专题01 集合
目录
题型一： 集合的基本概念 4
题型二： 集合间的基本关系 10
题型三： 集合的运算 16
题型四： 求参数的取值范围 21
题型五： 集合中的新定义问题 24
集合的概念
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
注意
N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.
集合间的基本关系
表示
关系 文字语言 符号语言 Venn图
集合间的基本关系 相等 构成两个集合的元素是一样的 A B且B A A＝B
子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A B或B A
真子集 集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且x A AB或BA
结论 任何一个集合是它本身的子集 A A
若A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集 A B，B C A C
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 A B (B≠ )
集合的基本运算
并集 交集 补集
图形 表示
符号 表示 A∪B＝ {x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} UA＝{x|x∈U，且x A}
性质 A∪ ＝A； A∪A＝A； A∪B＝B∪A； A∪B＝A B A A∩ ＝ ； A∩A＝A； A∩B＝B∩A； A∩B＝A A B A∪( UA)＝U； A∩( UA)＝ ； U( UA)＝A； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)； U(A∪B)＝( UA)∩( UB)
区分下列集合的表示含义
集合 {x|f(x)＝0} {x|f(x)>0} {x|y＝f(x)} {y|y＝f(x)} {(x，y)|y＝f(x)}
含义 方程f(x)＝0的解集 不等式f(x)>0的解集 函数y＝f(x)的定义域 函数y＝f(x)的值域 函数y＝f(x)图象上的点
【常用结论与知识拓展】
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
(2)A (A∪B)，B (A∪B)．
(3)(A∩B) A，(A∩B) B.
(4)A∩B＝A∪B A＝B.
(5)A B A∩B＝A A∪B＝B ( UA) ( UB) A∩( UB)＝ .
(6)如图所示，用集合A，B表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B，A∩( UB)，B∩( UA)， U(A∪B)．
(7)用card(A)表示有限集合A中元素的个数．对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).
集合的基本概念
【要点讲解】
用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合。集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性。分类讨论的思想方法常用于解决集合问题
（2022 长沙模拟）已知集合，，下列选项中均为的元素的是
（1）；
（2）；
（3）；
（4），．
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
【解答】解：集合，，
则，，，，，
故选：．
（2022秋 宜阳县校级月考）集合的元素个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：由题意知，，都是16的正整数因数，
故的取值有：1，2，4，8，16，
故集合，2，4，8，，
故共有5个元素．
故选：．
（2022秋 南昌期末）已知集合，，，则中元素的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因为集合，，，
所以当时，，
即集合，
所以集合中元素个数为1个，
故选：．
（2022 道里区校级四模）已知集合，则中元素的个数为
A．9 B．10 C．11 D．12
【解答】解：由椭圆的性质得，
又，，
所以集合，，，，，，，，，，共有11个元素．
故选：．
（2022 河北模拟）已知集合，2，，，，，则中所含元素的个数为
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：由，2，，，，，
当时，，2，满足集合．
当时，，3；满足集合．
当时，，3；满足集合．
共有6个元素．
故选：．
（2022秋 西安）集合，2，，，3，，，，，则中的元素个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：因为集合，2，，，3，，，，，
所以的值可能为：、、、、、、、、，
所以中元素只有：3，4，5，6，7，共5个，
故选：．
（2022秋 汉滨区）已知集合，0，1，，，，，则集合中所有的元素之和为
A．0 B．2 C． D．
【解答】解：，0，1，，，，，
①当时，，时，，；时，，满足条件；
②当时，，，满足条件；
③当时，，，满足条件；
④当时，，，满足条件．
从而得到，，，，
集合中所有元素之和为．
故选：．
（2023 潍坊模拟）已知集合，0，，，，则集合中所有元素之和为
A．0 B．1 C． D．
【解答】解：根据条件分别令，0，1，解得，
又，所以，，
所以集合中所有元素之和是，
故选：．
（2022秋 武陵区）若关于的方程的解集中有且仅有一个元素，则实数的值组成的集合中的元素个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：若，则，解集中有且仅有一个元素，成立；
若，△，则．
故实数的值组成的集合中的元素个数为2．
故选：．
（2021 江西模拟）已知集合，只有一个元素，则的取值集合为
A． B． C．，， D．，
【解答】解：只有一个元素，
方程只有一个解，
①时满足题意；
②时，△，解得，
的取值集合为，．
故选：．
（2023 延边州二模）已知集合的元素只有一个，则实数的值为
A． B．0 C．或0 D．无解
【解答】解：集合有一个元素，即方程有一解，
当时，，符合题意，
当时，有一解，
则△，解得：，
综上可得：或，
故选：．
（2022秋 山西）已知集合中元素满足，且，，则
A． B． C． D．
【解答】解：，
，解得，
又，
，解得，
．
故选：．
（2022 聊城二模）已知集合，1，，，，则集合中元素个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：集合，1，，，，
当，，1，2时，，
当，，1，2时，，1，2，
当，，1，2时，，2，4，
集合，1，2，，
集合中元素个数为4．
故选：．
（2021 麒麟区校级模拟）设集合，0，1，，，，，，，则集合中元素的个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：当，时，，当，时，，
当，时，，当，时，，
当，时，，当，时，，
当，时，，当，时，，、
故，，0，1，2，，即中元素的个数为6个．
故选：．
（2022 全国一模）已知集合，3，4，5，，，，，则中所含元素的个数为
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：由，3，4，5，，，，，
当时，，5，6，
当时，，6，
当时，，
所以，，，，，，，
所以中所含元素个数为6个．
故选：．
（2022 全国一模）已知集合，3，4，5，，，，，则中所含元素的个数为
A．3 B．6 C．8 D．10
【解答】解：，，，，3，4，5，，
当时，，3，2；
当时，，2；
当时，；
故中所含元素的个数为6，
故选：．
（2022秋 川汇区校级期末）已知集合，2，，，，中所含元素的个数为
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：由，2，，，，，
当时，，2，满足集合，
当时，，3；满足集合，
当时，，3；满足集合，
共有6个元素．
故选：．
集合间的基本关系
【要点讲解】
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系。常用数轴、Venn图来直观解决这类问题。
（2023 咸阳模拟）设集合，则集合的真子集个数是
A．6 B．7 C．8 D．15
【解答】解：因为，
所以，2，，
所以集合的真子集个数是．
故选：．
（2023 黄埔区校级模拟）设集合，，则集合的真子集个数为
A．8 B．7 C．4 D．3
【解答】解：集合，，，1，，
则集合中元素个数为3个，
故集合的真子集个数为．
故选：．
（2023 乌鲁木齐模拟）已知集合满足，，2，3，，那么这样的集合的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：，，2，3，，
要确定集合，只需确定1和4是否放置在其中，
共有4种情况，，，，2，，，3，，，2，3，．
故选：．
（2023 全国二模）下列集合关系中错误的是
A．， B．， C． D．，，
【解答】解：对于：集合为点集，含有元素，集合，含有两个元素，，
所以不包含于，，故错误；
对于，，故正确；
对于，故正确；
对于：因为，，，所以，，，故正确；
故选：．
（2022秋 阜南县校级月考）已知集合，，则下列说法正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：集合，，
，
故选：．
（2022 全国四模）已知，，则集合、之间的关系为
A． B． C． D．
【解答】解：，
且，
则，
故选：．
（2023 重庆模拟）已知集合，，则下列关系正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：，，，，．
故选：．
（2022 河南模拟）已知集合，，则
A． B． C． D．
【解答】解：，，当时，是奇数，是整数，．
故选．
（2023 延庆区一模）已知集合，，，0，，且，则等于
A．1 B．0 C． D．
【解答】解：集合，，，0，，且，
，
．
故选：．
（2023 香坊区校级一模）已知集合，，，若，则实数的取值集合为
A．，， B． C． D．，，0，
【解答】解：集合，，，
若，则实数的取值集合为，
又集合元素具有互异性，的取值集合为．
故选：．
（2023 湖南模拟）已知集合，，且，则实数的取值范围为
A． B．， C．， D．，
【解答】解：，，，
，，
则实数的取值范围为，．
故选：．
（2023 北碚区校级模拟）已知集合，4，，，，若，则实数组成的集合为
A． B．， C．，0， D．，0，1，
【解答】解：集合，4，，，，，
则，解得或，满足题意，
，解得或1，
当时，符合题意，
当时，集合不满足集合元素的互异性，舍去，
故实数组成的集合为，0，．
故选：．
（2023 大荔县一模）设三元集合，则 1 ．
【解答】解：依题意，，
则，解得，，
此时两个集合都是，0，，符合题意，
故．
故答案为：1．
（2022秋 新北区校级月考）已知集合，，，，，，若，则 ．
【解答】解：由题意可知，或，
当时，无意义，
则，
故，0，，，，，
，
，解得或，
当时，，0，，，1，，不符合集合的互异性，
故，
．
故答案为：．
（2022 海口模拟）已知集合，0，，，若，则实数
A．2 B．1 C．0 D．
【解答】解：对于集合，因为△，
所以中有两个元素，且乘积为，
又因为，所以，，所以．即．
故选：．
（2023 铁岭模拟）设，，若，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：，
，，
．
故选：．
（2023 2月份模拟）设集合，3，，，，，．若，，则
A． B． C．1 D．3
【解答】解：集合，3，，，，，，，，
，
解得．
故选：．
（2022 攀枝花模拟）设集合，，若，则实数的取值范围是
A． B．， C． D．，
【解答】解：或，
，若，
，则实数的取值范围是，．
故选：．
（2022 朝阳区校级三模）已知集合，，若，则实数的取值组成的集合是
A． B． C．， D．，0，
【解答】解：集合，，集合中至多有一个元素，
若集合为空集，即时，显然满足条件，故成立，
若集合非空集，即，此时，
若，则，若，则，
故的取值集合为，，．
故选：．
集合的运算
【要点讲解】
集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成人手是解决集合运算问题的前提。有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决。集合之间的运算要注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图。
（2023 乌鲁木齐三模）设集合，0，1，，，则的子集个数为
A．2 B．4 C．8 D．16
【解答】解：因为，所以，，，
则集合的元素个数为2，因此，的子集个数为．
故选：．
（2023 全国卷模拟）已知集合，，则
A． B．
C．或 D．或
【解答】解：解得或，故或，
解不等式得，故，
所以或．
故选：．
（2023 天津一模）设全集，，0，1，，集合，，，1，，则
A． B．，， C．， D．，1，
【解答】解：因为全集，，0，1，，，1，，则，，
又因为集合，，因此，，．
故选：．
（2023 全国三模）设集合，则
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：，，
，．
故选：．
（2023 合肥三模）已知集合，集合，则集合的元素个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由，消去得，即，
解得或（舍去），
所以或，
即函数与有两个交点，
又集合，集合，
所以，
即集合的元素个数为2个．
故选：．
（2023 毕节市模拟）已知集合，，则如图中阴影部分表示的集合为
A． B．， C．，2， D．
【解答】解：依题意，，0，1，2，，而阴影部分表示的集合是，
又，则，
所以，2，．
故选：．
（2023 吉林模拟）已知全集，集合，，，则下图阴影部分所对应的集合为
A． B． C．或 D．
【解答】解：由题意知，，
则，，
由图可知阴影部分所对应的集合为，．
故选：．
（2022春 下期末）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为
A．， B．， C． D．，
【解答】解：，，
，
．
故选：．
（2023 商洛二模）设集合，，，．若，则
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：因为，
所以，解得，
则的解为或，
所以，．
故选：．
（2023 宜章县模拟）已知集合，，若，则
A． B． C．2 D．6
【解答】解：因为集合，，且，
则有，所以．
故选：．
（2023 济宁二模）已知集合，5，，，，若，则
A． B． C．2 D．3
【解答】解：因为，
所以或，
当时，即，
则，5，，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，或，
当时，，5，，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，，5，，，满足题意，
所以．
故选：．
（2013 武昌区校级模拟）若集合，，且，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，
，，
，则
故选：．
（2010 项城市校级模拟）已知：，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1），（2分）
若，则，，解得：（5分）
（2）若，则
①若为空集，则△
则；（8分）
②若为单元集，则△
解得：，将代入方程得：得：即符合要求；（11分）
③若，，则（13分）
综上所述，或．（14分）
求参数的取值范围
【要点讲解】
根据集合的运算结果求参数时，可先把符号语言转化为文字语言，然后应用数形结合法求解。
（2023 郴州模拟）已知集合，，，若，则实数的取值范围是
A．， B．， C．， D．
【解答】解：，，，，
，，
的取值范围是：，．
故选：．
（2023 山西模拟）已知集合，若，则实数的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：因为，
所以，2，3，4，，即，2，3，4，，
因为，所以，又，
所以，
故实数的取值范围是，．
故选：．
（2023 怀仁市校级四模）已知集合，若，则实数的取值范围为
A．， B．， C． D．，
【解答】解：，，，
因为，所以的取值范围为．
故选：．
（2023 茂名二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是
A． B．， C． D．，
【解答】解：由已知可得，
，
因为，所以，
即，
故选：．
（2023 黄山模拟）已知集合，，且，则实数的取值范围为
A．， B．， C． D．，
【解答】解：因为，所以，
又，所以，
又，所以，解得，
即实数的取值范围为，．
故选：．
（2023 乐山三模）已知集合，，且，则实数的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：集合，
，且，
，
则实数的取值范围是，．
故选：．
（2023 四川模拟）设集合，，集合中恰好含有2个元素，则实数的取值范围为
A． B．， C．， D．，
【解答】解：，2，，
，
因为集合中恰好含有2个元素，
所以．
故选：．
（2023 铁岭模拟）设，，若，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：，
，，
．
故选：．
（2023 湖北模拟）已知集合，，若中有且仅有三个整数，则正数的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，，
若中有且仅有三个整数，则只能是，0，1，
故，解得．
故选：．
集合中的新定义问题
【要点讲解】
集合新定义问题的“三定”：一定元素，确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素；二定运算，根据要求及新定义，将所求集合的运算转化为集合的交集、并集与补集的基本运算，或转化为数的有关运算；三定结果，根据新定义，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素。
（2023 五河县模拟）对于数集，，定义，，，，，若集合，，则集合中所有元素之和为
A． B． C． D．
【解答】解：，，
或2，
，，，3，，
，3，4，1，，
元素之和为，
故选：．
（2023 湖北模拟）用（A）表示非空集合中的元素个数，定义若，，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于
A．7 B．5 C．3 D．1
【解答】解：由题意知，（A），
，
，
（B）或（B），
即方程有1个根或3个根，
