专项培优训练（八） 特殊平行四边形的性质与判定
一、菱形的性质与判定
1．如图,在四边形中,,,对角线,相交于点,平分,过点作交的延长线于点,连接.
（1） 求证:四边形是菱形;
（2） 若,,求的长.
二、矩形的性质与判定
2．如图,在中,过点作于点,点在边上,,连接,.
（1） 求证:四边形是矩形;
（2） 若,,,求证:是的平分线.
三、正方形的性质与判定
3．如图,在中, ,,过点作边的垂线交的延长线于点,点是垂足,连接,,交于点.求证:
（1） 四边形是正方形;
（2） ;
（3） .
四、矩形、菱形与正方形的综合
4．[2024长沙模拟]如图,四边形是菱形,对角线,相交于点,,是对角线所在直线上的两点,且,连接,,,, .
（1） 求证:四边形是正方形;
（2） 若正方形的面积为72,,求菱形的面积.
专项培优训练（八） 特殊平行四边形的性质与判定
一、菱形的性质与判定
1．（1） 证明:,
.
平分,
,
,
.
,
.
四边形是平行四边形.
又,
四边形是菱形.
（2） 解:由（1）知,四边形是菱形,
,
,.
在中,由勾股定理,得
.
,
.
又是斜边的中点,
.
二、矩形的性质与判定
2．（1） 证明: 四边形是平行四边形,
,.
,
.
又,
四边形是平行四边形.
,
,
四边形是矩形.
（2） 四边形是矩形,
.
.
在中,由勾股定理,得
.
.
又,
,
.
,
,
.
是的平分线.
三、正方形的性质与判定
3．（1） 证明: ,,
,
.
四边形是平行四边形,
,
.
又,
,
,
四边形是平行四边形.
,,
四边形是正方形.
（2） ,
.
, ,
,
.
（3） 四边形是正方形,
,,
,.
.
四、矩形、菱形与正方形的综合
4．（1） 证明: 四边形是菱形,
,,.
,
,即,
四边形是平行四边形.
又,
四边形是菱形.
,,
,
,
,
四边形是正方形.
（2） 解:正方形的面积为72,
,
,
,
.
,
.
四边形是菱形,
,
菱形的面积为.专项培优训练（十） 将军饮马模型求特殊平行四边形的最值问题
【模型归纳】
基本将军饮马的条件:固定的直线,直线外两个定点与,直线上的动点,求的最小值.另外还会有许多的变形,下面列举出常见的一些模型:
模型一 最小
点与点在直线异侧:连接,与直线的交点即为点.
点与点在直线同侧:作点关于直线的对称点,连接,与直线的交点即为点.
模型二 最小
作的中垂线与直线的交点即为点,的最小值是0.
模型三 最大
点与点在直线同侧:连接,与直线的交点即为点,的最大值等于的长.
点与点在直线异侧:作点关于直线的对称点,连接,与直线的交点即为点,的最大值等于的长.
模型四 最小（是直线上定长动线段）
在直线上找两点,,点在点左侧,且的距离是定值,使最小.
过点作直线且（定值）,作点关于直线的对称点,连接,与直线的交点即为点,过点作的平行线与直线的交点即为点.
由于,是定点,所以距离是固定的,当题目是求四边形的周长最小值时,也可以用同样方法.
模型五 修桥问题最小
点与点是定点,直线直线,在直线上找一点,过点作直线的垂线交于点,使最小.
过点作直线的垂线,交直线于点,交直线于点,在上截取,连接,与直线的交点即是点.过点作直线的垂线,与直线的交点即是点.
模型六 周长最短
三角形:是内部一点,在上找一点,在上找一点,使的周长最小.
分别作点关于,的对称点,,连接,与的交点即是点,与的交点即是点.
四边形:点,是内部定点,在上找一点,在上找一点,使四边形的周长最小.
作点关于的对称点,作点关于的对称点,连接,与的交点即是点,与的交点即是点.
模型七 线段和最小值（垂线段最短）
是内部一点,在上找一点,在上找一点,使最小.
作点关于的对称点,过点作的垂线与的交点即是点,与的交点即是点.
【模型原理】
将军饮马的基本原理比较简单,主要是以下几点:
①两点之间,线段最短;
②三角形的两边之和大于第三边;
③垂线段最短（主要应用在线段和最值问题中）.
例如:如图,过点作关于直线的对称点,连接交直线于点,那么最小.
简证:设是直线上除以外任意一点,则在中,有（三角形的两边之和大于第三边）.
由于,也可以理解为点与点间线段最短.
【结论】
掌握上述的基本结论后,对于一些升级的将军饮马问题,都可以通过翻折运动（作对称点）的相关性质来转化线段,然后利用上述的基本原理来解决.
