选：．
3．定义集合，，，设集合，0，，，1，，则中元素的个数为
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：因为，0，，，1，，
所以，，0，1，，
故中元素的个数为5．
故选：．
4．如图所示的图中，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，若，，，，，则
A． B． C．或 D．或
【解答】解：如图所示的图中，，是非空集合，
定义集合为阴影部分表示的集合，
，，，
，，
或．
故选：．
5．如图所示的韦恩图中，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，，，，则
A． B． C．或 D．或
【解答】解：依据定义，就是指将除去后剩余的元素所构成的集合；
对于集合，求的是函数的定义域，
解得：；
对于集合，求的是函数的值域，解得；
依据定义，借助数轴得：或，
故选：．
6．设数集，，，且，都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是
A． B． C． D．
【解答】解：集，，
，且，都是集合的子集，
根据题意，的长度为，的长度为，
当集合的长度的最小值时，
与应分别在区间，的左右两端，
故的长度的最小值是．
故选：．
7．定义集合，的一种运算：，，，若，，，，则中的元素个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：，，，，，，，
，，，
中的元素个数为3．
故选：．
8．如图所示的图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，，，3，4，5，6，，则
A．，4，6， B．，4，6， C．，3，4，5，6， D．，2，4，6，
【解答】解：由图可知，，，
因为，，，3，5，7，，，3，4，5，6，，
则，2，3，4，5，6，7，，，5，，
因此，，2，4，6，．
故选：．
9．如图所示的图中，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，若，，，，3，4，5，6，，则
A．，2，4， B．，4，6， C．，3，4，5，6， D．，2，4，6，
【解答】解：由图可知，，，
因为，，，3，5，7，，，3，4，5，6，，
则，2，3，4，5，6，7，，，5，，
因此，，2，4，6，．
故选：．
10．设集合，定义：集合，集合，，，集合，分别用，表示集合，中元素的个数，则下列结论可能成立的是
A． B． C． D．
【解答】解：设，则的值为，，，，，，
由题意，
根据集合中的定义可得中至少有以上5个元素，
设，，，，，
由题意，则集合中至少有7个元素，
不可能，故错误；
若，则集合中至多有6个元素，所以，故错误；
对，，则与一定成对出现，
，一定是偶数，故错误；
对于集合，取，3，5，，则，6，8，10，，
此时，2，，，故正确．
故选：．
11．对于，表示不超过的最大整数，定义在上的函数，若，则中所有元素的和为
A．12 B．3 C．14 D．15
【解答】解：当时，，
当时，，
时，，
当时，，
时，，
故，1，3，4，，元素和为．
故选：．
12．已知有限集，，定义集合，且，表示集合中的元素个数．若，2，3，，，4，，则
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：，2，3，，，4，，
，，，
故，2，，
故，
故选：．
13．对于任意两个正整数，，定义某种运算“※”如下：当，都为正偶数或都为正奇数时，※；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，※，则在此定义下，集合※中的元素个数是
A．10 B．9 C．8 D．7
【解答】解：由定义知，
当，都为正偶数或都为正奇数时，※，
故是，，，，，，；
当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，※，
故是，；
故共9个元素，
故选：．
二．填空题（共6小题）
14．定义两个集合与的差：且，对称差△，若，，则△ ．
【解答】解：，，，，
由且，得，．
所以△，，．
15．定义：实数，，，若满足，则称，，是等差的，若满足，则称，，是调和的．已知集合，，集合是集合的三元子集，即，，，若集合中的元素，，既是等差的，又是调和的，称集合为“好集”，则集合为“好集”的个数是 1010 ．
【解答】解：由好集的定义得且，则，化简得，
故或，
由，，得，故，，
，，，且，
，
且，解得，
故集合为“好集”的个数为．
故答案为：1010．
16．对于集合，，，的子集，，，，定义的“特征数列”为，，，，其中，其余项均为0，例如子集，的“特征数列”为0，1，1，0，0，，0．
（1）子集，，，的“特征数列”的前四项和等于 3 ；
（2）若的子集的“特征数列” ，，，满足，，，的子集的“特征数列”为，，，，满足，，，则的元素个数为 ．
【解答】解：（1）根据“特征数列”的定义可知子集，，，的“特征数列”为：
1，0，1，1，1，0，0，，0，
子集，，，的“特征数列”的前四项和为：．