若，
则或，
若，则或，
当时，，（B），符合题意；
当时，对应的根为0和，
若（B），则有以下两种情况，
①当有两个相等的实数根时，
△，
解得，
当时，，，，
（B），符合题意；
当时，，，，
（B），符合题意；
②当有两个不相等的实数根时，
则是的一个根，
即，
无解；
综上所述，，，；
故，
故选：．
（2022 长丰县校级模拟）若，，定义且，则
A．或 B．或
C． D．
【解答】解：根据题意可化简两集合为，，，，
且，又，，，，
，，
故选：．
一．选择题（共12小题）
1．（2023 南通二模）已知，为的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：，
，
，，错误；时，，错误；，，错误．
故选：．
2．（2022 渭滨区校级模拟）设集合，，，若，则
A．或或2 B．或 C．或2 D．或2
【解答】解：若，则，
，
，4，；
若，则或，
时，，
，，；
时，（舍，
故选：．
3．（2023 江西模拟）已知集合，，，，，，若，则
A． B．0 C．1 D．2
【解答】解：，
或，解得，，
．
故选：．
4．（2023 定西模拟）已知集合，，则
A． B． C． D．
【解答】解：集合，，
，，，
因此选项正确，选项，，错误；
故选：．
5．（2023 河南模拟）已知集合为英文单词“”的字母组成的集合，集合为英文单词“”的字母组成的集合，则集合的子集个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：，，，，，，，
，，
子集的个数为：．
故选：．
6．（2023 西宁一模）已知集合，，，则中元素的个数为
A．3 B．4 C．8 D．9
【解答】解：集合，，元素：
，，，共四个元素，
故选：．
7．（2021 江西模拟）已知集合，，，若，则符合条件的实数的值组成的集合为
A．， B．， C．，0， D．，
【解答】解：
当时，满足要求；
当时，
或
或
综上，，0，．
故选：．
8．（2023 渝中区校级一模）已知集合，，，则
A．， B． C． D．
【解答】解：，，
而，满足，
，
故，
故选：．
9．（2023 福建二模）是正整数集的子集，满足：，，，并有如下性质：若，，则，则的非空子集数为
A．2022 B．2023 C． D．
【解答】解：由题意可知：若，，则，，，均属于，
而事实上，若，，中，
所以，
故，中有正整数，
从而中相邻两数不可能大于等于2，
故2，3，，，
若，，则有，与矛盾，
故，2，，，
所以非空子集有个．
故选：．
10．（2021 石家庄模拟）已知集合，，，，，，，若，则
A． B．2 C． D．1
【解答】解：，
①当时，解得，，
②当时，解得，此时，1，，与互异性矛盾，
综上，．
故选：．
11．（2023 桃城区校级模拟）已知集合，，则下列结论中正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：集合，或，
项，集合不是集合的子集，错误；
项，，错误；
项，，，不是的子集，错误；
项，，不为空集，正确．
故选：．
12．（2023 南京二模）集合的子集个数为
A．2 B．4 C．8 D．16
【解答】解：，，
的子集个数为．
故选：．
二．多选题（共2小题）
13．（2022 泉州模拟）已知集合，均为的子集，若，则
A． B．
C． D．
【解答】解：根据条件画出图如下：
则：，，．
故选：．
14．（2021 武汉模拟）图中矩形表示集合，，是的两个子集，则阴影部分可以表示为
A． B． C． D．
【解答】解：由图知，阴影部分中的元素在集合中但不在集合中，
所以阴影部分所表示的集合是，，，
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．（2010 南通模拟）记集合，1，2，3，4，5，，，将中的元素按从大到小的顺序排列，则第2009个数是 ．
【解答】解：解法一：中的元素为
，故从大到小排列第2009个数是．
解法二：根据题意，发现是关于类似7进制的转换问题，从大到小排序的第一个是
6666（7）（7）
所以第2009个数就是：
6666（7）（7）
即1100（7）
故本题的答案即为；
故答案为：．
16．（2022 宝山区模拟）已知集合，，，是虚数单位，对任意，，可以相等）均有，则符合条件的元素个数最多的集合 ，，， ．
【解答】解：因为，对任意，，有，所以，，，
假设中有不为1的元素，不妨设其为：，且，不同时为0，有，
则，
其中，，且，不同时为0，
因此，，，且，
又，，
，
同理，，
或，即或，
时，，，，此时，或；
时，，，又不为1，故，此时，，
因此，符合条件的元素个数最多的集合，，，，
故答案为：，，，．
17．（2012 南通模拟）已知数集，0，中有3个元素，则实数不能取的值构成的集合为 ， ．
【解答】解：由集合中元素的互异性可得，，解得，且，
故实数不能取的值构成的集合为，．
18．（2018 武清区校级模拟）用列举法表示集合 ，，6，3，2，
【解答】解：根据，且可得：
时，；时，；时，；
时，；时，；时，；
，，6，3，2，．
故答案为：，，6，3，2，．
21．（2023 沛县校级模拟）设，，若，求实数的取值范围．
【解答】解：由，得，
，
由，得，
，
，
，
．专题01 集合
目录
题型一： 集合的基本概念 4
题型二： 集合间的基本关系 6
题型三： 集合的运算 9
题型四： 求参数的取值范围 11
题型五： 集合中的新定义问题 12
集合的概念
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
注意
N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.
集合间的基本关系
表示
关系 文字语言 符号语言 Venn图
集合间的基本关系 相等 构成两个集合的元素是一样的 A B且B A A＝B
子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A B或B A
真子集 集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且x A AB或BA
结论 任何一个集合是它本身的子集 A A
若A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集 A B，B C A C
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 A B (B≠ )
集合的基本运算
并集 交集 补集
图形 表示
符号 表示 A∪B＝ {x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} UA＝{x|x∈U，且x A}
性质 A∪ ＝A； A∪A＝A； A∪B＝B∪A； A∪B＝A B A A∩ ＝ ； A∩A＝A； A∩B＝B∩A； A∩B＝A A B A∪( UA)＝U； A∩( UA)＝ ； U( UA)＝A； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)； U(A∪B)＝( UA)∩( UB)
区分下列集合的表示含义
集合 {x|f(x)＝0} {x|f(x)>0} {x|y＝f(x)} {y|y＝f(x)} {(x，y)|y＝f(x)}
含义 方程f(x)＝0的解集 不等式f(x)>0的解集 函数y＝f(x)的定义域 函数y＝f(x)的值域 函数y＝f(x)图象上的点
【常用结论与知识拓展】
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
(2)A (A∪B)，B (A∪B)．
(3)(A∩B) A，(A∩B) B.
(4)A∩B＝A∪B A＝B.
(5)A B A∩B＝A A∪B＝B ( UA) ( UB) A∩( UB)＝ .
(6)如图所示，用集合A，B表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B，A∩( UB)，B∩( UA)， U(A∪B)．
(7)用card(A)表示有限集合A中元素的个数．对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).
集合的基本概念
【要点讲解】
用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合。集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性。分类讨论的思想方法常用于解决集合问题
（2022 长沙模拟）已知集合，，下列选项中均为的元素的是
（1）；
（2）；
（3）；
（4），．
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
（2022秋 宜阳县校级月考）集合的元素个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
（2022秋 南昌期末）已知集合，，，则中元素的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
（2022 道里区校级四模）已知集合，则中元素的个数为
A．9 B．10 C．11 D．12
（2022 河北模拟）已知集合，2，，，，，则中所含元素的个数为
A．2 B．4 C．6 D．8
（2022秋 西安）集合，2，，，3，，，，，则中的元素个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
（2022秋 汉滨区）已知集合，0，1，，，，，则集合中所有的元素之和为
A．0 B．2 C． D．
（2023 潍坊模拟）已知集合，0，，，，则集合中所有元素之和为
A．0 B．1 C． D．
（2022秋 武陵区）若关于的方程的解集中有且仅有一个元素，则实数的值组成的集合中的元素个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
（2021 江西模拟）已知集合，只有一个元素，则的取值集合为
A． B． C．，， D．，
（2023 延边州二模）已知集合的元素只有一个，则实数的值为
A． B．0 C．或0 D．无解
（2022秋 山西）已知集合中元素满足，且，，则
A． B． C． D．
（2022 聊城二模）已知集合，1，，，，则集合中元素个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
（2021 麒麟区校级模拟）设集合，0，1，，，，，，，则集合中元素的个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
（2022 全国一模）已知集合，3，4，5，，，，，则中所含元素的个数为
A．2 B．3 C．4 D．6
（2022 全国一模）已知集合，3，4，5，，，，，则中所含元素的个数为
A．3 B．6 C．8 D．10
（2022秋 川汇区校级期末）已知集合，2，，，，中所含元素的个数为
A．2 B．4 C．6 D．8
集合间的基本关系
【要点讲解】
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系。常用数轴、Venn图来直观解决这类问题。
（2023 咸阳模拟）设集合，则集合的真子集个数是
A．6 B．7 C．8 D．15
（2023 黄埔区校级模拟）设集合，，则集合的真子集个数为
A．8 B．7 C．4 D．3
（2023 乌鲁木齐模拟）已知集合满足，，2，3，，那么这样的集合的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023 全国二模）下列集合关系中错误的是
A．， B．， C． D．，，
（2022秋 阜南县校级月考）已知集合，，则下列说法正确的是
A． B． C． D．
（2022 全国四模）已知，，则集合、之间的关系为
A． B． C． D．
（2023 重庆模拟）已知集合，，则下列关系正确的是
A． B． C． D．
（2022 河南模拟）已知集合，，则
A． B． C． D．
（2023 延庆区一模）已知集合，，，0，，且，则等于
A．1 B．0 C． D．
（2023 香坊区校级一模）已知集合，，，若，则实数的取值集合为
A．，， B． C． D．，，0，
（2023 湖南模拟）已知集合，，且，则实数的取值范围为
A． B．， C．， D．，
（2023 北碚区校级模拟）已知集合，4，，，，若，则实数组成的集合为
A． B．， C．，0， D．，0，1，
（2023 大荔县一模）设三元集合，则 ．
（2022秋 新北区校级月考）已知集合，，，，，，若，则 ．
（2022 海口模拟）已知集合，0，，，若，则实数
A．2 B．1 C．0 D．
（2023 铁岭模拟）设，，若，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
（2023 2月份模拟）设集合，3，，，，，．若，，则
A． B． C．1 D．3
（2022 攀枝花模拟）设集合，，若，则实数的取值范围是
A． B．， C． D．，
（2022 朝阳区校级三模）已知集合，，若，则实数的取值组成的集合是
A． B． C．， D．，0，
集合的运算
【要点讲解】
集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成人手是解决集合运算问题的前提。有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决。集合之间的运算要注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图。
（2023 乌鲁木齐三模）设集合，0，1，，，则的子集个数为
A．2 B．4 C．8 D．16
（2023 全国卷模拟）已知集合，，则
A． B．
C．或 D．或
（2023 天津一模）设全集，，0，1，，集合，，，1，，则
A． B．，， C．， D．，1，
（2023 全国三模）设集合，则
A．， B．， C．， D．，
（2023 合肥三模）已知集合，集合，则集合的元素个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023 毕节市模拟）已知集合，，则如图中阴影部分表示的集合为
A． B．， C．，2， D．
（2023 吉林模拟）已知全集，集合，，，则下图阴影部分所对应的集合为
A． B． C．或 D．
（2022春 下期末）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为
A．， B．， C． D．，
（2023 商洛二模）设集合，，，．若，则
A．， B．， C．， D．，
（2023 宜章县模拟）已知集合，，若，则
A． B． C．2 D．6
（2023 济宁二模）已知集合，5，，，，若，则
A． B． C．2 D．3
（2013 武昌区校级模拟）若集合，，且，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
（2010 项城市校级模拟）已知：，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
求参数的取值范围
【要点讲解】
根据集合的运算结果求参数时，可先把符号语言转化为文字语言，然后应用数形结合法求解。
（2023 郴州模拟）已知集合，，，若，则实数的取值范围是
A．， B．， C．， D．
（2023 山西模拟）已知集合，若，则实数的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
（2023 怀仁市校级四模）已知集合，若，则实数的取值范围为
A．， B．， C． D．，
（2023 茂名二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是
A． B．， C． D．，
（2023 黄山模拟）已知集合，，且，则实数的取值范围为
A．， B．， C． D．，
（2023 乐山三模）已知集合，，且，则实数的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
（2023 四川模拟）设集合，，集合中恰好含有2个元素，则实数的取值范围为
A． B．， C．， D．，
（2023 铁岭模拟）设，，若，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
（2023 湖北模拟）已知集合，，若中有且仅有三个整数，则正数的取值范围是
A． B． C． D．
集合中的新定义问题
【要点讲解】
集合新定义问题的“三定”：一定元素，确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素；二定运算，根据要求及新定义，将所求集合的运算转化为集合的交集、并集与补集的基本运算，或转化为数的有关运算；三定结果，根据新定义，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素。
（2023 五河县模拟）对于数集，，定义，，，，，若集合，，则集合中所有元素之和为
A． B． C． D．
（2023 湖北模拟）用（A）表示非空集合中的元素个数，定义若，，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于
A．7 B．5 C．3 D．1
（2022 长丰县校级模拟）若，，定义且，则
A．或 B．或
C． D．
一．选择题（共12小题）
1．（2023 南通二模）已知，为的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是
A．， B．，
C．， D．，
2．（2022 渭滨区校级模拟）设集合，，，若，则
A．或或2 B．或 C．或2 D．或2
3．（2023 江西模拟）已知集合，，，，，，若，则
A． B．0 C．1 D．2
4．（2023 定西模拟）已知集合，，则
A． B． C． D．
5．（2023 河南模拟）已知集合为英文单词“”的字母组成的集合，集合为英文单词“”的字母组成的集合，则集合的子集个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023 西宁一模）已知集合，，，则中元素的个数为
A．3 B．4 C．8 D．9
7．（2021 江西模拟）已知集合，，，若，则符合条件的实数的值组成的集合为
A．， B．， C．，0， D．，
8．（2023 渝中区校级一模）已知集合，，，则
A．， B． C． D．
9．（2023 福建二模）是正整数集的子集，满足：，，，并有如下性质：若，，则，则的非空子集数为
A．2022 B．2023 C． D．
10．（2021 石家庄模拟）已知集合，，，，，，，若，则
A． B．2 C． D．1
11．（2023 桃城区校级模拟）已知集合，，则下列结论中正确的是
A． B．
C． D．
12．（2023 南京二模）集合的子集个数为
A．2 B．4 C．8 D．16
13．（2022 泉州模拟）已知集合，均为的子集，若，则
A． B．
C． D．
14．（2021 武汉模拟）图中矩形表示集合，，是的两个子集，则阴影部分可以表示为
A． B． C． D．
