2024-2025学年江苏省无锡市锡东高级中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025 学年江苏省无锡市锡东高级中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.求长轴长是短轴长的3倍，且过点(3, 1)的椭圆的标准方程( )
2 2 2 2
A. + = 1 B. 82 + = 1 18 2 82
9
2 2 2 2 2 2
C. + = 1或
18 2 82
+ = 1 D. + = 1
82 9 3
9
2.已知 = (3, + , )( , ∈ )是直线 的方向向量， = (1,2,3)是平面 的法向量，若 ⊥ ，则 +
2 =( )
15 3 9
A. B. C. 6 D.
2 2 2
3.已知圆 ： 2 + 2 + 3 + 3 = 0关于直线 ： + = 0对称，则实数 =( )
A. √ 3 B. 1 C. 3 D. 1或3
4.已知空间向量 ， ， 满足 = + ，| | = 1，| | = 2，| | = √ 7，则 与 的夹角为( )
A. 30° B. 150° C. 60° D. 120°
2 2
5.已知动点 在椭圆 ： + = 1上， (0, 1)， (3, 3)，则| | | |的最小值为( )
4 3
A. 5 B. √ 13 C. 2 D. 1
6.已知圆 ：( )2 + ( 3)2 = 16和圆 ： 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 0， + = 3，则圆 和圆 的公
切线条数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.已知圆 ：( + 2)4 + 2 = 4，直线 ：( + 1) + 4 = 1 + = 0( ∈ )，则( )
A. 直线 恒过定点( 1,1)
B. 直线 与圆 有三个交点
C. 当 = 1时，圆 上恰有四个点到直线 的距离等于1
D. 过直线 的平行线3 + 4 7 = 0上一动点 作圆 的一条切线，切点为 ，则| | = 4
1
8.在三棱锥 中， 为△ 的重心， = , = ， = ， ，
2
∈ (0,1)，若 交平面 于点 ，且
1
= ，则 + 的最小值为( )
2
1
A.
2
2
B.
3
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C. 1
4
D.
3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若直线 的方向向量为 = (2,4, 2)，平面 的一个法向量为 = ( 1, 2,1)，则 ⊥
1 1 1
B. 若空间中任意一点 ，有 = + + ，则 ， ， ， 四点共面
3 6 2
C. 若空间向量 , 满足 < 0，则 与 夹角为钝角
1 1
D. 若空间向量 = (1,0,1), = (0,1, 1)，则 在 上的投影向量为(0, , )
2 2
2 2
10.已知椭圆 ： + = 1，
25 9 1
， 2分别为它的左右焦点，点 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有
( )
9
A. 椭圆离心率为
25
B. | 1| + | 2| = 10
C. 若∠ 1 2 = 90°，则△ 1 2的面积为9
1 1 10
D. + 最大值为
| 1| | 2| 9
11.如图所示四面体 中， = = 4， = 3， ⊥ ，且∠ =
2
∠ = 60°， = ， 为 的中点，点 是线段 上动点，则下列说法
3
正确的是( )
1
A. = ( + + )
3
B. 当 是靠近 的三等分点时， ， ， 共面
5
C. 当 = 时， ⊥
6
D. 的最小值为 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.过两点 ( 2 + 2, 2 3)， (3 2, 2 )的直线 的倾斜角为45°，则 = ______．
2 2
13.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，若 为椭圆 上一点， 1 ⊥ 1 2，△ 1 2