一、菱形折叠
1．如图,菱形的边长为2, ,为边的中点,为对角线上一动点,则的最小值为____________.
2．[2022广州模拟]如图,在边长为2的菱形中, ,是边的中点,是边上一动点,将沿所在的直线翻折得到,连接,求长的最小值.
二、矩形折叠
3．如图,在矩形的边上找一点,使得点到,两点的距离之和最短,则点的位置应该在__________________.
4．如图,在矩形中,,,,分别是边,上的动点,且,为的中点,是边上的一个动点,求的最小值.
三、正方形折叠
5．如图,正方形的边长为4,为边上的一点,,为的中点,为对角线上一个动点,则的最小值为________.
6．如图,以边长为2的正方形的对角线的交点为端点,引两条相互垂直的射线,分别与正方形的边相交于,两点,求线段的最小值.
专项培优训练（十） 将军饮马模型求特殊平行四边形的最值问题
一、菱形折叠
1．
2．解:如答图,过点作,交的延长线于点,连接,.
第2题答图
是定值,
的长取最小值时,点在上.
在边长为2的菱形中, ,为的中点,
, ,
, ,
,
,
,
.
二、矩形折叠
3．的中点处
4．解:如答图,延长到点,使,连接,,
第4题答图
则,
当,,三点共线时,的值最小.
由题意,点的轨迹是以点为圆心,2为半径的圆弧上,
圆外一点到圆上一点距离的最小值,
,
,
.
的最小值是.
三、正方形折叠
5．
6．解:四边形是正方形,
,
,.
,
,
,
,
.
在和中,
.
.
,
是等腰直角三角形.
由勾股定理,得
.
故要使最小,只要取最小值即可.
根据垂线段最短,得当时,最小.
四边形是正方形,
.
又,
,
,
.
线段的最小值为.专项培优训练（七） 与正方形有关的常考题型
一、正方形中的相交垂线段问题
1．（教材P68复习题）如图,是一个正方形花园,,是它的两个门,且.要修建两条路和,这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
【模型归纳】
正方形内,分别连接两组对边上任意两点,得到的两条线段（如:图①中的线段与,图②中的线段与,图③中的线段与）满足:若垂直,则相等;若相等,则垂直.
二、正方形中的过对角线交点的直角问题
2．如图,正方形的对角线和相交于点,又是正方形的一个顶点,交于点,交于点.
（1） 求证:;
（2） 如果两个正方形的边长都为,那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？
【模型归纳】
如图,在正方形中,为两条对角线的交点,点,分别在,上.若为直角,,分别与,的延长线交于点,,则,,是等腰直角三角形,且.
三、正方形中的弦图问题
3．
（1） 如图,四边形是正方形,是边的中点, ,且交正方形外角的平分线于点.求证:.
（2） 若（1）中“是边的中点”变为“是边上任意一点”,则上述结论是否仍然成立？__（填“是”或“否”）.
（3） 在（2）的前提下,若题中结论“”与条件“是正方形外角的平分线”互换,则命题是否还成立？请说明理由.
【模型归纳】
四、正方形中的半角模型
4．如图,在正方形中,是上一点,是的延长线上一点,且.
（1） 求证:;
（2） 若点在上,且 ,则成立吗？为什么？
【模型归纳】
（1）如图,在正方形中,若 ,则:
;的周长为正方形边长的2倍;平分,平分.
（2）如图,在正方形中,若 ,平分,则.
专项培优训练（七） 与正方形有关的常考题型
一、正方形中的相交垂线段问题
1．解:,.理由如下:
四边形是正方形,
.
,.
又 ,,
.
,.
,
,.
故,.
二、正方形中的过对角线交点的直角问题
2．（1） 证明:在正方形中,, , .
, ,
.
在和中,
.
（2） 解:两个正方形重叠部分的面积等于.理由如下:
,
.
三、正方形中的弦图问题
3．（1） 证明:如答图①,取的中点,连接.
.
是的中点,
.
四边形是正方形,
,,
,,
, .
是正方形外角的平分线,
.
, .
又 ,
,
,
.
第3题答图①
（2） 是
（3） 解:命题仍然成立.理由如下:
如答图②,过点作,交的延长线于点.
第3题答图②
,
.
,
,
.
在和中,
,
,,
,即,
,
, .
是正方形外角的平分线.
四、正方形中的半角模型
4．（1） 证明: 四边形是正方形,
,.
又,,
.
（2） 解:成立.理由如下:
由（1）得,,
,
,
即 .
又 ,
.
在和中,
,,
.专项培优训练（九） 特殊平行四边形的折叠问题
一、把一个顶点折叠到一边
【方法技巧】 如图,由折叠的性质,可知,再根据特殊平行四边形的边角关系,利用等量关系列方程解决问题.