15．（2010 南通模拟）记集合，1，2，3，4，5，，，将中的元素按从大到小的顺序排列，则第2009个数是 ．
16．（2022 宝山区模拟）已知集合，，，是虚数单位，对任意，，可以相等）均有，则符合条件的元素个数最多的集合 ．
17．（2012 南通模拟）已知数集，0，中有3个元素，则实数不能取的值构成的集合为 ．
18．（2018 武清区校级模拟）用列举法表示集合
21．（2023 沛县校级模拟）设，，若，求实数的取值范围．专题02 常用逻辑用语
目录
题型一： 充要条件 4
题型二： 求参数取值范围 7
题型三： 全称量词命题和存在量词命题 10
题型四： 全称量词和存在量词参数的取值范围 13
题型五： 综合运用 15
充分条件、必要条件与充要条件
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且qp
p是q的必要不充分条件 pq且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp
全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的、任意一个、任给一个、每一个、一切等，用符号“ ”表示；存在量词有：存在一个、至少有一个、有些、有一个、 有的、某一个等，用符号“ ”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为 x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符号简记为 x∈M，p(x)．
含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
x∈M，p(x) x∈M，
x∈M，p(x) x∈M，
注意
含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题；对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其进行否定.
【常用结论与知识拓展】
1.充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p q，且q r” “p r”(“p q，且q r” “p r”)．若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．
2.区别A是B的充分不必要条件(A B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B A且A B)两者的不同．
3.从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为
(1)若A B，则p是q的充分条件；
(2)若A B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；
(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；
(6)若AB且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
4.等价转化法判断充分条件、必要条件：p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．
5.命题p和p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假．
6.常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是
否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有
7.数学定义、判定定理和性质定理与充分、必要、充要条件的关系
(1)每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件．
(2)每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
(3)每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
充要条件
【要点讲解】
确定谁是条件，谁是结论；尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件是结论的充分条件，否则条件就不是结论的充分条件；尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件是结论的必要条件，否则条件就不是结论的必要条件。
设，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当时，必定有成立，故充分性成立；
当时，可得或，故必要性不成立．
故选：．
已知，命题是一元二次方程的一个根，命题，则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：对于命题，为方程的根，则，充分性成立；
对于命题，且，则必是题设方程的一个根，必要性成立；
所以是的充分必要条件．
故选：．
设，是向量，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若“”，则以，为邻边的平行四边形是菱形；
若“”，则以，为邻边的平行四边形是矩形；
故“”是“”的既不充分也不必要条件；
故选：．
设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由“”得，
由得或，
即“”是“”的充分不必要条件，
故选：．
若x，y∈R，则“x＞y”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．|x|＞|y| B．x2＞y2 C． D．2x﹣y＞2
【解答】解：由|x|＞|y|，x2＞y2推不出x＞y，排除AB；
由可得，解得x＞y＞0或x＜y＜0，
所以是x＞y的既不充分也不必要条件，排除C；
，反之不成立，D正确；
故选：D．
设，为两条直线，则的充要条件是
A．，与同一个平面所成角相等
B．，垂直于同一条直线
C．，平行于同一个平面
D．，垂直于同一个平面
【解答】解：对于，如图示：
，与平面所成角都为，但，相交，故错误，
对于，如图示：
，都垂直于轴，但，相交，故错误，
对于，如图示：
，都在上底面与下底面平行，但，相交，故错误，
对于，由，得，垂直于同一个平面，是充分条件，
反之，若，垂直于同一个平面，则，是必要条件，
故选：．
不等式成立的一个充分不必要条件是
A． B．， C． D．，
【解答】解：不等式解得，时，一定有，，而，时，不一定满足，
所以不等式成立的一个充分不必要条件是，
故选：．
复数是纯虚数的充分不必要条件是
A．且 B． C．且 D．
【解答】解：因为复数是纯虚数的充要条件是且，
又因为且是且的充分不必要条件，
所以且是复数为纯虚数的充分不必要条件．
故选：．
求参数取值范围
【要点讲解】
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围的四个步骤：化简两命题；根据与的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系；利用集合间的关系建立不等式；求解参数范围
已知；，若是的充分条件，则实数的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由题意可得，即，解得；
是的充分条件，
，
解得．
故选：．
已知集合，，，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是
A．， B．， C． D．，
【解答】解：集合，，，，“”是“”的充分不必要条件，
则，解得，
故的取值范围为，．
故选：．
已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为
A．， B．， C． D．
【解答】解：由题意集合，，，
若，则，此时，
因为“”是“”的必要不充分条件，故，
故，；
若，则，此时，
因为“”是“”的必要不充分条件，故，
故，；
若，则，此时，满足，
综合以上可得，
故选：．
若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是 ， ．
【解答】解：由题意可知，
当，即时，集合，满足题意，
当，即时，集合或，
，
，
解得，
综上所述，的取值范围是，．
故答案为：，．
若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 ．
【解答】解： “”是“”的充分条件，，，
即实数的取值范围为．
故答案为：．
已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）当时，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）当时，
，
又或，
．
（2）当时，，
是的充分条件，，
或，
或，又，
，
实数的取值范围为，．
全称量词命题和存在量词命题
【要点讲解】
要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每个元素验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要举出集合中的一个，使得不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”，要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合Ｍ中，找到一个，使成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题。提醒：判断全称量词命题为假，只需举一个反例即可；判断存在量词命题为真，只需举一个特例
命题“，”的否定是
A． B．
C．， D．
【解答】解：由题意可得，“，”的否定是．
故选：．
命题：“，”的否定是 ， ．
【解答】解：由全称命题的否定为特称命题知，原命题的否定为，．
故答案为：，．
已知命题，，则为
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：全称命题的否定为特称命题，改变量词，否定结论即可．
即，，
故选：．
下列关于命题的说法错误的是
A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件
C．若命题，，则，
D．命题“，”是真命题
【解答】解：因为命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以正确；
由能得到函数在区间上为增函数，反之，函数在区间上为增函数，不一定大于2，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，所以选项正确；
命题，，的否定为，，所以选项正确；
因为当时恒有，所以命题“，”为假命题，所以不正确．
故选：．
下列命题中，真命题是
A．存在，使得
B．对任意，
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“或是假命题”是“非为真命题”的必要而不充分条件
【解答】解：对于时，，故错误；
对于，故正确；
对于：“”是“”的必要不充分条件，故错误；
对于或是假命题”是“非为真命题”的充分不必要条件，故错误；
故选：．
已知，，命题，，命题，使得，则下列说法正确的是
A．是真命题，，
B．是假命题，，
C．是真命题，，
D．是假命题，，
【解答】解：，由得，由得，
即当时，函数取得极小值，同时也是最小值，
，成立，即是真命题．
在上为增函数，当时，，（1），
则：，使得成立，即命题是真命题．
则，，
，，
综上只有成立，
故选：．
全称量词和存在量词参数的取值范围
【要点讲解】
要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每个元素验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要举出集合中的一个，使得不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”，要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合Ｍ中，找到一个，使成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题。提醒：判断全称量词命题为假，只需举一个反例即可；判断存在量词命题为真，只需举一个特例
已知命题“，，”为真命题，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：因为命题“，，”为真命题，
所以命题“，，”为真命题，
所以，时，，
因为，
所以当，时，，当且仅当时取得等号，
所以，时，，
即实数的取值范围是．
故选：．
若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为 ， ．（用区间表示）
【解答】解：因为，即函数的值域为，，
所以实数的取值范围为，．
故答案为：，．
已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：若，为真命题，等价于，
，当且仅当时，等号成立，
，即，
可得，故实数的取值范围是．
故答案为：．
已知，．若为假命题，则的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：因为为假命题，所以，为真命题，
故当时，恒成立．
因为当时，的最小值为，
所以，即的取值范围为．
故选：．
已知命题，，若为假命题，求实数的取值范围 ， ．
【解答】解：依题意，命题，是假命题，
所以，是真命题，
当时，不等式化为，成立，
当时，不等式化为，，不成立．
当时，不等式化为，成立，
综上所述，的取值范围是，．
故答案为：，．
设命题，．若是假命题，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：是假命题，是真命题，
命题，，
，，，
设，则，在，上单调递增，
，
，
实数的取值范围是，．
故答案为：，．
综合运用
【要点讲解】
在一些逻辑问题中，当题中并未出现“或”“且”“非”时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题
已知函数且函数，则下列选项正确的是
A．点是函数的零点
B．，，使
C．函数的值域为
D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是，
【解答】解：对于选项，零点不是一个点，应该说是函数的零点，故选项错误．
对于选项，当时，，
由可得；由可得．
所以在上单调递减，在单调递增，
所以时，单调递增，则；
当时，，
由可得；由可得．
所以在上单调递减，在上单点递增．
所以时，单调递减，则；
所以，，使，
故选项正确．
对于选项，由选项可得在上单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
又
，则的值域为，
故选项正确．
对于选项，，
若，则．
则关于的方程有两个不相等的实数根，
有两个不相等的实数根，
有一个非零实数根，
函数与有一个交点，且．
当时，，
可以解得在上单调递增，上单调递减，上单点递增，
所以极大值，极小值；
当时，，
可以解得在上单调递减，在单调递增，
极小值．
画出函数的大致图像如下：
由图像可得，只需或，
即的取值范围为，故正确．
故选：．
设，则对任意实数是的
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：，的定义域为
．
是奇函数
在上是增函数
在上是增函数
可得
（a）（b）
（a）（b）成立
若（a）（b）则（a）（b）由函数是增函数知
成立
是（a）（b）的充要条件．
故选：．
已知函数，，若存在，使得，则的取值范围是
A．， B．，，
C． D．，，
【解答】解：当时，，即，则的值域为，，
当时，，即，则的值域为，，
若存在，使得，
则，，，
若，，，
则或，
得或，
则当或，，时，，
即实数的取值范围是，，
故选：．
已知集合，函数．
（1）当时，解关于的不等式；
（2）若命题“存在，使得”为假命题，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）不等式整理得，即，
若，则解集为，，（2分）
若，则解集为，．（4分）
（2），
命题“存在，使得”的否定为：
“对任意的，，均有成立”为真命题，（6分）
即，只需，（8分）
当时，，所以，即．（10分）
（2023 南充模拟）“”是“”的 条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【解答】解：当“”时，“”不成立，
当“”时，整理得：，故“”成立，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
（2023 广东模拟）“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解答】解：“” “”，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：．
（2023 郑州模拟）已知第一象限内的动点在直线的左下方，则是恒成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为第一象限内的动点在直线的左下方，
所以、且，
若恒成立，即恒成立，
因为，
当且仅当时取等号，所以，
所以是恒成立的充分不必要条件．
故选：．
（2023春 郫都区校级期中）“”是“直线与直线平行”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若直线与直线平行，
则，解得，
因此，“”是“直线与直线平行”的充要条件．
故选：．
（2023 温州模拟）“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：设，则，即是增函数，
则时，，即，
即“”是“”的充要条件，
故选：．
（2023 日照二模）已知，，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为定义域上单调递减，
故由得，而定义域上单调递增，故，满足充分性；
又，满足必要性，
故选：．
（2023 青羊区校级模拟）已知，则“”是“有两个不同的零点”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若有两个不同的零点，则△，解得或，
所以“”是“有两个不同的零点”的充分不必要条件．
故选：．
（2023 遂宁模拟）下列说法不正确的是
A．若，则
B．命题，，则，
C．回归直线方程为，则样本点的中心可以为
D．在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的充要条件
【解答】解：对于选项，因为，所以，所以，故正确；
