2024-2025学年广东省广州市某中学高二（上）期末数学模拟试卷（一）（含答案）

2024-2025学年广东省广州市某中学高二（上）期末数学模拟试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在公差为的等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
2.圆：的圆心坐标和半径分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.设，，向量，，，且，，则( )
A. B. C. D.
4.已知是空间的一个基底，下列不能与，构成空间的另一个基底的是( )
A. B. C. D.
5.已知圆：，直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，当切线长最小时，弦的长度为( )
A. B. C. D.
6.已知数列，满足，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线：的焦点为，准线为点在上，直线交轴于点，若，则点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线和抛物线有相同的焦点，两曲线相交于，两点，若为双曲线的左焦点为直角三角形，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B. 直线的倾斜角的取值范围是
C. 过，两点的所有直线的方程为
D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
10.如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，设，，若，，，则下列说法中正确的是( )
A.
B.
C. 直线和直线相互垂直
D. 直线和直线所成角的余弦值为
11.已知抛物线：的焦点为，过的直线交抛物线于点，，且，下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 的面积为
12.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，设第层有个球，从上往下层球的总数为，记，则( )
A. B.
C. ， D. 的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.椭圆与双曲线有公共的焦点，则______．
14.圆：关于直线对称的圆的方程是______．
15.在等比数列中，若，，则数列的公比为 ．
16.已知动点在椭圆上，过点作圆的切线，切点为，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知是等差数列，其前项和为若，
求的通项公式；
设，数列的前项和为，求．
18.本小题分
已知圆的方程为．
求过点的圆的切线方程；
若直线过点，且直线与圆相交于两点、，使得，求直线的方程．
19.本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为中点，且．
求；
求二面角的正弦值．
20.本小题分
已知等比数列的公比为，与数列满足
证明数列为等差数列；
若，且数列的前项和，求的通项，
在的条件下，求
21.本小题分
已知在长方形中，，点是的中点，沿折起平面，使平面平面
求证：在四棱锥中，；
在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，说明理由．
22.本小题分
已知点，分别为椭圆：的左，右顶点，点，直线交于点，且是等腰直角三角形．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设过点的动直线与相交于，两点，当坐标原点位于以为直径的圆外时，求直线斜率的取值范围．
参考答案
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17.解：设等差数列的公差为．
，
，
，，
，
．
的通项公式为，
由可知，
．
，
．
18.解：，点在圆上，则，
，．
则直线的方程为，即；
圆的方程为，则圆的圆心坐标为，半径为．
记圆心到直线的距离为，则．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即．
则，解得．
此时直线的方程为．
综上，直线的方程为或．
19.解：连结，
因为底面，且平面，
则，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，则，
所以，
又，
则有，
所以∽，
则，所以，解得；
因为，，两两垂直，故以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为．
20.分证明：设的公比为，
分
与无关的常数
为等差数列，公差为分
解：即解出分
分
由得，可得
的前项均为正，从第项开始为负 分
当时，分
当时
分
综上所述：分
21.证明：连接，为的中点，，，
为长方形，中，．
在中，，
同理，，，
在折叠后的图形中：
平面平面，平面平面，，
平面，
又平面，，
又，平面，平面，，
平面，
又平面，
，
由可知：、均为等腰直角三角形，过点作底边的高，交于点，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
则，，，
易知平面的一个法向量为，
假设在线段上存在点，使二面角 的余弦值为，
设设，则，
设平面的一个法向量为，，，
取，则，，，解得，
即当点为线段的中点时，二面角的余弦值为．
22.解：Ⅰ由题意知：是等腰直角三角形，，，
设，由，则，
代入椭圆方程，解得，
椭圆方程为分
Ⅱ由题意可知，直线的斜率存在，方程为，设，，
则，整理得：，
由韦达定理可知：，，分
由直线与有两个不同的交点，则，
即，解得：，分
由坐标原点位于以为直径的圆外，则，即，
则
，
解得：，分
综合可知：，解得或，
直线斜率的取值范围分
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