2023-2024学年上海市奉贤区高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年上海市奉贤区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的法向量可以为( )
A. B. C. D.
2.直线与直线的夹角为( )
A. B. C. D.
3.如图，共顶点的椭圆、与双曲线、的离心率分别为、、、，其大小关系为( )
A. B. C. D.
4.已知正方体的棱长为，，为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积，则点的轨迹长度为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.椭圆的短轴长为______．
6.抛物线的准线方程为______．
7.双曲线的渐近线方程为______．
8.已知球的表面积为，则该球的体积为________．
9.已知空间向量，，且与垂直，则等于______．
10.如图，在正方体中，是的中点，是底面的中心，是上的任意点，则直线与所成的角为______．
11.将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为______．
12.“共享单车，绿色出行”是近年来火爆的广告词，现对某市名共享单车用户一个月内使用共享单车的次数进行统计，得到数据如茎叶图所示，下列关于该组数据的说法错误的是______．
极差为；
众数为；
第百分位数为；
平均数为．
13.已知事件与事件相互独立，如果，，则 ______．
14.以双曲线的左顶点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为______．
15.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线垂直于直线，则其离心率为______．
16.已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，圆锥的底面直径与母线长均为，是圆锥的高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点．
求该圆锥的体积；
求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
中华人民共和国民法典于年月日正式施行某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试满分：分，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
估计该组测试成绩的平均值；
该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽样，抽取人．
根据此次分层随机抽样，成绩位于区间和的居民各抽取多少？
若从这人中随机抽取人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的测试成绩分别位于和”，求．
19.本小题分
如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部设为平顶与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米．
以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系如图，求该抛物线的方程；
经过点和焦点的直线与抛物线交于另一点，求的值．
若行车道总宽度为米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米精确到米？
20.本小题分
已知椭圆：的左右焦点为，，为椭圆上一点．
若点的坐标为，求的面积；
若点的坐标为，且是钝角，求横坐标的范围；
若点的坐标为，且直线与椭圆交于两个不同的点，求证：为定值．
21.本小题分
我们把等轴双曲线的一部分与半圆合成的曲线称作“异型”曲线，其中是焦距为的等轴双曲线的一部分，如图所示．
求“异型”曲线的方程．
若直线：与“异型”曲线有两个公共点，求的取值范围若，为“异型”曲线上的点，求的最小值．
参考答案
1.
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16.
17.解：由题意可得，，，
所以，
故圆锥的体积为；
因为是圆锥的高，
则平面，又平面，
则，
因为点是底面直径所对弧的中点，
所以，
又，，平面，
故平面，
所以即为直线与平面所成的角，
因为为斜边的中线，
所以，
又，
所以，
又，
故．
故直线与平面所成角的大小为．
18.解：根据题意可得，解得；
估计该组测试成绩的平均值为：．
和人数的概率之比为：，
在内抽取人，内抽取人；
根据题意可得．
19.解：如图所示．
依题意，设该抛物线的方程为，
因为点在抛物线上，可得，
解得，
所以该抛物线的方程为；
，，，设，令，
所以直线与抛物线联立，
由解得，，，和，，
则；
设车辆高为，则，故D，
代入抛物线方程，可得，
解得，
所以通过隧道的车辆限制高度为米．
20.解：点在椭圆上，，，，
，，，，，
．
解：如图：
点在椭圆上，，
由余弦定理得
，
是钝角，，
又，，解得，
即的取值范围为
证明：如图：
设，，
由，得，
，，，
又，，
，
即有为定值．
21.解：由题意得，解得，则“异型”曲线的方程为；
直线与“异型”曲线有公共点，
由，解或，
即与有公共点和，
当时，直线与无公共点，与有唯一公共点，不符合题意；
当时，，易得直线与有两个公共点；又渐近线为，且中，直线与无公共点．此时符合题意．
直线与“异型”曲线有公共点，由，解得或，
即与有公共点和，
当时，直线与无公共点，与有唯一公共点，不符合题意；
当时，，易得直线与有两个公共点；又渐近线为，且中，直线与无公共点．此时符合题意．
当时，，则与只有一个公共点，由，
得，易得，若，解得，即，此时与只有一个公共点，此时符合题意；
若且，解得，此时直线与在第一象限有两个公共点，舍去；
综上，当时有两个不同的交点．此时该曲线关于轴对称，易得当时，也满足．
综上，的取值范围．
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