第18讲
空间几何体外接球内切球
一、知识点
1.单面定球心：
(1)步骤：
①定一个面外接圆圆心：选中底面△ABC,确定其外接圆圆心O(正三角形外心就是中心，直角三
角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r=品A:
②过外心O做（找）底面△ABC的垂线l,则球心一定在直线（注意不一定在线段L上）儿上；
③计算求半径R:在直线U上取一点O,则OP=OA=R,利用公式OA=O1A+OO可计算出球
半径R,
2.双面定球心（两次单面定球心）
(1)双面定球心
如图：在三棱锥P一ABC中：
①选定底面△ABC,定△ABC外接圆圆心O1
②选定面△PAB,定△PAB外接圆圆心O2
③分别过O做面ABC的垂线，和O2做面PAB的垂线，
两垂线交点即为外接球球心O
(2)含二面角外接球半径公式：2=m+n2-2 mnc0s+
sin'a
4
证明：如右图，若空间四边形ABCD中，
二面角C-AB-D的平面角大小为a,ABD的外接圆圆心为O1,
ABC的外接圆圆心为O2,E为公共弦AB中点，则∠OEO2=a,
O,E=m,OB=,AB=号，OA=R,由于0、O尽、0，四点共圆，
OB-2R=0O,IO.O:'=m+n-2mcosa,R-A
sina
所以R=m+mno2+景
sin'a
(特别注意当△CAB与△ABD为一钝和一锐角三角形时，&需要换成π一a)
3.球的内切问题（等体积法）
在四棱锥P一ABCD中，内切球为球O,求球半径T.方法如下：
VP-ABCD-VO-ABCD+Vo-PBC+Vo-PCD+Vo-PAD+Vo-PAB
即 -AaD=方SANCO+号S+号Src+合SA+专SrAT
1
可求出r.
4.题型型归纳
【题型一】单面定球心
【题型二】双面定球心
【题型三最值】
【题型四内切球】
【题型五截面与球】
143
【题型一】单面定球心
例1.在四面体PABC中，PA⊥AB,PA⊥AC,∠BAC=120°，AB=AC=AP=2,则该四面体的
外接球的表面积为（)
A.12π
B.16π
C.18r
D.20π
例2.已知三棱锥P一ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=PB=PC=AB=√6，∠ACB=
三，则球0的体积为()
A.3
8
C.
D.9π
例3.（多选）正三棱锥S-ABC的外接球半径为2，底面边长为AB=3,则此三棱锥的体积为（)
A.马3
0.273
D.33
4
B
4
2
例4.（多选）某正四棱台的上、下底面边长分别为32和42，若该四棱台所有的项点均在表面积为
100r的球面上，则该四棱台的体积可能为(）
A罗
B.
0.515
3
D.518
3
144第01讲
三种重要不等式及其
+y2=6osig+号sn9+号in8coa0=1+
应用
有in29-30os29+号
例1.【答案】BC
=号+号i(20-晋）)∈[号，2]，所以当=
3
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三
相等”，逐一验证可得选项。
时满足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】对于A选项，当x∈(0,1)时，lnx<0,此时
以D错误
Inc+I
9
。<0,故A不正确。
故选：BC
对于B选项，y=6sin+2sina≥2w9=6,当
例3.【答案】BC
【解析】对于A,因为4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且仅当6sna=2水z即5n4=号时取=”，
所以|ab|≤2，当且仅当a=b=√2时取等，故
A错误；
故B正确。
对于C选项，y=3+32-≥2W3=6,当且仅当3
对于B,因为1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1时取“=”，故C正确，
可看作部分圆x2+2=4(xy≠0)上的点(a,b)到直
对于D选项，y=+6+9=V+16+
线x+y=0的距离不大于2，
W2+16
因为圆心(0,0)在直线x+y=0上，半径为2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正确；
当且仅当V+16=9云，即2=-7无解，故
√2
√x2+16
对于C,因为ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正确.
|abl≤1og22=1,故C正确；
故选：BC.
