专题3 平行四边形（含答案）初中数学人教版八年级下册

专题3 平行四边形
题型归类 举一反三
题型一 平行四边形的性质与判定
例1 如图,已知垂直平分于点,,.
（1） 求证:四边形是平行四边形;
（2） 若,,求的长.
变式跟进
1．如图,在中,点,分别在边,上,若要使四边形为平行四边形,需添加一个条件,这个条件不可以是（ ）
变式跟进1图
A． B．
C． D．
2．如图,在中,,为的中点,则________.
变式跟进2图
3．[2022长沙模拟]如图,在四边形中,与相交于点,且,点在上,满足.
（1） 求证:四边形是平行四边形;
（2） 若,,,求四边形的面积.
题型二 矩形的性质与判定
例2 如图,在中,平分,交于点,平分,交于点.
（1） 求证:;
（2） 当与满足什么数量关系时,四边形是矩形？请说明理由.
变式跟进
4．如图,在中, ,,,为边上任意一点（不包括端点）,于点,于点,则的最小值是____.
5．[2024湘西模拟]如图,在中,对角线与相交于点,,分别为,的中点,延长至点,使,连接.
（1） 求证:.
（2） 当与满足什么数量关系时,四边形是矩形？请说明理由.
6．如图,已知的对角线与相交于点,为的中点,连接,的延长线交的延长线于点,连接.
（1） 求证:;
（2） 若, ,判断四边形的形状,并证明你的结论.
题型三 菱形的性质与判定
例3 [2024长沙模拟]如图,菱形的周长为8,对角线,,分别是边,上的两个动点,且满足.
（1） 求证:;
（2） 判断的形状,并说明理由.
变式跟进
7．如图,在四边形中,,,对角线,交于点,平分,过点作交的延长线于点.
（1） 求证:四边形是菱形;
（2） 若,,则的长为__________;
（3） 在（2）的条件下,已知是线段上的一点,且,求的长.
8．[2024哈尔滨]如图①,四边形的对角线,相交于点,,,.
（1） 求证:四边形是菱形;
（2） 如图②,,于点,交于点,连接,点在上,连接交于点,若 ,在不添加任何辅助线的情况下,直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）.
题型四 正方形的性质与判定
例4 如图,以的三边为边,在边的同侧分别作等边、等边、等边.
（1） 试说明四边形是平行四边形.
（2） 当满足什么条件时,四边形是矩形？并说明理由.
（3） 当满足什么条件时,四边形是正方形？并说明理由.
（4） 当满足什么条件时,四边形不存在？并说明理由.
变式跟进
9．下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
10．如图,在中, ,,是边的中点,连接并延长,与边相交于点,,交于点,连接,.
（1） 求证:;
（2） 若,求证:四边形是正方形.
题型五 矩形、菱形、正方形的综合
例5 [2024长沙模拟]【课本再现】
在学行四边形的概念后,进一步得到平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相平分.
（1） 如图①,在中,对角线与相交于点,求证:,.
【知识应用】
（2） 如图②,在中,为的中点.延长到点,使得,延长到点,使得,连接,,若 ,请你探究线段与线段之间的数量关系.写出你的结论,并加以证明.
变式跟进
11．[2024娄底模拟]【综合与实践】
定义:对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.如图①所示的四边形是垂美四边形.
【概念理解】
（1） 在①正方形,②菱形,③矩形三个图形中,一定是垂美四边形的是__（填序号）.
【性质探究】
（2） 小明说:在如图①的垂美四边形中,.请你判断他的说法是否正确？并说明理由.
【问题解决】
（3） 如图②,分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形,连接交于点,连接交于点,连接.已知,,求的长.
题型六 与矩形、菱形、正方形有关的动态型问题
例6 如图,在中, ,, ,点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动,同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点,运动的时间是.过点作于点,连接,.
（1） 求证:.
（2） 四边形能够成为菱形吗？如果能,求出相应的的值;如果不能,请说明理由.
（3） 当为何值时,为直角三角形？请说明理由.
变式跟进
12．[2022洪江模拟]如图,在梯形中,, ,,,动点从点出发沿方向向点以的速度运动,动点从点出发沿方向向点以的速度运动.点,分别从点和点同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动,设点的运动时间为.
（1） 用含的代数式表示:__________________,________.