对于选项，根据命题的否定的定义，，，故错误；
对于选项，把代入，得，
所以样本点的中心可以为，故正确；
对于选项，当时，根据三角形中大边对大角，得，
再根据正弦定理得，所以；
当时，根据正弦定理，得，
即，又，所以，
由正弦定理得，，所以．
所以“”是“”的充要条件，故正确．
故选：．
（2023春 浙江期中）下列说法正确的是
A．“”是“”的充分不必要条件
B．在中，“”是“”的充要条件
C．在中，“”是“”的必要不充分条件
D．“”是“”的充分不必要条件
【解答】解：对于：当，时，有，
由“”推不出“”，
当时，可得，
由“”可以推出“”，
“”是“”的必要不充分条件，故错误．
对于中，，，且在，上是减函数， “”是“”的充要条件，正确；
对于中，一方面，因为，所以，
由正弦定理可知：；
另一方面，由，
所以在中，是的充要条件，不正确；
对于或，而或，
故“”是“”的充分不必要条件，正确．
故选：．
（2022秋 南充期末）命题“，，”是真命题的一个必要不充分条件是
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，命题“，，”是真命题，
所以对任意，上恒成立，所以，
其必要不充分条件是或．
故选：．
（2022秋 历下区校级期末）已知命题，，若为真命题，则实数的值可以是
A． B．0 C． D．
【解答】解：因为，为真命题，所以方程有实根．
当时，符合题意；
当时，由方程有实根，可得△，所以．
综上，实数的值可以是，0和．
故选：．
（2022 商水县校级开学）下列命题是真命题的是
A．若设函数的图象过点，则
B．，
C．，
D．命题“，”的否定是“，”
【解答】解：对于，若幂函数过点，，则，解得，故错误；
对于，在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图，
由图可知，，故正确；
对于，取，得，故错误；
对于，根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，命题“，”的否定为：
“，”，故正确．
故选：．
（2022秋 徐汇区校级月考）若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是 ， ．
【解答】解：由可得，
由于“”是“”的充分非必要条件，
所以．
故答案为：，．
（2022秋 大通县期末）已知命题，，则为 ， ．
【解答】解：命题，，
则为，．
故答案为：，．
（2022秋 开福区校级期末）命题“，”的否定是 ， ．
【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
命题“，”的否定是：，．
故答案为：，．
（2023 当涂县校级开学）设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：命题，
则，解得，
命题，
是的充分不必要条件，
则表示的集合是表示集合的真子集，即，解得，
故实数的取值范围是，．
故答案为：，．
（2021秋 和平区校级期末）设全集是，集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）条件，条件，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）若，
当时，，解得，
当时，，解得，
综合得，
（2）条件，条件，若是的充分不必要条件，
则，
且等号不能同时成立，
解得．
（2023 大荔县一模）已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）当时，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）当时，
，
又或，
．
（2）当时，，
是的充分条件，，
或，
或，又，
，
实数的取值范围为，．专题02 常用逻辑用语
目录
题型一： 充要条件 4
题型二： 求参数取值范围 5
题型三： 全称量词命题和存在量词命题 7
题型四： 全称量词和存在量词参数的取值范围 8
题型五： 综合运用 9
充分条件、必要条件与充要条件
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且qp
p是q的必要不充分条件 pq且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp
全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的、任意一个、任给一个、每一个、一切等，用符号“ ”表示；存在量词有：存在一个、至少有一个、有些、有一个、 有的、某一个等，用符号“ ”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为 x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符号简记为 x∈M，p(x)．
含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
x∈M，p(x) x∈M，
x∈M，p(x) x∈M，
注意
含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题；对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其进行否定.
【常用结论与知识拓展】
1.充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p q，且q r” “p r”(“p q，且q r” “p r”)．若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．
2.区别A是B的充分不必要条件(A B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B A且A B)两者的不同．
3.从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为
(1)若A B，则p是q的充分条件；
(2)若A B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；
(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；
(6)若AB且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
4.等价转化法判断充分条件、必要条件：p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．
5.命题p和p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假．
6.常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是
否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有
7.数学定义、判定定理和性质定理与充分、必要、充要条件的关系
(1)每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件．
(2)每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
(3)每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
充要条件
【要点讲解】
确定谁是条件，谁是结论；尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件是结论的充分条件，否则条件就不是结论的充分条件；尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件是结论的必要条件，否则条件就不是结论的必要条件。
设，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
已知，命题是一元二次方程的一个根，命题，则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
设，是向量，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
若x，y∈R，则“x＞y”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．|x|＞|y| B．x2＞y2 C． D．2x﹣y＞2
设，为两条直线，则的充要条件是
A．，与同一个平面所成角相等
B．，垂直于同一条直线
C．，平行于同一个平面
D．，垂直于同一个平面
不等式成立的一个充分不必要条件是
A． B．， C． D．，
复数是纯虚数的充分不必要条件是
A．且 B． C．且 D．
求参数取值范围
【要点讲解】
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围的四个步骤：化简两命题；根据与的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系；利用集合间的关系建立不等式；求解参数范围
已知；，若是的充分条件，则实数的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
已知集合，，，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是
A．， B．， C． D．，
已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为
A．， B．， C． D．
若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是 ．
若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 ．
已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）当时，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
全称量词命题和存在量词命题
【要点讲解】
要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每个元素验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要举出集合中的一个，使得不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”，要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合Ｍ中，找到一个，使成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题。提醒：判断全称量词命题为假，只需举一个反例即可；判断存在量词命题为真，只需举一个特例
命题“，”的否定是
A． B．
C．， D．
命题：“，”的否定是 ．
已知命题，，则为
A．， B．，
C．， D．，
下列关于命题的说法错误的是
A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件
C．若命题，，则，
D．命题“，”是真命题
下列命题中，真命题是
A．存在，使得
B．对任意，
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“或是假命题”是“非为真命题”的必要而不充分条件
已知，，命题，，命题，使得，则下列说法正确的是
A．是真命题，，
B．是假命题，，
C．是真命题，，
D．是假命题，，
全称量词和存在量词参数的取值范围
【要点讲解】
要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每个元素验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要举出集合中的一个，使得不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”，要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合Ｍ中，找到一个，使成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题。提醒：判断全称量词命题为假，只需举一个反例即可；判断存在量词命题为真，只需举一个特例
已知命题“，，”为真命题，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为 ．（用区间表示）
已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围是 ．
已知，．若为假命题，则的取值范围为
A． B． C． D．
已知命题，，若为假命题，求实数的取值范围 ．
设命题，．若是假命题，则实数的取值范围是 ．
综合运用
【要点讲解】
在一些逻辑问题中，当题中并未出现“或”“且”“非”时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题
已知函数且函数，则下列选项正确的是
A．点是函数的零点
B．，，使
C．函数的值域为
D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是，
设，则对任意实数是的
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
已知函数，，若存在，使得，则的取值范围是
A．， B．，，
C． D．，，
已知集合，函数．
（1）当时，解关于的不等式；
（2）若命题“存在，使得”为假命题，求实数的取值范围．
（2023 南充模拟）“”是“”的 条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
（2023 广东模拟）“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
（2023 郑州模拟）已知第一象限内的动点在直线的左下方，则是恒成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2023春 郫都区校级期中）“”是“直线与直线平行”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2023 温州模拟）“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2023 日照二模）已知，，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2023 青羊区校级模拟）已知，则“”是“有两个不同的零点”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2023 遂宁模拟）下列说法不正确的是
A．若，则
B．命题，，则，
C．回归直线方程为，则样本点的中心可以为
D．在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的充要条件
（2023春 浙江期中）下列说法正确的是
A．“”是“”的充分不必要条件
B．在中，“”是“”的充要条件
C．在中，“”是“”的必要不充分条件
D．“”是“”的充分不必要条件
（2022秋 南充期末）命题“，，”是真命题的一个必要不充分条件是
A． B． C． D．
（2022秋 历下区校级期末）已知命题，，若为真命题，则实数的值可以是
A． B．0 C． D．
（2022 商水县校级开学）下列命题是真命题的是
A．若设函数的图象过点，则
B．，
C．，
D．命题“，”的否定是“，”
（2022秋 徐汇区校级月考）若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是 ．
（2022秋 大通县期末）已知命题，，则为 ．
（2022秋 开福区校级期末）命题“，”的否定是 ．
（2023 当涂县校级开学）设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
（2021秋 和平区校级期末）设全集是，集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）条件，条件，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
（2023 大荔县一模）已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）当时，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．专题03 等式性质与不等式性质
目录
题型一： 不等式的性质 4
题型二： 比较大小 8
题型三： 不等式范围求解 10
比较实数a，b大小的基本事实
(1)作差法
①a－b>0 a>b；
②a－b＝0 a＝b；
③a－b<0 a
(2)作商法
①>1(a∈R，b>0) a>b(a∈R，b>0)；
②＝1(a∈R，b≠0) a＝b(a∈R，b≠0)；
③<1(a∈R，b>0) a0)．
等式的基本性质
(1)对称性：a＝b b＝a；
(2)传递性：a＝b，b＝c a＝c；
(3)可加性：a＝b a±c＝b±c；
(4)可乘性：a＝b ac＝bc；
(5)可除性：a＝b，c≠0 ＝.
不等式的性质
性质 性质内容 注意
对称性 a>b ba 可逆
传递性 a>b，b>c a>c；a可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
可乘性 a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
同向同正 可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向，同正
可乘方性 a>b>0，n∈N，n≥2 an>bn 同正
可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2 > 同正
【常用结论与知识拓展】
1.不等式的两类常用性质
(1)倒数性质
①a>b，ab>0 <；
②a＜0＜b ＜；
③a>b>0，d>c>0 >；
④0(2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
①真分数性质：<<(b－m>0)，即真分数越加越大，越减越小；
②假分数性质：<<(b－m>0)，即假分数越加越小，越减越大．
2.若a3.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
不等式的性质
【要点讲解】(1)利用不等式的性质逐个验证;
(2)利用特殊值法排除错误选项;
(3)作差(商)法;
(4)构造函数,利用函数的单调性;
(5)利用基本不等式.