对于D,因为a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此时☆+内=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D错误.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故选：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】对于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[导2]故选：BC,
当且仅当a=b=号时，等号成立，故A正确，
对于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因为b≤（告≤(a,be风，由
21
故B正确；
x2+y2-y=1可变形为，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，当且仅当=y
对于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1时，c+y=-2,当且仅当x=y=1时，x十y=
2,所以A错误，B正确：
当且仅当a=b=号时，等号成立，故C不正确：
由x2+y2-y=1可变形为(2+y)-1=cy≤
对于D,因为(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，当且仅当x=y=士1时取
2,
2
等号，所以C正确：因为x2+-y=1变形可得
所以Va+6≤V2,当且仅当a=b=号时，等号
(e-》+子=1，设-号=os9,9y
成立，故D正确；故选：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此则∠0PE=∠A=晋，OF∥A,B,同理易知OG
在△ADE中，由余弦定理变形得，
∥AC,
COS∠DEA=
DE2+AE-AD=
2xDEXAE
故四边形AFOG是菱形，则∠FOG=3
(+(3-AD
:屁的长度为号×V=号，故点P的轨迹长
2×5×3y圆
3
2
2
度为3×号x=2x
解得AD=√6，所以AE2=DE2+AD2,所以AD
故选：A.
⊥DE;
由BC⊥AE,BC⊥OE,AEnOE=E,可得BC
例17.【答案】ACD
⊥平面AOE,
【详解】依题意，延长正三棱台侧棱相交于点O,取
又ADC平面AOE,所以BC⊥AD,
BC中点D,
由BC⊥AD,AD⊥DE,BC∩DE=B,可得
BC中点E,连接AD,DE,AE,则有OA=OB=
AD⊥平面BCCB1,
OC,
因为AP与平面BCCB所成角的正切值为√6，
所以DE的延长线必过点O且DE⊥BC,DE⊥
BC,
所以品=6，解得DP=1,AP=VAD+DP
过点D作DF∥C1C,DG∥B,B,则四边形DFCC
=w6+1=√7，
是边长为1的菱形。
所以点P在平面BC℃B,的轨迹为CE,B,G
如图所示：
对于A:当点P运动到DC与CF的交点时CP有
最小值，
因为四边形DFCC是边长为1且∠FDC=号的
菱形，
所以DC=3,所以CP=DC-DP=√3-1，
故A选项正确；
对于B:要使得AP⊥BC,则点P必须落在
平面ADE与平面BCCB,的交线上且DP=1,
由图易知，在平面BCCB,中不存在这样的点P,
G
故B选项错误；
B
Oc
对于C:当点P运动到点F时，连接AF,OF,OF
BC OC
在△0BC中，BC=
O
0G+CC,即
交BC于点Q,
OC
连接AQ,由于平面A1B1C∥平面ABC,
=0C+1'
所以AF∥平面AB,C,又AFC平面AFO,平面
解得OC=2,所以OC=OC+CC=2+1=3,
AFO∩平面A1BC1=A1Q,
所以△OBC为边长为3等边三角形，
所以AFA1Q,所以存在点P,存在点Q∈BC,
所以∠DPE=∠F0C=∠0CB=子，OB=
2
使得AP∥AQ
所以DE=DFX血号=1×9=
故C选项正确；
2”
对于D:设CF的长度为l,则l=∠FDC×DP列
因为△ABC是边长为3的等边三角形且E为BC
中点，
=系×1=号
所以AE=3y5,BC⊥AE,
动线段AP形成的曲面展开为两个面积相等扇形，
2
设其中一个的面积为S,
在△OAE中，由余弦定理变形得，c0s∠OEA=
OE2+AE2-OA2
(3)+(3-8
则有S=号X1XAP=号×吾×v7=,
6
因此所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积
2×OE×AE
2×3y8×38
3
2
2
为25=2×7=7m
6
31
122
