第19讲
空间几何体角度距离问题
一、知识点
1.平面的法向量：
如果表示向量元的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作元⊥L4,如果
元⊥a,那么向量充叫做平面α的法向量
(1)写出平面内两个不平行的向量=(1，)，=(x2,y2,22)
言方飞
(2)平面法向量花=
11
一2'西2
222
（(122一2六1，之12-221，工12-工21)；
2.空间向量可解决的立体几何问题（用，表示直线a,b的方向向量，元，花表示平面α，B的法向量）
(1)判定类：
①线面平行：a∥b台流H:
②线面垂直：a⊥b台d⊥；
③面面平行：aHB台元∥亢：
④面面垂直：a⊥B台成⊥克；
(2)计算类：
①两直线所成角：cos日=1cos(,儿=
a.8
阃阿
②线面角：sin0=lcos(a,)儿=
a.m
③二面角：cos6=c0s(元，)=
元抗
威威
或c0s8=-60s(杭)=-成成（视平面角与法向量夹
角关系而定)：
④点到平面距离：设A为平面α外一点，P为平面a上任意一点，则A到平面α的距离为dA-a=
A产.元
,即AP在法向量元上投影的绝对值；
材■
⑤异面直线间的距离：设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为元，这时分别在α、b上任取
A、B两点，则向量在元上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离、d=A店·品|=
尼，列，即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数
量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值、
3.题型型归纳
【题型一】空间几何体位置关系
【题型二】线线角
【题型三】线面角
【题型四】二面角
【题型五】异面直线距离
【题型六】位置关系与角度综合
151
【题型一】空间几何体位置关系
例1.己知a、B是空间中两个不同的平面，m、n是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是
()
A.若m∥n,nca,则ma
B.若m∥a,m∥B,则a∥B
C.若a⊥B,mCa,则m⊥B
D.若m⊥a,n⊥B,m⊥n,则a⊥B
例2.（多选)在正方体ABCD-A1B1C1D,中，E,F分别为AB,A1D的中点，则下列结论错误的是
()
A.EF∥平面BBD
B.EF∥平面BCD
C.EF⊥平面ABD
D.EF⊥平面BCD
例3.在正方体ABCD-A1BCD中，E,F分别为AB,BC的中点，则()
A.平面B,EF⊥平面BDD,
B.平面BEF⊥平面A1BD
C.平面BEF∥平面AAC
D.平面BEF∥平面A1CD
例4.（多选）在正方体ABCD-ABCD1中，点P满足B2=BD(0≤A≤1)，则（)
A.若入=1，则AP与BD所成角为圣
B.若AP⊥BD,则A=分
C.AP∥平面BCD
D.AC⊥AP
152第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此因为底面边长为2√3，底面△ABC的高AN=2W5
PN,MN,如图，
×号=3，所以Sa=壹×2W5×3=3/3,
2
因△PAB是正三角形，则PM⊥AB,又ABCD是
矩形，有MN⊥AB,而平面PAB⊥平面ABCD,
平面PAB∩平面ABCD=AB,PMC平面
PAB,MNC平面ABCD,因此PM⊥平面
所以三棱锥的体积收a0=号×方XSak心=号×
ABCD,MN⊥平面PAB,
又AD∥MN∥BC,则AD⊥平面PAB,BC⊥平
h×3v3=3,求得h=√3，
面PAB,即有AD⊥PA,BC⊥PB,
在底面△ABC中AM=号AN=2,
PM∩N=M,PM,MNC平面PMN,有AB⊥
则侧棱长为PA=V+AM=√(3)+2=V7,
平面PMN,PNC平面PMN,AB⊥PN,而
每个侧面的三边长为BC=2W3,PB=PC=√7，
AB∥CD,则CD⊥PN,
则侧面的高PN=√PB2-BW2=√7-3=2，
显然△PAD兰△PBC,由球的对称性及四棱锥P
一ABCD的特征知，平面PMN截四棱锥P
ABCD的内切球O得截面大圆，
此圆是Rt△PMN的内切圆，切MN,PM分别于
E,F,有四边形OEMF为正方形，
令AD=x,而PM=3,PN=√x2+9,则球半径
=ME=号(e+3-V2+9),
所以SAr=号BC.PN=×2WB×2=2V3,所
四棱锥P-ABCD的表面积为S=SAPAB十2S△PAD
以三棱锥P-ABC的表面积为3X2W+3v=
+SABCD+SAPCD=3V3+4V3+3V2+9,
9√3.
由等积法知V=弓×93×r=3,得r=
由8w=方rS=号SPM得：2e+3-
3
v2+9)·√3(3+4x+Vx2+9)=2W/5x·3,
用一平行于底面ABC且与球O上部相切的平面
整理得：6c·(3+4x+√2+9)=12c·(x+3+
ABC截此三棱锥，下部得到一个高为2的楼
√x+9),即2x-3=V√x2+9,解得x=4,
台，
因此，7=1，内切球的体积V=暂，二誓，四棱
3
那么截得的小棱锥P-AB'C'的高为h一2r=
锥P-ABCD体积VP-ABCD=8V5.
写，即为P-ABC高的宁，则此小棱锥的内切球
故答案为：钙；8W3
半径即为球O的半径，
例13.【答案】C
根据相似关系，截得的棱锥的体积为3×（兮）°
【分析】当平面BAC⊥平面DAC时，四面体B一
号，表面积为9B×(号)=V3,
ACD的高最大，并利用导函数讨论体积的最大值，
根锯等体积法，子×V3×R=日解得R=怎
构造长方体求外接球的半径，利用等体积法求内切
球的半径，进而可求解
故选：D.
【详解】不妨设菱形的边长为√3，AC=2x,0例12.【答案】誓83
<√5，
外接球半径为R,内切球半径为T,
【详解】取AB中点M,CD中点N,连接PM,
取AC中点为O,连接OB,OD,BD,
130