（2022 西城区校级三模）已知，，且，则
A． B．
C． D．
【解答】解：，，且，则，与的大小关系不确定，，即，与0的大小关系不确定．
故选：．
（2023 吉林模拟）已知，则下列不等式不一定成立的是
A． B． C． D．
【解答】解：选项，，故，，所以，两边同乘以得，，正确；
选项，因为，所以，且，
由基本不等式得，故正确；
选项，因为，所以，
故，
所以，正确；
选项，不妨取，，满足，此时，故错误．
故选：．
（2023 阿拉善盟一模）已知，则下列不等式不成立的是
A． B．
C． D．
【解答】解：函数，在上单调递增，
当时，．
故选：．
（2023 广陵区校级模拟）已知，，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【解答】解：，，
由不等式的基本性质，知和都正确；
取，，则，，故错误；
幂函数，在上是增函数，
当时，，故正确．
故选：．
（2023 惠州模拟）已知实数，则下列结论一定正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：选项中，因为，所以，故选项正确；
选项中，因为函数在上单调递减且，所以，故选项错误：
选项中，因为，则，故选项错误；
选项中，若，，满足，但，故选项错误．
故选：．
（2023 大同二模）已知，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可知，不妨取，，
则，，此时不满足，即错误；
易得，此时，所以错误；
对于，无意义，所以错误，
由指数函数单调性可得，当时，，即正确．
故选：．
（2023 临高县模拟）给定下列四个命题：命题①，；命题②：；命题③：；命题④：．其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：对于命题①：，，，
故，错误；
对于命题②：在递减，故正确；
对于命题③：，，，，
故正确；
对于命题④：，，，
，，故正确；
其中真命题的个数是3个，
故选：．
（2023 武汉模拟）下列不等式正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，，且，则
【解答】解：对于，若，当时，与的大小关系无法确定，故错误，
对于，取，，，则满足，但不满足，故错误；
对于，取，，，则满足，，但不满足，故错误；
对于，若，，，且，则，
所以，即，故正确．
故选：．
（2023 盱眙县校级四模）已知，给出下列不等式：①；②；③；④；其中正确的有
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：对于①：，
因为，
所以，，
所以，即，故①正确，
对于②：，
因为，
所以，，
所以，即，故②正确，
对于③：当，时，，，
所以，故③错误，
对于④：，
因为，
所以，，
所以，即，故④正确，
综上所述，正确的有①②④．
故选：．
（2021秋 莒南县校级月考）已知糖水中含有糖，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大），根据这个事实，下列不等式中一定成立的有
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，糖水中含有糖，此时糖水中含糖浓度为，
若再添加糖完全溶解在其中，则糖水中含糖浓度为，
因为糖水变得更甜了，
所以，故正确，错误，
又因为，所以，故正确，
由可得，进而可得，故错误，
故选：．
比较大小
【要点讲解】（1）做差法（2）做商法
已知，，，则，的大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解：
．
．
故选：．
已知，，其中，则，的大小关系为
A． B． C． D．大小不确定
【解答】解：，，，
而，
．
故选：．
（2021秋 舒城县）已知，比较下列各题中两个代数式值的大小：
（1）与；
（2）与．
【解答】解：（1），
；
（2），
，
，，，，
，
．
（2021秋 江岸区校级月考）试比较下列各组式子的大小：
（1）与，其中；
（2）与，其中．
【解答】解：（1）由题意可得，
，
因为，
所以．
（2），
因为，所以，，，
所以，
即．
不等式范围求解
【要点讲解】1.求形如a-b的取值范围,要先求-b的取值范围,再加a的取值范围即为a-b的取值范围;
2.求形如的取值范围,要借助反比例函数的图象先求出的取值范围,再与a遵循“同向同正可乘性”的原则求出的取值范围;
3.已知M1(1)设g(a,b)=pf1(a,b)+qf2(a,b);
(2)根据恒等变形求得待定系数p,q;
(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a,b)的取值范围.
（2022秋 魏县校级期中）已知，，则
A． B． C． D．
【解答】解：对于，因为，，所以，，故正确；
对于，因为，所以，故错误；
对于，因为，所以，故正确；
对于，因为，，所以，故正确．
故选：．
（2021 鸡冠区校级三模）已知，，则的取值范围是 ， ．
【解答】解：，，
，
，
的取值范围是：，．
故答案为：，．
（2022秋 南关区校级期末）若，，则的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：设，
则，解得，
，，
由不等式的可加性可得，，
故的取值范围为．
故选：．
（2023 西山区校级模拟）已知，，则
A．的取值范围为， B．的取值范围为，
C．的取值范围为， D．的取值范围为
【解答】解：因为，，
所以，，正确，正确；
因为，
所以，错误；
因为，
所以，
所以，错误．
故选：．
（2023 重庆模拟）已知，，则下列不等式不正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：对于选项，，，，，，故正确；
对于选项，，，，，
，，，故不正确；
对于选项，设，则，
，，
，
，，
，，
，故正确、错误；
故选：．
（2022秋 广东期末）已知，，则的取值范围为
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：，，
所以，，
则，．
故选：．
（2022秋 金山区校级期末）已知实数、满足，，则的取值范围为 ， ．
【解答】解：因为实数、满足，，则，则，
则，
故答案为：，．
一．选择题（共8小题）
1．（2021秋 怀仁市校级月考）设，，那是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：，解得，，
则是的必要不充分条件．
故选：．
2．（2023 重庆一模）设，，且，则
A． B． C． D．
【解答】解：令，则，，故选错误；
令，，则，故选项错误；
选项，，，故，故选正确，
故选：．
3．（2022秋 眉山期末）若，则
A． B． C． D．
【解答】解：由于，
对于选项，故选项正确．
对于选项：当，时，，故选项错误．
对于选项：当时，，故选项错误．
对于选项：由于，由于为单调增函数，所以，故选项错误．
故选：．
4．（2022 杭州模拟）下列结论正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【解答】解：对于选项：当，时，满足，但是，故错误；
对于选项：当，时，满足，但是，故错误；
对于选项，，根据不等式的同向相加可知：，故，故正确；
对于选项：当时，若，则，故错误；
故选：．
5．（2022 杭州模拟）用一架两臂不等长的天平称黄金，先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，则两次共称得的黄金
A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定
【解答】解：设左右两臂的长度为，，两次取的黄金重量为，克，显然，
则，，化简得，
由基本不等式得．
故选：．
6．（2022 杭州模拟）设，，则与的大小关系是
A． B． C． D．
【解答】解：因为，，
所以，
所以．
故选：．
7．（2022秋 周村区校级期末）设函数，，若实数，满足（a），（b），则
A．（b）（a） B．（a）（b） C．（b）（a） D．（a）（b）
【解答】解：是单调递增函数，
且（1），（2），
又（a），
，
同理，在上单调递增，
且（2），（3），
又（b），
，
（a）（2），
（b）（2），
（a）（b）．
故选：．
8．（2023 金山区二模）若实数、满足，则下列不等式中成立的是
A． B．
C． D．
【解答】解：对于，取，，满足，但是不成立，故错误；
对于，取，，满足，但是，即不成立，故错误；
对于，取，，满足，但是不成立，故错误；
对于，，且在上单调递增，
，故正确．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．（2022秋 西安区期末）下列命题中正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【解答】解：对于，若，又，则，故正确，
对于，若，，满足，但是，故错误，
对于，若，则，所以，即，故正确，
对于，若，，满足，但是，故错误，
故选：．
10．（2022秋 雁峰区校级期末）下列说法中正确的是
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【解答】解：对于，因为，，所以，故正确；
对于，若，，则，所以，故错误；
对于，若，则，又，所以，故正确；
对于，若，，当，，，，则，故错误．
故选：．
11．（2022秋 宣城期末）已知，，则下列结论正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，，，则
D．若，则
【解答】解：对于，，，，即，故正确；
对于，若，则，，故错误；
对于，设，显然在上单调递增，
，，
，即（a）（b），
，故正确；
对于，，，，故错误．
故选：．
12．（2022秋 市中区校级期末）下列命题为真命题的是
A．若，，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
【解答】解：因为，所以，又因为，所以，所以对；
因为，所以，即，所以对；
因为，所以，又因为，所以，所以对；
当，，，，满足，，不满足，所以错．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．（2021秋 贵溪市校级月考）若，则． 正确 （判断对错）
【解答】解：由，可知，所以，
故答案为：正确．
14．（2022秋 昆都仑区校级月考）已知，，记，，则 ．（用“”或“”或“”填）
【解答】解：因为，，
所以，
因为，，
所以，，
所以，即．
故答案为：．
15．（2022秋 兴庆区校级月考）已知，，则的范围是 ．
【解答】解：，
，
又，
，
故的范围是．
故答案为：．
16．（2022秋 浦东新区期末）设、、、是实数，则下列命题为真命题的是 ①③④ ．
①如果，且，那么；
②如果，且，那么；
③如果，那么；
④如果，那么．
【解答】解：对于①，根据不等式的基本性质得，如果，且，那么，命题①正确；
对于②，如果，且，那么错误，如，，，时，，命题②错误；
对于③，如果，那么，所以，即，命题③正确；
对于④，如果，那么，所以，命题④正确．
所以真命题的序号是①③④．
故答案为：①③④．
四．解答题（共2小题）
17．（2022秋 桃城区校级月考）已知关于的不等式的解集为．
（1）求的值；
（2）当时，比较与的大小．
【解答】解：（1）因为的解集为，所以，解得；
（2）由，得，
时，，，
所以，
所以，即．
18．（2022 南京模拟）比较与的大小．
【解答】解：
．
，，
，，
又（当且仅当时等号成立），
，
即（当且仅当时等号成立．专题03 等式性质与不等式性质
目录
题型一： 不等式的性质 4
题型二： 比较大小 6
题型三： 不等式范围求解 6
比较实数a，b大小的基本事实
(1)作差法
①a－b>0 a>b；
②a－b＝0 a＝b；
③a－b<0 a(2)作商法
①>1(a∈R，b>0) a>b(a∈R，b>0)；
②＝1(a∈R，b≠0) a＝b(a∈R，b≠0)；
③<1(a∈R，b>0) a0)．
等式的基本性质
(1)对称性：a＝b b＝a；
(2)传递性：a＝b，b＝c a＝c；
(3)可加性：a＝b a±c＝b±c；
(4)可乘性：a＝b ac＝bc；
(5)可除性：a＝b，c≠0 ＝.
不等式的性质
性质 性质内容 注意
对称性 a>b ba 可逆
传递性 a>b，b>c a>c；a可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
可乘性 a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
同向同正 可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向，同正
可乘方性 a>b>0，n∈N，n≥2 an>bn 同正
可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2 > 同正
【常用结论与知识拓展】
1.不等式的两类常用性质
(1)倒数性质
①a>b，ab>0 <；
②a＜0＜b ＜；
③a>b>0，d>c>0 >；
④0(2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
①真分数性质：<<(b－m>0)，即真分数越加越大，越减越小；
②假分数性质：<<(b－m>0)，即假分数越加越小，越减越大．
2.若a3.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
不等式的性质
【要点讲解】(1)利用不等式的性质逐个验证;
(2)利用特殊值法排除错误选项;
(3)作差(商)法;
(4)构造函数,利用函数的单调性;
(5)利用基本不等式.
（2022 西城区校级三模）已知，，且，则
A． B．
C． D．
（2023 吉林模拟）已知，则下列不等式不一定成立的是
A． B． C． D．
（2023 阿拉善盟一模）已知，则下列不等式不成立的是
A． B．
C． D．
（2023 广陵区校级模拟）已知，，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
（2023 惠州模拟）已知实数，则下列结论一定正确的是
A． B．
C． D．
（2023 大同二模）已知，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
（2023 临高县模拟）给定下列四个命题：命题①，；命题②：；命题③：；命题④：．其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023 武汉模拟）下列不等式正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，，且，则
（2023 盱眙县校级四模）已知，给出下列不等式：①；②；③；④；其中正确的有
A．① B．② C．③ D．④
（2021秋 莒南县校级月考）已知糖水中含有糖，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大），根据这个事实，下列不等式中一定成立的有
A． B．
C． D．
比较大小
【要点讲解】（1）做差法（2）做商法
已知，，，则，的大小关系为
A． B． C． D．
已知，，其中，则，的大小关系为
A． B． C． D．大小不确定
（2021秋 舒城县）已知，比较下列各题中两个代数式值的大小：
（1）与；
（2）与．
（2021秋 江岸区校级月考）试比较下列各组式子的大小：
（1）与，其中；
（2）与，其中．
不等式范围求解
【要点讲解】1.求形如a-b的取值范围,要先求-b的取值范围,再加a的取值范围即为a-b的取值范围;
2.求形如的取值范围,要借助反比例函数的图象先求出的取值范围,再与a遵循“同向同正可乘性”的原则求出的取值范围;
3.已知M1(1)设g(a,b)=pf1(a,b)+qf2(a,b);
(2)根据恒等变形求得待定系数p,q;
(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a,b)的取值范围.