（2） 当为何值时,四边形是平行四边形？
（3） 当为何值时,四边形是矩形？
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．[2023大庆]将两个完全相同的菱形按如图方式放置,若 , ,则（ ）
第1题图
A． B． C． D．
2．[2023兰州]如图,在矩形中,为的延长线上一点,为的中点,以点为圆心,的长为半径的圆弧过与的交点,连接.若,,则的长为（ ）
第2题图
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
3．如图,在正方形中,点,分别在,上,且,连接,,则下列结论错误的是（ ）
第3题图
A． B．
C． D．
4．[2023青岛]如图,在正方形中,,分别是,的中点,,相交于点,为上一点,为的中点.若,,则的长为（ ）
第4题图
A． B． C．2 D．
5．[2023牡丹江]如图,在平面直角坐标系中,菱形的顶点,在轴上,,, ,将菱形绕点旋转 后,得到菱形,则点的坐标是________________________________.
第5题图
6．[2023哈尔滨]如图,在正方形中,点在上,连接,,为的中点,连接,若,,则的长为________.
第6题图
7．[2023怀化]如图,在矩形中,过对角线的中点作的垂线,分别交,于点,.
（1） 求证:;
（2） 连接,,求证:四边形是菱形.
B组·能力提升 强化突破
8．[2024株洲模拟]综合实践课,同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动.
操作一:如图①,对折正方形纸片,使与重合,得到折痕,把纸片展平;
操作二:在上选一点,沿折叠,使点落在正方形内部点处,把纸片展平,连接,.
（1） 当点在上时,的度数是________.
（2） 如图②,改变点在上的位置（点不与点,重合）,延长交于点,连接.
① 求证:;
② 若正方形纸片的边长为,,求的长.
9．[2024衡阳模拟]定义:三角形的一个角与菱形的一个角重合,且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上,则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.例如:如图①,四边形为菱形,与重合,点在上,则称菱形为的“亲密菱形”.
如图②,在中, ,平分,交于点,过点作,.
（1） 求证:四边形为的“亲密菱形”;
（2） 若,,求四边形的周长;
（3） 如图③,,分别是,的中点,连接,若,求的值.
专题3 平行四边形
题型归类 举一反三
题型一 平行四边形的性质与判定
【点悟】1.证明一个四边形是平行四边形的基本思路:
（1）若已知一组对边平行,可以证明这组对边相等,或另一组对边平行;
（2）若已知一组对边相等,可以证明这组对边平行,或另一组对边相等;
（3）若已知条件与对角线有关,可以证明对角线互相平分.
2.解决与平行四边形的性质有关的问题:
（1）平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质,这为计算边与角、证明三角形全等提供了很多条件,因此,要灵活运用这些性质解题;
（2）在解决平行四边形中的线段和角相等的问题时,常利用平行四边形的性质证明三角形全等来解决.
例1 （1） 证明:垂直平分,
,,
,,
,
.
,
,
.
,,
.
四边形是平行四边形.
（2） 解:四边形是平行四边形,,
四边形为菱形.
.
设,则.
,
,
即,解得.
,
.
变式跟进
1．B
2．
3．（1） 证明:在和中,
,
.
又,
四边形是平行四边形.
（2） 解:,,
,
平行四边形是菱形.
,.
在中,,
,
.
题型二 矩形的性质与判定
【点悟】1.证明一个四边形是矩形的基本思路:
（1）若四边形（或可证明）为平行四边形,则可再证明一个角是直角或对角线相等;
（2）若四边形的直角较多,则可证明三个角是直角.
2.利用矩形的性质解题的基本思路:
（1）从角上看,矩形的四个角都是直角,可将矩形问题转化为直角三角形的问题去解决;
（2）从对角线上看,对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形,可将矩形问题转化为等腰三角形的问题去解决.
例2 （1） 证明: 四边形是平行四边形,,,,
.
平分,平分,
.
在和中,
.
（2） 解:当时,四边形是矩形.理由如下:
,
,.
又,,
四边形是平行四边形.
,平分,
,
四边形是矩形.
变式跟进
4．2.4
5．（1） 证明: 四边形是平行四边形,
,,,
.
,分别为,的中点,
,,
.
在和中,
.
（2） 解:当时,四边形是矩形.理由如下:
,,
.
是的中点,,
.
同理可证.
,即.
由（1）,得,
.
,,
四边形是平行四边形.
, 四边形是矩形.
6．（1） 证明: 四边形为平行四边形,
,,
.
为的中点,.
又,
,.
又,.
（2） 解:四边形为矩形.证明如下:
, ,
.
又,,,
为等边三角形,.
,,
四边形为平行四边形,
,,
,
平行四边形为矩形.
题型三 菱形的性质与判定
【点悟】1.证明一个四边形是菱形的基本思路:
（1）若四边形（或可证）为平行四边形,则再证一组邻边相等或对角线互相垂直;
（2）若四边形相等的边数较多（或容易证出）时,可证明四条边相等.