（2）的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，，1，0，
的“特征数列”满足，且，，或，，
的“特征数列”为1，1，0，1，1，0，1，1，0，，0，1或1，0，1，1，0，1，，0，1，1，
，，，，，，，
，，，，，，，或，，，，，，，
，的“特征数列”周期的最小公倍数为6，
一个周期内的元素个数为2，共有，
的元素个数为或个．
故答案为：3；33或34．
17．对于非空集合，定义若，是两个非空集合，且，则 0 ；若，，且存在，，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：，
当时，，，，
当时，，，
综上所述，，
，，
存在，，存在，且，
即存在，使得且，
即，显然，
①当时，则，，
②当时，显然满足，
③当时，则，，
④当时，，满足题意，
综上所述，实数的取值范围是，，．
18．定义全集的子集的特征函数，这里表示在全集中的补集，那么对于集合、，下列所有正确说法的序号是 （1）（2）（4） ．
（1）；（2）；（3）；（4）．
【解答】解：（1），分类讨论：
①当，则，此时；
②当，且，即，此时；
③当，且，即时，，，此时；
综合有，故（1）正确；
（2），故（2）正确；
（3）假设，任取，则，则，但，则，故（3）不正确；
（4）．
故（4）正确．
故答案为：（1）（2）（4）．
19．已知，均为实数，设数集，且数集、都是数集的子集．如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是 ．
【解答】解：由已知得且，解得，
且，解得，
从而当，或，时的长度最小，
当，时，，，长度为；
当，时，，，长度为．
所以的长度的最小值是．
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
20．若集合，满足，则称，为集合的一种分拆，并规定：当且仅当时，，与，为集合的同一种分拆，写出集合，的不同分拆．
【解答】解：当集合时，，，，此时只有一种分拆；
当为单元素时，
若，则，或，；
若，则，或，．
此时有4种分拆；
当中含有两个元素时，，，
可取的任何子集，此时有4种分拆．
综上，共有9种不同分拆．
21．对于集合，定义函数
对于两个集合，，定义运算．
（1）若，2，，，3，4，，写出（1）与（1）的值，并求出；
（2）证明：；
（3）证明：运算具有交换律和结合律，即，．
【解答】解：（1），2，，，3，4，，
（1），（1），
，4，；
（2）①当且时，，
所以．所以，
所以，
②当且时，，，
所以．所以，
所以，
③当且时，，．
所以．所以．
所以．
④当且时，．
所以．所以．
所以．
综上，；
（3）因为，，
所以．
因为，，
所以．
22．对非空数集，，定义与的和集，．对任意有限集，记为集合中元素的个数．
（Ⅰ）若集合，1，，，3，5，7，，写出集合与；
（Ⅱ）若集合，，，满足，且，求．
【解答】解：（Ⅰ）集合，1，，，3，5，7，，
根据题意可得：，1，2，3，，
，2，3，4，5，6，7，8，9，10，；
（Ⅱ）集合，，，满足，
，
中至少有个元素，
即，又，
．
23．已知集合是集合的子集，对于，定义．任取的两个不同子集，，对任意．
（Ⅰ）判断（A）（B）是否正确？并说明理由；
（Ⅱ）证明：（A）（B）．
【解答】解：（1）不正确，理由如下：
，2，，，3，，，2，3，，
当时，因为，所以（A），
因为，所以（B），
因为，所以，
此时（A）（B），
所以对任意，（A）（B）不正确．
（2）证明：①若，此时有，
当且时，（A），（B），此时（A）（B）；
当且时，（A），（B），此时（A）（B）；
当且时，（A），（B），此时（A）（B），
因此（A）（B）成立．
②若，则，
此时且，则（A），（B），
此时（A）（B），
因此（A）（B）成立，
综合①②可知，（A）（B）成立．
24．已知实数集，，，，定义（A），，．
（Ⅰ）若，0，1，，求（A）；
（Ⅱ）若（A），，，，12，18，，求集合；
（Ⅲ）若中的元素个数为9，求（A）的元素个数的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）（A），，0，；
（Ⅱ）首先，；
其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负，
记，，，，，不妨设或者，
①当时，，，，，，，，，18，，
相乘可知，，从而，
从而，，，4，，所以，，3，4，；
②当时，与上面类似的方法可以得到，
进而，，，，，从而，2，，，，
所以，，3，4，或者，2，，，；
（Ⅲ）估值构造，需要分类讨论中非负元素个数，
先证明（A），考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时，
集合（A）不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数，接下来分类讨论：
情况一：中没有负数，
不妨设，则，
上式从小到大共有个数，它们都是（A）的元素，这表明（A）；
情况二：中至少有一个负数，设，，，是中的全部负元素，
，，，是中的全部非负元素．
不妨设，
其中，为正整数，，，，
则，
以上是（A）中的个非正数元素，另外，注意到，
它们是（A）中的5个正数，这表明（A）；