（2022秋 魏县校级期中）已知，，则
A． B． C． D．
（2021 鸡冠区校级三模）已知，，则的取值范围是 ．
（2022秋 南关区校级期末）若，，则的取值范围是
A． B． C． D．
（2023 西山区校级模拟）已知，，则
A．的取值范围为， B．的取值范围为，
C．的取值范围为， D．的取值范围为
（2023 重庆模拟）已知，，则下列不等式不正确的是
A． B． C． D．
（2022秋 广东期末）已知，，则的取值范围为
A．， B．， C．， D．，
（2022秋 金山区校级期末）已知实数、满足，，则的取值范围为 ．
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 怀仁市校级月考）设，，那是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023 重庆一模）设，，且，则
A． B． C． D．
3．（2022秋 眉山期末）若，则
A． B． C． D．
4．（2022 杭州模拟）下列结论正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（2022 杭州模拟）用一架两臂不等长的天平称黄金，先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，则两次共称得的黄金
A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定
6．（2022 杭州模拟）设，，则与的大小关系是
A． B． C． D．
7．（2022秋 周村区校级期末）设函数，，若实数，满足（a），（b），则
A．（b）（a） B．（a）（b） C．（b）（a） D．（a）（b）
8．（2023 金山区二模）若实数、满足，则下列不等式中成立的是
A． B．
C． D．
二．多选题（共4小题）
9．（2022秋 西安区期末）下列命题中正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2022秋 雁峰区校级期末）下列说法中正确的是
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
11．（2022秋 宣城期末）已知，，则下列结论正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，，，则
D．若，则
12．（2022秋 市中区校级期末）下列命题为真命题的是
A．若，，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
三．填空题（共4小题）
13．（2021秋 贵溪市校级月考）若，则． （判断对错）
14．（2022秋 昆都仑区校级月考）已知，，记，，则 ．（用“”或“”或“”填）
15．（2022秋 兴庆区校级月考）已知，，则的范围是 ．
16．（2022秋 浦东新区期末）设、、、是实数，则下列命题为真命题的是 ．
①如果，且，那么；
②如果，且，那么；
③如果，那么；
④如果，那么．
四．解答题（共2小题）
17．（2022秋 桃城区校级月考）已知关于的不等式的解集为．
（1）求的值；
（2）当时，比较与的大小．
18．（2022 南京模拟）比较与的大小．专题04 基本不等式
目录
题型一： 直接利用基本不等式 3
题型二： 拼凑法 4
题型三： 常数代换 6
题型四： 变量分离 8
题型五： 消元法 11
题型六： 和积转化 12
题型七： 换元法 14
题型八： 恒成立问题 16
题型九： 应用题 18
基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
算术平均数与几何平均数
给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均数；数称为a，b的几何平均数．基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0.
(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值，是2(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值，是(简记：和定积最大)．
【常用结论与注意点】
1.常用的几个结论
(1)若x≠0，则≥2，当且仅当x＝±1时，等号成立．
(2)若ab≠0，则≥2，当且仅当a＝±b时，等号成立．
(3)若ab>0，x≠0，则≥2，当且仅当x＝±时，等号成立．
(4)若a>0，b>0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
2.利用基本不等式求最值的两个常用结论
(1)已知a>0，b>0，x>0，y>0，若ax＋by＝1，则有＋＝(ax＋by)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2.
(2)已知a>0，b>0，x>0，y>0，若＋＝1，则有x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2.
3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错．
4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
直接利用基本不等式
【要点讲解】利用基本不等式：≤进行求解
的最小值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由已知函数，
，，
，
当且仅当，即时等号成立，
当时，函数有最小值是4，
故选：．
函数的最小值为
A．10 B．15 C．20 D．25
【解答】解：由题意，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值为20，
故选：．
已知，则的最小值为
A． B．2 C． D．4
【解答】解：由，，
当且仅当，即时，取得等号，
故的最小值为，
故选：．
拼凑法
【要点讲解】拼凑法是将相关代数式进行适当变形,通过添项、拆项、变系数、凑因式等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用不等式求得最值,拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.
已知，那么函数的最小值是
A．5 B．6 C．4 D．8
【解答】解：已知，则，
函数，
当且仅当时“”成立，
故函数的最小值是6，
故选：．
若，则的最小值为
A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：因为，
则，
当且仅当，即时取等号，
故选：．
已知函数，
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值3 D．有最大值3
【解答】解：，，
，当，即时，取等号，
有最小值3．
故选：．
设实数满足，函数的最小值为
A． B． C． D．6
【解答】解：，，
，当且仅当，即时等号成立，
函数的最小值为．
故选：．
已知，的最大值是 1 ．
【解答】解：由，可得
，
当且仅当，即时，取得最大值1．
故答案为：1．
常数代换
【要点讲解】注常数代换法就是将已知条件中的等式右边化为1,将所求式子乘以1,1再换成前面的等式即可,此法通常适合条件和所求的式子分别为整式和分式时,把所求的式子常构造成的形式.
已知实数，，，则的最小值为
A．100 B．300 C．800 D．400
【解答】解：根据题意，，
当且仅当，即时等号成立，
故选：．
已知，，且，则的最大值为
A． B． C． D．
【解答】解：由，，可得，
又由，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，即的最大值为．
故选：．
若正数，满足，则的最小值是
A．1 B． C．9 D．16
【解答】解：正数，满足，
当且仅当即且时取等号．
故选：．
已知，，且，则的最小值为 ．
【解答】解：因为，，且，
则，当且仅当且，即，时取等号，
故答案为：．
若正实数，满足，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为正实数，满足，
所以，
所以，
当且仅当且，即，时取等号．
故选：．
若正数，满足，则的最小值是 5 ．
【解答】解：，，，
，
，
当且仅当即时取等号，
故答案为：5．
正实数，满足，则的最小值为 ．
【解答】解：，，，
，
（当且仅当时取等号），
即的最小值为．
故答案为：．
已知正实数，满足，则的最小值为 ．
【解答】解：，，
，，
，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为．
故答案为：．
变量分离
【要点讲解】变量分离法就是把分式形式的函数分离出两项的和且其积是定值的形式,然后用基本不等式求最值.通常适合函数的模型是或
若，，，则的最大值为
A． B． C． D．
【解答】解：因为，，，
则，当且仅当时等号成立，
则，当且仅当时等号成立，
即的最大值为，
故选：．
已知，则的最小值为 ．
【解答】解：因为，
所以，，，
所以，，
则，
当且仅当且，时取等号，此时的最小值．
故答案为：．
若，，，则的最小值为 8 ．
【解答】解：，，，
则，
当且仅当且时，取得最小值8，
故答案为：8．
已知，，，则的最小值为
A． B．12 C． D．16
【解答】解：由可得，
．
当且仅当时，等号成立，即．
所以的最小值为，
故选：．
已知正实数，满足，且，则的最小值为 ．
【解答】解：正实数，满足，且，
可得，解得，
则，
由
，
当且仅当时，取得等号，
则的最小值为，
故答案为：．
已知，，则的最小值为 4 ．
【解答】解：，，
则，（当且仅当即时取等号），
，当且仅当即时取等号，
故，当且仅当且即，时取等号，此时取得最小值4．
故答案为：4
消元法
【要点讲解】消元法就是将两个变元消去一个代入所求式,然后利用分离常数法求最值
已知，，且，则的最小值为 ．
【解答】解：，，且，
，，
，当且仅当时取“ “，
故答案为：．
若，，，则的最小值为 ．
【解答】解：，，，
则，当且仅当，时取等号．
的最小值为．
故答案为：．
已知，，满足，则的最小值是 ．
【解答】解：因为，，
则由可得，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值为，
故答案为：．
设，，若，则的最小值是 ．
【解答】解：，，若，
，
，
当且仅当，又，即，时等号成立，
故答案为：．
和积转化
【要点讲解】和积转化法仅适用于将已知等式中的和或积通过基本不等式转化为所求式子中的和或积,然后解不等式以达到目的,此方法虽然没凑出定值,但凑出所求式子是其根本思想
已知，，，则的最小值是
A．3 B．4 C． D．
【解答】解：考察基本不等式，
整理得
即，又，
所以
故选：．
若实数，满足，则的最大值是 ．
【解答】解：
，整理求得
的最大值是
故答案为：
若实数，满足：，，，则的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因为，，，
所以，当且仅当，即时，取等号，
则，即
可得，则，
故选：．
已知，，，则的最小值为 6 ．
【解答】解：由于，，，
则，
，
当且仅当时，取“”
则此时，
由于，，解得，
故
故答案为6．
已知，，，则的最小值为 4 ．
【解答】解：考察基本不等式（当且仅当时取等号）
整理得
即，又，
所以（当且仅当时即，时取等号）
则的最小值是4．
故答案为：4．
已知正实数，满足，则的最小值为 ，的最大值为 ．
【解答】解：，，
，
（当且仅当，即时，等号成立），
故的最小值为，
，
（当且仅当，即，时，等号成立），
，即，
解得，或（舍去），
故的最大值为，
故答案为：，．
换元法
【要点讲解】换元法实质是把复杂问题简单化、陌生问题熟悉化、高次问题低次化
已知实数，满足，则的最大值为
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
则，
当且仅当时取等号，此时的最大值为．
故选：．
已知，都是正数，则的最小值是 2 ．
【解答】解：设，，
则，，，，
则，
当且仅当，即时取等号．
故答案为：2．
设正实数，满足，，则的最小值为 8 ．
【解答】解：由基本不等式可得
．
当且仅当时，等号成立，
故答案为：8．
已知实数，，，则的最小值是 ．
【解答】解：，
，且，，
，当且仅当，即时取等号，
的最小值是．
故答案为：．
函数的最小值是 ．
【解答】解：函数
．
当且仅当，即有，取得等号．
则函数的最小值为．
故答案为：．
恒成立问题
【要点讲解】大于最大，小于最小
若不等式对恒成立，则实数的最大值为
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：根据题意，，则，
则，
当且仅当时等号成立，
则的最小值为9，
若不等式对恒成立，即式恒成立，必有恒成立，
故实数的最大值为9；
故选：．
已知，，若不等式恒成立，则的最大值为
A．9 B．12 C．16 D．10
【解答】解：由已知，，不等式恒成立，所以
恒成立，转化成求的最小值，
，所以．
故选：．
已知，，若不等式恒成立，则正数的最小值是
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：因为，，正数；
，
因为不等式恒成立，
所以，
即，
解得，
所以．
故选：．
若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：因为两个正实数，满足，
所以，当且仅当且，即，时取等号，
所以，
因为不等式恒成立，
所以，
解得．
故答案为：，．
已知，，且，若不等式恒成立，则的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：，
，
．
，，
（当且仅当，即时取等号），
．
故选：．
应用题
某城市有一直角梯形绿地，其中，，．现过边界上的点处铺设一条直的灌溉水管，将绿地分成面积相等的两部分．
（1）如图①，若为的中点，在边界上，求灌溉水管的长度；
（2）如图②，若在边界上，求灌溉水管的最短长度．
【解答】解：（1）因为，，，
所以，（2分）
取中点，则四边形的面积为，
即，
解得，（6分）
所以．
故灌溉水管的长度为．（8分）
（2）设，，在中，，
所以在中，，
所以，
所以的面积为，
又，所以，即．（12分）
在中，由余弦定理，得，
当且仅当时，取“”．
故灌溉水管的最短长度为．（16分）
如图，某生态园将一三角形地块的一角开辟为水果园种植桃树，已知角为，，的长度均大于200米，现在边界，处建围墙，在处围竹篱笆．
（1）若围墙，总长度为200米，如何围可使得三角形地块的面积最大？
（2）已知段围墙高1米，段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
【解答】解：设米，米，则
（1），的面积，
当且仅当时取等号；
（2）由题意得，即，
要使竹篱笆用料最省，只需最短，所以
所以时，有最小值，此时．
一．选择题（共8小题）
1．（2023 民勤县校级开学）函数的最小值为
A．6 B．4 C．2 D．3
【解答】解：因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
故选：．
2．（2023春 高坪区校级期中）已知正数，满足，则的最小值为
A． B．2 C． D．6
【解答】解：因为正数，满足，即，
则，
当且仅当且，即，时取等号．
故选：．
3．（2023 永定区校级开学）已知，则的最小值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：，，
，当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为5．
故选：．
4．（2022秋 深圳校级期末）若，，且，则的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：因为，，，
