第20讲
解析几何之直线和圆综合
一、知识点
1.直线的倾斜角
(1)定义：x轴正向与直线向上方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定，直线与x轴平行或重合
的倾斜角为零度角，
(2)倾斜角的范围为0°≤&<180°.
2.直线的斜率
(1)定义：当a≠90°时，tana=k,当a=90°，斜率不存在；
(2)推导定义：R(c,),B(,h)为直线上的两点，当工≠，k=二业，当x=斜率不存在.
工1一T2
3.倾斜角与斜率的变化关系
(1)当=0，k=0,直线与x轴平行或重合；
(2)当=90°，斜率不存在，直线与x轴垂直；
(3)当0
(4)当90°(5)直线越陡，即直线的倾斜角越接近90°，[k越大.
4.直线方程的五种形式及适用的条件
(1)点斜式方程：y-0=k(x-)(不含垂直于x轴的直线).
(2)斜截式方程：y=kx+b
(不含垂直于x轴的直线)，
(3)两点式方程：y一丝=￠一西
(不包括垂直于坐标轴的直线).
2一1T2一T1
(④截距式方程：吕+号=1
(不包括垂直于坐标轴和过原点的直线)，
(5)一般式方程：Ax+By+C=0
（A+B≠0).
5.两直线的位置关系
方程
斜截式：y=x+b,y=kc+b
般式：Ax+By+C=0,Ac+By+C=0
相交
卡k2
A,B2-AB1≠0
垂直
kk2=-1
A1A2+BB2=0
平行
k=k2,b1≠b2
AB2-AB=0,A1C3-AC1≠0（或B,C-B2C≠0）
重合
k=k2,b1=b2
A1B2-A2B1=0,A1C-AC1=0(或B1C-BC1=0)
6.距离公式
(1)两点间距离公式：BP=√(2-)2+(-)2（点R(1),P(x2):
(2》点到直线的距离公式：d=1A+B+C(点Pw,直线Ar+B倒+C=0):
VA+B
(3)两平行线间的距离公式：d=
C1-C2
√A2+B2
:(平行直线l:Ax+By+C1=0,2:Ax+By+C2=0)
7.圆的方程
(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹.定点为圆心，定长为圆的半径
(2)圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=m2:C(a,b)为圆心，r为半径
159
特别地，圆心为原点的标准方程：x2+y2=2
3)圆的-般方程：形式：2+y+Dx++F=0可变形为(e-》+W-号)=D+B2-4,
故有：（圆的判别式记为△=D2+E2-4F)
①若A>0,则表示以（号，号）为圆心，D+E-F为半径的圆：
②若△=0，则表示一个点(-号-）：
③若△<0，则不表示任何图形.
(4)二元二次方程Ax2+Bxy+C+Dx+y+F=0表示圆的条件：
①A=C≠0：②B=0:③D2+E2-4AF>0、
8.点与圆的位置关系
设点P的坐标为(xo0),圆C的方程为：(c-a)2+(y-b)2=r2.
(1)点P在圆内台lCPl(2)点P在圆上台1CP|=r台(-a)2+(yo-b)2=r2,
(3)点P在圆外台ICP|>r(-a)2+(-b)2>r2
9.直线与圆的位置关系
判断直线Ax+B%+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的两种方法：
(1)代数方法：判断直线与圆方程联立所得方程组解的情况即判断△的正负；
(2)几何方法：比较圆心到直线的距离d与半径r的大小.
①直线与圆相交一△>0台d②直线与圆相切白△=0台d=r;
③直线与圆相离台△<0台d>r.
10.圆与圆的位置关系
设圆O的半径为r,圆O2的半径为r2,且两圆圆心的距离为d
(1)两圆外离台d>r1十72
(2)两圆外切台d=T1十r2
(3)两圆相交台m-T2(4)两圆内切台d=m1r2(r≠T2):
(5)两圆内含台0≤d11.题型归纳
【题型一】直线的方程
【题型二】直线过定点问题
【题型三】直线的对称
【题型四】直线与圆位置关系
【题型五】弦长与弦心距
【题型六】切线与切线长
【题型七】切点弦
【题型八】阿波罗尼斯圆
【题型九】米勒圆
160第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此角A一1一E的平面角，由对称性可知：此角即为二
-BD-C,
D
面廓A一2一岔的平面角的最大值，且∠AOE=
因为BC⊥面AD1
2∠AOP,其中OP=2,由勾股定理得：AO=
BC,AC⊥面BDB,
A
、AP0P=I,所以cos∠40P=O2
D,
·AO
所以AC,BC的所
2=42I.则oos∠A0B=2cos'∠A0P-1
27
21
成角大小为二面角
2
B-BD-C大小，
=贵
因为∠B,CA=60°，
故选：B
所以面α与面B所成锐二面角大小为60°.
故选：C
例13.【答案】C
【点睛】关键点点晴：解决本题的关键在于说明平
【分新】设平面a与面BCD所成的二面角为9，二
面α经过点B、D且截正方体所得截面面积最大
面角C-BD-C为7，分9E(x,]和8∈(0,7]
时，平面a与面BDBD重合，考查了分类讨论思
两种情况讨论，证明平面α经过点B、D且截正方
想和极限思想
体所得截面面积最大时，平面α与面BDBD1重
例14.【答案】ABD
合，从而可得出答案
【分析】利用异面直线的定义判断选项AB,求出异
【详解平面α经过点B、D且截正方体所得截面面
面直线BD与CD的距离为2，即可判断选项C,
积最大时，平面a与面BDBD重合，
把异面直线BD与CD的距离转化为CD到平面
证暖：设平面a与面BCD所成的二面角为0，二面
ABD的距离，再转化为点D到平面ABD1的距
角C-BD-C为Y
离，再利用等体积法求解判断！
当9∈(，]时，记平面α截正方体所得截面为面
【详解】如图所示，AA与BD1是异面直线，AB,与
CE
BDEF.CD,
D
BD1是异面直线，所以选项AB正确；
由正方体得DD⊥平面ABCD1,所以DD1⊥B
CF
a=AA∈(0,1]
D,又DD⊥CD,所以DD是异面直线BD1与
CD的公垂线段，又DD=2,所以异面直线BD
AB=1,
与CD的距离为2，所以选项C错误；
则Sam=21+)
D
因为CD∥AB,CD4平面ABD,BD,C平面
W-28+3=
ABD1,所以CD∥平面ABD,所以CD到平面
8
ABD的距离就是异面直线BD1与CD的距离，即
匠-+21+那，
点D到平面ABD的距离就是异面直线BD1与
令A》=(2-1)2+2(1十λ)2，
CD的距离.设距离为h,由题得AD=√2+1=
因为A)=4(a+1)>0,所以h()max=h(1)=2,
V5,因为a-Aao=W-Aa ，合·3×2X1X2=
(SPBo)mx=S5DaD=√2，
当台E(0,y]时，显然平面a截正方体所得截面面
号分×2xV5×hh=号5.所以异面直线
积最大时，
BD,与CD的距离为25，所以选项D正确。
5
藏面为面CBD,Sc=
2,
故选：ABD
当B=0时，平面x截正方体所得截面为ABCD,
0
C
SABCDF 1
所以平面藏正方体所得截面面积最大时截面为
面BDBD,
4
同理平面饣过A、D,时，截正方体所得截面面积最
大时藏面为面AD,BC,
连援BD,AC,BC,面a与面B所成锐二面角为B
144