综上可知，总有（A），
另一方面，当，，，， 时，（A），，，，，，，中恰有13个元素，
综上所述，（A）中元素个数的最小值为13．重难点突破01：集合中的新定义问题
以集合为载体的新定义题，既强化了集合的相关知识，也考察了学生运用所学知识处理问题的能力，符合高考中以能力立意命题的指导思想，故而是高考的常备题型．求解此类问题的关键是准确理解新定义的含义，再正确运用集合的一些概念和性质就能破题．
一．选择题（共13小题）
1．定义集合且．已知集合，4，，，，则中元素的个数为
A．6 B．5 C．4 D．7
2．对于数集，，定义，，，，，若集合，，则集合中所有元素之和为
A． B． C． D．
3．定义集合，，，设集合，0，，，1，，则中元素的个数为
A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图所示的图中，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，若，，，，，则
A． B． C．或 D．或
5．如图所示的韦恩图中，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，，，，则
A． B． C．或 D．或
6．设数集，，，且，都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是
A． B． C． D．
7．定义集合，的一种运算：，，，若，，，，则中的元素个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图所示的图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，，，3，4，5，6，，则
A．，4，6， B．，4，6， C．，3，4，5，6， D．，2，4，6，
9．如图所示的图中，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，若，，，，3，4，5，6，，则
A．，2，4， B．，4，6， C．，3，4，5，6， D．，2，4，6，
10．设集合，定义：集合，集合，，，集合，分别用，表示集合，中元素的个数，则下列结论可能成立的是
A． B． C． D．
11．对于，表示不超过的最大整数，定义在上的函数，若，则中所有元素的和为
A．12 B．3 C．14 D．15
12．已知有限集，，定义集合，且，表示集合中的元素个数．若，2，3，，，4，，则
A．3 B．4 C．5 D．6
13．对于任意两个正整数，，定义某种运算“※”如下：当，都为正偶数或都为正奇数时，※；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，※，则在此定义下，集合※中的元素个数是
A．10 B．9 C．8 D．7
二．填空题（共6小题）
14．定义两个集合与的差：且，对称差△，若，，则△ ．
15．定义：实数，，，若满足，则称，，是等差的，若满足，则称，，是调和的．已知集合，，集合是集合的三元子集，即，，，若集合中的元素，，既是等差的，又是调和的，称集合为“好集”，则集合为“好集”的个数是 ．
16．对于集合，，，的子集，，，，定义的“特征数列”为，，，，其中，其余项均为0，例如子集，的“特征数列”为0，1，1，0，0，，0．
（1）子集，，，的“特征数列”的前四项和等于 ；
（2）若的子集的“特征数列” ，，，满足，，，的子集的“特征数列”为，，，，满足，，，则的元素个数为 ．
17．对于非空集合，定义若，是两个非空集合，且，则 ；若，，且存在，，则实数的取值范围是 ．
18．定义全集的子集的特征函数，这里表示在全集中的补集，那么对于集合、，下列所有正确说法的序号是 ．
（1）；（2）；（3）；（4）．
19．已知，均为实数，设数集，且数集、都是数集的子集．如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是 ．
三．解答题（共5小题）
20．若集合，满足，则称，为集合的一种分拆，并规定：当且仅当时，，与，为集合的同一种分拆，写出集合，的不同分拆．
21．对于集合，定义函数
对于两个集合，，定义运算．
（1）若，2，，，3，4，，写出（1）与（1）的值，并求出；
（2）证明：；
（3）证明：运算具有交换律和结合律，即，．
22．对非空数集，，定义与的和集，．对任意有限集，记为集合中元素的个数．
（Ⅰ）若集合，1，，，3，5，7，，写出集合与；
（Ⅱ）若集合，，，满足，且，求．
23．已知集合是集合的子集，对于，定义．任取的两个不同子集，，对任意．
（Ⅰ）判断（A）（B）是否正确？并说明理由；
（Ⅱ）证明：（A）（B）．
24．已知实数集，，，，定义（A），，．
（Ⅰ）若，0，1，，求（A）；
（Ⅱ）若（A），，，，12，18，，求集合；
（Ⅲ）若中的元素个数为9，求（A）的元素个数的最小值．重难点突破02：一元二次方程根的分布情况
一元二次方程根的“0”分布
一元二次方程根的“0”分布是指方程的根相对于零的关系.(如两根同正、两根同负、两根一正一负)
设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根分别为x1,x2,且x1≤x2.