2.利用菱形的性质解题的基本思路:
（1）菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形,可将菱形问题转化为直角三角形的问题去解决;
（2）有一个内角为 （或）的菱形,连接对角线可构成等边三角形,可将菱形问题转化为等边三角形的问题去解决.
例3 （1） 证明: 菱形的周长为8,
.
,,,
与都是等边三角形,
.
,,
.
在和中,
.
（2） 解:是等边三角形.理由如下:
由（1）可知,
,,
,
是等边三角形.
变式跟进
7．（1） 证明:,
.
平分,
,
,
.
,
四边形是平行四边形.
,
四边形是菱形.
（2）
（3） 解:,,
在中,.
当点在线段上时,;
当点在线段上时,.
的长为1或3.
8．（1） 证明:,
.
在和中,
,
,
四边形是平行四边形.
,
四边形是菱形.
（2） 解:与线段相等的线段有:,,,.
题型四 正方形的性质与判定
【点悟】 证明一个四边形是正方形的一般步骤:
（1）先证明它是平行四边形;
（2）再证明有一组邻边相等（或一个角是直角）;
（3）最后证明它有一个角是直角（或有一组邻边相等）.
例4 （1） 解:,,是等边三角形,,,,
,
.
在和中,
,
,.
同理可得,
四边形是平行四边形.
（2） 当 时,四边形是矩形.理由如下:
,
又 四边形是平行四边形,
四边形是矩形.
（3） 当是顶角为 的等腰三角形时,四边形是正方形.理由如下:
由（2）可知,当 时,四边形是矩形.
,,
四边形是正方形.
（4） 当 时,四边形不存在.理由如下:
当 时, .
此时,,三点在同一条直线上,以,,,为顶点的四边形不存在.
变式跟进
9．C
10．（1） 证明:,是边的中点,
,即是线段的垂直平分线,
,
.
在中, ,
, ,
,.
（2） ,.
又是边的中点,
.
在和中,
,.
又, 四边形是平行四边形.
, 四边形是菱形.
在中,,,
,
是边的中点.
又,
, ,
四边形是正方形.
题型五 矩形、菱形、正方形的综合
例5 （1） 证明: 四边形是平行四边形,
,,
,,
,
,.
（2） 解:.证明如下:
如答图,过点作交于点,连接,,
例5答图
.
,,
,即,
是等边三角形,
,,
是等边三角形,
,.
又,
四边形是平行四边形,
,互相平分.
为的中点,
,,三点共线,.
在和中,
,
,.
变式跟进
11．（1） ①②
（2） 解:说法正确.理由如下:
设,相交于点,图略.
四边形是垂美四边形,
,
,
由勾股定理,得,
,
.
（3） 在正方形中, ,,
在正方形中, ,, ,
,
.
在和中,,,,
,
.
又 ,
,
, ,
.
四边形是垂美四边形.
由（2）可知,
,,
,,,
,
.
题型六 与矩形、菱形、正方形有关的动态型问题
例6 （1） 证明: 在中, ,
, ,
.
,,
且在中, ,
,.
（2） 解:由解得.
,,
四边形是平行四边形.
当时,四边形是菱形,
即,解得,符合题意,
当时,四边形是菱形.
（3） 解:当或12时,是直角三角形.理由如下:
显然 .
①当 时,.
,.
,,
,
,解得,符合题意;
②当 时,.
四边形是平行四边形,
,,
是直角三角形, .
, ,
.
,
,
,解得,符合题意.
综上所述,当的值为或12时,是直角三角形.
变式跟进
12．（1） ；
（2） 解:由题意知
解得,
四边形为平行四边形,
,,解得.
当时,四边形是平行四边形.
（3） 四边形为矩形,
,,解得.
当时,四边形是矩形.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．D 2．C 3．A 4．B
5．或
6．
7．（1） 证明: 四边形是矩形,
,.
点是的中点,.
又,
.
（2） 由（1）知,,
.
四边形是矩形,
,即.
四边形是平行四边形.
, 四边形是菱形.
B组·能力提升 强化突破
8．（1）
（2） ① 证明: 四边形是正方形,
, .
由折叠可得, ,,
, .
又,
,
,
.
② 解:由①可知,四边形是正方形,且边长为,
, ,.
设,则,.
在中,,
,解得,
的长为.
9．（1） 证明:,,
四边形是平行四边形,.
平分,
,
,
,
四边形是菱形.
菱形的与的重合,点在上,
四边形为的“亲密菱形”.
（2） 解:由（1）知四边形是菱形,设.
,.
,,
,
,
,解得,
四边形的周长为.
（3） 解:过点作交于点,如答图.
第9题答图
,,
四边形是平行四边形,
,.
,分别是,的中点,
,,,
,
为的中点.
,
,,
,.