专题1 二次根式（含答案）初中数学人教版八年级下册

期末复习
专题1 二次根式
题型归类 举一反三
题型一 二次根式有意义的条件
例1 若在实数范围内有意义,则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
变式跟进
1．若实数,满足,则的值为____.
题型二 二次根式的性质
例2 一次函数的图象经过第二、三、四象限,则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式跟进
2．已知,,在数轴上对应点的位置如图所示,则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．若,则代数式的值是____.
题型三 二次根式的非负性
例3 若,求的平方根.
变式跟进
4．已知,则____.
5．已知.
（1） 求,的值;
（2） 求的平方根.
题型四 二次根式的运算
例4 计算:.
变式跟进
6．计算:
（1） ;
（2） .
题型五 与二次根式有关的化简求值
例5 已知,,求下列代数式的值:
（1） ;
（2） .
变式跟进
7．
（1） 已知,,求代数式的值;
（2） 先化简,再求值:,其中,.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．若代数式在实数范围内有意义,则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知,则的值为__.
4．[2023 长沙模拟]计算:
（1） ;
（2） .
5．[2024长沙模拟]已知,,求的值.
B组·能力提升 强化突破
6．[2024长沙模拟]阅读材料:像, 这样两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式.例如:与,与等都是互为有理化因式.在进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号.
例如:;.
根据上述材料,解答下列问题:
（1） 与________互为有理化因式;
（2） 计算:;
（3） 已知有理数,满足,求,的值.
7．[2022 长沙模拟]在学习二次根式时,小明同学发现了两个非常有趣的式子,分别把它们定义为“运算”和“运算”.其中,.为了使二次根式有意义,我们规定为实数,且满足.
（1） 求证:;
（2） 若实数满足,求的值;
（3） 已知实数,满足,为任意实数,求代数式的最小值.
期末复习
专题1 二次根式
题型归类 举一反三
题型一 二次根式有意义的条件
【点悟】（1）二次根式的被开方数是非负数,即被开方数大于或等于0;
（2）分式的分母不为0.
例1 D
变式跟进
1．3
题型二 二次根式的性质
【点悟】 二次根式的性质:
（1）;
（2）;
（3）;
（4）.
例2 D
变式跟进
2．A
3．1
题型三 二次根式的非负性
例3 解:,
解得
,
的平方根为.
【点悟】（1）几个非负数的和等于0,则这几个数都为0;
（2）常见的非负数有,,.
变式跟进
4．1
5．（1） 解:,,
,
,,
解得,.
（2） ,
的平方根为.
题型四 二次根式的运算
例4 解:原式
.
变式跟进
6．（1） 解:原式
.
（2） 原式.
题型五 与二次根式有关的化简求值
例5 （1） 解:,,
,.
例5 （1）
.
（2） .
变式跟进
7．（1） 解:原式
.
当,时,
原式.
（2） 原式
.
当,时,
原式.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．B 2．A
3．12
4．（1） 解:原式
.
（2） 原式.
5．解:
.
B组·能力提升 强化突破
6．（1）
（2） 解:原式.
（3）
,
,,
,.
7．（1） 证明:,,
.
（2） 解:,
,
,
,
解得.
（3） 解:由（1）知,
,
,
,,
,
,
,,
,
.
,,
,,
,,
,
.
,
,
,
的最小值为.