因为，
当且仅当时取等号，
所以，
所以．
故选：．
5．（2022秋 滨州期末）已知，，且，则的最小值为
A．6 B．4 C．2 D．1
【解答】解：因为，，且，
则，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4．
故选：．
6．（2023 浙江模拟）已知，则的最小值为
A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：因为，
所以由，
当且仅当时取等号，即时取等号，
故选：．
7．（2023春 鼓楼区校级期中）实数，满足，，则的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因为，
所以，，
所以，当且仅当时取等号．
故选：．
8．（2022秋 吉水县校级期末）已知：，，，则下列说法正确的是
A．有最大值1 B．有最小值1
C．有最大值4 D．有最小值4
【解答】解：因为，，，所以有，当且仅当时取等号，因此正确，错误；
因为，，，
所以有，
当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，不正确，
当时，显然有，不正确，
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．（2022秋 上城区校级期末）下列说法正确的是
A．若，则
B．若，则恒成立
C．若正数，满足，则有最小值
D．若实数，满足，则没有最大值
【解答】解：对于，时，，所以选项错误；
对于，时，，所以恒成立，选项正确；
对于，因为正数，满足，且，当且仅当时取“”，
所以，解得，所以，所以有最小值，选项正确；
对于，因为，所以，，解得，，
所以，，，
所以，，有最大值，选项错误．
故选：．
10．（2022秋 聊城期末）下列说法正确的是
A．已知，则的最小值为3
B．当时，的最小值为4
C．已知，，，，则的取值范围是，
D．已知，，，则的最小值为8
【解答】解：，则，当且仅当时取等号，正确；
当时，，，
在，上单调递减，时取得最小值5，错误；
，，，当且仅当时取等号，
解得，正确；
，，，当且仅当且，即，时取等号，
解得，
则的最小值为8，正确．
故选：．
11．（2022秋 官渡区期末）已知，，且，则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
【解答】解：项中，，为负数，不成立；
项中，，则，项正确；
项中，，则，当且仅当时取等号；
项中，，为负数，例如，，不成立；
故选：．
12．（2023 南京二模）若实数，满足，则
A． B． C． D．
【解答】解：对选项，故，正确；
对选项，正确；
对选项：取，，满足，此时 不成立，错误；
对选项：取，，满足，此时，错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．（2023 凯里市校级三模）正数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围 ．
【解答】解：因为不等式恒成立，所以，
由，，可得，
当且仅当且，即，时等号成立，
所以，解得．
所以的取值范围为．
故答案为：．
14．（2023 黄浦区模拟）若关于x的不等式x2+bx+c≥0（b＞1）的解集为R，则的最小值为 8 ．
【解答】解：因为不等式x2+bx+c≥0（b＞1）的解集为R，
则，
因为b＞1，所以b﹣1＞0，
所以＝．
当且仅当，即b＝3时，取到等号．
故答案为：8．
15．（2023 崇明区二模）已知正实数、满足，则的最小值等于 4 ．
【解答】解：，当，即，时等号成立，
故的最小值为4．
故答案为：4．
16．（2022秋 成都期末）已知实数，满足，则的最小值为 ．
【解答】解：因为，时取等号，
则，得，
可得，
即得最小值为，
故答案为：．
四．解答题（共2小题）
17．（2022秋 定州市期中）已知正实数，满足．求
（1）的最小值；
（2）的最小值；
（3）的最小值．
【解答】解：（1）因为，是正数，，
所以，
因为，，
所以，
当且仅当，时等号成立，
故的最小值为；
（2）由可得，即，
所以，，
又，因为，，
所以
当且仅当，时等号成立，故的最小值为25．
（3）由可得，所以，
所以，，
所以
当且仅当，时等号成立，
故的最小值为．
18．（2022秋 川汇区校级期末）（1）已知，求取得最大值时的值？
（2）已知，求的最大值？
（3）函数的最小值为多少？
【解答】解：（1）因为，
所以，
当且仅当，即时取等号；
（2）因为，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时的最大值1；
（3）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时函数取得最小值．专题04 基本不等式
目录
题型一： 直接利用基本不等式 3
题型二： 拼凑法 4
题型三： 常数代换 4
题型四： 变量分离 5
题型五： 消元法 6
题型六： 和积转化 7
题型七： 换元法 7
题型八： 恒成立问题 8
题型九： 应用题 9
基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
算术平均数与几何平均数
给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均数；数称为a，b的几何平均数．基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0.
(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值，是2(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值，是(简记：和定积最大)．
【常用结论与注意点】
1.常用的几个结论
(1)若x≠0，则≥2，当且仅当x＝±1时，等号成立．
(2)若ab≠0，则≥2，当且仅当a＝±b时，等号成立．
(3)若ab>0，x≠0，则≥2，当且仅当x＝±时，等号成立．
(4)若a>0，b>0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
2.利用基本不等式求最值的两个常用结论
(1)已知a>0，b>0，x>0，y>0，若ax＋by＝1，则有＋＝(ax＋by)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2.
(2)已知a>0，b>0，x>0，y>0，若＋＝1，则有x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2.
3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错．
4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
直接利用基本不等式
【要点讲解】利用基本不等式：≤进行求解
的最小值为
A．2 B．3 C．4 D．5
函数的最小值为
A．10 B．15 C．20 D．25
已知，则的最小值为
A． B．2 C． D．4
拼凑法
【要点讲解】拼凑法是将相关代数式进行适当变形,通过添项、拆项、变系数、凑因式等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用不等式求得最值,拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.
已知，那么函数的最小值是
A．5 B．6 C．4 D．8
若，则的最小值为
A．6 B．8 C．10 D．12
已知函数，
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值3 D．有最大值3
设实数满足，函数的最小值为
A． B． C． D．6
已知，的最大值是 ．
常数代换
【要点讲解】注常数代换法就是将已知条件中的等式右边化为1,将所求式子乘以1,1再换成前面的等式即可,此法通常适合条件和所求的式子分别为整式和分式时,把所求的式子常构造成的形式.
已知实数，，，则的最小值为
A．100 B．300 C．800 D．400
已知，，且，则的最大值为
A． B． C． D．
若正数，满足，则的最小值是
A．1 B． C．9 D．16
已知，，且，则的最小值为 ．
若正实数，满足，则
A． B． C． D．
若正数，满足，则的最小值是 ．
正实数，满足，则的最小值为 ．
已知正实数，满足，则的最小值为 ．
变量分离
【要点讲解】变量分离法就是把分式形式的函数分离出两项的和且其积是定值的形式,然后用基本不等式求最值.通常适合函数的模型是或
若，，，则的最大值为
A． B． C． D．
已知，则的最小值为 ．
若，，，则的最小值为 ．
已知，，，则的最小值为
A． B．12 C． D．16
已知正实数，满足，且，则的最小值为 ．
已知，，则的最小值为 ．
消元法
【要点讲解】消元法就是将两个变元消去一个代入所求式,然后利用分离常数法求最值
已知，，且，则的最小值为 ．
若，，，则的最小值为 ．
已知，，满足，则的最小值是 ．
设，，若，则的最小值是 ．
和积转化
【要点讲解】和积转化法仅适用于将已知等式中的和或积通过基本不等式转化为所求式子中的和或积,然后解不等式以达到目的,此方法虽然没凑出定值,但凑出所求式子是其根本思想
已知，，，则的最小值是
A．3 B．4 C． D．
若实数，满足，则的最大值是 ．
若实数，满足：，，，则的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
已知，，，则的最小值为 ．
已知，，，则的最小值为 ．
已知正实数，满足，则的最小值为 ，的最大值为 ．
换元法
【要点讲解】换元法实质是把复杂问题简单化、陌生问题熟悉化、高次问题低次化
已知实数，满足，则的最大值为
A． B． C． D．
已知，都是正数，则的最小值是 ．
设正实数，满足，，则的最小值为 ．
已知实数，，，则的最小值是 ．
函数的最小值是 ．
恒成立问题
【要点讲解】大于最大，小于最小
若不等式对恒成立，则实数的最大值为
A．7 B．8 C．9 D．10
已知，，若不等式恒成立，则的最大值为
A．9 B．12 C．16 D．10
已知，，若不等式恒成立，则正数的最小值是
A．2 B．4 C．6 D．8
若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
已知，，且，若不等式恒成立，则的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
应用题
某城市有一直角梯形绿地，其中，，．现过边界上的点处铺设一条直的灌溉水管，将绿地分成面积相等的两部分．
（1）如图①，若为的中点，在边界上，求灌溉水管的长度；
（2）如图②，若在边界上，求灌溉水管的最短长度．
如图，某生态园将一三角形地块的一角开辟为水果园种植桃树，已知角为，，的长度均大于200米，现在边界，处建围墙，在处围竹篱笆．
（1）若围墙，总长度为200米，如何围可使得三角形地块的面积最大？
（2）已知段围墙高1米，段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
一．选择题（共8小题）
1．（2023 民勤县校级开学）函数的最小值为
A．6 B．4 C．2 D．3
2．（2023春 高坪区校级期中）已知正数，满足，则的最小值为
A． B．2 C． D．6
3．（2023 永定区校级开学）已知，则的最小值为
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2022秋 深圳校级期末）若，，且，则的最小值为
A． B． C． D．
5．（2022秋 滨州期末）已知，，且，则的最小值为
A．6 B．4 C．2 D．1
6．（2023 浙江模拟）已知，则的最小值为
A．8 B．9 C．10 D．11
7．（2023春 鼓楼区校级期中）实数，满足，，则的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022秋 吉水县校级期末）已知：，，，则下列说法正确的是
A．有最大值1 B．有最小值1
C．有最大值4 D．有最小值4
二．多选题（共4小题）
9．（2022秋 上城区校级期末）下列说法正确的是
A．若，则
B．若，则恒成立
C．若正数，满足，则有最小值
D．若实数，满足，则没有最大值
10．（2022秋 聊城期末）下列说法正确的是
A．已知，则的最小值为3
B．当时，的最小值为4
C．已知，，，，则的取值范围是，
D．已知，，，则的最小值为8
11．（2022秋 官渡区期末）已知，，且，则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
12．（2023 南京二模）若实数，满足，则
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题）
13．（2023 凯里市校级三模）正数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围 ．
14．（2023 黄浦区模拟）若关于x的不等式x2+bx+c≥0（b＞1）的解集为R，则的最小值为 ．
15．（2023 崇明区二模）已知正实数、满足，则的最小值等于 ．
16．（2022秋 成都期末）已知实数，满足，则的最小值为 ．
四．解答题（共2小题）
17．（2022秋 定州市期中）已知正实数，满足．求
（1）的最小值；
（2）的最小值；
（3）的最小值．
18．（2022秋 川汇区校级期末）（1）已知，求取得最大值时的值？
（2）已知，求的最大值？
（3）函数的最小值为多少？专题05 二次函数与一元二次方程、不等式
目录
题型一： 分式不等式求解 3
题型二： 一元二次不等式求解 4
题型三： 含参一元二次不等式求解 5
题型四： 求一元二次不等式相关系数 9
题型五： 恒成立问题 11
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
三个“二次”间的关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1注意
当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是 ，要注意区别.
分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
4.简单的绝对值不等式
绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为(－a，a)．记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
【常用结论与注意点】
1.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形．
2.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论．
3.求解分式不等式时注意正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.
分式不等式求解
【要点讲解】
且
求不等式的解集：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由，可得，
解得或，
所以不等式的解集为或；
（2）由，可得，
等价于，解得，
所以不等式的解集为．
解下列不等式
．
【解答】解：，解得或，
，解得或，
故原不等式的解集为或．
求下列不等式的解集：
．
【解答】解：不等式化为，即，解得，所以不等式的解集为．
解下列不等式．
．
【解答】解：．即，
且，解得或，
故原不等式的解集为或．
一元二次不等式求解
【要点讲解】求解一元二次不等式的解集问题，需要借助一元 二次方程的根的判别式、韦达定理求出实数解，再结合一元二次函数的图象求得不等式的解集.