的内切圆的半径为 ，则椭圆 的离心率为______．
3
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14.在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， 是正方体 1 1 1 1外接球的直径，点 是正方体
1 1 1 1表面上的一点，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ 中，边 ， 上的高所在直线的方程分别为2 3 + 1 = 0与 + = 0，点 的坐标为(1,2)．
(1)求边 的高 所在直线的一般式方程；
(2)求边 的中线 所在直线的斜率．
16.(本小题15分)
2
已知直线 = + 2与椭圆 + 2 = 1相交于不同的两点 ， ．
3
(1)求实数 的取值范围；
(2)若 ⊥ ，其中 为坐标原点，求实数 的值．
17.(本小题15分)
已知直线 ：4 + 3 + 10 = 0，半径为2的圆 与 相切，圆心 在 轴上且在直线 的上方．
(Ⅰ)求圆 的方程；
(Ⅱ)设过点 (1,1)的直线 1被圆 截得的弦长等于2√ 3，求直线 1的方程．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， = = = 4， = 2√ 6，∠ = 60°，且 =
(0 ≤ ≤ 1)， ， ， 分别为 ， ， 的中点．
(Ⅰ)求证： ⊥平面 ；
√ 10
(Ⅱ)若平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；
10
(Ⅲ)在平面 内是否存在点 ，满足 = 0？若存在，请求出点 的轨迹长度；若不存在，请说明理
由．
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19.(本小题17分)
古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比
值为常数 ( > 0, ≠ 1)的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点 到 (0, 2)的距离是点 到
(0,1)的距离的2倍．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)过点 作直线 1，交轨迹 于 ， 两点， ， 不在 轴上．
( )过点 作与直线 1垂直的直线 2，交轨迹 于 ， 两点，记四边形 的面积为 ，求 的最大值；
( )设轨迹 与 轴正半轴的交点为 ，直线 ， 相交于点 ，试证明点 在定直线上，求出该直线方程．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 2
2
13.【答案】
3
14.【答案】[ 2,0]
2 3 + 1 = 0 1 1
15.【答案】解：(1)由题意联立{ ，解得 = ， = ，
+ = 0 5 5
1 1
即垂心 ( , )，
5 5
1
2 3
可得 =
5
1 = ，
1 ( ) 2
5
3
所以 边上的高 的方程为 2 = ( 1)，
2
即3 2 + 1 = 0；
(2)因为 边上的高为2 3 + 1 = 0，
所以设直线 的方程3 + 2 + = 0，
将点 (1,2)代入直线 的方程，可得：3 × 1 + 2 × 2 + = 0，
解得 = 7，
即直线 的方程为3 + 2 7 = 0，
3 + 2 7 = 0
联立{ ，解得 = 7， = 7，
+ = 0
即点 (7, 7)，
因为 上的高所在直线的方程 + = 0，
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设 所在的直线方程为 + = 0，将点 (1,2)代入直线 的方程为1 2 + = 0，
可得 = 1，
所以直线 的方程为 + 1 = 0，
+ 1 = 0
联立{ ，解得 = 2， = 1，
2 3 + 1 = 0
即 ( 2, 1)，
5
所以 的中点 ( , 4)，
2
4 2
所以 = 5 = 4．
1
2
= + 2
16.【答案】解：(1)联立{ 2 2 ，消 得到(1 + 3
2) 2 + 12 + 9 = 0，
+ = 1
3
则 = (12 )2 36(1 + 3 2) > 0，整理得到 2 1 > 0，解得 < 1或 > 1，
所以实数 的取值范围为( ∞, 1) ∪ (1,+∞)．
(2)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
12 9
由(1)可得 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2，
1+3 1+3
2 2 2
2 9 24 4 3 所以 1 2 = ( 1 + 2)( 2 + 2) = 1 2 + 2 ( 1 + 2) + 4 = + 4 = ， 2 2 2
1+3 1+3 1+3
又 ⊥ ，所以 ⊥ ，得到 = 0，
又 = ( 1, ), 1 = ( 2, 2)，
2
所以
9 4 3
= 1 2 + 1 2 = + = 0， 2 2
1+3 1+3
13
整理得到 2 ，解得 √ 39或 √ 39 = = = ，
3 3 3
所以实数 的值为√ 39或 √ 39 ．
3 3
5 |4 +10|
17.【答案】解：(Ⅰ)设圆心 ( , 0)，( > )，则 = 2，解得 = 0或 = 5(舍)，
2 5
∴圆 ： 2 + 2 = 4；
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(Ⅱ)由题意可知圆心 到直线 1 的距离为√ 2
2 (√ 3)2 = 1，
若直线 1 斜率不存在，则直线 1： = 1，圆心 到直线 1的距离为1；
若直线 1斜率存在，设直线 1： 1 = ( 1)，即 + 1 = 0，
|1 |
则 = 1，解得 = 0，直线 1： = 1．
√ 2 +1
综上直线 1 的方程为 = 1或 = 1．
18.【答案】(Ⅰ)证明：由题意知，△ 是边长为4的等边三角形，
因为 是 的中点，所以 ⊥ ，且 = 2√ 3，
因为底面 是边长为4的菱形，且∠ = 60°，所以 ⊥ ， =
2√ 3，
又 = 2√ 6，所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知 ， ， 两两垂直，
以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ( 2,0,0)， (2,0,0)， (0,0,2√ 3)， (4,2√ 3, 0)， (1,0, √ 3)， (0,2√ 3, 0)，
所以
1
= = (2,0,0)， = (2,2√ 3, 0)， = ( 1,0,2 √ 3)
， = (4,2√ 3, 2√ 3)，
所以 = = (2,2√ 3, 0) = (2 , 2√ 3 , 0)，
所以 = = (2 , 2√ 3 , 0) ( 1,0, √ 3) = (2 + 1,2√ 3 , √ 3)，
= 2 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ ，
= (2 + 1) + 2√ 3 √ 3 = 0
令 = 1，则 = 0， = 2 ，所以 = (0,1,2 )，
易知平面 的一个法向量为 = (0,0,1)，
因为平面 与平面 的夹角的余弦值为√ 10，
10
| | 2 √ 10 1
所以|cos < ， > | = = =| | | | 10 ，解得 = ± (舍负)，
1×√
2
1+4 6
1
所以平面 的法向量为 = (0,1,2 ) = (0,1, )，
3
设直线 与平面 所成角为 ，
2√ 3
| | 2√ 3 3 √ 3
则 = |cos < ， > | = = = 5 ， | | | | 1
√ 16+12+12×√ 1+
9
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所以直线 与平面 所成角的正弦值为√ 3．
5
(Ⅲ)存在点 ，使 = 0，理由如下：
因为 = 0，所以 ⊥ ，即 点在以线段 的中点 为球心，2为半径的球面上，
由(Ⅱ)知， = ( 4,0,0)， = (4,2√ 3, 2√ 3)， = ( 1,0,√ 3)，