[性质1] x1>0,x2>0
(两个正根)
[推广1]x1>0,x2>0 或
上述推论结合二次函数图象不难得到.
[性质2] x1<0,x2<0
(两个负根)
[推广2]x1<0,x2<0 或
由二次函数图象易知它的正确性.
[性质3] x1<0一元二次方程根的“k”分布(a>0)
分布情况 满足条件 大致图象
x1,x2x1,x2>k
x14.一元二次方程根在区间上的分布(a>0)
分布情况 满足条件 大致图象
x1,x2∈(m,n)
x1 (m,n),x2∈(m,n) f(m)·f(n)<0
x1∈(m,n),x2∈(p,q)
一．选择题（共11小题）
1．已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的值为
A． B． C． D．
【解答】解：一元二次方程有两个实数根，，且，
令，
则，即，解得，
，
．
故选：．
2．设，是关于的方程的根．若，，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知，函数开口方向向上，
若，，则函数须同时满足三个条件：
当时，，代入解得，恒成立；
当时，，代入解得，；
当时，，代入解得，
综上，实数的取值范围是．
故选：．
3．已知方程有两个不相等的实数根，且都大于2，则实数的取值范围是
A．，， B．
C． D．，，
【解答】解：令，
则由已知可得函数与轴有两个不同的交点，且都在2的右侧，
如图所示：
由图可得：，解得：，
故的取值范围为：，
故选：．
4．若方程有两个不相等的实数根，且仅有一个根在区间内，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：因为方程有两个不相等的实数根，且仅有一个根在区间内，
所以①当（2）（3）时，，解得；
②令（2），得，方程，另一解为，不适合；
③令（3），得，方程，另一解为，不适合，
综上实数的取值范围是，
故选：．
5．关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：设，
因为方程在上有两个不相等的实根，
所以，
解得．
故选：．
6．若函数在区间上有两个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得，
所以，
设的两个零点为，，则，
所以（1）．
故选：．
7．若一元二次方程不等于有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：一元二次方程不等于有一个正根和一个负根，
，求得．
故选：．
8．一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充要条件是
A． B． C． D．
【解答】解：因为一元二次方程有一个正根和一负根，设两根为和，
所以，解得，故．
故选：．
9．已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是
A． B．，
C．，， D．，
【解答】解：因为一元二次方程的两根都在内，
可设，则，
解得，
所以实数的取值范围是，．
故选：．
10．已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是
A．， B．
C．，， D．，，
【解答】解：因为关于的方程在区间内有实根，
所以在区间内有实根，
令，，所以在上单调递减，
所以（2）（1），即，，
依题意与在内有交点，
所以．
故选：．
11．已知方程有两根，一根在，而另一根在，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【解答】解：设，
则的一个零点在，内，另一零点在内，
，，
实数的取值范围为，，
故选：．
二．填空题（共9小题）
12．已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为 ．
【解答】解：令，
根据题意得，即，
由①得：，由②得：，由③得：，
求交集得：，
故的取值范围为．
故答案为：．
13．设，关于的方程有两实数根，，且，则实数的取值范围是 ，， ．
【解答】解：设，
由，是的两个零点，且，
可得，即，
即，
所以或．
故答案为：，，．
14．方程的一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：由题意得，
解得，
故答案为：．
15．已知关于的方程有两个实数根，且一根小于，一根大于，则实数的取值范围为 ．
【解答】解：设，
由题意可知，
即，
解得，
即实数的取值范围为．
故答案为：．
16．关于的方程有两实根，且一个大于4，一个小于4，则的取值范围为 ， ．
【解答】解：令，
由题意可得或，
即或，解得，
故实数的取值范围为，，
故答案为：，．
17．二次方程的两个根与，当，时，则实数的取值范围为 ．
【解答】解：由已知设，
则当，时，
满足，解得，即，
故答案为：．
18．已知函数有一个零点在区间内，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：，，函数的零点为，不满足题意；
当时，若二次函数只有一个零点，则△，解得：，
此时的零点为，不满足题意：
若二次函数有两个零点，有且只有一个零点在区间中，则（1），
解得，检验：当，时，，即两个零点异号，
因此当（1），时，函数有且只有一个零点在区间内，
当若二次函数有两个零点，两个零点在区间中时，
，即，无解，故不存在两个零点在区间内，
综上，的取值范围为：，．
故答案为：，．
19．方程的一根在内，另一根在内，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：设，
则的一个零点在内，另一零点在内．
，即，
解得．
故答案为
20．一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：依题意可得设函数，
因为一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，
所以，
解得．
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