1．[2024长沙模拟]如图,已知在矩形中,.在边上取一点,将折叠使点恰好落在边上的点,折痕为,则的长为____.
二、把一个顶点折叠到对角线上
【方法技巧】 将顶点折叠到对角线上,往往较多的利用对称轴的角平分线作用,进而方便求角.
2．如图,将正方形纸片折叠,使边,均落在对角线上,折痕分别为,,点在上,点在上,则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．如图,在矩形纸片中,已知,折叠纸片使边与对角线重合,点落在点处,折痕为,且,求的长.
三、把一个顶点折叠到另一个顶点上
【方法技巧】 如图,易得,从而可利用全等三角形带来的边角关系,结合具体条件解决问题.
4．如图,在矩形纸片中,,.将纸片沿折叠,使点与点重合,点落在点处.
（1） 求证:;
（2） 求的长.
四、把一个顶点折叠到图形外或图形内
【方法技巧】 如图,易得是等腰三角形,从而可利用全等三角形带来的边角关系,结合具体条件解决问题.
5．[2024南充]如图,在矩形中,为边上一点, ,将沿折叠得到,连接,.若平分,,则的长为______.
6．[2024威海]将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式折叠,使点落在上的点处,折痕为,点落在点处,交于点.若,,,则________.
专项培优训练（九） 特殊平行四边形的折叠问题
一、把一个顶点折叠到一边
1．3
[解析] 四边形是矩形,
,,
由折叠性质,得,
,,.
设,则,
在中,由勾股定理,得,
即,
,
.
在中,由勾股定理,得,
即,
解得,
即.
二、把一个顶点折叠到对角线上
2．C
3．解:四边形是矩形,,
.
是翻折而成,
,,是直角三角形,
.
在中,.
设,
在中,,即,
解得,.
三、把一个顶点折叠到另一个顶点上
4．（1） 证明:由翻折的性质,得.
在矩形中,,
,
,.
（2） 解:由翻折的性质,得.
设,则.
在中,,
,解得,
.
由（1）可知,,
,
由翻折的性质,得.
四、把一个顶点折叠到图形外或图形内
5．
[解析]如答图,过点作于点,于点平分, 四边形为矩形,, .由翻折的性质,得, , ,,,,,.
第5题答图
6．
[解析]在中,.由折叠可得, .又 四边形是矩形, , ,
.又,,,,,,,.设,则,在中,,即,解得..专项培优训练（六） 平行四边形的性质与判定
一、平行四边形与全等相结合
1．[2023无锡]如图,在中,,分别为,的中点,延长到点,使得,连接.求证:
（1） ;
（2） 四边形是平行四边形.
2．如图,在中,是是对角线的中点.某数学兴趣小组要在上找两个点,,使四边形是平行四边形,现总结出甲、乙两种方案如下:
甲方案 乙方案
在,上分别取点,,使得 作于点,于点
请解答下列问题:
（1） 选择其中一种方案,并证明四边形是平行四边形;
（2） 在（1）的基础上,若,,求的面积.
二、平行四边形与等腰三角形相结合
3．【问题背景】如图,在中,与的平分线相交于点,点恰好在边上.
【问题探究】
（1） 求的度数;
【结论应用】
（2） 若,,求的周长.
三、平行四边形与添加条件问题
4．如图,为等边三角形,,分别为,上的点,且,以为边作等边.
（1） 求证:;
（2） 点在线段上何处时,四边形是平行四边形,且 ？
专项培优训练（六） 平行四边形的性质与判定
一、平行四边形与全等相结合
1．（1） 证明:,分别为,的中点,
,.
在和中,
.
（2） 由（1）得,
,
.
,
四边形是平行四边形.
2．（1） 解:选甲方案.
证明: 四边形是平行四边形,
,,
.
在和中,
,
,.
,,
,
,
四边形是平行四边形.
选乙方案.
证明:,,
, .
四边形是平行四边形,
,,
.
在和中,
,
,
四边形是平行四边形.
（2） 由（1）得,
.
,
.
四边形是平行四边形,
,
.
二、平行四边形与等腰三角形相结合
3．（1） 解: 四边形是平行四边形,
,
.
与的平分线相交于点,
,,
,
.
（2） 四边形是平行四边形,
,,,
.
,,
.
同理,,.
,,
,
的周长为
三、平行四边形与添加条件问题
4．（1） 证明:为等边三角形,
,.
在和中,
.
（2） 解:当点在线段的中点时,四边形是平行四边形,且 .
如答图,连接.
第4题答图
在和中,
,, ,
即,
.
又,
,
, ,
为等边三角形,
, .
又 ,
,
,
四边形是平行四边形.
为线段的中点,
易知为线段的中点,
, ,
则 .