设平面 的法向量为 = ( , , )，则{
= 4 = 0
，
= 4 + 2√ 3 2√ 3 = 0
取 = 1，则 = 0， = 1，所以 = (0,1,1)，
| | √ 3 √ 6
所以点 到平面 的距离为 = = < 2，
| | √ 2 2
记 6 √ 10 = √ 22 = ，
4 2
则在平面 内存在点 ，且 点的轨迹是半径为√ 10的圆，
2
故 H 点的轨迹长度为 √ 102 × = √ 10 ．
2
19.【答案】解：(1)设点 ( , )，由题意可得| | = 2| |，
即√ 2 + ( + 2)2 = 2√ 2 + ( 1)2，化简得 2 + ( 2)2 = 4，
所以点 的轨迹 的方程为 2 + ( 2)2 = 4；
(2)由题易知直线 1的斜率存在，
设直线 1的方程为 = + 1，即 + 1 = 0，
| 2+1| 1
则圆心(0,2)到直线 1的距离 1 = = ，
√ 2 2 +1 √ +1
2
1 4 +3
所以| | = 2√ 22 2 √1 = 2√ 4 2 = 2 2 ，
+1 +1
( )若 = 0，则直线 2的斜率不存在，
1
易得 | = 2√ 3，| | = 4，则 = | | | | = 4√ 3；
2
1
若 ≠ 0，则直线 2的方程为 = + 1，即 + = 0，
| |
则圆心(0,2)到直线 2的距离 2 = ，
√ 2 +1
2 2
3 +4
所以| | = 2√ 22 22 = 2√ 4 = 2√2 2 ，
+1 +1
2 2 2
1 (4 +3)(3 +4)
则 = | | | | = 2√
2 2
( +1)
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2
1
= 2√ 12 + 2 2 = 2 12 + 1
( +1) √ 2 + 2+2

1
≤ 2 12 + = 7，
√ √ 2 12 2+2

1
当且仅当 2 = 2即 = ±1时，取等号，

又7 > 4√ 3，所以 的最大值为7；
( )证明：由题， (0,4)，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 + ( 2)2 = 4
联立{ ，消 得( 2 + 1) 2 2 3 = 0， = 4 2 + 12( 2 + 1) > 0，
= + 1
2 3
则 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
+1 +1
4
所以直线 的方程为 = 1 ，直线 的方程为 = 2 + 4，
1 2

= 1
1 4
联立{ ，解得 = 1 2 4 ，
= 2 + 4 3 1+ 2
2
1 4 则 = 1
2 4 4( +1) 4 +4 6 2 = 1 2 = 1 2 = 1 2 2 = 1 2 = 2，
1 3 1+ 2 3 1+ 2 3 1+ 2 3 1+ 2 3 1+ 2
4
所以 ( 1 2 , 2)，
3 1+ 2
所以点 在定直线 = 2上．
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