21．已知二次函数，在下列条件下，求实数的取值范围．
（1）两根均大于1；
（2）一个根大于1，一个根小于1．
【解答】解：（1）因为方程的两根均大于1，
所以，解得，
即的取值范围为；
（2）由可得，
因为方程的一个根大于1，一个根小于1，
所以（1），解得．
即的取值范围为．
22．设二次函数．
（1）若该二次函数无零点，求实数的取值范围；
（2）方程的两根为，，若，，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）若函数无零点，
则判别式△，解得，
即实数的范围为；
（2）因为方程的两根，，
则，即，解得，
即实数的范围为，．
23．设二次函数．
（1）若，，且有两个零点，求的取值范围；
（2）若的解集是，求不等式的解集．
【解答】解：（1）当，时，，
因为有两个零点，
所以△，即，
故的取值范围；
（2）由的解集是知：且，2是方程的两根，
由韦达定理知：，，
由得：，，，
解得或，
故不等式的解集为．
24．已知关于的方程．
（1）若方程无实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程有两个小于的实数根，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为方程无实数根，
所以△，解得，
即实数的取值范围为；
（2）设，
方程有两个小于的实数根，
则，解得，
故的取值范围为，．
25．关于的方程的两个实根，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）关于的方程的两个实根，，
，，
令，
，求得，
故实数的取值范围为．
（2）若，则，即，
求得．重难点突破02：一元二次方程根的分布情况
一元二次方程根的“0”分布
一元二次方程根的“0”分布是指方程的根相对于零的关系.(如两根同正、两根同负、两根一正一负)
设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根分别为x1,x2,且x1≤x2.
[性质1] x1>0,x2>0
(两个正根)
[推广1]x1>0,x2>0 或
上述推论结合二次函数图象不难得到.
[性质2] x1<0,x2<0
(两个负根)
[推广2]x1<0,x2<0 或
由二次函数图象易知它的正确性.
[性质3] x1<0一元二次方程根的“k”分布(a>0)
分布情况 满足条件 大致图象
x1,x2x1,x2>k
x14.一元二次方程根在区间上的分布(a>0)
分布情况 满足条件 大致图象
x1,x2∈(m,n)
x1 (m,n),x2∈(m,n) f(m)·f(n)<0
x1∈(m,n),x2∈(p,q)
一．选择题（共11小题）
1．已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的值为
A． B． C． D．
2．设，是关于的方程的根．若，，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
3．已知方程有两个不相等的实数根，且都大于2，则实数的取值范围是
A．，， B．
C． D．，，
4．若方程有两个不相等的实数根，且仅有一个根在区间内，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
5．关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
6．若函数在区间上有两个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
7．若一元二次方程不等于有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
8．一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充要条件是
A． B． C． D．
9．已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是
A． B．，
C．，， D．，
10．已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是
A．， B．
C．，， D．，，
11．已知方程有两根，一根在，而另一根在，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
二．填空题（共9小题）
12．已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为 ．
13．设，关于的方程有两实数根，，且，则实数的取值范围是 ．
14．方程的一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围是 ．
15．已知关于的方程有两个实数根，且一根小于，一根大于，则实数的取值范围为 ．
16．关于的方程有两实根，且一个大于4，一个小于4，则的取值范围为 ．
17．二次方程的两个根与，当，时，则实数的取值范围为 ．
18．已知函数有一个零点在区间内，则实数的取值范围是 ．
19．方程的一根在内，另一根在内，则实数的取值范围是 ．
20．一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数的取值范围是 ．
三．解答题（共5小题）
21．已知二次函数，在下列条件下，求实数的取值范围．
（1）两根均大于1；
（2）一个根大于1，一个根小于1．
22．设二次函数．
（1）若该二次函数无零点，求实数的取值范围；
（2）方程的两根为，，若，，求实数的取值范围．
23．设二次函数．
（1）若，，且有两个零点，求的取值范围；
（2）若的解集是，求不等式的解集．
24．已知关于的方程．
（1）若方程无实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程有两个小于的实数根，求实数的取值范围．
25．关于的方程的两个实根，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