解关于的不等式．
（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）由可得，，
或，
故不等式的解集为或；
（2）由可得，，
，
故不等式的解集为；
（3）令得，或，
，
故不等式的解集为．
求下列不等式的解集
（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）原不等式可变为：．
方程的两个实根分别是，．
故原不等式的解集为；
（2）方程两个实根分别是．
故原不等式的解集为；
（3）对于方程，因为△，
所以方程没有实数根．
故原不等式的解集为．
求下列不等式的解集：
（1）
（2）
【解答】解：（1）原不等式化为，即，所以，
原不等式解集为．
（2）原不等式化为，又△，
所以原不等式无解，解集为．
含参一元二次不等式求解
【要点讲解】步骤一：考虑不等式是否为一元二次不等式
步骤二：考虑二次函数开口
步骤三：考虑对应方程是否有根？
步骤四：比较根的大小关系
已知，解关于的不等式．
【解答】解：当时，不等式的解为；
当时，分解因式
当时，原不等式整理得：，即，
不等式的解为或；
当时，，不等式的解为；
当时，，不等式的解为；
当时，不等式的解为．
若，解关于的不等式．
【解答】解：当时，．（2分）
当时，．
当时，，解得．（4分）
当时，．
当时，．（6分）
当时，，或．
当时，，或．（8分）
当时，解集是；当时，解集是；当时，解
集是；当时，解集是．（10分）
解关于的不等式．
【解答】解：关于的不等式等价于；
当时，不等式化为，解得解集为；
当时，不等式等价于，
解得不等式的解集为，，；
当时，不等式等价于，
若，则，解得不等式的解集为，；
若，则，不等式化为，此时不等式的解集为；
若，则，解得不等式的解集为．
综上，时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为，，；
时，不等式的解集为，；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为．
解下列关于的不等式．
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）当时，不等式可化为：．
所以方程的两个根为和2．
当时，，所以不等式的解集为．
当时，，不等式的解集为．
当时，不等式，不等式的解集为．
综上知，当时，不等式的解集为．
当时，不等式的解集为．
当时，不等式的解集为．
（2）不等式中，计算△，
令△，解得，
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得；
当或时，△，不等式对应的方程有两个不等的实数根，，且，
解不等式得，或；
当时，△，不等式对应的方程没有实数根，不等式的解集为．
综上知，时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当或时，不等式的解集为，或；
当时，不等式的解集为．
关于的不等式
（1）已知不等式的解集为，，，求的值；
（2）解关于的不等式．
【解答】解：（1）关于的不等式可变形为
，
且该不等式的解集为，，，
；
又不等式对应方程的两个实数根为和2；
，解得；
（2）①时，不等式可化为，它的解集为；
②时，不等式可化为，
当时，原不等式化为，
它对应的方程的两个实数根为和，且，
不等式的解集为或；
当时，不等式化为，
不等式对应方程的两个实数根为和，
在时，，
不等式的解集为；
在时，，不等式的解集为；
在时，，不等式的解集为．
综上，时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为或，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为．
求一元二次不等式相关系数
【要点讲解】我们首先需结合不等式解集的端点值 和韦达定理，求得不等式的系数，然后将的值代入所求的不等式，解该不等式即可得出结果.
二次不等式的解集为，则的值为
A． B．5 C． D．6
【解答】解：不等式的解集为，
，
原不等式等价于，
由韦达定理知，，
，，
．
故选：．
关于的不等式，解集为，则不等式的解集为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知，，是方程的两根，可得，解得；
所以不等式为，即，
解得，
所以不等式的解集为，．
故选：．
已知一元二次不等式，，的解集为，则的最大值为
A． B． C．1 D．2
【解答】解：一元二次不等式，，的解集为，
所以，
解得，，
所以，
当且仅当，即时取“”，
所以的最大值为．
故选：．
已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为
A．4 B． C．2 D．1
【解答】解：因为关于的不等式的解集为，
则，是方程的两根，且，
则，解得，所以，
则，当且仅当时取得最小值为2，
故选：．
恒成立问题
【要点讲解】在解答含参一元二次不等式恒成立问题时，结合 一元二次函数的图象来分析不等式成立的情况，能有效地提升解题的效率.
若恒成立，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：当时，恒成立，符合题意；
当时，恒成立，则，解得：．
综上所述，，即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是
A． B． C． D．
【解答】解：关于的不等式的解集为，
则△，
解得，
所以“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是“”．
故选：．
对于任意实数，不等式恒成立，则实数取值范围是
A． B．， C． D．，
【解答】解：，即时，，恒成立；
时，，解得，
故选：．
若关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：对一切实数恒成立，
△，
解得：，
故答案为：．
设．
（1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【解答】解：（1）对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意；
当时，即，
解得：；
（2）不等式等价于
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或．
设函数．
（1）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围；
（2）对于，，恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）要使恒成立，
若，显然；
若，则有．
．
（2）当时，显然恒成立；当时，该函数的对称轴是，在，上是单调函数．
当时，由于（1），要使在，上恒成立，只要（3）即可．
即得，即；
当时，若△，由（1）知显然成立，此时；若△，则，
由于函数在，上恒成立，只要（1）即可，此时（1）显然成立，综上可知：．
一．选择题（共8小题）
1．（2022秋 临渭区期末）不等式的解集是
A．或 B．
C． D．
【解答】解：，或，
则不等式的解集是或．
故选：．
2．（2023 射洪市模拟）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是
A． B． C． D．
【解答】解：关于的不等式的解集为，
则△，
解得，
所以“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是“”．
故选：．
3．（2022秋 朝阳区校级期中）若函数在区间，上是减函数，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由二次函数性质知：对称轴为，
，解得：．
故选：．
4．（2022秋 雨花区期末）已知不等式解集为，下列结论正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：由于不等式解集为，
所以；
故和2为的两根；
所以，整理得：，故；
由于，所以；
故，整理得，所以；故、、错误．
所以当时，，故正确；
故选：．
5．（2022 杭州模拟）抛物线的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为
A． B．
C． D．
【解答】解：根据二次函数图象可得：，，，
当，时，则一次函数图象上升，且经过第一、三、四象限，
当时，则反比例函数经过第二、四象限，
符合条件只有选项．
故选：．
6．（2022 杭州模拟）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：当时，，此时只有一个零点，零点为，不符合要求；
当时，函数为二次函数，，利用零点存在性定理和二次函数的图象性质得（1），解得．
故选：．
7．（2023 河南模拟）已知集合，，则
A． B． C． D．
【解答】解：集合，或，
，
所以，所以正确；不正确；
或，所以、不正确；
故选：．
8．（2022秋 阜南县校级月考）不等式的解集为
A．，， B．，，
C． D．，
【解答】解：不等式化为，，
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．（2022 杭州模拟）已知关于的不等式的解集为，且，若，是方程的两个不等实根，则
A． B．
C． D．
【解答】解：因为关于的不等式的解集为，所以，故错误；
因为将二次函数的图像上的所有点向上平移1个单位长度，得到二次函数的图像，
所以，即，正确；
如图，
又，所以，正确；
当，时，，，
所以，错误．
故选：．
10．（2022秋 金安区校级期末）已知关于的不等式的解集为，，，则
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为，
【解答】解：关于的不等式的解集为，，，
，
即，；
故选项错误；
不等式可化为，
故不等式的解集为，
故选项正确；
，
故选项正确；
，
，
即，
的解集为，
故选项错误；
故选：．
11．（2022秋 李沧区校级期中）已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是
A．
B．不等式的解集是
C．不等式的解集是
D．
【解答】解：因为不等式的解集是或，
所以和是方程的根且，错误；
所以，，
所以，，
不等式可化为，解得，正确；
不等式可化为，即，
解得，正确；
根据二次函数的性质可知，当时，，正确．
故选：．
12．（2022秋 台江区校级期末）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是
A． B． C． D．
【解答】解：关于的一元二次方程的两根为，，
当时，，故不等式的解集为，
当时，
②若，则，不等式解集为，
②若，则，不等式的解集为，，，
③若，则，不等式的解集为，，，
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．（2022秋 崇明区期末）已知函数在区间，上是严格减函数，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：，对称轴为，
函数在，上是严格减函数，
，
故实数的取值范围为，．
故答案为：，．
14．（2022秋 杨浦区校级期中）设为常数，关于的不等式的解集中有且仅有两个整数解，则实数的取值范围为 ．
【解答】解：，
，则，解得，
又，
解集中有且仅有两个整数解为1，2，
，解得，
故实数的取值范围为，
故答案为：．
15．（2022秋 青浦区校级月考）函数在区间，上的最大值为3，最小值为2，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：因为的开口向上，对称轴，
又因为，，
若函数在区间，上的最大值为3，最小值为2，
则．
故答案为：，．
16．（2022春 五华区校级月考）若点在直线的左上方，则的取值范围是 ．
【解答】解：由点在直线的左上方得：，
所以的取值范围是．
故答案为：．
四．解答题（共2小题）
17．（2022秋 城关区校级期末）已知为二次函数，且满足：对称轴为，（2），（3）．
（1）求函数的解析式，并求图象的顶点坐标；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的单调区间．
【解答】解：（1）设函数为，
所以解得，
所以，
所以（1），所以顶点坐标为．
（2）图象如图所示，
函数的增区间为：，，，，函数的减区间为：，，，．
18．（2022秋 咸阳期末）设函数，．
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，即，
即，解得或，
所以当时，不等式的解集为或．
（2）当时，的解集为，满足题意；
当时，由，解得，
综上，实数的取值范围是，．专题05 二次函数与一元二次方程、不等式
目录
题型一： 分式不等式求解 3
题型二： 一元二次不等式求解 4
题型三： 含参一元二次不等式求解 5
题型四： 求一元二次不等式相关系数 7
题型五： 恒成立问题 7
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
三个“二次”间的关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1注意
当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是 ，要注意区别.
分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
4.简单的绝对值不等式
绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为(－a，a)．记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
【常用结论与注意点】
1.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形．
2.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论．
3.求解分式不等式时注意正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.
分式不等式求解
【要点讲解】
且
求不等式的解集：
（1）；
（2）．
解下列不等式
．
求下列不等式的解集：
．
解下列不等式．
．
一元二次不等式求解
【要点讲解】求解一元二次不等式的解集问题，需要借助一元 二次方程的根的判别式、韦达定理求出实数解，再结合一元二次函数的图象求得不等式的解集.
解关于的不等式．
（1）；
（2）；
（3）．
求下列不等式的解集
（1）；
（2）；
（3）．
求下列不等式的解集：
（1）
（2）
含参一元二次不等式求解
【要点讲解】步骤一：考虑不等式是否为一元二次不等式
步骤二：考虑二次函数开口
步骤三：考虑对应方程是否有根？
步骤四：比较根的大小关系
已知，解关于的不等式．
若，解关于的不等式．
解关于的不等式．
解下列关于的不等式．
（1）；
（2）．
关于的不等式
（1）已知不等式的解集为，，，求的值；
（2）解关于的不等式．
求一元二次不等式相关系数
【要点讲解】我们首先需结合不等式解集的端点值 和韦达定理，求得不等式的系数，然后将的值代入所求的不等式，解该不等式即可得出结果.
二次不等式的解集为，则的值为
A． B．5 C． D．6
关于的不等式，解集为，则不等式的解集为
A． B． C． D．
已知一元二次不等式，，的解集为，则的最大值为
A． B． C．1 D．2
已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为
A．4 B． C．2 D．1
恒成立问题
【要点讲解】在解答含参一元二次不等式恒成立问题时，结合 一元二次函数的图象来分析不等式成立的情况，能有效地提升解题的效率.
若恒成立，则实数的取值范围是 ．
“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是
A． B． C． D．
对于任意实数，不等式恒成立，则实数取值范围是
A． B．， C． D．，
若关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 ．
设．
（1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
设函数．
（1）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围；
（2）对于，，恒成立，求的取值范围．
一．选择题（共8小题）
1．（2022秋 临渭区期末）不等式的解集是
A．或 B．
C． D．
2．（2023 射洪市模拟）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是
A． B． C． D．
3．（2022秋 朝阳区校级期中）若函数在区间，上是减函数，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
4．（2022秋 雨花区期末）已知不等式解集为，下列结论正确的是
A． B． C． D．
5．（2022 杭州模拟）抛物线的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为
A． B．
C． D．
6．（2022 杭州模拟）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
7．（2023 河南模拟）已知集合，，则
A． B． C． D．
8．（2022秋 阜南县校级月考）不等式的解集为
A．，， B．，，
C． D．，
二．多选题（共4小题）
9．（2022 杭州模拟）已知关于的不等式的解集为，且，若，是方程的两个不等实根，则
A． B．
C． D．
10．（2022秋 金安区校级期末）已知关于的不等式的解集为，，，则
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为，
11．（2022秋 李沧区校级期中）已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是
A．
B．不等式的解集是
C．不等式的解集是
D．
12．（2022秋 台江区校级期末）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题）
13．（2022秋 崇明区期末）已知函数在区间，上是严格减函数，则实数的取值范围是 ．
14．（2022秋 杨浦区校级期中）设为常数，关于的不等式的解集中有且仅有两个整数解，则实数的取值范围为 ．
15．（2022秋 青浦区校级月考）函数在区间，上的最大值为3，最小值为2，则实数的取值范围是 ．
16．（2022春 五华区校级月考）若点在直线的左上方，则的取值范围是 ．
四．解答题（共2小题）
17．（2022秋 城关区校级期末）已知为二次函数，且满足：对称轴为，（2），（3）．
（1）求函数的解析式，并求图象的顶点坐标；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的单调区间．
18．（2022秋 咸阳期末）设函数，．
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．